數(shù)學分析中的基本定理與重要事實本課件旨在系統(tǒng)梳理數(shù)學分析中的核心概念、基本定理及重要事實，為學習者提供全面、深入的學習資源。通過本課件的學習，學習者將能夠掌握數(shù)學分析的基本理論，提高解決實際問題的能力，為進一步學習高等數(shù)學奠定堅實的基礎。課程簡介：數(shù)學分析的重要性理論基石數(shù)學分析是現(xiàn)代數(shù)學的基石，為后續(xù)的深入研究提供堅實的理論基礎。許多高級數(shù)學分支，如泛函分析、微分方程等，都建立在數(shù)學分析的基礎之上。掌握數(shù)學分析的概念和方法，對于理解和應用這些高級數(shù)學理論至關(guān)重要。應用廣泛數(shù)學分析在物理學、工程學、經(jīng)濟學等領(lǐng)域有著廣泛的應用。例如，在物理學中，數(shù)學分析被用于描述物體的運動、熱量的傳播等現(xiàn)象；在工程學中，數(shù)學分析被用于設計橋梁、電路等結(jié)構(gòu)；在經(jīng)濟學中，數(shù)學分析被用于分析市場行為、預測經(jīng)濟趨勢。思維訓練學習數(shù)學分析能夠培養(yǎng)嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力和抽象思維能力。數(shù)學分析強調(diào)精確的定義、嚴格的證明，這有助于培養(yǎng)學習者嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和一絲不茍的工作作風。同時，數(shù)學分析中的許多概念和方法都具有抽象性，這有助于培養(yǎng)學習者的抽象思維能力。極限的概念：數(shù)列極限1數(shù)列的定義數(shù)列是按照一定順序排列的一列數(shù)。每一個數(shù)稱為數(shù)列的項。數(shù)列可以是有窮數(shù)列，也可以是無窮數(shù)列。例如，1,2,3,...,n,...就是一個無窮數(shù)列。2數(shù)列極限的直觀描述當數(shù)列的項隨著序號的增大而無限接近于某個常數(shù)時，我們就說這個數(shù)列收斂于這個常數(shù)，這個常數(shù)稱為數(shù)列的極限。例如，數(shù)列1/n當n趨于無窮大時，無限接近于0，所以數(shù)列1/n的極限是0。3數(shù)列極限的嚴格定義對于任意給定的正數(shù)ε，總存在一個正整數(shù)N，使得當n>N時，都有|xn-a|<ε，其中xn是數(shù)列的第n項，a是常數(shù)，則稱數(shù)列xn收斂于a，a是數(shù)列xn的極限。數(shù)列極限的定義ε-N定義對于數(shù)列{xn}，若存在常數(shù)a，對于任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當n>N時，|xn-a|<ε成立，則稱數(shù)列{xn}收斂于a，記為lim(n→∞)xn=a。幾何解釋數(shù)列極限的定義可以用幾何語言解釋為：對于任意給定的以a為中心的區(qū)間(a-ε,a+ε)，總存在一個序號N，使得數(shù)列{xn}中從第N+1項開始的所有項都落在這個區(qū)間內(nèi)。非極限的情況若不存在上述常數(shù)a，或者對于某些ε>0，不存在相應的N，使得當n>N時，|xn-a|<ε成立，則稱數(shù)列{xn}不收斂，或者發(fā)散。數(shù)列極限的性質(zhì)有界性收斂數(shù)列一定是有界的。也就是說，如果數(shù)列{xn}收斂，那么一定存在一個正數(shù)M，使得對于所有的n，都有|xn|≤M成立。但有界數(shù)列不一定收斂。唯一性如果數(shù)列{xn}收斂，那么它的極限是唯一的。也就是說，如果數(shù)列{xn}同時收斂于a和b，那么a必須等于b。這個性質(zhì)保證了數(shù)列極限的確定性。保號性如果lim(n→∞)xn=a>0（或a<0），那么存在正整數(shù)N，使得當n>N時，xn>0（或xn<0）。也就是說，如果數(shù)列的極限是正數(shù)（或負數(shù)），那么數(shù)列從某一項開始的所有項都是正數(shù)（或負數(shù)）。函數(shù)極限的定義1函數(shù)極限的直觀描述當自變量x無限接近于某個常數(shù)x0時，函數(shù)f(x)的值無限接近于某個常數(shù)A，我們就說當x趨于x0時，函數(shù)f(x)的極限是A。注意x趨于x0可以從x0的左側(cè)趨近，也可以從x0的右側(cè)趨近。2函數(shù)極限的ε-δ定義對于任意給定的正數(shù)ε，總存在一個正數(shù)δ，使得當0<|x-x0|<δ時，都有|f(x)-A|<ε，其中x0是常數(shù)，A是常數(shù)，則稱當x趨于x0時，函數(shù)f(x)的極限是A，記為lim(x→x0)f(x)=A。3單側(cè)極限左極限：當x從x0的左側(cè)趨近時，函數(shù)f(x)的極限。右極限：當x從x0的右側(cè)趨近時，函數(shù)f(x)的極限。函數(shù)f(x)在x0處存在極限的充要條件是左極限和右極限都存在且相等。函數(shù)極限的性質(zhì)局部有界性若函數(shù)f(x)在x0的某個去心鄰域內(nèi)有極限，則f(x)在該鄰域內(nèi)有界。也就是說，存在M>0和δ>0，使得當0<|x-x0|<δ時，|f(x)|≤M。局部保號性若lim(x→x0)f(x)=A>0（或A<0），則存在δ>0，使得當0<|x-x0|<δ時，f(x)>0（或f(x)<0）。也就是說，如果函數(shù)在某一點的極限是正數(shù)（或負數(shù)），那么函數(shù)在該點附近的某個去心鄰域內(nèi)的所有值都是正數(shù)（或負數(shù)）。唯一性若lim(x→x0)f(x)存在，則極限值是唯一的。也就是說，如果函數(shù)f(x)在x0處同時存在兩個極限A和B，那么A必須等于B。極限的四則運算加法法則1減法法則2乘法法則3除法法則4如果limf(x)=A，limg(x)=B，那么：加法：lim[f(x)+g(x)]=A+B減法：lim[f(x)-g(x)]=A-B乘法：lim[f(x)*g(x)]=A*B除法：lim[f(x)/g(x)]=A/B(當B≠0時)兩個重要極限1第一個重要極限lim(x→0)sin(x)/x=1。這個極限在三角函數(shù)的極限計算中經(jīng)常用到。可以使用幾何方法或者洛必達法則證明。2第二個重要極限lim(x→∞)(1+1/x)^x=e。這個極限定義了自然常數(shù)e。它在指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的極限計算中經(jīng)常用到。也可以表示為lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e。連續(xù)函數(shù)的定義1定義設函數(shù)f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果lim(x→x0)f(x)=f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)。2連續(xù)的條件函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)需要滿足三個條件：(1)f(x0)有定義；(2)lim(x→x0)f(x)存在；(3)lim(x→x0)f(x)=f(x0)。3間斷點如果函數(shù)f(x)在點x0處不連續(xù)，則稱x0為函數(shù)f(x)的間斷點。間斷點可以分為第一類間斷點（左右極限都存在）和第二類間斷點（至少一個單側(cè)極限不存在）。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四則運算復合函數(shù)反函數(shù)初等函數(shù)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍然是連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)。單調(diào)連續(xù)函數(shù)存在反函數(shù)，且反函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)。初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)。一致連續(xù)性定義設函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，如果對于任意給定的正數(shù)ε，總存在一個正數(shù)δ，使得對于區(qū)間I上的任意兩點x1和x2，當|x1-x2|<δ時，都有|f(x1)-f(x2)|<ε，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)。與連續(xù)的區(qū)別連續(xù)性是針對某一點而言的，而一致連續(xù)性是針對整個區(qū)間而言的。連續(xù)性要求對于每一個點，都存在一個δ，而一致連續(xù)性要求對于整個區(qū)間，存在一個統(tǒng)一的δ。一致連續(xù)性比連續(xù)性更強。重要定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么f(x)在[a,b]上一致連續(xù)。這個定理稱為康托定理。它提供了一個判斷函數(shù)在閉區(qū)間上是否一致連續(xù)的簡便方法。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性1有界性定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么f(x)在[a,b]上一定有界。也就是說，存在一個正數(shù)M，使得對于所有的x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M成立。這個性質(zhì)是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一個重要特征。2幾何意義閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性可以用幾何語言解釋為：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么它的圖像一定可以被包含在一個有限高度的矩形內(nèi)。3注意在開區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)不一定有界。例如，函數(shù)f(x)=1/x在開區(qū)間(0,1)上連續(xù)，但是沒有界。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最大值最小值定理最大值最小值定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么f(x)在[a,b]上一定能取得最大值和最小值。也就是說，存在x1∈[a,b]和x2∈[a,b]，使得對于所有的x∈[a,b]，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立。f(x1)是f(x)在[a,b]上的最小值，f(x2)是f(x)在[a,b]上的最大值。幾何意義閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值最小值定理可以用幾何語言解釋為：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么它的圖像一定存在最高點和最低點。注意在開區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)不一定能取得最大值和最小值。例如，函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(0,1)上連續(xù)，但是沒有最大值和最小值。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：介值定理介值定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)≠f(b)，那么對于任意介于f(a)和f(b)之間的數(shù)C，一定存在x0∈(a,b)，使得f(x0)=C。這個定理說明了連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上取遍所有介于端點值之間的值。零點存在定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)和f(b)異號，那么一定存在x0∈(a,b)，使得f(x0)=0。這個定理是介值定理的一個特殊情況，它說明了連續(xù)函數(shù)在異號端點之間一定存在零點。應用介值定理和零點存在定理在數(shù)值分析和方程求解中有著重要的應用。例如，可以用二分法來尋找函數(shù)的零點，就是基于零點存在定理。導數(shù)的概念：導數(shù)的定義1導數(shù)的引入導數(shù)是微積分中的一個核心概念，它描述了函數(shù)在某一點處的變化率。導數(shù)的引入是為了解決諸如曲線的切線問題、物體的瞬時速度問題等實際問題。2導數(shù)的定義設函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量x在x0處取得增量Δx時，函數(shù)y相應地取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。如果lim(Δx→0)Δy/Δx存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可導，并稱這個極限為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)，記為f'(x0)或dy/dx|x=x0。3導數(shù)的表示導數(shù)可以用不同的符號表示，常見的有f'(x)、dy/dx、df/dx等。不同的符號在不同的場合有不同的用途。例如，f'(x)強調(diào)導數(shù)是一個函數(shù)，dy/dx強調(diào)因變量y對自變量x的變化率。導數(shù)的幾何意義切線的斜率函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f'(x0)表示曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線的斜率。也就是說，導數(shù)是曲線在該點處傾斜程度的度量。切線方程如果函數(shù)f(x)在點x0處可導，那么曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)。這個方程描述了曲線在該點附近的線性近似。應用導數(shù)的幾何意義在解決曲線的切線問題、尋找曲線的極值點等方面有著重要的應用。例如，可以通過求導來確定曲線在某一點處的切線方程，或者通過求導來尋找函數(shù)的極值點。導數(shù)的物理意義瞬時速度1加速度2變化率3如果s(t)表示物體在時刻t的位置，那么s'(t)表示物體在時刻t的瞬時速度，s''(t)表示物體在時刻t的加速度。導數(shù)是描述物體運動狀態(tài)的重要工具。導數(shù)還可以描述其他物理量的變化率，例如電流、電壓等。可導與連續(xù)的關(guān)系1可導必連續(xù)如果函數(shù)f(x)在點x0處可導，那么f(x)在點x0處一定連續(xù)。也就是說，可導是連續(xù)的充分條件。但是，連續(xù)不一定可導。例如，函數(shù)f(x)=|x|在x=0處連續(xù)，但是不可導。2連續(xù)不一定可導函數(shù)在某一點連續(xù)是函數(shù)在該點可導的必要條件，但不是充分條件。例如，函數(shù)f(x)=|x|在x=0處連續(xù)，但是不可導。這是因為在x=0處，函數(shù)的左右導數(shù)不相等。求導法則：四則運算1和差(u±v)'=u'±v'2積(uv)'=u'v+uv'3商(u/v)'=(u'v-uv')/v2(v≠0)如果函數(shù)u(x)和v(x)在點x處可導，那么它們的和、差、積、商（分母不為零）也在點x處可導，并且滿足上述公式。這些公式是計算復雜函數(shù)導數(shù)的基礎。求導法則：復合函數(shù)求導如果y=f(u)，u=g(x)，且f(u)和g(x)都可導，那么y對x的導數(shù)為dy/dx=(dy/du)*(du/dx)=f'(u)*g'(x)。這個公式稱為鏈式法則，它是計算復合函數(shù)導數(shù)的重要工具。鏈式法則的關(guān)鍵是正確識別復合函數(shù)中的外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)。求導法則：反函數(shù)求導反函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù)x=g(y)，且f(x)和g(y)都可導，那么dx/dy=1/(dy/dx)，即g'(y)=1/f'(x)。這個公式說明了反函數(shù)的導數(shù)與原函數(shù)的導數(shù)之間的關(guān)系。在使用這個公式時，需要注意變量的對應關(guān)系。示例例如，y=sin(x)的反函數(shù)是x=arcsin(y)，那么dx/dy=1/(dy/dx)=1/cos(x)=1/√(1-sin2(x))=1/√(1-y2)。微分中值定理：費馬定理1定理如果函數(shù)f(x)在點x0處可導，且x0是f(x)的一個極值點，那么f'(x0)=0。這個定理說明了可導函數(shù)在極值點處的導數(shù)一定為零。它是尋找可導函數(shù)極值點的必要條件。2幾何意義費馬定理可以用幾何語言解釋為：如果函數(shù)f(x)在點x0處取得極值，且f(x)在x0處可導，那么曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線是水平的。3注意f'(x0)=0只是x0是極值點的必要條件，而不是充分條件。也就是說，如果f'(x0)=0，那么x0不一定是極值點。例如，函數(shù)f(x)=x3在x=0處導數(shù)為零，但x=0不是極值點。微分中值定理：羅爾定理定理如果函數(shù)f(x)滿足以下三個條件：(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導；(3)f(a)=f(b)，那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f'(ξ)=0。羅爾定理是拉格朗日中值定理的一個特殊情況。幾何意義羅爾定理可以用幾何語言解釋為：如果曲線y=f(x)滿足以上三個條件，那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使得曲線在該點處的切線是水平的。應用羅爾定理在證明其他中值定理、判斷方程根的存在性等方面有著重要的應用。例如，可以用羅爾定理來證明拉格朗日中值定理。微分中值定理：拉格朗日中值定理定理如果函數(shù)f(x)滿足以下兩個條件：(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。拉格朗日中值定理是微積分中的一個重要定理，它建立了函數(shù)在某一點的導數(shù)與函數(shù)在區(qū)間端點值的關(guān)系。幾何意義拉格朗日中值定理可以用幾何語言解釋為：如果曲線y=f(x)滿足以上兩個條件，那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使得曲線在該點處的切線與連接(a,f(a))和(b,f(b))的割線平行。應用拉格朗日中值定理在估計函數(shù)值的誤差、判斷函數(shù)的單調(diào)性等方面有著重要的應用。例如，可以用拉格朗日中值定理來估計函數(shù)值的誤差。微分中值定理：柯西中值定理1定理如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足以下兩個條件：(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，且g'(x)≠0，那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)。柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣。2幾何意義柯西中值定理可以用參數(shù)方程的觀點來解釋。設x=g(t)，y=f(t)，那么柯西中值定理說明，存在一點ξ，使得曲線在該點處的切線的斜率等于連接曲線兩端點的割線的斜率。3應用柯西中值定理在證明洛必達法則等方面有著重要的應用。例如，可以用柯西中值定理來證明洛必達法則。洛必達法則：0/0型法則如果lim(x→x0)f(x)=0，lim(x→x0)g(x)=0，且lim(x→x0)f'(x)/g'(x)存在，那么lim(x→x0)f(x)/g(x)=lim(x→x0)f'(x)/g'(x)。這個法則用于求解0/0型的未定式極限。使用洛必達法則時，需要驗證是否滿足條件。使用條件使用洛必達法則需要滿足以下條件：(1)lim(x→x0)f(x)=0，lim(x→x0)g(x)=0；(2)f(x)和g(x)在x0的某個鄰域內(nèi)可導；(3)lim(x→x0)f'(x)/g'(x)存在（或為無窮大）。注意如果lim(x→x0)f'(x)/g'(x)不存在，那么不能使用洛必達法則。有些情況下，即使?jié)M足條件，使用洛必達法則也可能無法求解極限，需要使用其他方法。例如，對于lim(x→∞)(x+sin(x))/x，使用洛必達法則無法求解，但可以使用夾逼定理求解。洛必達法則：∞/∞型法則1使用條件2注意3如果lim(x→x0)f(x)=∞，lim(x→x0)g(x)=∞，且lim(x→x0)f'(x)/g'(x)存在，那么lim(x→x0)f(x)/g(x)=lim(x→x0)f'(x)/g'(x)。這個法則用于求解∞/∞型的未定式極限。使用洛必達法則時，需要驗證是否滿足條件。類似于0/0型，也需要驗證是否滿足條件。函數(shù)的單調(diào)性1單調(diào)遞增如果對于區(qū)間I上的任意兩點x1和x2，當x1<x2時，都有f(x1)≤f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增。如果f(x1)<f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上嚴格單調(diào)遞增。2單調(diào)遞減如果對于區(qū)間I上的任意兩點x1和x2，當x1<x2時，都有f(x1)≥f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減。如果f(x1)>f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上嚴格單調(diào)遞減。3導數(shù)判別法如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導，且f'(x)≥0，則f(x)在I上單調(diào)遞增；如果f'(x)≤0，則f(x)在I上單調(diào)遞減；如果f'(x)>0，則f(x)在I上嚴格單調(diào)遞增；如果f'(x)<0，則f(x)在I上嚴格單調(diào)遞減。函數(shù)的極值：極值的定義1極大值如果存在x0的某個鄰域，使得對于該鄰域內(nèi)的所有x，都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的一個極大值。也就是說，f(x0)是函數(shù)在局部范圍內(nèi)的一個最大值。2極小值如果存在x0的某個鄰域，使得對于該鄰域內(nèi)的所有x，都有f(x)≥f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的一個極小值。也就是說，f(x0)是函數(shù)在局部范圍內(nèi)的一個最小值。3極值點取得極值的點稱為極值點。極值點可以是函數(shù)的定義域內(nèi)的點，也可以是函數(shù)的邊界點。極值點不一定是最大值點或最小值點，但最大值點和最小值點一定是極值點。函數(shù)的極值：極值的求法第一種方法第二種方法求函數(shù)極值有兩種方法。第一種方法：求導數(shù)，令導數(shù)為零，解出極值點，然后判斷極值點左右兩側(cè)導數(shù)的符號。如果導數(shù)從正變負，則是極大值點；如果導數(shù)從負變正，則是極小值點。第二種方法：求二階導數(shù)，如果二階導數(shù)大于零，則是極小值點；如果二階導數(shù)小于零，則是極大值點。函數(shù)的最大值和最小值最大值設函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，如果存在x0∈I，使得對于所有的x∈I，都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值。最大值是函數(shù)在整個區(qū)間內(nèi)的最大取值。最小值設函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，如果存在x0∈I，使得對于所有的x∈I，都有f(x)≥f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值。最小值是函數(shù)在整個區(qū)間內(nèi)的最小取值。求法求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值，需要先求出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值點，然后比較極值點和端點處的函數(shù)值，最大的就是最大值，最小的就是最小值。在開區(qū)間上，可能不存在最大值或最小值。曲線的凹凸性1凹函數(shù)如果對于區(qū)間I上的任意兩點x1和x2，以及任意的λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是凹的。凹函數(shù)的圖像是“向上彎曲”的。2凸函數(shù)如果對于區(qū)間I上的任意兩點x1和x2，以及任意的λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是凸的。凸函數(shù)的圖像是“向下彎曲”的。3二階導數(shù)判別法如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上二階可導，且f''(x)≥0，則f(x)在I上是凹函數(shù)；如果f''(x)≤0，則f(x)在I上是凸函數(shù)。曲線的拐點定義設函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)，如果曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的凹凸性發(fā)生改變，則稱點(x0,f(x0))為曲線y=f(x)的一個拐點。拐點是曲線凹凸性改變的點。求法求曲線的拐點，需要先求出函數(shù)的二階導數(shù)，然后令二階導數(shù)為零，解出可能的拐點。然后判斷可能的拐點左右兩側(cè)二階導數(shù)的符號，如果二階導數(shù)符號發(fā)生改變，則該點是拐點。注意二階導數(shù)為零只是拐點的必要條件，而不是充分條件。也就是說，如果f''(x0)=0，那么(x0,f(x0))不一定是拐點。需要判斷x0左右兩側(cè)二階導數(shù)的符號是否發(fā)生改變。函數(shù)的漸近線：水平漸近線定義如果lim(x→∞)f(x)=b，或lim(x→-∞)f(x)=b，則稱直線y=b為曲線y=f(x)的一條水平漸近線。水平漸近線是曲線在x趨于無窮大或負無窮大時，無限接近的一條水平直線。求法求曲線的水平漸近線，需要分別求出lim(x→∞)f(x)和lim(x→-∞)f(x)。如果其中一個極限存在且等于b，那么直線y=b就是一條水平漸近線。示例例如，函數(shù)f(x)=1/x的水平漸近線是y=0，因為lim(x→∞)1/x=0，且lim(x→-∞)1/x=0。函數(shù)的漸近線：鉛直漸近線1定義如果lim(x→x0+)f(x)=∞，或lim(x→x0-)f(x)=∞，或lim(x→x0+)f(x)=-∞，或lim(x→x0-)f(x)=-∞，則稱直線x=x0為曲線y=f(x)的一條鉛直漸近線。鉛直漸近線是曲線在x趨于某個有限值時，函數(shù)值趨于無窮大或負無窮大的一條垂直直線。2求法求曲線的鉛直漸近線，需要尋找函數(shù)f(x)的不連續(xù)點x0，然后分別求出lim(x→x0+)f(x)和lim(x→x0-)f(x)。如果其中一個極限為無窮大或負無窮大，那么直線x=x0就是一條鉛直漸近線。3示例例如，函數(shù)f(x)=1/x的鉛直漸近線是x=0，因為lim(x→0+)1/x=∞，且lim(x→0-)1/x=-∞。函數(shù)的漸近線：斜漸近線定義如果lim(x→∞)[f(x)-(kx+b)]=0，或lim(x→-∞)[f(x)-(kx+b)]=0，其中k≠0，則稱直線y=kx+b為曲線y=f(x)的一條斜漸近線。斜漸近線是曲線在x趨于無窮大或負無窮大時，無限接近的一條直線，但不是水平直線。求法求曲線的斜漸近線，需要先求出k=lim(x→∞)f(x)/x，如果k存在且不等于零，再求出b=lim(x→∞)[f(x)-kx]。如果b存在，那么直線y=kx+b就是一條斜漸近線。示例例如，函數(shù)f(x)=x+1/x的斜漸近線是y=x，因為lim(x→∞)(x+1/x)/x=1，且lim(x→∞)[(x+1/x)-x]=0。定積分的概念：定積分的定義分割1近似2求和3取極限4設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有界，將[a,b]分割成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點ξi，作和Σf(ξi)Δxi，其中Δxi是第i個小區(qū)間的長度。如果當n趨于無窮大時，這個和的極限存在，且與分割和ξi的選取無關(guān)，那么稱函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，并稱這個極限為f(x)在[a,b]上的定積分，記為∫[a,b]f(x)dx。定積分可以理解為函數(shù)圖像與x軸之間的面積（有正負）。定積分的幾何意義1面積如果函數(shù)f(x)在[a,b]上非負，那么定積分∫[a,b]f(x)dx表示曲線y=f(x)、直線x=a、直線x=b和x軸所圍成的曲邊梯形的面積。如果f(x)在[a,b]上有正有負，那么定積分表示x軸上方的面積減去x軸下方的面積的差。2代數(shù)和定積分的幾何意義是面積的代數(shù)和。x軸上方的面積取正號，x軸下方的面積取負號。因此，定積分可以為正、負或零。當函數(shù)圖像與x軸圍成的面積上下相等時，定積分為零。定積分的性質(zhì)1線性性∫[a,b](kf(x)+lg(x))dx=k∫[a,b]f(x)dx+l∫[a,b]g(x)dx2可加性∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx=∫[a,b]f(x)dx3保號性如果f(x)≥0，那么∫[a,b]f(x)dx≥0線性性：定積分對函數(shù)是線性的?？杉有裕憾ǚe分對區(qū)間是可加的。保號性：如果函數(shù)非負，那么定積分也非負。這些性質(zhì)在計算定積分時非常有用。微積分基本定理：牛頓-萊布尼茨公式如果函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且存在原函數(shù)F(x)，即F'(x)=f(x)，那么∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)。這個公式稱為牛頓-萊布尼茨公式，它是微積分中最基本、最重要的公式之一，它建立了定積分與不定積分之間的聯(lián)系。掌握這個公式是計算定積分的關(guān)鍵。變上限積分定義設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，定義函數(shù)F(x)=∫[a,x]f(t)dt，其中x∈[a,b]，則稱F(x)為變上限積分函數(shù)。變上限積分函數(shù)是一個關(guān)于上限x的函數(shù)，它的導數(shù)與被積函數(shù)有關(guān)。求導如果函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，那么變上限積分函數(shù)F(x)在[a,b]上可導，且F'(x)=f(x)。這個結(jié)論說明了變上限積分函數(shù)是其被積函數(shù)的一個原函數(shù)。這個結(jié)論在計算定積分和求解微分方程時非常有用。定積分的計算：換元法1第一類換元法如果∫f(u)du=F(u)+C，且u=g(x)，那么∫f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C。這個方法是將積分變量從x換成u，使得積分更容易計算。需要注意的是，換元后需要將結(jié)果轉(zhuǎn)換回原變量。2第二類換元法如果x=g(t)，且g'(t)≠0，那么∫f(x)dx=∫f(g(t))g'(t)dt。這個方法是將積分變量從x換成t，使得積分更容易計算。需要注意的是，換元后需要將結(jié)果轉(zhuǎn)換回原變量。3適用情況換元法適用于被積函數(shù)中含有復合函數(shù)的情況。通過合理選擇換元，可以簡化積分計算。定積分的計算：分部積分法公式∫udv=uv-∫vdu。這個公式稱為分部積分公式。分部積分法是將一個積分分解成兩個積分，使得其中一個積分更容易計算。需要注意的是，選擇合適的u和dv非常重要。選擇選擇u和dv的原則是：(1)u容易求導，dv容易積分；(2)∫vdu比∫udv更容易計算。通常情況下，可以將多項式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等作為u或dv。適用情況分部積分法適用于被積函數(shù)是兩個不同類型函數(shù)的乘積的情況。例如，∫xsin(x)dx、∫xe^xdx等。定積分的應用：求面積求曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積可以用定積分來計算。如果函數(shù)f(x)在[a,b]上非負，那么曲邊梯形的面積為∫[a,b]f(x)dx。求兩曲線之間的面積兩曲線之間的面積也可以用定積分來計算。如果函數(shù)f(x)和g(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(x)≥g(x)，那么兩曲線之間的面積為∫[a,b](f(x)-g(x))dx。極坐標下的面積極坐標下的面積也可以用定積分來計算。如果函數(shù)ρ=ρ(θ)在[α,β]上連續(xù)，那么極坐標曲線所圍成的扇形面積為(1/2)∫[α,β]ρ2(θ)dθ。定積分的應用：求體積1旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積可以用定積分來計算。如果函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，那么曲線y=f(x)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為π∫[a,b]f2(x)dx。如果曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)，則體積為2π∫[a,b]xf(x)dx。2平行截面面積已知的立體體積平行截面面積已知的立體體積也可以用定積分來計算。設立體在x軸上的投影為[a,b]，且過點x的截面面積為A(x)，那么立體的體積為∫[a,b]A(x)dx。定積分的應用：求弧長直角坐標系如果函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)可導，那么曲線y=f(x)在[a,b]上的弧長為∫[a,b]√(1+(f'(x))2)dx。參數(shù)方程如果曲線由參數(shù)方程x=x(t)，y=y(t)給出，其中t∈[α,β]，且x(t)和y(t)連續(xù)可導，那么曲線的弧長為∫[α,β]√((x'(t))2+(y'(t))2)dt。極坐標系如果曲線由極坐標方程ρ=ρ(θ)給出，其中θ∈[α,β]，且ρ(θ)連續(xù)可導，那么曲線的弧長為∫[α,β]√(ρ2(θ)+(ρ'(θ))2)dθ。反常積分：無窮區(qū)間上的反常積分定義1收斂2發(fā)散3如果函數(shù)f(x)在[a,+∞)上連續(xù)，那么∫[a,+∞)f(x)dx=lim(b→+∞)∫[a,b]f(x)dx。如果這個極限存在，那么稱反常積分收斂，否則稱反常積分發(fā)散。無窮區(qū)間上的反常積分是將積分上限推廣到無窮大的積分。反常積分：無界函數(shù)的反常積分1定義2收斂3發(fā)散如果函數(shù)f(x)在x=c處無界，其中c∈(a,b)，那么∫[a,b]f(x)dx=∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx，其中∫[a,c]f(x)dx=lim(t→c-)∫[a,t]f(x)dx，∫[c,b]f(x)dx=lim(t→c+)∫[t,b]f(x)dx。如果這兩個極限都存在，那么稱反常積分收斂，否則稱反常積分發(fā)散。無界函數(shù)的反常積分是將積分函數(shù)推廣到無界函數(shù)。數(shù)項級數(shù)：級數(shù)收斂的定義1定義設{an}是一個數(shù)列，稱Σan為數(shù)項級數(shù)。數(shù)項級數(shù)是無窮多個數(shù)的和。2部分和Sn=a1+a2+...+an稱為級數(shù)的部分和。3收斂如果lim(n→∞)Sn=S存在，那么稱級數(shù)收斂，并稱S為級數(shù)的和；否則稱級數(shù)發(fā)散。數(shù)項級數(shù)：級數(shù)的性質(zhì)線性性加括號必要條件線性性：如果Σan和Σbn都收斂，那么Σ(kan+lbn)也收斂。加括號：如果級數(shù)收斂，那么對級數(shù)加括號后得到的級數(shù)也收斂。必要條件：如果級數(shù)Σan收斂，那么lim(n→∞)an=0。正項級數(shù)的判別法：比較判別法比較判別法設Σan和Σbn都是正項級數(shù)。如果存在正整數(shù)N，使得當n>N時，都有an≤bn，且Σbn收斂，那么Σan也收斂。如果存在正整數(shù)N，使得當n>N時，都有an≥bn，且Σbn發(fā)散，那么Σan也發(fā)散。比較判別法是通過與已知收斂或發(fā)散的級數(shù)進行比較來判斷級數(shù)的收斂性。極限形式如果lim(n→∞)an/bn=L存在，且0<L<∞，那么Σan和Σbn同斂散。正項級數(shù)的判別法：比值判別法1達朗貝爾判別法設Σan是正