0第六節(jié)專題:函數(shù)的切線問題題型總結(jié)【1】詳見解析解析:(1)f則切線的斜率為f′由直線的點(diǎn)斜式方程得,曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y即12x?(2)設(shè)過點(diǎn)P的切線與曲線y=fx相切于點(diǎn)曲線y=fx在點(diǎn)R處切線斜率為可得切線的方程為y?代入點(diǎn)P,可得83解得,m=2或故切點(diǎn)R分別為2,83和過點(diǎn)P的切線方程為y?83=所以過點(diǎn)P的切線方程有兩條:12x?3y?16=【2】5x解析:由y=得y′所以所求切線的斜率為k=所以所求的切線方程為y??3=5故答案為:5x【3】4x解析:∵f∴f∴f∴fx在π4,f整理得4x+2y?π【4】x解析:當(dāng)x≤0時(shí),函數(shù)fx=設(shè)切點(diǎn)為Px0,y0所以切線方程為y?因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)O0,0,可得?ex0=?x0ex0,解得x0=設(shè)切點(diǎn)為Px1,y1所切線方程為y?ln因?yàn)榍悬c(diǎn)過原點(diǎn)O0,0,可得lnx1此時(shí)切線方程為y?1=1ex?e【5】2解析:函數(shù)的定義域?yàn)?,+∞由曲線fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程是2x?由fx=alnx?1x+ba=又f1=0?1+b=0,解得解析:直線x+2y+2=∵切線與直線x+2y+2=0垂直,y′=2ae2ax,當(dāng)x=0【7】e解析:設(shè)切點(diǎn)為x0由fx=exx得,f由直線y=ax可知切線過(0,0),故∴ex0x0∴a=e24【8】1解析:令y=設(shè)切點(diǎn)為x0則切線斜率k=則切線方程為y?即y?即y=又切線方程為y=故3ln得x0因?yàn)楹瘮?shù)y=x2,y=所以函數(shù)gx=x2+3且g1=0,故x0=1【9】B解析:由y=ex得y′=ex,又切點(diǎn)為(1,e),故切線斜率為e,切線設(shè)l與曲線y=a+lnx對函數(shù)y=a+lnx求導(dǎo)得y′=1x所以a+ln1e=a?1【10】0解析:曲線y=ln所以曲線y=ln2x+2在?1故切線為y=y所以曲線y=ex+x+a在所以切線方程為:y?化簡,得y=令ex0+【11】1解析:因?yàn)閒x所以f′設(shè)設(shè)直線y=kx與fx=lnx則切線方程為y?ln即y=又因?yàn)閥所以1x解得x1所以切線方程為:y=因?yàn)間x所以g′設(shè)直線y=1ex與gx所以g′又因?yàn)榍悬c(diǎn)x0,aex0所以aex0=1ex0解得a=1e2【12】1解析:設(shè)直線與曲線y=fx相切于點(diǎn)Px1,y1由fx=lnx,則f′x=y又切線過點(diǎn)0,?12,所以?12?lnx所以切線方程為y=1ex?12,由則2ax2=1eax2【13】3解析:由題意可得f′x=ex?1,設(shè)直線y=kx則ex1?1=又切點(diǎn)在曲線上,所以y1代入直線方程可得k=klnk+1?2k,即k2?lnk=0,解k=g′x=1x?2,設(shè)直線y=kx所以k=1x2?2,由又y2=lnx2?所以將2+1e2,1代入曲線解得m=3.【14】A解析:設(shè)切點(diǎn)為x0因?yàn)閒x=ex?則f′x0=e設(shè)gx=exx由g′x>0,得x>1,則g由g′x<0,得0<x故gx≥g1=e,即【15】3解析:函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)f由題意,若曲線C存在與直線y=13x垂直的切線,則13ex?2m=?1,即2m=ex+所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是32【16】C解析:由題意,f′x=4ax+1則a=?14xx?1因?yàn)閡x=4x?1所以ux>0,則a【17】[解析:fx=a2x由fx不存在垂直于y軸的切線,可得ax?顯然x≠0,故a設(shè)gx=exx當(dāng)x>1時(shí),g′x>0當(dāng)x<0或0<x<1時(shí),g即有g(shù)x在x=1處取得極小值,且為由于直線y=a與y可得0≤a<e,故答案為:【18】1解析:因?yàn)閒x=xe2x設(shè)切點(diǎn)為(t,2t),則te2t?a=當(dāng)t=0時(shí)a=?1,則f所以fx在(0,0)處的切線為y=當(dāng)t≠0,則e2t=2+a,則a=?則e2t=01+2te2t=0,此時(shí)答案為:1【19】A解析:設(shè)切點(diǎn)為x0由fx=exx則過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線的斜率k=故x03?x0解得x0=1,故過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線共有1條.【20】?∞,解析:∵y∴y設(shè)切點(diǎn)為x0,y0,則y0切線方程為y?∵切線過原點(diǎn),∴?x整理得:x0∵切線有兩條,∴Δ=a2?4a>0∴a的取值范圍是?∞,0∪4【21】D解析:設(shè)切點(diǎn)為x0,x0?∴切線方程是y?∵切線過點(diǎn)Aa∴?x0?1e∵過點(diǎn)Aa,∴方程x02∴Δ=a+12?4>0【22】C解析:因?yàn)閥=lnx?1設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為:x0,lnx0?所以切線方程為:y?ln又切線過點(diǎn)(3,1),所以1?ln設(shè)f則f′由f′x>0?所以函數(shù)fx在(0,2)上單調(diào)遞減,在2,+∞且f1所以fx=0在1e,2和所以方程:lnx0?1+【23】1解析:f′x=x2?2x,設(shè)點(diǎn)則切線方程為y?fy將點(diǎn)(0,a)代入可得a=?令gx=?23x∴當(dāng)x<0時(shí),g′x<0,gx單調(diào)遞減;當(dāng)0<x<1時(shí),又g0=1,g1=43,∴當(dāng)即當(dāng)1<a<43時(shí),有3個(gè)不同的x即過點(diǎn)(0,a)可作三條直線與曲線fx=故答案為:1,【24】3解析:f′x=2e2x即2e2x即a=?2令t=ex,則t>0所以y=a與φφ因?yàn)閠>0,所以φtmax=φ12=故實(shí)數(shù)a的取值范圍是3,72.【25】A解析:設(shè)曲線y=lnx與其切線相切于點(diǎn)At,lnt,由則曲線y=lnx在點(diǎn)At,lnt由切線過點(diǎn)(a,1),得1=1ta?由過點(diǎn)(a,1)可以作曲線y=lnx的兩條切線,得方程a令ft=2t?tlnt,則直線求導(dǎo)得f′t=1?lnt,當(dāng)0<t<e時(shí),f則函數(shù)ft在(0,e)上單調(diào)遞增,在e,+∞上單調(diào)遞減,當(dāng)x=e時(shí),ft取得最大值而當(dāng)x從大于0的方向趨近于0時(shí),ft的值趨近于0因此當(dāng)0<a<e時(shí),直線y=a所以a的取值范圍為(0,e).故選:A【26】?∞,?6解析:由fx設(shè)切點(diǎn)為Px1,y1y又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(0,m),代入切線方程得2x12所以x1即方程2x2+2?所以Δ=2?m2?4×2×2?m故答案為:?∞,?6【27】[解析:設(shè)切點(diǎn)為x0故切線方程為y?將(1,b)代入切線方程得b?∴b過點(diǎn)(1,b)作曲線y=x則關(guān)于x0的方程b=可轉(zhuǎn)化為直線y=b與函數(shù)y令gx=g當(dāng)x<?2時(shí),g′x<0當(dāng)?2<x<1時(shí),當(dāng)x>1時(shí),g′x<0故gx的單調(diào)減區(qū)間?∞,?2,當(dāng)x→?∞時(shí),gx→0,當(dāng)x→+∞且g1當(dāng)y=b與y=gx故答案為:[0【28】B解析:設(shè)切點(diǎn)為x0,x0+1f所以在點(diǎn)x0,x0+所以在點(diǎn)x0,x0+因?yàn)榍芯€過點(diǎn)P?1,m即m=x切線的條數(shù)即為直線y=m與g設(shè)gx則g由g′x>0可得?1<x<1,由g所以gx=x+12ex在當(dāng)x趨近于正無窮,gx趨近于0,當(dāng)x趨近于負(fù)無窮,gxgx的圖象如下圖,且g要使y=m與gx=x則m的取值范圍是:0,4e解析:設(shè)切點(diǎn)為x0,x03,切線方程為y=y′=3x2即切線的斜率k=3x02所以3x02x0令gx=2x3因?yàn)閍>0,所以當(dāng)x<0或x>a時(shí),g′x>所以gx在?∞,0和a,+∞所以當(dāng)x=0時(shí),gx取得極大值,當(dāng)x=a即gx依題意gx=所以gx極大值=g0即0<b<【30】C解析:設(shè)切點(diǎn)為Px對y=ex+1∴切線的斜率為ex可得切線方程為:y?把點(diǎn)(a,b)代入可得b?化為b=令fxf令f′x>0得x<a;令所以函數(shù)fx在?∞,a上單調(diào)遞增,在a可得x=a時(shí)函數(shù)fx取得極大值當(dāng)x→?∞時(shí),f當(dāng)x→+∞時(shí),f∴b≤0時(shí),y=b與函數(shù)fx的圖象最多有一個(gè)交點(diǎn),不符合題意,舍去.b>0∴y=b與函數(shù)∴0<b【31】A解析:設(shè)切點(diǎn)為x0,x0+則切線方程為:y?把點(diǎn)(a,b)代入可得b?化為:b?ax0則b?a≠0Δ=4?4b?【32】2解析:直線y=kx+b是曲線gx=ln則兩個(gè)切點(diǎn)都在直線y=kxx1則兩個(gè)曲線的導(dǎo)數(shù)分別為y′由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知k=1x1=且切點(diǎn)在各自曲線上,∴則將x1=x2+③一②可得k=2,故答案為:2.【33】e解析:設(shè)曲線y=ex與y=?e?x的切點(diǎn)分別為x1,ex1,x2,?e?x2,易知兩曲線的導(dǎo)函數(shù)分別為y′=ex,y′=e?x,由題意可知:k=ex1=e?x2kx1+t=ex1kx2+t=?e?x2,可得x1=?x2x1ex1+t=ex1x【35】D解析:fx=lnx,則曲線fx=lnx的切線方程為:化簡得,∴y曲線gx=ex?化簡得,y=故1x1?1lnx1?1當(dāng)x1=e,切線方程為x?ey=0,故當(dāng)x1=1,切線方程為y=x?1,故故m+n的取值為?e或2.【36】D解析:設(shè)直線y=kx+b與函數(shù)y=ex?1的切點(diǎn)為x1,y1,則k=ex1?1y1=ex1?1y1=kx1+b.設(shè)直線y=kx+b與函數(shù)y=ex?2的切點(diǎn)為x2,y2,則k=ex2y2=ex2?2y2=kx2所以函數(shù)gt在0,+∞上單調(diào)遞增,又所以方程2lnt+t?所以切點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,0),切線斜率k=則切線方程為y=x?【38