第05講一元二次方程、分式方程的解法及應用【挑戰(zhàn)中考滿分模擬練】一．根的判別式（共1小題）1．（2022?天寧區(qū)校級二模）在初中階段的函數(shù)學習中，我們經歷了“確定函數(shù)的表達式一一利用函數(shù)圖象研究其性質一一運用函數(shù)解決問題”的學習過程．在畫函數(shù)圖象時，我們通過描點或平移的方法畫出了所學的函數(shù)圖象．同時，我們也學習了絕對值的意義．結合上面經歷的學習過程，現(xiàn)在來解決下面的問題：在函數(shù)y＝|kx﹣3|+b中，當x＝2時，y＝﹣4；當x＝0時，y＝﹣1．（1）求這個函數(shù)的表達式；（2）在給出的平面直角坐標系中，請用你喜歡的方法畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出這個函數(shù)的一條性質；（3）已知函數(shù)的圖象如圖所示，結合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式的解集．（4）若方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是0＜a＜9．【分析】（1）把x＝2，y＝﹣4；x＝0，y＝﹣1代入y＝|kx﹣3|+b求解即可；（2）由y＝|﹣3|﹣4，得出，再根據(jù)函數(shù)的圖象寫出函數(shù)的性質；（3）根據(jù)題意畫出圖象，再根據(jù)圖象得出不等式的解集；（4）根據(jù)題意畫出圖象，再根據(jù)方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四個不相等的實數(shù)根，得出結果．【解答】解：（1）∵在函數(shù)y＝|kx﹣3|+b中，當x＝2時，y＝﹣4；當x＝0時，y＝﹣1，∴，解得，∴這個函數(shù)的表達式是y＝|﹣3|﹣4；（2）∵y＝|﹣3|﹣4，∴，∴函數(shù)y＝x﹣7過點（2，﹣4）和點（4，﹣1）；函數(shù)y＝﹣x﹣1過點（0，﹣1）和點（﹣2，2），該函數(shù)的圖象如圖所示，性質：當x＞2時，y的值隨x的增大而增大；（3）由函數(shù)的圖象可得，不等式的解集是：1≤x≤4；（4）由|x2﹣6x|﹣a＝0得a＝|x2﹣6x|，作出y＝|x2﹣6x|的圖象，由圖象可知，要使方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四個不相等實數(shù)根，則0＜a＜9，故答案為：0＜a＜9．【點評】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是根據(jù)題意準確畫出圖象．二．根與系數(shù)的關系（共2小題）2．（2022?隨縣一模）已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的兩根，則（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝7．【分析】根據(jù)一元二次方程的解和根與系數(shù)的關系得出m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，變形后代入，即可求出答案．【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣1＝0的兩根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝（m2+2m﹣1+m+4）（n2+2n﹣1+n+4）＝（m+4）（n+4）＝mn+4（m+n）+16＝﹣1+4×（﹣2）+16＝7，故答案為：7．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1?x2＝，也考查了一元二次方程的解．3．（2022?黃石港區(qū)校級模擬）已知關于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有兩個實數(shù)根x1，x2．（1）求m的取值范圍；（2）若x1，x2滿足3x1＝|x2|+2，求m的值．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式，即可得出Δ＝20﹣4m≥0，解之即可得出結論；（2）由根與系數(shù)的關系可得x1+x2＝6①、x1?x2＝m+4②，分x2≥0和x2＜0可找出3x1＝x2+2③或3x1＝﹣x2+2④，聯(lián)立①③或①④求出x1、x2的值，進而可求出m的值．【解答】解：（1）∵關于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有兩個實數(shù)根x1，x2，∴Δ＝（﹣6）2﹣4（m+4）＝20﹣4m≥0，解得：m≤5，∴m的取值范圍為m≤5．（2）∵關于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有兩個實數(shù)根x1，x2，∴x1+x2＝6①，x1?x2＝m+4②．∵3x1＝|x2|+2，當x2≥0時，有3x1＝x2+2③，聯(lián)立①③解得：x1＝2，x2＝4，∴8＝m+4，m＝4；當x2＜0時，有3x1＝﹣x2+2④，聯(lián)立①④解得：x1＝﹣2，x2＝8（不合題意，舍去）．∴符合條件的m的值為4．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系以及根的判別式，解題的關鍵是：（1）根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式，找出Δ＝20﹣4m≥0；（2）分x2≥0和x2＜0兩種情況求出x1、x2的值．三．一元二次方程的應用（共10小題）4．（2022?江岸區(qū)校級模擬）某公司以3萬元/噸的價格收購20噸某種水果后，分成A，B兩類（A類直接銷售，B類深加工成果醬后再銷售），并全部售出：A類水果的銷售價格y（單位：萬元/噸）與銷售數(shù)量x（單位：噸）之間的函數(shù)關系是y＝﹣x+13．B類水果深加工總費用m（單位：萬元）與加工數(shù)量n（單位：噸）之間的函數(shù)關系是m＝12+3n，B類果醬每噸利潤率（不考慮深加工費用）是A類水果每噸利潤率的2倍，按此標準定B類的銷售價格．注：總利潤＝售價﹣總成本；利潤率＝（售價﹣進價）÷進價．（1）設其中A類水果有x噸，用含x的代數(shù)式表示下列各量．①B類果醬有（20﹣x）噸；②A類水果所獲得總利潤為（﹣x2+10x）萬元；③B類果醬所獲得總利潤為（2x2﹣57x+328）萬元．（2）若A類水果比B類果醬獲得總利潤低24萬元，問A，B兩類水果各有多少噸？（3）若A，B兩類水果獲得總利潤和不低于48萬元，直接寫出x的取值范圍．【分析】（1）①根據(jù)題意可得答案；②根據(jù)總利潤＝每噸的利潤×數(shù)量可得答案；③根據(jù)總利潤＝總售價﹣總費用可得答案；（2）根據(jù)題意列出方程，（2x2﹣57x+328）﹣（﹣x2+10x）＝24，解方程可得答案；（3）設兩類水果總利潤的和為w萬元，得出w關于x的關系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質可得答案．【解答】解：（1）①B類果醬有（20﹣x）噸；故答案為：（20﹣x）；②A類水果所獲得總利潤為（﹣x+13﹣3）x＝﹣x2+10x，故答案為：（﹣x2+10x）；③設B類水果每噸銷售價格為z元，∵A類水果每噸所獲利潤為（﹣x+10）元，根據(jù)題意可知，＝2×，解得z＝﹣2x+23，∴B類水果所獲總利潤為：（﹣2x+23﹣3）（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝2x2﹣57x+328；故答案為：（2x2﹣57x+328）；（2）由題意得，（2x2﹣57x+328）﹣（﹣x2+10x）＝24，解得x1＝16（舍），x2＝，∴20﹣＝（噸），答：A類水果有噸，B類水果有噸；（3）設兩類水果總利潤的和為w萬元，則w＝（2x2﹣57x+328）+（﹣x2+10x）＝x2﹣47x+328，∵w≥48，∴x2﹣47x+328≥48，∴0＜x≤7或x≥40（舍），∴x的取值范圍為0＜x≤7．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的實際應用．解題關鍵是理清售價、成本、利潤三者之間的關系．5．（2022?裕安區(qū)校級一模）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣傳月”期間，某商店銷售一批頭盔，進價為每頂40元，售價為每頂68元，平均每周可售出100頂．商店計劃將頭盔降價銷售，每頂售價不高于58元，經調查發(fā)現(xiàn)：每降價2元，平均每周可多售出40頂．（1）若該商店希望平均每周獲利4000元，則每頂頭盔應降價多少？（2）商店降價銷售后，決定每銷售1頂頭盔就向某慈善機構捐贈m元（m為整數(shù)，且1≤m≤5），幫助做“交通安全”宣傳．捐贈后發(fā)現(xiàn)，該商店每周銷售這種商品的利潤仍隨售價的增大而增大，求m的值．【分析】（1）設每頂頭盔應降價x元，則每頂頭盔的銷售利潤為（68﹣x﹣40）元，平均每周的銷售量為（100+20x）頂，根據(jù)每周銷售頭盔獲得的利潤＝每頂頭盔的銷售利潤×平均每周的銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，結合每頂售價不高于58元，即可確定x的值；（2）設每周扣除捐贈后可獲得利潤為w元，每頂頭盔售價為a元，利用每周銷售頭盔獲得的利潤＝每頂頭盔的銷售利潤×平均每周的銷售量，即可得出w關于a的函數(shù)關系式，利用二次函數(shù)的性質可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，再結合1≤m＜5且m為整數(shù)，即可得出m的值．【解答】解：（1）設每頂頭盔應降價x元，則每頂頭盔的銷售利潤為（68﹣x﹣40）元，平均每周的銷售量為（100+20x）頂，依題意得：（68﹣x﹣40）（100+20x）＝4000，整理得：x2﹣23x+60＝0，解得：x1＝3，x2＝20，∵68﹣x≤58，∴x≥10，∴x＝20．答：每頂頭盔應降價20元；（2）設每周扣除捐贈后可獲得利潤為w元，每頂頭盔售價為a元，依題意得：w＝[100+20（68﹣a）]（a﹣40﹣m）＝﹣20a2+（20m+2260）a﹣1460（40+m）．∵拋物線的對稱軸為a＝，開口向下，當a≤58時，利潤仍隨售價的增大而增大，∴≥58，解得：m≥3，又∵1≤m≤5，且m為整數(shù)，∴m＝3或m＝4或m＝5．【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，找出w關于a的函數(shù)關系式．6．（2022?常州一模）某區(qū)各街道居民積極響應“創(chuàng)文明社區(qū)”活動，據(jù)了解，某街道居民人口共有7.5萬人，街道劃分為A，B兩個社區(qū)，B社區(qū)居民人口數(shù)量不超過A社區(qū)居民人口數(shù)量的2倍．（1）求A社區(qū)居民人口至少有多少萬人？（2）街道工作人員調查A，B兩個社區(qū)居民對“社會主義核心價值觀”知曉情況發(fā)現(xiàn)：A社區(qū)有1.2萬人知曉，B社區(qū)有1萬人知曉，為了提高知曉率，街道工作人員用了兩個月的時間加強宣傳，A社區(qū)的知曉人數(shù)平均月增長率為m%，B社區(qū)的知曉人數(shù)第一個月增長了m%，第二個月增長了2m%，兩個月后，街道居民的知曉率達到76%，求m的值．【分析】（1）設A社區(qū)居民人口有x萬人，根據(jù)“B社區(qū)居民人口數(shù)量不超過A社區(qū)居民人口數(shù)量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A社區(qū)的知曉人數(shù)+B社區(qū)的知曉人數(shù)＝7.5×76%，據(jù)此列出關于m的方程并解答．【解答】解：（1）設A社區(qū)居民人口有x萬人，則B社區(qū)有（7.5﹣x）萬人，依題意得：7.5﹣x≤2x，解得x≥2.5．即A社區(qū)居民人口至少有2.5萬人；（2）依題意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%設m%＝a，方程可化為：1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7化簡得：32a2+54a﹣35＝0解得a＝0.5或a＝﹣（舍）∴m＝50答：m的值為50．【點評】本題考查了一元二次方程和一元一次不等式的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到題中相關數(shù)據(jù)的數(shù)量關系，列出不等式或方程．7．（2022?法庫縣模擬）某水果商場經銷一種高檔水果，原價每千克50元，連續(xù)兩次降價后每千克32元，若每次下降的百分率相同（1）求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經市場調查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，商場決定采取適當?shù)臐q價措施，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，且要盡快減少庫存，那么每千克應漲價多少元？【分析】（1）設每次降價的百分率為a，（1﹣a）2為兩次降價的百分率，50降至32就是方程的平衡條件，列出方程求解即可；（2）根據(jù)題意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根據(jù)題意確定其值．【解答】解：（1）設每次下降的百分率為a，根據(jù)題意，得：50（1﹣a）2＝32，解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，答：每次下降的百分率為20%；（2）設每千克應漲價x元，由題意，得（10+x）（500﹣20x）＝6000，整理，得x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10，因為要盡快減少庫存，所以x＝5符合題意．答：該商場要保證每天盈利6000元，那么每千克應漲價5元．【點評】此題主要考查了一元二次方程應用，關鍵是根據(jù)題意找到蘊含的相等關系，列出方程，解答即可．8．（2022?臺兒莊區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，點P從A點出發(fā)，以1cm/s的速度向B點移動，點Q從B點出發(fā)，以2cm/s的速度向C點移動，當一個點到達終點時，另一個點也隨即停止運動．如果P、Q兩點同時出發(fā)，經過幾秒后△PBQ的面積等于4cm2？【分析】作出輔助線，過點Q作QE⊥PB于E，即可得出△PQB的面積為，有P、Q點的移動速度，設時間為t秒時，可以得出PB、QE關于t的表達式，代入面積公式，即可得出答案．【解答】解：如圖，過點Q作QE⊥PB于E，則∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝?PB?QE．設經過t秒后△PBQ的面積等于4cm2，則PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）．根據(jù)題意，?（6﹣t）?t＝4．t2﹣6t+8＝0．t1＝2，t2＝4．當t＝4時，2t＝8，8＞7，不合題意舍去，取t＝2．答：經過2秒后△PBQ的面積等于4cm2．【點評】本題考查了一元二次方程的運用，注意求得的值的取舍問題．9．（2022?盂縣一模）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一動點P從C出發(fā)沿著CB邊以1cm/s的速度運動，另一動點Q從A出發(fā)沿著AC邊以2cm/s的速度運動，P，Q兩點同時出發(fā)，運動時間為t（s）．（1）當t為幾秒時，△PCQ的面積是△ABC面積的？（2）△PCQ的面積能否為△ABC面積的一半？若能，求出t的值；若不能，說明理由．【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式可以求出時間t；（2）由等量關系S△PCQ＝S△ABC列方程求出t的值，但方程無解．【解答】解：（1）∵S△PCQ＝t（8﹣2t），S△ABC＝×4×8＝16，∴t（8﹣2t）＝16×，整理得t2﹣4t+4＝0，解得t＝2．答：當t＝2s時△PCQ的面積為△ABC面積的；（2）當S△PCQ＝S△ABC時，t（8﹣2t）＝16×，整理得t2﹣4t+8＝0，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，∴此方程沒有實數(shù)根，∴△PCQ的面積不可能是△ABC面積的一半．【點評】考查三角形的面積公式及解一元二次方程，將數(shù)學知識運用在實際問題中．10．（2022?大連模擬）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分枝，主干，支干和小分枝的總數(shù)是73，每個支干長出多少分枝？【分析】設主干長出x個支干，每個支干又長出x個小分支，得方程1+x+x2＝73，整理求解即可．【解答】解：由題意得1+x+x?x＝73，即x2+x﹣72＝0，∴（x+9）（x﹣8）＝0，解得x1＝8，x2＝﹣9（舍去）答：每個支干長出8個小分支．【點評】本題設長為x個支干，把小分枝用x2表示是關鍵．11．（2022?廬陽區(qū)校級四模）某商店在2014年至2016年期間銷售一種禮盒．2014年，該商店用3500元購進了這種禮盒并且全部售完；2016年，這種禮盒的進價比2014年下降了11元/盒，該商店用2400元購進了與2014年相同數(shù)量的禮盒也全部售完，禮盒的售價均為60元/盒．（1）2014年這種禮盒的進價是多少元/盒？（2）若該商店每年銷售這種禮盒所獲利潤的年增長率相同，問年增長率是多少？【分析】（1）設2014年這種禮盒的進價為x元/盒，則2016年這種禮盒的進價為（x﹣11）元/盒，根據(jù)2014年花3500元與2016年花2400元購進的禮盒數(shù)量相同，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；（2）設年增長率為a，根據(jù)數(shù)量＝總價÷單價求出2014年的購進數(shù)量，再根據(jù)2014年的銷售利潤×（1+增長率）2＝2016年的銷售利潤，即可得出關于m的一元二次方程，解之即可得出結論．【解答】解：（1）設2014年這種禮盒的進價為x元/盒，則2016年這種禮盒的進價為（x﹣11）元/盒，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝35，經檢驗，x＝35是原方程的解．答：2014年這種禮盒的進價是35元/盒．（2）設年增長率為a，2014年的銷售數(shù)量為3500÷35＝100（盒）．根據(jù)題意得：（60﹣35）×100（1+a）2＝（60﹣35+11）×100，解得：a＝0.2＝20%或a＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：年增長率為20%．【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及分式方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，列出分式方程；（2）找準等量關系，列出一元二次方程．12．（2022?永州模擬）今年，我市某中學響應習總書記“足球進校園”的號召，開設了“足球大課間”活動，現(xiàn)需要購進100個某品牌的足球供學生使用．經調查，該品牌足球2015年單價為200元，2017年單價為162元．（1）求2015年到2017年該品牌足球單價平均每年降低的百分率；（2）選購期間發(fā)現(xiàn)該品牌足球在兩個文體用品商場有不同的促銷方案：試問去哪個商場購買足球更優(yōu)惠？【分析】（1）設2015年到2017年該品牌足球單價平均每年降低的百分率為x，根據(jù)2015年及2017年該品牌足球的單價，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其小于1的值即可得出結論；（2）根據(jù)兩商城的促銷方案，分別求出在兩商城購買100個該品牌足球的總費用，比較后即可得出結論．【解答】解：（1）設2015年到2017年該品牌足球單價平均每年降低的百分率為x，根據(jù)題意得：200×（1﹣x）2＝162，解得：x＝0.1＝10%或x＝1.9（舍去）．答：2015年到2017年該品牌足球單價平均每年降低的百分率為10%．（2）100×＝≈90.91（個），在A商城需要的費用為162×91＝14742（元），在B商城需要的費用為162×100×＝14580（元）．14742＞14580．答：去B商場購買足球更優(yōu)惠．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是：（1）根據(jù)2015年及2017年該品牌足球的單價，列出關于x的一元二次方程；（2）根據(jù)兩商城的促銷方案，分別求出在兩商城購買100個該品牌足球的總費用．13．（2022?祁陽縣校級模擬）某養(yǎng)殖戶每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本，其中固定成本每年均為4萬元，可變成本逐年增長，已知該養(yǎng)殖戶第1年的可變成本為2.6萬元，設可變成本平均每年增長的百分率為x．（1）用含x的代數(shù)式表示第3年的可變成本為2.6（1+x）2萬元；（2）如果該養(yǎng)殖戶第3年的養(yǎng)殖成本為7.146萬元，求可變成本平均每年增長的百分率x．【分析】（1）根據(jù)增長率問題由第1年的可變成本為2.6萬元就可以表示出第二年的可變成本為2.6（1+x），則第三年的可變成本為2.6（1+x）2，故得出答案；（2）根據(jù)養(yǎng)殖成本＝固定成本+可變成本建立方程求出其解即可【解答】解：（1）由題意，得第3年的可變成本為：2.6（1+x）2，故答案為：2.6（1+x）2；（2）由題意，得4+2.6（1+x）2＝7.146，解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合題意，舍去）．答：可變成本平均每年增長的百分率為10%．【點評】本題考查了增長率的問題關系的運用，列一元二次方程解實際問題的運用，一元二次方程的解法的運用，解答時根據(jù)增長率問題的數(shù)量關系建立方程是關鍵．四．高次方程（共1小題）14．（2022?揚州一模）已知x1、x2、x3為方程x3+3x2﹣9x﹣4＝0的三個實數(shù)根，則下列結論一定正確的是（）A．x1x2x3＜0 B．x1+x2﹣x3＞0 C．x1﹣x2﹣x3＞0 D．x1+x2+x3＜0【分析】由x3+3x2﹣9x﹣4＝0可得x2+3x﹣9＝則x1、x2、x3可以看作是拋物線y＝x2+3x﹣9與反比例函數(shù)y＝的三個交點的橫坐標，由此畫出函數(shù)圖象求解即可．【解答】解：∵x3+3x2﹣9x﹣4＝0，當x＝0時，﹣4≠0，∴x2+3x﹣9﹣＝0，∴x1、x2、x3可以看作是拋物線y＝x2+3x﹣9與反比例函數(shù)y＝的三個交點的橫坐標，由函數(shù)圖象可知x1x2x3＞0，x1+x2+x3＜0，根據(jù)已知條件無法判定x1+x2﹣x3＞0，x1﹣x2﹣x3＞0，故選：D．【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)與二次函數(shù)綜合，正確理解題意得到x1、x2、x3可以看作是拋物線y＝x2+3x﹣9與反比例函數(shù)y＝的三個交點的橫坐標是解題的關鍵．五．無理方程（共1小題）15．（2022?揭陽一模）小明用下面的方法求出方程2﹣3＝0的解，方程換元法得新方程解新方程檢驗求原方程的解2﹣3＝0令＝t，則2t﹣3＝0t＝t＝＞0，所以x＝請你仿照他的方法求出下面方程的解，并寫出你的解答過程．解方程：x+2﹣3＝0．【分析】把方程中的無理數(shù)變成有理數(shù)計算，后再解無理數(shù)，從而解得．【解答】解：x+2﹣3＝0，令，則t2+2t﹣3＝0，解得：t1＝1，t2＝﹣3（不合題意舍去），可得：，解得：x＝1．【點評】本題考查無理方程的計算，對無理方程部分設定未知數(shù)，求解后而最終求得未知數(shù)．六．分式方程的解（共2小題）16．（2022?渝中區(qū)校級模擬）已知關于x的一元一次不等式組的解集為x＞2，且關于y的分式方程＝1﹣的解為正整數(shù)，則所有滿足條件的所有整數(shù)a的和為（）A．2 B．5 C．6 D．9【分析】利用不等式組的解為x＞2，確定a的取值范圍，解分式方程，當解為正整數(shù)時求得a值，將符合條件的a值相加即可得出結論．【解答】解：∵不等式組的解集為x＞2，∴a﹣2≤2．∴a≤4．關于y的分式方程＝1﹣的解為y＝．∵y＝3是原分式方程的增根，∴≠3．∴a≠3．∵關于y的分式方程＝1﹣的解為正整數(shù)，∴為正整數(shù)．∴a＝2，4，7．∵a≤4，∴a＝2，4．∴所有滿足條件的所有整數(shù)a的和為：2+4＝6．故選：C．【點評】本題主要考查了解一元一次不等式組，分式方程的解，注意解分式方程可能產生增根是解題的關鍵．17．（2022?恩施市模擬）已知關于x的分式方程的解是非負數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m≤5且m≠﹣3 B．m≥5且m≠﹣3 C．m≤5且m≠3 D．m≥5且m≠3【分析】首先對原分式方程變形，其次解出分式方程的解，再根據(jù)分式方程解是非負數(shù)，最簡公分母不為0，列不等式，求出公共的解集即可．【解答】解：原分式方程可化為：﹣2＝，去分母，得1﹣m﹣2（x﹣1）＝﹣2，解得x＝，∵分式方程解是非負數(shù)，∴≥0，且≠1，∴m的取值范圍是：m≤5且m≠3，故選：C．【點評】本題考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含m的式子表示方程的解，根據(jù)方程的解為非負數(shù)，x﹣1≠0，列不等式組是解題關鍵．七．分式方程的應用（共26小題）18．（2022?江津區(qū)一模）2021年11月2日，重慶市九龍坡區(qū)、長壽區(qū)分別新增1例新冠本土確診．當疫情出現(xiàn)后，各級政府及有關部門高度重視，堅決阻斷疫情傳播．開州區(qū)趙家工業(yè)園區(qū)一家民營公司為了防疫需要，引進一條口罩生產線生產口罩，該產品有三種型號，通過市場調研后，按三種型號受消費者喜愛的程度分別對A型、B型、C型產品在成本的基礎上分別加價20%，30%，45%出售（三種型號的成本相同）．經過一個月的經營后，發(fā)現(xiàn)C型產品的銷量占總銷量的，且三種型號的總利潤率為35%．第二個月，公司決定對A型產品進行升級，升級后A型產品的成本提高了25%，銷量提高了20%；B型、C型產品的銷量和成本均不變，且三種產品在第二個月成本基礎上分別加價20%，30%，50%出售，則第二個月的總利潤率為36%．【分析】由題意得出A型、B型、C型三種型號產品利潤率分別為20%，30%，45%，設A型、B型、C型三種型號口罩原來的成本為a，A產品原銷量為x，B產品原銷量為y，C產品原銷量為z，由題意列出方程組，解得；第二個季度A產品成本為（1+25%）a＝，B、C的成本仍為a，A產品銷量為（1+20%）x＝，B產品銷量為y，C產品銷量為z，則可表示第二個月的總利潤率．【解答】解：由題意得：A型、B型、C型三種型號產品利潤率分別為20%，30%，45%，設A型、B型、C型三種型號產品原來的成本為a，A產品原銷量為x，B產品原銷量為y，C產品原銷量為z，由題意得：，解得：，第二個季度A產品的成本提高了25%，成本為：（1+25%）a＝，B、C的成本仍為a，A產品銷量為（1+20%）x＝，B產品銷量為y，C產品銷量為z，∴第二個季度的總利潤率為：＝＝＝36%，故答案為：36%．【點評】本題考查了利用三元一次方程組解實際問題，正確理解題意，設出未知數(shù)列出方程組是解題的關鍵．19．（2022?牡丹江二模）某商場準備購進A，B兩款凈水器，每臺A款凈水器比B款凈水器的進價少600元，用36000元購進A款凈水器的臺數(shù)是用27000元購進B款凈水器臺數(shù)的2倍，A，B兩款凈水器每臺售價分別是1350元、2100元．請解答下列問題：（1）A，B兩款凈水器每臺進價各是多少元？（2）若該商場用6萬元資金全部用于購進A和B兩款凈水器，購進B款凈水器不超過8臺，設購進A款凈水器a臺，則該商場有幾種進貨方案？（3）在（2）條件下，為促進銷售，商場推出每購買一臺凈水器可抽獎一次，中獎顧客贈送同款凈水器濾芯一個．A，B兩款凈水器每個濾芯的進價分別是400元、500元．如果這批凈水器全部售出，除去獎品的費用后仍獲利5250元，那么兩款凈水器濾芯共贈送多少個？請直接寫出答案．【分析】（1）設A款凈水器每臺x元，B款凈水器每臺（x+600）元，根據(jù)用36000元購進A款凈水器的臺數(shù)是用27000元購進B款凈水器臺數(shù)的2倍，列出分數(shù)方程，解方程即可；（2）由題意可知購進A款凈水器a臺，則購進BA款凈水器臺，根據(jù)購進B款凈水器不超過8臺，列出不等式，求不等式的整數(shù)解即可；（3）將（2）中方案代入進行求解即可．【解答】解：（1）設A款凈水器每臺x元，B款凈水器每臺（x+600）元，根據(jù)題意得，＝2×，解得：x＝1200，經檢驗x＝1200是原方程的根，此時x+600＝1800，答：A款凈水器每臺進價是1200元，B款凈水器每臺進價是1800元；（2）∵購進A款凈水器a臺，∴購進BA款凈水器臺，根據(jù)題意得：≤8，解得：a≥38，∵a，都是正整數(shù)，∴a＝47，44，41，38；＝2，4，6，8；∴該商場有4種進貨方案；（3）①當A款凈水器購進47臺，B款凈水器購進2臺時，47×（1350﹣1200）+2×（2100﹣1800）﹣5250＝2400（元），400×6+0＝2400（元），∴A款凈水器贈送6個，B款凈水器贈送0個，兩款凈水器濾芯共贈送6個；②當A款凈水器購進44臺，B款凈水器購進4臺+，44×（1350﹣1200）+4×（2100﹣1800）﹣5250＝2550（元），由于400、500不管以多少整數(shù)倍相加都不等于2550，故不符合題意；③當A款凈水器購進41臺，B款凈水器購進6臺，41×（1350﹣1200）+6×（2100﹣1800）﹣5250＝2700（元），400×3+500×3＝2700（元），∴A款凈水器贈送3個，B款凈水器贈送3個，兩款凈水器濾芯共贈送6個；④當A款凈水器購進38臺，B款凈水器購進8臺，38×（1350﹣1200）+8×（2100﹣1800）﹣5250＝2850（元），由于400、500不管以多少整數(shù)倍相加都不等于2850，故不符合題意；綜上所述，兩款凈水器濾芯共贈送6個．【點評】本題主要考查分式方程的應用，不等式的應用，正確理解題意列出關系式是解題的關鍵．20．（2022?東營二模）為了防止水土流失，某村開展綠化荒山活動，計劃經過若干年使本村綠化總面積新增360萬平方米．自2014年初開始實施后，實際每年綠化面積是原計劃的1.6倍，這樣可提前4年完成任務．問實際每年綠化面積多少萬平方米？【分析】設原計劃每年綠化面積為x萬平方米，則實際每年綠化面積為1.6x萬平方米．根據(jù)“實際每年綠化面積是原計劃的1.6倍，這樣可提前4年完成任務”列出方程．【解答】解：設原計劃每年綠化面積為x萬平方米，根據(jù)題意，得：解得：x＝33.75，經檢驗x＝33.75是原分式方程的解，則1.6x＝1.6×33.75＝54（萬平方米）．答：實際每年綠化面積為54萬平方米．【點評】此題考查了分式方程的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，根據(jù)題意設出適當?shù)奈粗獢?shù)，找出等量關系，列方程求解，注意檢驗．21．（2022?長春模擬）列方程解應用題：中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的“根”和“魂”，是我們必須世代傳承的文化根脈、文化基因．為傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校為各班購進《三國演義》和《水滸傳》連環(huán)畫若干套，其中每套《三國演義》連環(huán)畫的價格比每套《水滸傳》連環(huán)畫的價格貴60元，用4800元購買《水滸傳》連環(huán)畫的套數(shù)是用3600元購買《三國演義》連環(huán)畫套數(shù)的2倍，求每套《水滸傳》連環(huán)畫的價格．【分析】設每套《水滸傳》連環(huán)畫的價格是x元．則《三國演義》連環(huán)畫的價格是（x+60）元．根據(jù)“用4800元購買《水滸傳》連環(huán)畫的套數(shù)是用3600元購買《三國演義》連環(huán)畫套數(shù)的2倍”列出方程并解答．注意要驗根．【解答】解：設每套《水滸傳》連環(huán)畫的價格為x元，則每套《三國演義》連環(huán)畫的價格為（x+60）元．由題意，得＝2×解得x＝120經檢驗，x＝120是原方程的解，且符合題意．答：每套《水滸傳》連環(huán)畫的價格為120元．【點評】本題考查分式方程的應用，利用分式方程解應用題時，一般題目中會有兩個相等關系，這時要根據(jù)題目所要解決的問題，選擇其中的一個相等關系作為列方程的依據(jù)，而另一個則用來設未知數(shù)．22．（2022?章丘區(qū)模擬）山地自行車越來越受到大眾的喜愛，某車行經銷了某品牌的A、B兩型車，其經銷的A型車去年銷售總額為5萬元，今年每輛車的銷售價將比去年降低400元，若賣出的數(shù)量相同，銷售總額將比去年減少20%．其中A，B兩種型號車的進貨和銷售價格如下表：A型車B型車進貨價格（元）11001400銷售價格（元）今年的銷售價格2000試問：（1）今年A型車每輛售價多少元？（2）該車行計劃新進一批A型車和B型車共60輛（見上表），要使這批車獲利不少于33000元，A型車至多進多少輛？【分析】（1）設今年A型車每輛售價x元，則去年售價每輛為（x+400）元，由賣出的數(shù)量相同建立方程求出其解即可；（2）設今年新進A型車a輛，則B型車（60﹣a）輛，獲利不少于33000元，由條件表示出33000與a之間的關系式，進而得出答案．【解答】解：（1）設今年A型車每輛售價x元，則去年售價每輛為（x+400）元，由題意，得：＝，解得：x＝1600．經檢驗，x＝1600是原方程的根．答：今年A型車每輛售價1600元；（2）設今年新進A型車a輛，則B型車（60﹣a）輛，由題意，得（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（60﹣a）≥33000，解得：a≤30，故要使這批車獲利不少于33000元，A型車至多進30輛．【點評】本題考查了列分式方程解實際問題的運用以及一元一次不等式的應用，得出正確不等關系是解題關鍵．23．（2022?南崗區(qū)校級一模）某中學為了創(chuàng)建書香校園，去年購買了一批圖書．其中故事書的單價比文學書的單價多4元，用1200元購買的故事書與用800元購買的文學書數(shù)量相等．（1）求去年購買的文學書和故事書的單價各是多少元？（2）若今年文學書的單價比去年提高了25%，故事書的單價與去年相同，這所中學今年計劃再購買文學書和故事書共200本，且購買文學書和故事書的總費用不超過2120元，這所中學今年至少要購買多少本文學書？【分析】（1）設去年文學書單價為x元，則故事書單價為（x+4）元，根據(jù)用1200元購買的故事書與用800元購買的文學書數(shù)量相等，列出方程，再進行檢驗即可得出答案；（2）設這所學校今年購買y本文學書，根據(jù)購買文學書和故事書的總費用不超過2120元，列出不等式，求出不等式的解集即可得出答案．【解答】解：（1）設去年文學書單價為x元，則故事書單價為（x+4）元，根據(jù)題意得：，解得：x＝8，經檢驗x＝8是原方程的解，當x＝8時x+4＝12，答：去年文學書單價為8元，則故事書單價為12元．（2）設這所學校今年購買y本文學書，根據(jù)題意得．8×（1+25%）y+12（200﹣y）≤2120，y≥140，∴y最小值是140；答：這所中學今年至少要購買140本文學書．【點評】此題考查了分式方程和一元一次不等式的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵，注意分式方程要檢驗．24．（2022?南崗區(qū)校級二模）某商品經銷店欲購進A、B兩種紀念品，用160元購進的A種紀念品與用240元購進的B種紀念品的數(shù)量相同，每件B種紀念品的進價比A種紀念品的進價貴10元．（1）求A、B兩種紀念品每件的進價分別為多少元？（2）若該商店A種紀念品每件售價24元，B種紀念品每件售價35元，這兩種紀念品共購進1000件，這兩種紀念品全部售出后總獲利不低于4900元，求A種紀念品最多購進多少件．【分析】（1）設A種紀念品每件的進價為x元，則B種紀念品每件的進價（x+10）元，根據(jù)用160元購進的A種紀念品與用240元購進的B種紀念品的數(shù)量相同列出方程，再解即可；（2）設A種紀念品購進a件，由題意得不等關系：A種紀念品的總利潤+B種紀念品的總利潤≥4900元，根據(jù)不等關系列出不等式，再解即可．【解答】解：（1）設A種紀念品每件的進價為x元，則B種紀念品每件的進價（x+10）元，由題意得：＝，解得：x＝20，經檢驗：x＝20是原分式方程的解，x+10＝30，答：A種紀念品每件的進價為20元，則B種紀念品每件的進價30元；（2）設A種紀念品購進a件，由題意得：（24﹣20）a+（35﹣30）（1000﹣a）≥4900，解得：a≤100，∵a為整數(shù)，∴a的最大值為100．答：A種紀念品最多購進100件．【點評】此題主要考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系或不等關系，再列出不等式或方程組即可．25．（2022?揚州三模）某學校準備組織部分學生到少年宮參加活動，陳老師從少年宮帶回來兩條信息：信息一：按原來報名參加的人數(shù)，共需要交費用320元，如果參加的人數(shù)能夠增加到原來人數(shù)的2倍，就可以享受優(yōu)惠，此時只需交費用480元；信息二：如果能享受優(yōu)惠，那么參加活動的每位同學平均分攤的費用比原來少4元．根據(jù)以上信息，現(xiàn)在報名參加的學生有多少人？【分析】設原來報名參加的學生有x人，根據(jù)原來每位同學平均分攤的費用﹣參加活動后的每位同學平均分攤的費用＝4元，列出方程，再進行求解即可．【解答】解：設原來報名參加的學生有x人，依題意，得﹣＝4，解這個方程，得x＝20．經檢驗，x＝20是原方程的解且符合題意．答：現(xiàn)在報名參加的學生有40人．【點評】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關系，列出方程是解決問題的關鍵；注意分式方程要檢驗．26．（2022?包頭模擬）甲、乙兩個工程隊計劃參與一項工程建設，甲隊單獨施工30天完成該項工程的，這時乙隊加入，兩隊還需同時施工15天，才能完成該項工程．（1）若乙隊單獨施工，需要多少天才能完成該項工程？（2）若甲隊參與該項工程施工的時間不超過36天，則乙隊至少施工多少天才能完成該項工程？【分析】（1）直接利用隊單獨施工30天完成該項工程的，這時乙隊加入，兩隊還需同時施工15天，進而利用總工作量為1得出等式求出答案；（2）直接利用甲隊參與該項工程施工的時間不超過36天，得出不等式求出答案．【解答】解：（1）設乙隊單獨施工，需要x天才能完成該項工程，∵甲隊單獨施工30天完成該項工程的，∴甲隊單獨施工90天完成該項工程，根據(jù)題意可得：+15（+）＝1，解得：x＝30，檢驗得：x＝30是原方程的根，答：乙隊單獨施工，需要30天才能完成該項工程；（2）設乙隊參與施工y天才能完成該項工程，根據(jù)題意可得：×36+y×≥1，解得：y≥18，答：乙隊至少施工18天才能完成該項工程．【點評】此題主要考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，正確得出等量關系是解題關鍵．27．（2022?朝陽區(qū)校級模擬）某市政工程隊承擔著1200米長的道路維修任務．為了減少對交通的影響，在維修了240米后通過增加人數(shù)和設備提高了工程進度，工作效率是原來的4倍，結果共用了6小時就完成了任務．求原來每小時維修多少米？【分析】設原來每小時維修x米，則后來每小時維修4x米，等量關系是：原來維修240米所用時間+后來維修（1200﹣240）米所用時間＝6小時，依此列出方程求解即可．【解答】解：設原來每小時維修x米．根據(jù)題意得+＝6，解得x＝80，經檢驗，x＝80是原方程的解，且符合題意．答：原來每小時維修80米．【點評】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．28．（2022?本溪模擬）東東玩具商店用500元購進一批悠悠球，很受中小學生歡迎，悠悠球很快售完，接著又用900元購進第二批這種悠悠球，所購數(shù)量是第一批數(shù)量的1.5倍，但每套進價多了5元．（1）求第一批悠悠球每套的進價是多少元；（2）如果這兩批悠悠球每套售價相同，且全部售完后總利潤不低于25%，那么每套悠悠球的售價至少是多少元？【分析】（1）設第一批悠悠球每套的進價是x元，則第二批悠悠球每套的進價是（x+5）元，根據(jù)數(shù)量＝總價÷單價結合第二批購進數(shù)量是第一批數(shù)量的1.5倍，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；（2）設每套悠悠球的售價為y元，根據(jù)銷售收入﹣成本＝利潤結合全部售完后總利潤不低于25%，即可得出關于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結論．【解答】解：（1）設第一批悠悠球每套的進價是x元，則第二批悠悠球每套的進價是（x+5）元，根據(jù)題意得：＝1.5×，解得：x＝25，經檢驗，x＝25是原分式方程的解．答：第一批悠悠球每套的進價是25元．（2）設每套悠悠球的售價為y元，根據(jù)題意得：500÷25×（1+1.5）y﹣500﹣900≥（500+900）×25%，解得：y≥35．答：每套悠悠球的售價至少是35元．【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式．29．（2022?豐澤區(qū)校級模擬）現(xiàn)有一工程由甲工程隊單獨完成這工程，剛好如期完成，若由乙工程隊單獨完成此項工程，則要比規(guī)定工期多用6天，現(xiàn)先由甲乙兩隊合做3天，余下的工程再由乙隊單獨完成，也正好如期完成．（1）求該工程規(guī)定的工期天數(shù)；（2）若甲工程隊每天的費用為0.5萬元，乙工程隊每天的費用為0.4萬元，該工程總預算不超過3.9萬元，問甲工程隊至少要工作幾天？【分析】（1）設這項工程規(guī)定的工期天數(shù)為x天，根據(jù)甲工程隊完成的工程+乙工程隊完成的工程＝整個工程，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；（2）由甲、乙兩隊單獨完成該工程所需時間可得出甲工程隊的工作效率是乙工程隊的2倍，設甲工程隊工作y天，則乙工程隊工作（12﹣2y）天，根據(jù)總費用＝0.5×甲工程隊工作時間+0.4×乙工程隊工作時間，即可得出關于y的一元一次不等式，解之即可得出結論．【解答】解：（1）設這項工程規(guī)定的工期天數(shù)為x天，根據(jù)題意得：+＝1，解得：x＝6，經檢驗，x＝6是原方程的根，且符合題意．答：該工程規(guī)定的工期天數(shù)為6天．（2）∵6+6＝12（天），∴甲工程隊的工作效率是乙工程隊的2倍．設甲工程隊工作y天，則乙工程隊工作（12﹣2y）天，根據(jù)題意得：0.5y+0.4（12﹣2y）≤3.9，解得：y≥3．答：甲工程隊至少要工作3天．【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量間的關系，正確列出一元一次不等式．30．（2022?平房區(qū)校級模擬）某工廠簽了1200件商品訂單，要求不超過15天完成．現(xiàn)有甲、乙兩個車間來完成加工任務．已知甲車間的加工能力是乙車間加工能力的1.5倍，并且加工240件需要的時間甲車間比乙車間少用2天．（1）求甲、乙每個車間的加工能力每天各是多少件？（2）甲、乙兩個車間共同生產了若干天后，甲車間接到新任務，留下乙車間單獨完成剩余工作，求甲、乙兩車間至少合作多少天，才能保證完成任務．【分析】（1）設乙車間的加工能力每天是x件，則甲車間的加工能力每天是1.5x件．根據(jù)加工240件需要的時間甲車間比乙車間少用2天列出方程，求解即可；（2）設甲、乙兩車間合作m天，才能保證完成任務．根據(jù)兩車間合作的天數(shù)+乙車間單獨完成剩余工作的≤15列出不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）設乙車間的加工能力每天是x件，則甲車間的加工能力每天是1.5x件．根據(jù)題意得：﹣＝2，解得：x＝40．經檢驗x＝40是方程的解，則1.5x＝60．答：甲、乙每個車間的加工能力每天分別是60件和40件；（2）設甲、乙兩車間合作m天，才能保證完成任務．根據(jù)題意得：m+[1200﹣（40+60）m]÷40≤15，解得m≥10．答：甲、乙兩車間至少合作10天，才能保證完成任務．【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用．解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，進而找到所求的量的數(shù)量關系．31．（2022?松北區(qū)三模）甲、乙兩個工程隊計劃修建一條長15千米的鄉(xiāng)村公路，已知甲工程隊每天比乙工程隊每天多修路0.5千米，乙工程隊單獨完成修路任務所需天數(shù)是甲工程隊單獨完成修路任務所需天數(shù)的1.5倍．（1）求甲、乙兩個工程隊每天各修路多少千米？（2）若甲工程隊每天的修路費用為0.5萬元，乙工程隊每天的修路費用為0.4萬元，要使兩個工程隊修路總費用不超過5.2萬元，甲工程隊至少修路多少天？【分析】（1）可設甲每天修路x千米，則乙每天修路（x﹣0.5）千米，則可表示出修路所用的時間，可列分式方程，求解即可；（2）設甲修路a天，則可表示出乙修路的天數(shù)，從而可表示出兩個工程隊修路的總費用，由題意可列不等式，求解即可．【解答】解：（1）設甲每天修路x千米，則乙每天修路（x﹣0.5）千米，根據(jù)題意，可列方程：1.5×＝，解得x＝1.5，經檢驗x＝1.5是原方程的解，且x﹣0.5＝1，答：甲每天修路1.5千米，則乙每天修路1千米；（2）設甲修路a天，則乙需要修（15﹣1.5a）千米，∴乙需要修路＝15﹣1.5a（天），由題意可得0.5a+0.4（15﹣1.5a）≤5.2，解得a≥8，答：甲工程隊至少修路8天．【點評】本題主要考查分式方程及一元一次不等式的應用，找出題目中的等量（或不等）關系是解題的關鍵，注意分式方程需要檢驗．32．（2022?博白縣校級模擬）五月初，我市多地遭遇了持續(xù)強降雨的惡劣天氣，造成部分地區(qū)出現(xiàn)嚴重洪澇災害，某愛心組織緊急籌集了部分資金，計劃購買甲、乙兩種救災物品共2000件送往災區(qū)，已知每件甲種物品的價格比每件乙種物品的價格貴10元，用350元購買甲種物品的件數(shù)恰好與用300元購買乙種物品的件數(shù)相同（1）求甲、乙兩種救災物品每件的價格各是多少元？（2）經調查，災區(qū)對乙種物品件數(shù)的需求量是甲種物品件數(shù)的3倍，若該愛心組織按照此需求的比例購買這2000件物品，需籌集資金多少元？【分析】（1）設每件乙種物品的價格是x元，則每件甲種物品的價格是（x+10）元，根據(jù)用350元購買甲種物品的件數(shù)恰好與用300元購買乙種物品的件數(shù)相同列出方程，求解即可；（2）設甲種物品件數(shù)為m件，則乙種物品件數(shù)為3m件，根據(jù)該愛心組織按照此需求的比例購買這2000件物品列出方程，求解即可．【解答】解：（1）設每件乙種物品的價格是x元，則每件甲種物品的價格是（x+10）元，根據(jù)題意得，＝，解得：x＝60．經檢驗，x＝60是原方程的解，x+10＝60+10＝70．答：甲、乙兩種救災物品每件的價格各是70元、60元；（2）設甲種物品件數(shù)為m件，則乙種物品件數(shù)為3m件，根據(jù)題意得，m+3m＝2000，解得m＝500，即甲種物品件數(shù)為500件，則乙種物品件數(shù)為1500件，此時需籌集資金：70×500+60×1500＝125000（元）．答：若該愛心組織按照此需求的比例購買這2000件物品，需籌集資金125000元．【點評】本題考查分式方程、一元一次方程的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．33．（2022?泰安模擬）某商家預測一種應季襯衫能暢銷市場，就用13200元購進了一批這種襯衫，面市后果然供不應求，商家又用28800元購進了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進量的2倍，但單價貴了10元．（1）該商家購進的第一批襯衫是多少件？（2）若兩批襯衫按相同的標價銷售，最后剩下50件按八折優(yōu)惠賣出，如果兩批襯衫全部售完后利潤率不低于25%（不考慮其他因素），那么每件襯衫的標價至少是多少元？【分析】（1）可設該商家購進的第一批襯衫是x件，則購進第二批這種襯衫是2x件，根據(jù)第二批這種襯衫單價貴了10元，列出方程求解即可；（2）設每件襯衫的標價y元，求出利潤表達式，然后列不等式解答．【解答】解：（1）設該商家購進的第一批襯衫是x件，則購進第二批這種襯衫是2x件，依題意有+10＝，解得x＝120，經檢驗，x＝120是原方程的解，且符合題意．答：該商家購進的第一批襯衫是120件．（2）3x＝3×120＝360，設每件襯衫的標價y元，依題意有（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），解得y≥150．答：每件襯衫的標價至少是150元．【點評】本題考查了分式方程的應用和一元一次不等式的應用，弄清題意并找出題中的數(shù)量關系并列出方程是解題的關鍵．34．（2022?東平縣模擬）榮慶公司計劃從商店購買同一品牌的臺燈和手電筒，已知購買一個臺燈比購買一個手電筒多用20元，若用400元購買臺燈和用160元購買手電筒，則購買臺燈的個數(shù)是購買手電筒個數(shù)的一半．（1）求購買該品牌一個臺燈、一個手電筒各需要多少元？（2）經商談，商店給予榮慶公司購買一個該品牌臺燈贈送一個該品牌手電筒的優(yōu)惠，如果榮慶公司需要手電筒的個數(shù)是臺燈個數(shù)的2倍還多8個，且該公司購買臺燈和手電筒的總費用不超過670元，那么榮慶公司最多可購買多少個該品牌臺燈？【分析】（1）設購買該品牌一個手電筒需要x元，則購買一個臺燈需要（x+20）元．則根據(jù)等量關系：購買臺燈的個數(shù)是購買手電筒個數(shù)的一半，列出方程；（2）設公司購買臺燈的個數(shù)為a，則還需要購買手電筒的個數(shù)是（2a+8）個，則根據(jù)“該公司購買臺燈和手電筒的總費用不超過670元”列出不等式．【解答】解：（1）設購買該品牌一個手電筒需要x元，則購買一個臺燈需要（x+20）元．根據(jù)題意得＝×解得x＝5經檢驗，x＝5是原方程的解．所以x+20＝25．答：購買一個臺燈需要25元，購買一個手電筒需要5元；（2）設公司購買臺燈的個數(shù)為a，則還需要購買手電筒的個數(shù)是（2a+8﹣a）由題意得25a+5（2a+8﹣a）≤670解得a≤21∴榮慶公司最多可購買21個該品牌的臺燈．【點評】本題考查了一元一次不等式和分式方程的應用．解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，進而找到所求的量的等量（不等量）關系．35．（2022?諸城市一模）某校為美化校園，計劃對面積為1800m2的區(qū)域進行綠化，安排甲、乙兩個工程隊完成．已知甲隊每天能完成綠化的面積是乙隊每天能完成綠化的面積的2倍，并且在獨立完成面積為400m2區(qū)域的綠化時，甲隊比乙隊少用4天．（1）求甲、乙兩工程隊每天能完成綠化的面積分別是多少m2？（2）若學校每天需付給甲隊的綠化費用為0.4萬元，乙隊為0.25萬元，要使這次的綠化總費用不超過8萬元，至少應安排甲隊工作多少天？【分析】（1）設乙工程隊每天能完成綠化的面積是x（m2），根據(jù)在獨立完成面積為400m2區(qū)域的綠化時，甲隊比乙隊少用4天，列出方程，求解即可；（2）設應安排甲隊工作y天，根據(jù)這次的綠化總費用不超過8萬元，列出不等式，求解即可．【解答】解：（1）設乙工程隊每天能完成綠化的面積是x（m2），根據(jù)題意得：﹣＝4，解得：x＝50，經檢驗x＝50是原方程的解，則甲工程隊每天能完成綠化的面積是50×2＝100（m2），答：甲、乙兩工程隊每天能完成綠化的面積分別是100m2、50m2；（2）設應安排甲隊工作y天，根據(jù)題意得：0.4y+×0.25≤8，解得：y≥10，答：至少應安排甲隊工作10天．【點評】此題考查了分式方程的應用，關鍵是分析題意，找到合適的數(shù)量關系列出方程和不等式，解分式方程時要注意檢驗．36．（2022?道外區(qū)二模）興發(fā)服裝店老板用4500元購進一批某款T恤衫，由于深受顧客喜愛，很快售完，老板又用4950元購進第二批該款式T恤衫，所購數(shù)量與第一批相同，但每件進價比第一批多了9元．（1）第一批該款式T恤衫每件進價是多少元？（2）老板以每件120元的價格銷售該款式T恤衫，當?shù)诙鶷恤衫售出時，出現(xiàn)了滯銷，于是決定降價促銷，若要使第二批的銷售利潤不低于650元，剩余的T恤衫每件售價至少要多少元？（利潤＝售價﹣進價）【分析】（1）設第一批T恤衫每件進價是x元，則第二批每件進價是（x+9）元，再根據(jù)等量關系：第二批進的件數(shù)＝第一批進的件數(shù)可得方程；（2）設剩余的T恤衫每件售價y元，由利潤＝售價﹣進價，根據(jù)第二批的銷售利潤不低于650元，可列不等式求解．【解答】解：（1）設第一批T恤衫每件進價是x元，由題意，得＝，解得x＝90，經檢驗x＝90是分式方程的解，符合題意．答：第一批T恤衫每件的進價是90元；（2）設剩余的T恤衫每件售價y元．由（1）知，第二批購進＝50（件）．由題意，得120×50×+y×50×﹣4950≥650，解得y≥80．答：剩余的T恤衫每件售價至少要80元．【點評】本題考查分式方程、一元一次不等式的應用，關鍵是根據(jù)數(shù)量作為等量關系列出方程，根據(jù)利潤作為不等關系列出不等式求解．37．（2022?保定一模）甲、乙兩人準備整理一批新到的實驗器材．若甲單獨整理需要40分鐘完工：若甲、乙共同整理20分鐘后，乙需再單獨整理20分鐘才能完工．（1）問乙單獨整理多少分鐘完工？（2）若乙因工作需要，他的整理時間不超過30分鐘，則甲至少整理多少分鐘才能完工？【分析】（1）將總的工作量看作單位1，根據(jù)本工作分兩段時間完成列出分式方程解之即可；（2）設甲整理y分鐘完工，根據(jù)整理時間不超過30分鐘，列出一次不等式解之即可．【解答】解：（1）設乙單獨整理x分鐘完工，根據(jù)題意得：，解得x＝80，經檢驗x＝80是原分式方程的解．答：乙單獨整理80分鐘完工．（2）設甲整理y分鐘完工，根據(jù)題意，得，解得：y≥25，答：甲至少整理25分鐘完工．【點評】分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．此題等量關系比較多，主要用到公式：工作總量＝工作效率×工作時間．38．（2022?營口模擬）南寧市2006年的污水處理量為10萬噸/天，2007年的污水處理量為34萬噸/天，2007年平均每天的污水排放量是2006年平均每天污水排放量的1.05倍，若2007年每天的污水處理率比2006年每天的污水處理率提高40%（污水處理率＝）．（1）求南寧市2006年、2007年平均每天的污水排放量分別是多少萬噸？（結果保留整數(shù)）（2）預計我市2010年平均每天的污水排放量比2007年平均每天污水排放量增加20%，按照國家要求“2010年省會城市的污水處理率不低于70%”，那么我市2010年每天污水處理量在2007年每天污水處理量的基礎上至少還需要增加多少萬噸，才能符合國家規(guī)定的要求？【分析】（1）關鍵描述語是：2007年每天的污水處理率比2006年每天的污水處理率提高40%．等量關系為：2007年每天的污水處理率﹣2006年每天的污水處理率＝40%；（2）關系式為：2010年污水處理率≥70%．【解答】解：（1）設2006年平均每天的污水排放量為x萬噸，則2007年平均每天的污水排放量為1.05x萬噸，依題意得：（4分）解得：x≈56（5分）經檢驗，x≈56是原方程的解（6分）∴1.05x≈59答：2006年平均每天的污水排放量約為56萬噸，2007年平均每天的污水排放量約為59萬噸．（7分）（2）設2010年平均每天的污水處理量還需要在2007年的基礎上至少增加y萬噸，（8分）依題意得：≥70%（9分）解得y≥15.56答：2010年平均每天的污水處理量還需要在2007年的基礎上至少增加15.56萬噸．【點評】分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系，是解決問題的關鍵．此題還要套用題中給出的公式：污水處理率＝．39．（2022?市中區(qū)校級模擬）在汕頭市“創(chuàng)文”活動中，一項綠化工程由甲、乙兩工程隊承擔．已知甲工程隊單獨完成這項工作需120天，甲工程隊單獨工作30天后，乙工程隊參與合做，兩隊又共同工作了36天完成．（1）求乙工程隊單獨完成這項工作需要多少天？（2）因工期的需要，將此項工程分成兩部分，甲做其中一部分用了a天完成，乙做另一部分用了y天完成．若乙工程隊還有其它工作任務，最多只能做52天．求甲工程隊至少應做多少天？【分析】（1）設乙工程隊單獨完成這項工作需要x天，由題意列出分式方程，求出x的值即可；（2）首先根據(jù)題意列出a和y的關系式，進而求出a的取值范圍，結合a和y都是正整數(shù)，即可求出a的值．【解答】解：（1）設乙工程隊單獨完成這項工作需要x天，由題意得：+（+）×36＝1，解得：x＝80，經檢驗x＝80是原方程的解．答：乙工程隊單獨做需要80天完成．（2）因為甲工程隊做其中一部分用了a天，乙工程隊做另一部分用了y天，依題意得：+＝1，解得：y＝80﹣a，∵y≤52，∴80﹣a≤52，解得：a≥42，答：甲工程隊至少應做42天．【點評】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．此題涉及的公式：工作總量＝工作效率×工作時間．40．（2022?旌陽區(qū)校級模擬）我校在開學前去商場購進A，B兩種品牌的乒乓球拍，購買A品牌球拍共花費1800元，購買B品牌球拍共花費700元，且購買A品牌球拍數(shù)量是購買B品牌球拍的3倍，已知購買一副B品牌球拍比購買一副A品牌球拍多花5元．（1）求購買一副A品牌、一副B品牌球拍各需多少元？（2）為了進一步發(fā)展“校園乒