第七單元第5節(jié)空間向量與線、面位置關(guān)系2023屆1《高考特訓(xùn)營(yíng)》·數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀命題方向數(shù)學(xué)素養(yǎng)1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.4.理解直線的方向向量及平面的法向量.5.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.6.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理1.空間向量的線性運(yùn)算數(shù)學(xué)抽象直觀想象邏輯推理2.共線定理、共面定理的應(yīng)用3.空間向量數(shù)量積的應(yīng)用4.利用空間向量證明平行、垂直0102知識(shí)特訓(xùn)能力特訓(xùn)01知識(shí)特訓(xùn)知識(shí)必記拓展鏈接對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

01相同相等

相反相等平行或重合平面2.空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理空間兩個(gè)向量a與b(b≠0)共線的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表達(dá)式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b為不共線向量．(3)空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫作空間的一個(gè)基底．[探究]

基向量和基底一樣嗎？0是否能作為基向量？提示：不一樣．基底是指一個(gè)向量組，基向量是指基底中的某一個(gè)向量；因?yàn)?與其他兩個(gè)非零向量共面，所以0不能作為基向量．

互相垂直②兩向量的數(shù)量積已知空間兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos

〈a，b〉叫作向量a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律①(λa)·b＝λ(a·b)．②交換律：a·b＝b·a.③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

a1b1＋a2b2＋a3b3

a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

a1b1＋a2b2＋a3b3＝0[注意]有關(guān)向量的數(shù)量積的兩點(diǎn)提醒(1)若a，b，c(b≠0)為實(shí)數(shù)，則ab＝bc?a＝c，但對(duì)于向量就不正確，即a·b＝b·c

a＝c.(2)向量數(shù)量積的運(yùn)算只適合交換律、加乘分配律及數(shù)乘結(jié)合律，但不適合乘法結(jié)合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．這是由于(a·b)·c表示一個(gè)與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線．5．空間位置關(guān)系的向量表示(1)直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或在這條直線上)的有向線段所表示的向量，一條直線的方向向量有無數(shù)個(gè)．(2)平面的法向量直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個(gè)向量叫作平面α的法向量．顯然一個(gè)平面的法向量有無數(shù)個(gè)，它們是共線向量．(3)位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝0

[探究]

用向量法證明空間的線、面垂直關(guān)系的關(guān)鍵是什么？提示：需要確定直線的方向向量和平面的法向量，然后把證明線、面的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量間的關(guān)系．

3．[思想方法]確定平面的法向量的方法(1)直接法：觀察是否有垂直于平面的向量，若有，則此向量就是該平面的法向量．【例】已知四邊形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如圖所示的坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz中，分別求平面SCD和平面SAB的一個(gè)法向量．

4．[學(xué)以致用]空間向量與軌跡(方程)【例】17世紀(jì)，笛卡爾在《幾何學(xué)》中，通過建立坐標(biāo)系，引入點(diǎn)的坐標(biāo)的概念，從而實(shí)現(xiàn)了代數(shù)問題與幾何問題的轉(zhuǎn)化，創(chuàng)立了新分支——解析幾何．我們知道，方程x＝1在一維空間中表示一個(gè)點(diǎn)，在二維空間中表示一條直線，那么在三維空間中，它表示________．過點(diǎn)P(1，－1，2)且法向量為v＝(1，2，3)的平面的方程是________．答案：一個(gè)平面x＋2y＋3z－5＝0解析：依題意可得，x＝1在三維空間中表示一個(gè)平面，在這個(gè)平面上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為1.過點(diǎn)P(1，－1，2)且法向量為v＝(1，2，3)的平面的方程為1(x－1)＋2(y＋1)＋3(z－2)＝0，整理得x＋2y＋3z－5＝0.1．[易錯(cuò)診斷](2022·江西模擬)若直線l的一個(gè)方向向量a＝(1，2，－1)，平面α的一個(gè)法向量m＝(－2，－4，k)，若l⊥α，則實(shí)數(shù)k＝________．答案：2解析：∵l⊥α，∴l(xiāng)的一個(gè)方向向量a＝(1，2，－1)與平面α的一個(gè)法向量m＝(－2，－4，k)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λm，【易錯(cuò)點(diǎn)撥】應(yīng)用直線的方向向量和平面的法向量判定空間垂直與平行的位置關(guān)系不當(dāng)致誤．

3．[模擬演練](2022·山東青島檢測(cè))已知在四面體A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，BD＝DC，BD⊥CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為________．

4．[真題體驗(yàn)](2021·全國(guó)乙卷)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM，求BC.

02能力特訓(xùn)特訓(xùn)點(diǎn)1特訓(xùn)點(diǎn)2特訓(xùn)點(diǎn)3特訓(xùn)點(diǎn)4

特訓(xùn)點(diǎn)1空間向量的線性運(yùn)算【自主沖關(guān)類】D

D

A[錦囊·妙法]用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形．(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中．(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．

特訓(xùn)點(diǎn)2共線定理、共面定理的應(yīng)用【師生共研類】

如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)求證：BD∥平面EFGH.(2)由(1)易知EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.典例2如圖，已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求線段AC1的長(zhǎng)；(2)求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值．(3)求證：AA1⊥BD.特訓(xùn)點(diǎn)3空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【師生共研類】

B

特訓(xùn)點(diǎn)4利用空間向量證明平行、垂直【師生共研類】[解題指導(dǎo)]證明垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方向向量和平面的法向量；證明線面平行(方向向量和法向量垂直)和面面垂直(法向量垂直)．證明：(1)如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OP，OF.因?yàn)镻A＝PD，所以PO⊥AD.因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.又O，F(xiàn)分別為AD，BD的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥AB.

又PA⊥PD，PD∩CD＝D，PD，CD?平面PDC，所以PA⊥平面PDC.又PA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.(1)利用向量法證明平行問題①線線平行：方向向量平行．②線面平行：平面外的直線的方向向量與平面的法向量垂直．③面面平行：兩平面的法向量平行．(2)利用向量法證明垂直問題的類型及常用方法線線垂直問題證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零線面垂直問題證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂