2024-2025學(xué)年湖北省襄陽市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段檢測試題一、單選題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線，直線，且，則（）A.1 B. C.4 D.2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對應(yīng)點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.四棱柱的底面ABCD是邊長為1的菱形，側(cè)棱長為2，且，則線段的長度是（）A. B. C.3 D.4.已知四邊形內(nèi)接于圓，且滿足，，，則圓的半徑為（）A. B. C. D.5.一條經(jīng)過點入射光線的斜率為，若入射光線經(jīng)軸反射后與軸交于點，為坐標(biāo)原點，則的面積為（）A.16 B.12 C.8 D.66.如圖，在棱長均為的直三棱柱中，是的中點，過、、三點的平面將該三棱柱截成兩部分，則頂點所在部分的體積為（）A. B. C. D.7.A、B兩位同學(xué)各有2張卡片，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進行游戲，當(dāng)出現(xiàn)正面向上時A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片，如果某人已贏得所有卡片，則游戲終止，那么恰好擲完6次硬幣時游戲終止的概率是（）A. B. C. D.8.如圖，在三棱錐中，，點在平面內(nèi)，過作于，當(dāng)與面所成最大角的正弦值是時，與平面所成角的余弦值是（）A B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的有（）A.在對101個人進行一次抽樣時，先采用抽簽法從中剔除一個人，再在剩余的100人中隨機抽取10人，每個人被抽到的可能性不相等B.一個盒子中有若干白色圍棋子，為了估計其中圍棋子的數(shù)目，小明將100顆黑色的圍棋子放入其中，充分攪拌后隨機抽出了20顆，數(shù)得其中有5顆黑色的圍棋子，根據(jù)這些信息可以估計白色圍棋子的數(shù)目約為300顆C.一組數(shù)據(jù)53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，.已知這組數(shù)據(jù)的極差為40，則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為79D.數(shù)據(jù)，，的方差為，則，，的平均數(shù)為710.已知集合直線，其中是正常數(shù)，，下列結(jié)論中正確的是（）A.當(dāng)時，中直線的斜率為B.中所有直線均經(jīng)過同一個定點C.當(dāng)時，中的兩條平行線間的距離的最小值為D.中的所有直線可覆蓋整個直角坐標(biāo)平面11.如圖，四邊形是邊長為的正方形，半圓面平面，點為半圓弧上一動點（點與點，不重合），下列說法正確的是（）A.三棱錐的四個面都是直角三角形B.三棱錐的體積最大值為C.異面直線與距離是定值D.當(dāng)直線與平面所成角最大時，平面截四棱錐外接球的截面面積為三、填空題：本小題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓C的圓心在直線上，且過點，，則圓C的一般方程為__________．13.中，，，對應(yīng)的邊為，，，邊上的高長為，則的取值范圍為___________.14.若二次函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則的最小值為___________.四、解答題：本小題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的三個頂點為，，.（1）求邊上的高AD的直線方程；（2）求過點B且與A、C距離相等的直線方程.16.在三棱柱中，已知，，點在底面的投影是線段的中點.（1）證明：在側(cè)棱上存在一點，使得平面，并求出的長；（2）求平面與平面夾角的正弦值.17.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.（1）若，，求邊上角平分線長；（2）若為銳角三角形，點為的垂心，，求的取值范圍.18.（1）甲乙兩人分別進行獨立重復(fù)試驗，每人拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣.甲拋擲次，乙拋擲次，，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率.（2）某單位進行招聘面試，已知參加面試的50名學(xué)生全都來自A，B，C三所學(xué)校，其中來自A校的學(xué)生人數(shù)為10.該單位要求所有面試人員面試前到場，并隨機給每人安排一個面試號碼，按面試號碼由小到大依次進行面試，每人面試時長5分鐘，面試完成后自行離場.若B，C兩所學(xué)校參加面試的學(xué)生人數(shù)比為1：3，求A校參加面試的學(xué)生先于其他兩校學(xué)生完成面試（A校所有參加面試的學(xué)生完成面試后，B，C兩校都還有學(xué)生未完成面試）的概率.19.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點.若平面以為法向量且經(jīng)過點，則平面的點法式方程可表示為，一般式方程可表示為.（1）若平面，平面，直線為平面和平面的交線，求直線的一個方向向量；（2）已知集合，，，記集合中所有點構(gòu)成幾何體的體積為，中所有點構(gòu)成的幾何體的體積為，集合中所有點構(gòu)成的幾何體為.（ⅰ）求和的值；（ⅱ）求幾何體的體積和相鄰兩個面（有公共棱）所成二面角的余弦值.2024-2025學(xué)年湖北省襄陽市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段檢測試題一、單選題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線，直線，且，則（）A.1 B. C.4 D.【正確答案】B【分析】由直線平行的充要條件列方程求解即可.【詳解】由題意直線，直線，且，所以，解得.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對應(yīng)點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)除法運算和復(fù)數(shù)幾何意義可求得對應(yīng)點的坐標(biāo)，由此可得結(jié)果.【詳解】，對應(yīng)的點為，位于第三象限.故選：C.3.四棱柱的底面ABCD是邊長為1的菱形，側(cè)棱長為2，且，則線段的長度是（）A. B. C.3 D.【正確答案】D【分析】根據(jù)空間向量運算法則得到，再利用模長公式進行求解.【詳解】因為，，所以，，，因為，所以，所以，即線段的長度是.故選：D.4.已知四邊形內(nèi)接于圓，且滿足，，，則圓的半徑為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由題意可得，分別在中和在中利用余弦定理求出和，然后在中，由正弦定理可得【詳解】由題意可得，在中，由余弦定理得,在中，由余弦定理得，兩式相減得，因為，所以，所以，在中，由正弦定理得圓的半徑為，故選：A5.一條經(jīng)過點的入射光線的斜率為，若入射光線經(jīng)軸反射后與軸交于點，為坐標(biāo)原點，則的面積為（）A.16 B.12 C.8 D.6【正確答案】B【分析】由已知求得直線l的方程，令，可求得直線與軸的交點，繼而求得反射直線的方程，求得點B的坐標(biāo)，由三角形的面積公式可得選項.【詳解】設(shè)直線與軸交于點，因為的方程為，令，得點的坐標(biāo)為，從而反射光線所在直線的方程為，令得，所以的面積．故選：B.6.如圖，在棱長均為的直三棱柱中，是的中點，過、、三點的平面將該三棱柱截成兩部分，則頂點所在部分的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)平面交于點，連接、，推導(dǎo)出點為的中點，用三棱柱的體積減去三棱臺的體積即可得解.【詳解】設(shè)平面交于點，連接、，在三棱柱中，平面平面，平面平面，平面平面，所以，，又因為且，故四邊形為平行四邊形，所以，，所以，，因為為的中點，所以，為的中點，且，因為直三棱柱的每條棱長都為，則，易知是邊長為的等邊三角形，則，，因此，頂點所在部分的體積為.故選：B.7.A、B兩位同學(xué)各有2張卡片，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進行游戲，當(dāng)出現(xiàn)正面向上時A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片，如果某人已贏得所有卡片，則游戲終止，那么恰好擲完6次硬幣時游戲終止的概率是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】分析出能導(dǎo)致在投擲硬幣第6次時結(jié)束的各種情況即可.【詳解】設(shè)A贏得B卡片為事件A，B贏得A卡片為事件B，依題意，在第6次硬幣投擲時游戲結(jié)束，如果是A贏了B的卡片，則必然是以下4種情形中的一種：ABABAA，ABBAAA，BABAAA，BAABAA；如果是B贏了A的卡片，則必然是以下4種情形中的一種：BABABB，BAABBB，ABABBB，ABBABB，所以第6次投擲硬幣游戲結(jié)束的概率為：，故選：C.8.如圖，在三棱錐中，，點在平面內(nèi)，過作于，當(dāng)與面所成最大角的正弦值是時，與平面所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】過點作的垂面，過作平面的垂面，過點作，利用面面垂直和線面垂直的性質(zhì)，證得此點，即為與平面所成角最大時對應(yīng)的點為點，得到，過點作，結(jié)合線面角的定義，得到即為與平面所成角，利用，即可求解.【詳解】過點作的垂面，交平面于直線，即，再過作平面的垂面，即平面平面，過作，垂足為，如圖所示，設(shè)，則此點即為與平面所成角最大時，對應(yīng)的點，理由如下：因為恒成立，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，過點作，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以與平面所成角即為，所以，因為為定值，所以當(dāng)最小時，最大，即最大，又因為平面，所以，因為，平面，所以平面，則當(dāng)為與交點時，，此時取得最小值，所以，當(dāng)時，與平面所成角最大，即為，所以，過點作，垂足為，連接，因為平面，平面，所以平面平面，又因為平面，平面，所以平面，所以即為與平面所成角，在直角中，，因為，且，所以為等腰直角三角形，所以，又因為，所以，因為，所以，因為，所以.故選：A.方法點撥：對于立體幾何體中探索性問題的求解策略：1、立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡，點的位置的判斷，求解軌跡的長度及動角的范圍等問題；2、解答方法：一般時根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標(biāo)運算求出動點的軌跡方程；3、對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；4、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確有（）A.在對101個人進行一次抽樣時，先采用抽簽法從中剔除一個人，再在剩余的100人中隨機抽取10人，每個人被抽到的可能性不相等B.一個盒子中有若干白色圍棋子，為了估計其中圍棋子的數(shù)目，小明將100顆黑色的圍棋子放入其中，充分攪拌后隨機抽出了20顆，數(shù)得其中有5顆黑色的圍棋子，根據(jù)這些信息可以估計白色圍棋子的數(shù)目約為300顆C.一組數(shù)據(jù)53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，.已知這組數(shù)據(jù)的極差為40，則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為79D.數(shù)據(jù)，，的方差為，則，，的平均數(shù)為7【正確答案】BC【分析】根據(jù)抽樣等可能性判斷A；計算白色棋子的個數(shù)判斷B，根據(jù)極差的概念求出，再求第百分位數(shù)判斷C；根據(jù)方差求，再求新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，判斷D的真假.【詳解】對A：每個人被抽到的可能性均為，是等可能的，故A錯誤；對B：設(shè)白色棋子的個數(shù)為，由，所以估計白色圍棋子的數(shù)目約為300顆，故B正確；對C：除外，剩余數(shù)據(jù)的極差為，因為所有數(shù)據(jù)的極差為40，且，所以.把數(shù)據(jù)按從小到大順序排列，得：41，45，53，56，65，69，0，72，79，80，81.由，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為第9個，為79.故C正確；對D：因為數(shù)據(jù)，，的方差為，所以，所以或，所以，，的平均數(shù)為，為7或，故D錯誤.故選：BC10.已知集合直線，其中是正常數(shù)，，下列結(jié)論中正確的是（）A.當(dāng)時，中直線的斜率為B.中所有直線均經(jīng)過同一個定點C.當(dāng)時，中的兩條平行線間的距離的最小值為D.中的所有直線可覆蓋整個直角坐標(biāo)平面【正確答案】AC【分析】代入特殊值求出直線判斷A，利用平行線間距離公式結(jié)合放縮法求解最值判斷C，舉反例判斷B，D即可.【詳解】對于A，當(dāng)時，，中直線的方程為，即，故其斜率為，故A正確；對于B，當(dāng)時，直線方程為，該直線必過，當(dāng)時，直線方程為，化簡得，不一定過，故B錯誤，對于C，當(dāng)時，中的兩條平行直線間的距離為，而，則，故，即最小值為，故C正確；對于D，點不滿足方程，所以中的所有直線不可覆蓋整個平面，故D錯誤，故選：AC.11.如圖，四邊形是邊長為的正方形，半圓面平面，點為半圓弧上一動點（點與點，不重合），下列說法正確的是（）A.三棱錐的四個面都是直角三角形B.三棱錐的體積最大值為C.異面直線與的距離是定值D.當(dāng)直線與平面所成角最大時，平面截四棱錐外接球的截面面積為【正確答案】ACD【分析】對于A，使用空間中直線、平面垂直有關(guān)定理證明；對于B，三棱錐底面積固定，當(dāng)高最大時，體積最大，可通過計算進行判斷；對于C，找到與和均垂直的即可判斷；對于D，首先利用空間向量解決與平面所成角最大時點的位置，再用△的外接圓解決平面的截面圓面積的計算即可.【詳解】對于A，∵四邊形為正方形，∴△為直角三角形；∵為直徑，為半圓弧上一動點，∴，△為直角三角形；∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，∵平面，∴，△為直角三角形；∵平面，平面，∴，又∵，，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，△為直角三角形；因此，三棱錐的四個面都是直角三角形，故A正確；對于B，過點在平面內(nèi)作于點，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，為三棱錐的高，∴三棱錐的體積∵△的面積為定值，∴當(dāng)最大時，三棱錐的體積最大，此時點為半圓弧的中點，，∴三棱錐體積的最大值為，故B錯誤；對于C，由A選項解析可知，，又∵四邊形為正方形，∴，∴異面直線與的距離為線段的長，，∴異面直線與的距離是定值，故C正確；對于D，由B選項解析知，平面，為在平面內(nèi)的射影，∴為直線與平面所成角，當(dāng)直線與平面所成角最大時，取最小值，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，，，則∴在直角三角形內(nèi)，，即，∴，，，，∵，∴∴∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取最小值，直線與平面所成角最大，此時，∵，，三點均為四棱錐的頂點，∴平面截四棱錐外接球的截面為△的外接圓面，∵直角三角形外接圓半徑，∴截面面積，故D正確.故選：ACD.易錯點睛：在判斷三棱錐的四個面是否都是直角三角形時，易忽視△，需通過證明平面進行判斷；在確定直線與平面所成角最大時點的位置時，容易錯誤的認為當(dāng)點為半圓弧的中點時，直線與平面所成角最大，需使用空間向量，借助三角函數(shù)知識進行判斷.三、填空題：本小題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓C的圓心在直線上，且過點，，則圓C的一般方程為__________．【正確答案】【分析】設(shè)出圓的標(biāo)準方程，代入點的坐標(biāo)，結(jié)合圓心在上，列出方程組，求出圓心和半徑，寫出圓的標(biāo)準方程，化為一般方程.【詳解】設(shè)所求圓的標(biāo)準方程為，由題意得：，解得：，故所求圓的方程為，即．故．13.中，，，對應(yīng)的邊為，，，邊上的高長為，則的取值范圍為___________.【正確答案】【分析】利用三角形面積公式和余弦定理得到，從而表達出，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可求的最大值；結(jié)合基本不等式求出的最小值可得答案.【詳解】由三角形面積公式得，即，由余弦定理得，故，，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故.故答案為.14.若二次函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則的最小值為___________.【正確答案】【分析】設(shè)為在上的零點，可得，轉(zhuǎn)化為點在直線上，結(jié)合的幾何意義，可得有解問題，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性和最值即得.【詳解】設(shè)為在上的零點，可得，即，所以點在直線上，而表示點到原點的距離平方，依題意，問題轉(zhuǎn)化為，有解，即，有解，設(shè)，，令，則，則，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以的最大值為，則，當(dāng)，即時，，所以的最小值為.故答案為.四、解答題：本小題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的三個頂點為，，.（1）求邊上的高AD的直線方程；（2）求過點B且與A、C距離相等的直線方程.【正確答案】（1）（2）和.【分析】（1）求出直線的斜率，進而求出直線的斜率，再利用直線的點斜式方程求解即得.（2）利用兩定點到直線距離相等的特性，分情況求解即可.【小問1詳解】由點B、C的坐標(biāo)，得直線的斜率，由，得直線的斜率，由點斜式方程得直線的方程為，整理得，所以邊上的高AD的直線方程為.【小問2詳解】由點A、C的坐標(biāo)，得線段的中點E坐標(biāo)為，顯然點A，C到直線的距離相等，而直線軸，于是直線的方程為；又點A，C到與直線平行的直線的距離也相等，而直線軸，此時所求直線方程為，所以過點B且與A、C距離相等的直線方程為和.16.在三棱柱中，已知，，點在底面的投影是線段的中點.（1）證明：在側(cè)棱上存在一點，使得平面，并求出的長；（2）求平面與平面夾角的正弦值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用線面垂直性質(zhì)以及線面垂直判定定理證明可得結(jié)論，再利用三角形相似可得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系分別求得兩平面的法向量，利用面面角的向量求法計算可得結(jié)果.【小問1詳解】證明：連接，在中，作于點；因為，可得，又因為平面，平面，所以；因為可得，又，平面，所以平面；因為平面，所以，而，平面，可得平面；易知，，又∽，可得，即；即在側(cè)棱上存在一點，使得平面，且；【小問2詳解】由（1）可知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，由，可得點的坐標(biāo)為；由（1）的平面的一個法向量為，又設(shè)平面的一個法向量為，則，令，可得；可得即為平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，因此可得，所以平面與平面夾角的正弦值為.17.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.（1）若，，求邊上的角平分線長；（2）若為銳角三角形，點為的垂心，，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先根據(jù)平方關(guān)系及正弦定理化角為邊，再利用余弦定理求出；利用余弦定理求出，再由等面積法計算可得答案；（2）延長交于，延長交于，設(shè)，分別求出、，再根據(jù)三角恒等變換化，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【小問1詳解】因為，，所以，由正弦定理得，即，由余弦定理得，因為，所以；又因為，，所以，即，解得，設(shè)邊上角平分線長為，則，即，即，解得，即邊上的角平分線長為；【小問2詳解】延長交于，延長交于，設(shè)，所以，在中，在中，，，所以，在中，同理可得在中，所以，因為，所以，所以，所以，即的取值范圍為12,1.18.（1）甲乙兩人分別進行獨立重復(fù)試驗，每人拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣.甲拋擲次，乙拋擲次，，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率.（2）某單位進行招聘面試，已知參加面試的50名學(xué)生全都來自A，B，C三所學(xué)校，其中來自A校的學(xué)生人數(shù)為10.該單位要求所有面試人員面試前到場，并隨機給每人安排一個面試號碼，按面試號碼由小到大依次進行面試，每人面試時長5分鐘，面試完成后自行離場.若B，C兩所學(xué)校參加面試的學(xué)生人數(shù)比為1：3，求A校參加面試的學(xué)生先于其他兩校學(xué)生完成面試（A校所有參加面試的學(xué)生完成面試后，B，C兩校都還有學(xué)生未完成面試）的概率.【正確答案】（1）12，（2）【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)為事件，先分析甲乙都投擲了次的情況，結(jié)合概率的“對稱性”分析得解；（2）先確定來自各校的學(xué)生人數(shù)，再利用條件概率公式進行計算.【詳解】（1）設(shè)拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)為事件，先考慮甲乙都投擲了次的情況，設(shè)甲乙正面向上次數(shù)相等的概率為，甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率為，甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)的概率為，則，所以，若投擲次中，甲乙正面向上次數(shù)相等，則甲在第次投擲要正面向上，有滿足甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)，若投擲次中，甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)，無論甲在第次投擲什么結(jié)果，都不合題意，所以事件是由下面兩個事件的和事件構(gòu)成，即甲乙都投擲了次時，甲乙正面向上次數(shù)相等，且甲在第次投擲要正面向上；甲乙都投擲了次時，甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)，所以，所以拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)得概率為.（2