學(xué)年浙江省嘉興市高二上學(xué)期期末測(cè)試數(shù)學(xué)試題?85分在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為的直線方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線的傾斜角及直線方程即可求解.【詳解】根據(jù)題意，要求直線的傾斜角為，則該直線與x軸垂直，其斜率不存在，又由直線過點(diǎn)，則其方程為故選：.2.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，，則故選：3.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（）A.9B.15C.24D.35【答案】D【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)等差的數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式即可求解.第1頁(yè)/共19頁(yè)【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，，所以，解得，所以.故選：.4.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出焦參數(shù)，根據(jù)焦點(diǎn)的位置確定準(zhǔn)線方程．【詳解】由題意焦點(diǎn)在軸正半軸，，，所以準(zhǔn)線方程為．故選：C．5.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為C上一點(diǎn)，滿足，則（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】，，根據(jù)橢圓定義得到可得出結(jié)果.【詳解】解：設(shè)，，因?yàn)闄E圓C：，所以由橢圓的定義可知，，所以，即，由勾股定理可知：，求得第2頁(yè)/共19頁(yè)故選：B.6.已知二面角大小為l上有AB兩點(diǎn)，線段AC與BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，并且線段AC與BD都垂直于若，，，則CD的長(zhǎng)為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】畫出草圖，根據(jù)向量垂直的結(jié)論得到，再根據(jù)二面角大小，借助向量法，結(jié)合數(shù)量積公式計(jì)算即可.【詳解】解：，，，又直線分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，二面角的大小為，，，，，，故選：A.7.已知AB為圓上存在點(diǎn)PP為線段AB的中點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】第3頁(yè)/共19頁(yè)AB的中點(diǎn)為在以為圓心，1為半徑的圓上，由題意可得，解不等式即可求解.【詳解】圓C的方程為，所以圓心為，半徑，取AB的中點(diǎn)為，連接，由于，則，因此點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，又點(diǎn)在直線上，所以直線與圓，有公共點(diǎn)，則，解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是故選：.8.定義若數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，，令，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】第4頁(yè)/共19頁(yè)【分析】根據(jù)題意求得，結(jié)合，且恒成立，得到，或者，列出不等式，即可求得取值范圍．【詳解】解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，故因?yàn)?，所以即，所以，即因?yàn)?，且恒成立，所以，或者，即或者，解得或者，所以故選：B.二、多選題：本題共3小題，共分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.圓的半徑為B.橢圓的離心率為C.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2第5頁(yè)/共19頁(yè)D.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)圓的方程求得半徑，結(jié)合橢圓離心率公式，雙曲線的實(shí)軸概念，拋物線焦點(diǎn)概念，逐項(xiàng)判定即可.【詳解】解：對(duì)于A，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，半徑為，故A正確；對(duì)于B，，，，得，故B正確；對(duì)于C，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由方程的，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，故D正確.故選：ABD.10.等比數(shù)列的公比為，且滿足，，，記，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.使成立的最小自然數(shù)等于【答案】AD【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)及其性質(zhì)逐一求解即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，且，，若，則，不合乎題意，若，則，這與矛盾，若，則，這與矛盾，若，由，所以，，故A正確；第6頁(yè)/共19頁(yè)對(duì)于B選項(xiàng)，由等比中項(xiàng)知，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由等比中項(xiàng)知：，，故D正確；故選：AD.四棱錐的底面為正方形，底面，，，，，其中，下列說法正確的是（）A.存在實(shí)數(shù)，使得異面直線與的所成角為B.三棱錐的體積為C.直線與平面所成角的正弦值的最大值為D.二面角的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)和線的方向向量，以及面的法向量，結(jié)合向量夾角公式，基本不等式和棱錐體積公式計(jì)算，逐個(gè)驗(yàn)證判斷即可.【詳解】解：如圖，將四棱錐補(bǔ)形成正四棱柱，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，第7頁(yè)/共19頁(yè)由，得，同理，對(duì)于A選項(xiàng)：，，所以，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，取，，設(shè)直線與平面所成角，則，即，要求的最大值，只需考慮，令，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：，，，設(shè)為面的一個(gè)法向量，則，即，取，同理可求得面的一個(gè)法向量為，所以，所以當(dāng)時(shí)，二面角的最大值為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.在空間直角坐標(biāo)系中，已知平面的法向量為，平面的法向量為，第8頁(yè)/共19頁(yè)若，則實(shí)數(shù)k的值為__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)表示求解.【詳解】解：，，存在實(shí)數(shù)使得，解得故答案：13.3再加上反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”又稱“角谷猜想”等如取正整數(shù)3個(gè)步驟變成簡(jiǎn)稱為3步“雹程”現(xiàn)滿足：為正整數(shù)，，當(dāng)時(shí)，使得需要__________步雹程.【答案】7【解析】【分析】由求解.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，共7步，故答案為：714.已知拋物線，點(diǎn)在C上，k為常數(shù)，按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)和過點(diǎn)作斜率為k的直線與C的另一交點(diǎn)為，過點(diǎn)作斜率為的直線與C的另一交點(diǎn)為，記的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，直線的斜率為，則第9頁(yè)/共19頁(yè)__________.【答案】【解析】【分析】由在C上，求得拋物線方程，故，再結(jié)合拋物線方程得到和，從而得到求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在C上，故，拋物線，因?yàn)椋?，直線的斜率為k，所以①同理②，兩式相加化簡(jiǎn)得，所以，因此，即故答案為：四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在平面直角坐標(biāo)系中，圓經(jīng)過點(diǎn)，且與圓相切于點(diǎn)（1）求直線的方程;（2）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）（2）【解析】第10頁(yè)/共19頁(yè)1）根據(jù)直線斜率公式所求切線的斜率，再運(yùn)用點(diǎn)斜式直線方程求解.（2）方法一：用待定系數(shù)法即可求解；方法二：根據(jù)圓上的弦的垂直平分線經(jīng)過圓心即可求解.【小問1詳解】把圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心，，則直線，即【小問2詳解】方法一：設(shè)圓的方程為，則兩式相減得，則，又因?yàn)椋?，故所求圓的方程為方法二：圓心線段MN的中垂線方程為，則圓心在直線上，也在直線上，解得圓心，圓的半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程16.如圖，在直三棱柱中，，，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足，其中第11頁(yè)/共19頁(yè)（1）若平面，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】1）通過建立空間直角坐標(biāo)系，先根據(jù)已知點(diǎn)坐標(biāo)求出相關(guān)向量，再依據(jù)線面平行時(shí)向量與平面法向量的關(guān)系求出參數(shù)值，從而得解；（2）利用（1）中結(jié)論，結(jié)合兩個(gè)平面法向量的夾角來計(jì)算面面角的余弦值.【小問1詳解】因?yàn)?，由已知得平面ABC，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，第12頁(yè)/共19頁(yè)則，即，取，因，所以，，因?yàn)槠矫?，所以，則【小問2詳解】因?yàn)?，所以，，，設(shè)平面AEF的法向量為，則即，取向量，設(shè)平面與平面AEF所成角為，則所以平面與平面DBE所成角的余弦值為17.已知雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)在雙曲線C上.（1）求C的方程;（2）過點(diǎn)的直線l交雙曲線C的左支于A，B兩點(diǎn)，記直線PA，PB的斜率分別為，，是否存在常數(shù)，使得恒成立?若存在，求的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】.第13頁(yè)/共19頁(yè)、，通過計(jì)算判斷是否存在滿足條件的常數(shù).【小問1詳解】由已知得解得，，所以雙曲線C的方程為【小問2詳解】設(shè)，，由題意知直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立消x得解得，假設(shè)存實(shí)數(shù)，使得2恒成立，當(dāng)，有一個(gè)交點(diǎn)為，此時(shí)不滿足，故，因此，，則故存在實(shí)數(shù)滿足條件.18.已知為等差數(shù)列，，，記.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式;（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，第14頁(yè)/共19頁(yè)（i）求數(shù)列的前n項(xiàng)和（ii）在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，其中m，k，p成等差數(shù)列成等比數(shù)列?若存在，求出這樣的3項(xiàng);若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1），；（2i）ii）不存在，理由見解析【解析】1）根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的公差，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式.（2iii【小問1詳解】依題意，等差數(shù)列的公差，，，所以數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，.【小問2詳解】（i）依題意，，則，，設(shè)，記前n項(xiàng)和，，，兩式相減得：，因此，所以.（ii）假設(shè)數(shù)列中存在3項(xiàng)成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，于是，即，第15頁(yè)/共19頁(yè)由成等差數(shù)列，得，則，化簡(jiǎn)得，因此，又，則與已知矛盾，所以數(shù)列中不存在三項(xiàng)，，成等比數(shù)列.19.造型可以看作圖中曲線C的一部分，已知C過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于，到點(diǎn)的距離與到定直線的距離之積為（1）求a的值;（2）當(dāng)點(diǎn)在C上時(shí)，求證：（3）如圖，過點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦，分別交曲線C于，，，，其中，求四邊形面積的最小值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】1）根據(jù)曲線C上的點(diǎn)滿足的條件，結(jié)合可求a的值；（2）當(dāng)點(diǎn)在C上時(shí)，方法一：利用解不等式求解；方法二：利用P在x軸與直線上的射影分別為QR用求解即可.（3）討論直線的斜率，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，其中，利用弦第16頁(yè)/共19頁(yè)長(zhǎng)公式，三角形面積公式可得，再結(jié)合換元法以及三角函有界性可求四邊形面積的最小值.【小問1詳解】因?yàn)镺在曲線上，所以O(shè)到的距離為，而，所以有，即【小問2詳解】方法一：因?yàn)?，所以曲線C的方程為，可化為，即，因此，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào).方法二：同上曲線C的方程為，因此，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào).方法三：如圖設(shè)點(diǎn)P在x軸，直線上的射影分別為Q，R，則根據(jù)定義，因此，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào).第17頁(yè)/共19頁(yè)【小問3詳解】由，得當(dāng)其中一條直線的斜率為0時(shí)，另一條直線的斜率不存在，此時(shí)當(dāng)兩條直線斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的斜率為k，傾斜角為，由對(duì)稱性不妨設(shè)，，