2025年高三數(shù)學(xué)二輪高頻考點專題復(fù)習(xí)數(shù)列求和專項1．公式法（1）等差數(shù)列{an}的前n項和為：，推導(dǎo)方法為倒序相加法．（2）等比數(shù)列{an}的前n項和為：，推導(dǎo)方法為乘公比與錯位相減法．（3）一些常見的數(shù)列的前n項和：①；．②；③；=4\*GB3④．2．幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．（3）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法求解（4）倒序相加法：如果一個數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解．3．常用結(jié)論常見的裂項技巧：=1\*GB3①；；；；②；；③；；④；⑤；常見放縮公式：．4．?dāng)?shù)列在數(shù)學(xué)文化與實際問題中的應(yīng)用縱觀近幾年高考，數(shù)列以數(shù)學(xué)文化為背景的問題，層出不窮，讓人耳目一新．同時它也使考生們受困于背景陌生，閱讀受阻，使思路無法打開．本節(jié)通過對典型高考問題的剖析、數(shù)學(xué)文化的介紹、及精選模擬題的求解，讓考生提升審題能力，增加對數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識，進(jìn)而加深對數(shù)學(xué)文化理解，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．例1、（裂項相消法）已知數(shù)列的前項和為，，．(1)求數(shù)列的通項公式(2)設(shè)，記數(shù)列的前項和為，證明．【解析】（1）由，當(dāng)時，則，可得，則；當(dāng)時，則，可得；綜上所述：可得，可知是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以的通項公式為.（2）由（1）可知：，可得．所以．例2、（錯位相減法）已知等差數(shù)列的前項和為，，、、成等比數(shù)列，數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【解析】（1）依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為、、成等比數(shù)列，所以，又，即，整理可得，解得，故，因為，當(dāng)時，，兩式相減，得，即，又時，，即，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故.（2）由（1）得，故，則,兩式相減得，故例3、（倒序相加法）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，（），數(shù)列的前n項和為，若對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為,由①,則②,所以可得：，故，.（2）由（1）知，，則時，，所以

.又由對一切恒成立,可得恒成立,即有對一切恒成立.當(dāng)時,取得最大值，所以；故實數(shù)的取值范圍是.例4、（奇偶分類求和）已知數(shù)列的前n項和，且，數(shù)列滿足，其中．(1)求和的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項和．【解析】（1）對于，當(dāng)時，，當(dāng)時，由得，兩式相減得，由于，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.對于，，所以，也符合上式，所以.（2）當(dāng)為奇數(shù)時，；，所以.當(dāng)為偶數(shù)時，；所以.所以.例5、（數(shù)列求和與恒成立問題）已知數(shù)列滿足.(1)證明：是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記的前項和為，若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為，所以，，于是，又因為，所以是以為首項?為公比的等比數(shù)列，于是，即.（2）由（1）得，，，，兩式相減得，，所以，由，得恒成立，即恒成立，時不等式恒成立；時，，增函數(shù)，故當(dāng)時，，所以；時，，增函數(shù)，所以，所以；所以.1．已知數(shù)列和首項為2的等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，若，，且.(1)求和的通項公式和的前n項和；(2)若數(shù)列的通項公式滿足，設(shè)為的前n項和，求證:.2．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，.(1)求的通項公式.(2)試問有多少項為整數(shù)？(3)求數(shù)列的前n項和.3．已知數(shù)列，，，是的前項和.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求；(3)若，記數(shù)列的前項和為，證明：．參考數(shù)據(jù)：.4．設(shè)數(shù)列的前項和為，已知.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.5．記為等差數(shù)列的前項和，，.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和，并比較與的大小.6．已知數(shù)列滿足．(1)若，求證：為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和．7．已知等差數(shù)列滿足，是關(guān)于的方程的兩個根.(1)求；(2)求數(shù)列的前項和.8．已知等差數(shù)列的前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，令，求數(shù)列的前項和．9．已知數(shù)列的前項和為，且分別滿足：，.(1)求通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.10．已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求通項；(2)求數(shù)列的前n項和.11．已知是等差數(shù)列的前項和，且，.(1)求的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前100項和.12．已知數(shù)列的前n項和為，，．(1)求的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前n項和．13．已知數(shù)列是公差大于1的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列，若數(shù)列前項和為，并滿足，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)若，求數(shù)列前項的和．14．已知數(shù)列滿足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)令，求數(shù)列的前項和.15．已知數(shù)列的前n項和滿足，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，為的前n項和，求使成立的n的最小值．16．已知數(shù)列的首項為，且滿足.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和為；(3)求數(shù)列的前項和.參考答案1．(1)；；(2)證明見詳解【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由即可求出，進(jìn)而得，令，由得即可求出，進(jìn)而得，令，利用錯位相減法即可求出；（2）由，利用裂項相消法即可證明.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項，，所以，，，又因為，所以，令，，又有，則有，所以，又因為數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以，令，所以①，②，由①—②有：，（2）因為，所以.2．(1)(2)5(3)【分析】（1）應(yīng)用等差數(shù)列求出公差，再結(jié)合通項公式計算即可；（2）根據(jù)通項公式特征計算求解；（3）應(yīng)用分組求和結(jié)合錯位相減計算求解.【詳解】（1）數(shù)列是等差數(shù)列，且，，所以，設(shè)等差數(shù)列公差為，所以，所以，所以，所以.（2）因為，當(dāng)為整數(shù)時，則為整數(shù)，所以，所以有5項為整數(shù)；（3）因為，所以，數(shù)列的前n項和.設(shè)，于是，兩式相減得，所以，所以3．(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式證明即可；（2）應(yīng)用錯位相減法計算求和即可；（3）分奇偶應(yīng)用等比數(shù)列求和，再構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合累加法及對數(shù)運算證明即可.【詳解】（1）由題，得；又，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，故.，則，兩式相減得，，所以.（3）由（2）可知所以數(shù)列中的奇數(shù)項（），偶數(shù)項，（），.由于，則，所以，則，所以.由于.構(gòu)造函數(shù)，，所以，則在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，則，即任意，，即在恒成立.令，，則，即，，所以，，，.以上各式相加得，，即.所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用換元法令，累加法計算求解.4．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)探索數(shù)列的特點，再求其通項公式.（2）求數(shù)列的通項公式，再利用分組求和的方法求其前項和.【詳解】（1）當(dāng)時，，得.當(dāng)時，，所以.所以是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，故.（2）由已知得，所以.5．(1)(2)【分析】（1）結(jié)合等差數(shù)列通項公式聯(lián)立方程組求解即可；（2）利用裂項相消法求出數(shù)列的前項和，再結(jié)合對數(shù)運算比較大小即可.【詳解】（1）因為為等差數(shù)列，設(shè)公差為，因為，，所以，解得，故.（2）因為，所以，則對，，又，故.6．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取倒數(shù)，即可根據(jù)等差數(shù)列的定義求證，（2）利用裂項相消法求和即可得解.【詳解】（1）證明：因為，所以，即因為，所以．又因為，所以是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列（2）由（1）得，所以，所以．所以7．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理可得，利用等差數(shù)列通項公式列式計算；（2）由（1）求得通項，代入運算可得，利用裂項求和得解.【詳解】（1）根據(jù)題意，由韋達(dá)定理可得，因為數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，所以，即，則，解得，.（2）由（1），則，，，.8．(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，即可得出數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用錯位相減法可求得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，可得①，由可得，整理可得②，聯(lián)立①②可得，，所以，.（2）因為，則，所以，，，上式下式得，因此，.9．(1)，；(2)【分析】（1）利用的關(guān)系先求得的遞推公式，根據(jù)構(gòu)造法求出，再由的關(guān)系求，然后可得；（2）利用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）令得，當(dāng)時，由得：，兩式相減得：，整理得，即，所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，得，當(dāng)時，，時，上式也成立，所以，所以，即.（2）記，其前項和為，則，，兩式相減得所以10．(1)證明見詳解，(2)【分析】（1）將，變形為，再利用等差數(shù)列的定義求解；（2）求出，再利用錯位相減法求解.【詳解】（1）因為，所以，又，即，所以數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，，即.（2）由（1），，則，兩式相減得，，.11．(1)(2)200【分析】（1）設(shè)出公差，根據(jù)題目條件得到方程組，求出首項和公差，得到通項公式.（2）求出，利用分組求和公式得到答案.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，，得，解得，則所以的通項公式為.（2）由（1）得，所以.12．(1)(2)【分析】（1）已知與的關(guān)系求解通項公式即可；（2）由（1）得，從而得到，利用錯位相減法求其前n項和即可.【詳解】（1）由，得（，），，（，）．又，，，整理得．?dāng)?shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）得，．，即，，兩式相減，得，．13．(1)；(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量可求出；利用和的關(guān)系，構(gòu)造出即可求出；（2）由（1）可知，利用錯位相減法求解即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，且，，成等比數(shù)列知：，整理得：，即或者，因為公差大于1，故.且，故.數(shù)列前項和為，并滿足①，且，解得，故當(dāng)時，②，①式減②式得：，即，故是公比為2的等比數(shù)列，則，故；（2）由（1）可知，故則故故則14．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知可得，進(jìn)而結(jié)合已知可得，可得結(jié)論；（2）結(jié)合（1）可得，令，對照系數(shù)可得，進(jìn)而利用累加法可求得.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以，又，所以是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可知令，對照系數(shù)可得（其中），.15．(1)(2)5【分析】（1）由題干中的條件，得數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，求出，再利用即可求出數(shù)列的通項公式.（2）利用裂項相消求出，再解不等式即可.【詳解】（1））由，得數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，又，，．當(dāng)時，，又也滿足上式，（2