此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場(chǎng)號(hào)座位號(hào)立體幾何初步（A）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．下面關(guān)于空間幾何體的定義或結(jié)構(gòu)特征敘述錯(cuò)誤的是（）A．空間中把一個(gè)平行四邊形按某一方向平移所形成的幾何體是四棱柱B．有兩個(gè)側(cè)面都是矩形的三棱柱，它的側(cè)棱垂直于底面C．以直角三角形一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐D．底面是正多邊形的棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影一定是底面正多邊形的中心【答案】D【解析】對(duì)于A，由四棱柱的定義：空間中把一個(gè)平行四邊形按某一方向平移所形成的幾何體是四棱柱，故A正確；對(duì)于B，根據(jù)直線與平面的判定定理，得到這兩個(gè)側(cè)面的交線垂直于底面，是真命題，故B正確；對(duì)于C，由圓錐的定義：以直角三角形一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐，故C正確；對(duì)于D，底面是正多邊形的棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影不一定是底面正多邊形的中心，故D錯(cuò)誤，故選D．2．正四面體的棱長(zhǎng)為，，分別為，中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如題所示：連接，，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，同理．又因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，所以，故選A．3．直角三角形的三邊滿足，分別以，，三邊為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積記為、、，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】直角三角形的三邊滿足，分別以，，三邊為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積記為、、，，，該直角三角形斜邊上的高滿足，可得，，，，，故選A．4．設(shè)、是兩條不同的直線，是平面，、不在內(nèi)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．，，則 B．，，則C．，，則 D．，，則【答案】D【解析】對(duì)于A，，由線面平行的性質(zhì)定理可知，過(guò)直線的平面與平面的交線平行于，，，，，故A正確；對(duì)于B，若，，由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得，故B正確；對(duì)于C，若，，則或，又，，故C正確；對(duì)于D，若，，則或與相交或，而，則或與相交，故D錯(cuò)誤，故選D．5．如圖，在三棱柱中，，，底面，則異面直線與所成角的余弦值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】在三棱柱中，，異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，連接，底面，平面，，又，，平面，又平面，，由，可得，，，又，，在中，，即異面直線與所成角的余弦值為，故選A．6．如圖，圓錐的母線長(zhǎng)為4，點(diǎn)M為母線AB的中點(diǎn)，從點(diǎn)M處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達(dá)到B點(diǎn)，這條繩子的長(zhǎng)度最短值為，則此圓錐的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)底面圓半徑為，由母線長(zhǎng)，可知側(cè)面展開圖扇形的圓心角為，將圓錐側(cè)面展開成一個(gè)扇形，從點(diǎn)M拉一繩子圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)B，最短距離為BM；如圖，在中，，，，所以，所以，故，解得，所以圓錐的表面積為，故選B．7．已知一個(gè)圓柱的表面積等于側(cè)面積的，且其軸截面的周長(zhǎng)為16，則該圓柱的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，∵圓柱的側(cè)面積等于表面積的，且其軸截面的周長(zhǎng)是16，∴，解得，∴圓柱的體積為，故選B．8．如圖，在矩形中，已知，E是的中點(diǎn)，將沿直線翻折成，連接．若當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，三棱錐外接球的體積為，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在矩形中，已知，E是的中點(diǎn)，所以為等腰直角三角形，斜邊上的高為，要想三棱錐的體積最大，需高最大，則平面面時(shí)體積最大，此時(shí)平面，三棱錐的高等于，因?yàn)槿忮F外接球的體積為，可得，解得，取的中點(diǎn)H，連接，，，由平面，得平面，∴，由已知是正方形，，且與平分于，∴，即為外接球球心，∴，即，故選B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9．如圖，在棱長(zhǎng)均相等的四棱錐中，為底面正方形的中心，，分別為側(cè)棱，的中點(diǎn)，有下列結(jié)論正確的有（）A．平面B．平面平面C．直線與直線所成角的大小為D．【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A，連接BD，顯然O為BD的中點(diǎn)，又N為PB的中點(diǎn)，所以，由線面平行的判定定理可得平面；選項(xiàng)B，由，分別為側(cè)棱，的中點(diǎn)，得，又底面為正方形，所以，由線面平行的判定定理可得，平面OMN，又選項(xiàng)A得平面，由面面平行的判定定理可得，平面平面；選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以為直線與直線所成的角，又因?yàn)樗欣忾L(zhǎng)都相等，所以，故直線與直線所成角的大小為；選項(xiàng)D，因底面為正方形，所以，又所有棱長(zhǎng)都相等，所以，故，又，所以，故ABD均正確．10．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，截面與直線平行，與交于點(diǎn)E，則下列判斷正確的是（）A．E為的中點(diǎn)B．平面C．與所成的角為D．三棱錐與四棱錐的體積之比等于．【答案】ABD【解析】對(duì)于A，連接交于點(diǎn)，連接，如圖所示，面，面，且面面，，又四邊形是正方形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，面，面，，又，，，面，面，故B正確；對(duì)于C，，為與所成的角，面，面，，在中，，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由等體積法可得，，又，，，故D正確，故選ABD．11．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，側(cè)面為正三角形，且平面平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A．在棱上存在點(diǎn)M，使平面B．異面直線與所成的角為90°C．二面角的大小為45°D．平面【答案】ABC【解析】如圖，對(duì)于A，取的中點(diǎn)，連接，，∵側(cè)面為正三角形，，又底面是菱形，，是等邊三角形，，又，，平面，平面，故A正確；對(duì)于B，平面，，即異面直線與所成的角為90°，故B正確；對(duì)于C，∵平面平面，，平面，，，是二面角的平面角，設(shè)，則，，在中，，即，故二面角的大小為45°，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)榕c不垂直，所以與平面不垂直，故D錯(cuò)誤，故選ABC．12．如圖，在菱形中，，，將沿對(duì)角線翻折到位置，連結(jié)，則在翻折過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（）A．與平面所成的最大角為B．存在某個(gè)位置，使得C．當(dāng)二面角的大小為時(shí)，D．存在某個(gè)位置，使得到平面的距離為【答案】BC【解析】如圖所示：A項(xiàng)：取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，是線段的中點(diǎn)，所以，，，平面，平面，所以平面，所以平面，所以在平面的射影為，即與平面所成角，，三角形是等腰三角形，當(dāng)時(shí)，與平面所成角為，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，可得，，故平面，，故B正確；C項(xiàng)：因?yàn)樗倪呅问橇庑危蔷€段的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)槭瞧矫媾c平面的交線，所以即平面與平面所成角，因?yàn)槎娼堑拇笮椋?，因?yàn)椋?，故C正確；D項(xiàng)：因?yàn)椋匀绻狡矫娴木嚯x為，則平面，，，，，則，顯然不可能，故D錯(cuò)誤，故選BC．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知邊長(zhǎng)為1的菱形中，，則用斜二測(cè)畫法畫出這個(gè)菱形的直觀圖的面積為__________．【答案】【解析】菱形中，，，則菱形的面積為，所以用斜二測(cè)畫法畫出這個(gè)菱形的直觀圖面積為．14．某組合體如圖所示，上半部分是正四棱錐，下半部分是長(zhǎng)方體．正四棱錐的高為，，，則該組合體的表面積為____________．【答案】20【解析】由題意，正四棱錐的斜高為，該組合體的表面積為．15．已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，、是底面圓周上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)判斷，其中正確的是_________．①圓錐的側(cè)面積為；②母線與圓錐底面所成角的大小為60°；③可能為等腰直角三角形；④面積的最大值為．【答案】②④【解析】如圖，設(shè)為底面圓的圓心，則為圓錐的高．設(shè)圓錐的母線為，由底面半徑為1，所以底面圓的周長(zhǎng)為，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則此半圓的半徑為，此半圓的半圓弧長(zhǎng)，所以，所以側(cè)面展開圖的面積為，所以①不正確；由圓錐的性質(zhì)可知與圓錐底面所成角為，則，所以，所以②正確；在中，，，不可能為直角三角形，所以③不正確；在中，，由，所以，所以，所以，所以④正確，故正確的判斷為②④． 16．如圖，四棱錐的底面為矩形，側(cè)棱底面ABCD，且，E，F(xiàn)分別是線段PA，PD的中點(diǎn)，H在線段AB上．若平面平面EFH，則__________AB，若，，則點(diǎn)D到平面PAC的距離為__________．【答案】，【解析】平面平面，面平面，面平面，．又是線段的中點(diǎn)，在線段上，是的中點(diǎn)，故，過(guò)作于，側(cè)棱底面，，且，面，線段的長(zhǎng)就是點(diǎn)到平面的距離．在直角三角形中，，．故答案為，．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，，，分別是，，的中點(diǎn)，求證：（1）直線平面；（2）平面平面．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】證明：（1）如圖，連接，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)槠矫?，平面，所以直線平面．（2）連接，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，由?）有直線平面，又平面，平面，，所以平面平面．18．（12分）如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面，，，為與的交點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）若平面，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）平面，平面，，∵四邊形是正方形，，，平面，平面，∴平面平面．（2）平面，平面平面，，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，．19．（12分）如圖，等腰直角三角形的直角邊，沿其中位線將平面折起，使平面平面，得到四棱錐，設(shè)，，，的中點(diǎn)分別為．（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）求證：平面平面；（3）求異面直線與所成的角．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【解析】（1）由題意易知：，，所以，所以四點(diǎn)共面．（2）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，而，所以平面，即，又，所以平面，而平面，所以平面平面．?）由條件知，，，延長(zhǎng)至，使，延長(zhǎng)至，使，則，，故為平行四邊形，所以，又，所以為異面直線與所成的角（或補(bǔ)角）．因?yàn)?，且三線兩兩互相垂直，由勾股定理得．因?yàn)槿切螢檎切?，所以．所以異面直線與所成的角為．20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱，．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求二面角的平面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【解析】（1），，，，．同理可證，，平面．（2）由（1）知平面，平面，，∵四邊形是正方形，．又，平面．又平面，∴平面平面．（3）由（1）知平面，平面，．又，，平面，平面，，為二面角的平面角．在中，，，∴二面角的平面角的大小為．21．（12分）如圖①，是以為斜邊的等腰直角三角形，是等邊三角形，，如圖②，將沿折起使平面平面分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)在棱上，且． （1）在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）存在點(diǎn)滿足題意，；（2）．【解析】（1）存在點(diǎn)滿足題意，，證明如下：如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，所以．又平面，平面，所以平面．因?yàn)椋?，所以，又，所以，所以．又平面，平面，所以平面．因?yàn)椋云矫嫫矫?，所以．?）如圖，連接，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，平面平面，所以平面．又平面，所以．同理，平面，所以，．由題得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，所以，即點(diǎn)到平面的距離為．22．（12分）在正方體中，，分別為，的