6.2.4向量的數(shù)量積【題型歸納】TOC\o"12"\h\u題型1平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 5考點(diǎn)1平面向量數(shù)量積的簡(jiǎn)單計(jì)算 5考點(diǎn)2平面幾何圖形中的向量數(shù)量積的計(jì)算 7題型2向量的投影 10題型3利用平面向量數(shù)量積求向量的模 13題型4利用平面向量數(shù)量積求向量的夾角 14題型5向量的垂直問題 16題型6利用平面向量數(shù)量積判斷三角形的形狀 18題型7利用平面向量數(shù)量積求最值 23考點(diǎn)1求向量數(shù)量積的最值問題 23考點(diǎn)2求向量模有關(guān)的最值問題 27考點(diǎn)3求向量夾角有關(guān)的最值問題 29鞏固提升訓(xùn)練 32知識(shí)點(diǎn)一向量的數(shù)量積1．向量數(shù)量積的物理背景如圖，一個(gè)物體在力的作用下產(chǎn)生位移，且力與位移的夾角為，那么力所做的功.其中是在物體位移方向上的分量的數(shù)量，也就是力在物體位移方向上正投影的數(shù)量.我們知道力和位移都是矢量，而功是一個(gè)標(biāo)量(數(shù)量).這說明兩個(gè)矢量也可以進(jìn)行運(yùn)算，并且這個(gè)運(yùn)算明顯不同于向量的數(shù)乘運(yùn)算，因?yàn)閿?shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量，而這個(gè)運(yùn)算的結(jié)果是數(shù)量.2．向量的夾角已知兩個(gè)非零向量，，如圖所示，是平面上的任意一點(diǎn)，作，，則叫做向量與的夾角，也常用表示.向量夾角的取值范圍為.向量夾角的特殊情形，如圖(1)(2)(3)所示，當(dāng)時(shí)，向量，共線且同向；當(dāng)時(shí)，向量，相互垂直，記作；當(dāng)時(shí)，向量，共線且反向.3．兩個(gè)向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即.注：(1)在書寫數(shù)量積時(shí)，與之間用實(shí)心圓點(diǎn)“”連接，而不能用“”連接，更不能不寫.(2)向量線性運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量，而兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角有關(guān)，符號(hào)由夾角的余弦值的符號(hào)決定.(3)設(shè)兩個(gè)非零向量與的夾角為，則當(dāng)時(shí)，，;當(dāng)為銳角時(shí)，，且;當(dāng)為直角時(shí)，，;當(dāng)為鈍角時(shí)，，且;當(dāng)時(shí)，，.(4)在運(yùn)用數(shù)量積公式時(shí)，一定要注意向量夾角的范圍是4．向量的投影如圖(1)，設(shè)，是兩個(gè)非零向量，，，我們考慮如下的變換：過的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.如圖(2)，我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，.過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量.顯然，在上的投影向量(與向量共線)與在上的投影向量(與向量共線)是不同的.5．向量數(shù)量積的幾何意義如圖，稱為向量在向量上的投影的數(shù)量，可以表示為向量的數(shù)量積的幾何意義：的長(zhǎng)度與在上的投影的數(shù)量的乘積(如圖)；或的長(zhǎng)度與在上的投影的數(shù)量的乘積.注：(1)在上的投影向量可能與同向，可能反向，也可能為，它的方向取決于角的范圍.具體情況，我們可以借助下面的圖形進(jìn)行分析：的范圍圖形在上的投影向量與同向與同向與反向與反向(2)由，得當(dāng)為銳角時(shí)，，且；當(dāng)為鈍角時(shí)，，且；當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，.知識(shí)點(diǎn)二向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律1．向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則(1).(2).(3)當(dāng)與同向時(shí)，;當(dāng)與反向時(shí)，.特別地，或(4)，當(dāng)且僅當(dāng)向量，共線，即時(shí)，等號(hào)成立.(5)2．向量數(shù)量積的運(yùn)算律由向量數(shù)量積的定義，可以發(fā)現(xiàn)下列運(yùn)算律成立：對(duì)于向量，，和實(shí)數(shù)，有(1)交換律:；(2)數(shù)乘結(jié)合律:；(3)分配律:.知識(shí)點(diǎn)三向量數(shù)量積的常用結(jié)論(1)；(2)；(3)；(4)；(5)，當(dāng)且僅當(dāng)與同向共線時(shí)右邊等號(hào)成立，與反向共線時(shí)左邊等號(hào)成立.以上結(jié)論可作為公式使用.【題型歸納】題型1平面向量數(shù)量積的運(yùn)算考點(diǎn)1平面向量數(shù)量積的簡(jiǎn)單計(jì)算1．（2425高一下·全國(guó)·課堂例題）已知等邊的邊長(zhǎng)為1，求：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】根據(jù)數(shù)量積的公式計(jì)算即可，要注意其夾角.【詳解】（1）與的夾角為，.（2）與的夾角為，.（3）與的夾角為，.2．（2425高一上·上?！ふn后作業(yè)）已知，，按下列條件分別求：(1)向量、的夾角為；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的公式直接可得解；（2）根據(jù)向量可知兩向量夾角，進(jìn)而可得解；（3）根據(jù)垂直，直接可得數(shù)量積.【詳解】（1）由，，且向量、的夾角為，則；（2）由，可知向量、的夾角為或，則，所以；（3）由，則.3．（2324高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，，與的夾角為，求：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算即可；（2）根據(jù)數(shù)量積的定義和運(yùn)算律計(jì)算即可；（3）根據(jù)數(shù)量積的定義和運(yùn)算律計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，與的夾角為，所以（2）（3）因?yàn)樗?考點(diǎn)2平面幾何圖形中的向量數(shù)量積的計(jì)算4．（2324高一下·貴州遵義·階段練習(xí)）已知是邊長(zhǎng)為的正三角形.(1)求的值；(2)設(shè)，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及定義計(jì)算可得；（2）用、作為一組基底表示出、，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得【詳解】（1）依題意.（2）因?yàn)?，，所以，，所?5．（2425高三上·福建龍巖·階段練習(xí)）如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且滿足，若，，則的值為.【答案】1【分析】由，為上一點(diǎn)，且滿足，可求得，再用及表示出及，進(jìn)而求數(shù)量積即可.【詳解】由，可得，又，，三點(diǎn)共線，則有，由于，所以，即，又，且，，，故.故答案為：1.6．（2425高一上·遼寧·期中）等邊的邊長(zhǎng)為1，，分別是邊和上的點(diǎn)，且，，與交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè),依題得分別由三點(diǎn)共線和三點(diǎn)共線，利用平面向量基本定理得兩個(gè)向量方程，求得，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.【詳解】如圖，不妨設(shè)，則因三點(diǎn)共線，故存在，使,又因三點(diǎn)共線，故存在，使,對(duì)照可得：，解得，即，于是故選：C.7．（2324高一下·江蘇·階段練習(xí)）在直角梯形中，已知，點(diǎn)F是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是CD邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)若E是CD邊的中點(diǎn)．①試用和表示；②若，求的值；(2)求的取值范圍．【答案】(1)①；②2；(2).【分析】（1）①結(jié)合幾何圖形，利用向量的線性運(yùn)算用和表示；②利用向量的線性運(yùn)算、向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求出的值.（2）令且，同（1）應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律得到關(guān)于的表示式，即可求值.【詳解】（1）①在直角梯形中，，則，由點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，得，即，所以；②，，則，而，，因此，所以.（2）令且，由（1）知：，則，而因此，所以的取值范圍是.題型2向量的投影8．（2425高一下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知，，與的夾角為，則向量在方向上的投影數(shù)量為（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用投影的意義求解即得.【詳解】向量，，與的夾角為，所以向量在方向上的投影數(shù)量為.故選：A9．（2324高一下·江蘇·階段練習(xí)）在矩形ABCD中，，E為BC的中點(diǎn)，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以為基底向量表示，根據(jù)數(shù)量積結(jié)合投影向量的定義運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：，，，且，則，，所以向量在向量上的投影向量是.故選：A.10．（2324高一下·吉林·期末）已知向量與向量夾角為，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)投影向量的定義結(jié)合已知條件直接求解即可【詳解】因?yàn)橄蛄颗c向量夾角為，，所以，則在上的投影向量為，故選：A.11．（2324高一下·湖北·期中）已知的外接圓的圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判斷出為直角三角形，再結(jié)合求出，最后根據(jù)投影向量的計(jì)算方法計(jì)算即可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，故為的中點(diǎn)，而為外心，故為直角三角形，且，因?yàn)?，所以，而向量在向量上的投影向量?故選：D.12．（2324高一下·云南昭通·階段練習(xí)）已知是夾角為的兩個(gè)單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】代入投影向量公式，結(jié)合數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】向量在向量上的投影向量為，，解得.故選：A.題型3利用平面向量數(shù)量積求向量的模13．（2324高一下·云南昭通·階段練習(xí)）若向量滿足，若，間的夾角為，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】∵，且，間的夾角為，∴.故選：C.14．（2425高一上·四川眉山·期中）已知向量，的夾角為120°，，則（

）A． B． C．7 D．13【答案】A【分析】由計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由可得，所以.故選：A.15．（2425高一上·北京西城·期末）已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)滿足，則．【答案】【分析】由題意可得，，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】由題意可得，，因?yàn)椋?，，所以，，?故答案為：.題型4利用平面向量數(shù)量積求向量的夾角16．（2324高一上·福建福州·階段練習(xí)）已知向量滿足，則與的夾角為．【答案】【分析】由兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積性質(zhì)及定義可求結(jié)論.【詳解】設(shè)與的夾角為，由，可得，即，即，又，即，即，又，所以故答案為：.17．已知平面向量的夾角為，且，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解已知條件中的等式得到，然后分別求出和的值，由向量的數(shù)量積公式求出與的夾角.【詳解】由可得，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），則，因?yàn)?，，所以，又，所以．故選：D.18．（2425高一上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知單位向量滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算律及向量夾角公式計(jì)算得解.【詳解】單位向量滿足，則，，，所以.故選：A19．（2425高一上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知非零向量，滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由投影向量的計(jì)算方法，結(jié)合題干條件即可求解.【詳解】設(shè)非零向量，的夾角為，所以在向量方向上的投影向量為，又，所以，所以與夾角的余弦值為.故選：.題型5向量的垂直問題20．（2324高一下·內(nèi)蒙古包頭·階段練習(xí)）已知平面向量、滿足，，與的夾角為．(1)求；(2)當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）根據(jù)條件得，利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，化簡(jiǎn)后解方程即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，與的夾角為．所以，所以.（2）因?yàn)?，所以，化為，解?21．（2324高一下·山東·期中）已知非零向量，滿足，，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量數(shù)量積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意知，由知.故選：D22．已知與是非零向量，則是與垂直的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用已知條件證明必要性和充分性即可.【詳解】因?yàn)榕c是非零向量，當(dāng)時(shí)，，所以與垂直，故充分性成立；若與垂直，則因?yàn)榕c是非零向量，所以，所以必要性成立，故若與是非零向量，則是與垂直的充要條件，故選：C.23．（2324高一下·湖北咸寧·期末）在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)分別滿足，設(shè)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出，利用，結(jié)合數(shù)量積為零得出結(jié)論.【詳解】，由，得，得，即得，則C選項(xiàng)正確.故選：C題型6利用平面向量數(shù)量積判斷三角形的形狀24．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知O為平面內(nèi)的定點(diǎn)，A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，若，則是（

）A．以AB為底邊的等腰三角形 B．以BC為底邊的等腰三角形C．以AB為斜邊的直角三角形 D．以BC為斜邊的直角三角形【答案】B【分析】作出輔助線，得到，從而得到AM是的邊BC上的中線，也是高，得到答案.【詳解】設(shè)BC的中點(diǎn)為M，連接AM，由，得，即，∴，∴AM是的邊BC上的中線，也是高，故是以BC為底邊的等腰三角形．故選：B25．（2425高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知是非零向量且滿足，，則的形狀為（

）A．等腰（非直角）三角形 B．等邊三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根據(jù)向量垂直得到數(shù)量積為，再由數(shù)量積的運(yùn)算律得到，從而求出，即可得解.【詳解】是非零向量且滿足，，，，即，，，，且，又，所以，∴是等邊三角形.故選：B．26．（2324高一下·北京大興·期中）已知非零向量滿足，且，則是（

）A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰（非等邊）三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】由得到的角平分線與垂直，從而得到，再由得到，從而為等邊三角形.【詳解】由得的角平分線與垂直，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以為等邊三角形，故選：D.27．（2324高一下·天津·階段練習(xí)）在中，若且，則為（

）A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)可得為等腰三角形，根據(jù)可得，由此可得答案.【詳解】∵，∴，其中分別是與方向相同的單位向量.如圖，在邊上分別取點(diǎn)，使，作平行四邊形，則，由得平行四邊形為菱形，則為的平分線，由得，故，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，故既是高線，又是角平分線，∴為等腰三角形，且，∵，∴，由得，，∴為等邊三角形.故選：D.28．（2324高一下·天津河北·期中）已知在所在平面內(nèi)，滿足，，且，則點(diǎn)依次是的（

）A．外心，重心，內(nèi)心 B．重心，外心，垂心C．重心，外心，內(nèi)心 D．外心，重心，垂心【答案】B【分析】根據(jù)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，得到為外心；根據(jù)中線的性質(zhì)，可得為重心；根據(jù)向量垂直，即得到是垂心.【詳解】由，可得到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以為的外心；因?yàn)?，所以，為的中點(diǎn)，所以所在直線經(jīng)過中點(diǎn)，與中線共線，同理可得，分別與邊的中線共線，所以是三角形中三條中線的交點(diǎn)，所以是重心；因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，同理得到另外兩個(gè)向量都與相應(yīng)邊垂直，得到是三角形的垂心.故選：B.29．（2324高一下·北京東城·階段練習(xí)）在三角形中，點(diǎn)是三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別是，則下列給出的命題：①若，則點(diǎn)是三角形的垂心；②若向量，則點(diǎn)的軌跡通過的重心；③若，則點(diǎn)是三角形的內(nèi)心；④若，則點(diǎn)是三角形的內(nèi)心．其中正確的命題是：填寫正確結(jié)論的編號(hào)【答案】①②③【分析】根據(jù)向量運(yùn)算，以及三角形垂心、重心、內(nèi)心、外心等知識(shí)對(duì)個(gè)命題進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】①由得，，即，同理可得，，則點(diǎn)是的垂心，①正確；②在中，以、為鄰邊作平行四邊形，則，從而，進(jìn)而一定在的邊的中線上，由此得到點(diǎn)的軌跡一定過的重心，②正確；

③時(shí)，向量分別表示在邊和上取單位向量和，它們的差是向量，當(dāng)，即，而三角形是等腰三角形，所以點(diǎn)在的平分線上，同理可得點(diǎn)在的平分線上，故為的內(nèi)心，③正確；

④時(shí)，是以、為平行四邊形的一條對(duì)角線，而是該平行四邊形的另一條對(duì)角線，時(shí)，表示這個(gè)平行四邊形是菱形，即，同理得，故為的外心，④錯(cuò)誤．故答案為：①②③題型7利用平面向量數(shù)量積求最值考點(diǎn)1求向量數(shù)量積的最值問題30．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值是；的最大值.【答案】1,1【詳解】根據(jù)平面向量的點(diǎn)乘公式,由圖可知，,因此=;,而就是向量在邊上的射影，要想讓最大，即讓射影最大，此時(shí)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合，射影為，所以長(zhǎng)度為1.【考點(diǎn)定位】本題是平面向量問題，考查學(xué)生對(duì)于平面向量點(diǎn)乘知識(shí)的理解，其中包含動(dòng)點(diǎn)問題，考查學(xué)生最值的求法．31．（2324高一下·浙江·期中）已知點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心的圓上，且，則的最大值是．【答案】/【分析】利用圓的性質(zhì)可以判斷是等邊三角形，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合平面向量基本定理進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在以點(diǎn)為圓心的圓上，所以，顯然是等邊三角形，內(nèi)角都為，，顯然當(dāng)同向時(shí)，有最大值，故答案為：32．已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合正六邊形的特征，得到在方向上的投影的取值范圍是，利用向量數(shù)量積的定義式，求得結(jié)果.【詳解】的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.【點(diǎn)睛】該題以正六邊形為載體，考查有關(guān)平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量數(shù)量積的定義式，屬于簡(jiǎn)單題目.33．如圖所示，邊長(zhǎng)為1的正，以的中點(diǎn)為圓心，為直徑在點(diǎn)的另一側(cè)作半圓弧，點(diǎn)在圓弧上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，可得，求出的夾角范圍，再利用向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算律求解作答.【詳解】過點(diǎn)作交半圓弧于點(diǎn)，連接，如圖，而是正三角形，則，令?yuàn)A角為，當(dāng)點(diǎn)P在弧上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P在弧上時(shí)，，于是，顯然，，所以.故選：A34．（2324高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三角形中，已知，為弧（含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算量，結(jié)合即可求解.【詳解】取中點(diǎn)為，連接，顯然，則.故選：A35．（2324高一下·陜西西安·階段練習(xí)）（多選）如圖，在四邊形中，，，，且，，則（

）A． B．實(shí)數(shù)的值為C．四邊形是梯形 D．若，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為【答案】BCD【分析】利用數(shù)量積的定義，結(jié)合已知條件，計(jì)算判斷AB；取說明判斷C；取的中點(diǎn)，利用數(shù)量積的運(yùn)算律建立函數(shù)關(guān)系并求出最小值.【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，，此時(shí)，，則，即，B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B得，即有，則四邊形是梯形，C正確；對(duì)于D，取的中點(diǎn)，連接，則，由，得點(diǎn)到直線距離等于點(diǎn)到直線距離，即，所以的最小值為，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及定長(zhǎng)的線段兩端點(diǎn)為向量終點(diǎn)的向量數(shù)量積，取線段的中點(diǎn)，借助向量數(shù)量積的計(jì)算公式求解是關(guān)鍵.考點(diǎn)2求向量模有關(guān)的最值問題36．（2425高一上·北京延慶·期末）已知，，則的最大值為，最小值為.【答案】62【分析】設(shè)的夾角為，對(duì)平方再開方，根據(jù)可得答案.【詳解】設(shè)的夾角為，則，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，所以，即，所以的最大值?，最小值為2.故答案為：①6；②2.37．（2425高一上·浙江杭州·期中）已知，，，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】借助向量數(shù)量積公式及模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得.【詳解】由，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.38．設(shè)非零向量與的夾角是，且，則的最小值為A． B． C． D．1【答案】B【分析】利用向量與的夾角是，且，得出，進(jìn)而將化成只含有為自變量的二次函數(shù)形態(tài)，然后利用二次函數(shù)的特性來求出最值.【詳解】對(duì)于，和的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形法則，如圖，，,，，，，，化簡(jiǎn)得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為答案選B【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵點(diǎn)在于把化成只含有為自變量的二次函數(shù)形態(tài)，進(jìn)而求最值.考點(diǎn)3求向量夾角有關(guān)的最值問題39．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）非零向量，滿足，，則與的夾角的最小值是．【答案】【分析】設(shè)與的夾角為θ，根據(jù)，得到，再利用基本不等式求解.【詳解】解：設(shè)與的夾角為θ，由知，．由基本不等式知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，又，故．故與的夾角的最小值是．故答案為：40．（2324高一下·重慶·階段練習(xí)）設(shè)向量、滿足，，且、的夾角為，若向量與向量的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由與的數(shù)量積小于0且不共線即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：向量、滿足，，且、的夾角為，故.因?yàn)榕c向量的夾角為鈍角，所以且向量與向量不共線，所以且，解之得：且，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.41．（2324高一下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知向量都為非零向量，若實(shí)數(shù)在上任意變化時(shí)，的最小值為，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】設(shè)，分析可知點(diǎn)在直線上，當(dāng)且僅當(dāng)與直線垂直時(shí)，取到最小值，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄慷紴榉橇阆蛄?，設(shè)，可知與共線，即點(diǎn)在直線上，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)與直線垂直時(shí)，取到最小值，可得，且，所以或.故選：C.42．（2425高一下·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）已知，且關(guān)于的方程有實(shí)根，則與的夾角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由方程有實(shí)根得到，得，借助于余弦函數(shù)的性質(zhì)，解此三角不等式即得.【詳解】設(shè)為向量與的夾角，關(guān)于的方程有實(shí)根，則有，又，則有，得，又，所以．故選：B.43．（2324高一下·江蘇南京·期末）已知，，與的夾角為.(1)若與共線，求實(shí)數(shù)的值；(2)求的值；(3)若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用向量共線定理得到方程組，解出即可；（2）根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義計(jì)算即可；（3）根據(jù)向量夾角為銳角，則向量數(shù)量積大于0，并去掉共線同方向的情況即可.【詳解】（1）因?yàn)榕c共線，所以存在實(shí)數(shù)使得，所以，解得，所以；（2）因?yàn)?，，與的夾角為，所以，所以，則；（3）向量與的夾角是銳角，可得，且與不同向共線，即為，即有，解得，由與共線，可得，解得，當(dāng)時(shí)，兩者同向共線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.鞏固提升訓(xùn)練一、單選題1．（2324高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）向量，滿足，，向量與的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件根據(jù)數(shù)量積的定義求，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求.【詳解】因?yàn)?，，向量與的夾角為，所以，所以.故選：A.2．（2223高一下·山東臨沂·期末）已知非零向量，滿足，且在方向的投影向量是，則與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用垂直關(guān)系的向量表示可得，再利用投影向量的意義求出，進(jìn)而求出向量夾角.【詳解】由，得，則，由在方向的投影向量是，得，因此，則，又，，所以與的夾角是.故選：C3．（2425高三上·湖南長(zhǎng)沙·期中）已知為單位向量，向量在向量上的投影向量是，且，則的值為（

）A．2 B．0 C． D．【答案】C【分析】由向量在向量上的投影向量是得出，再由可得答案.【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄渴牵?，化?jiǎn)得，因?yàn)?，所以，解?故選：C,4．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，是BN上一點(diǎn)且，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)題意得，由三點(diǎn)共線求得，利用向量數(shù)量積運(yùn)算求解即可.【詳解】由，得，且，而三點(diǎn)共線，則，即，所以，所以.故選：A.5．（2223高一下·福建泉州·期中）如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)E滿足，點(diǎn)F滿足，且，則（

）A． B． C． D．9【答案】D【分析】用分別表示出，結(jié)合已知，可得，然后進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可得出．【詳解】因?yàn)椋?，即，解得，又因?yàn)椋芍c(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，則，所以.故選：D．6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在中，為的重心，為邊中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】在中，為的重心，為邊中點(diǎn)，對(duì)于A，因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)樵谥校瑸檫呏悬c(diǎn)，則，所以，故C正確；對(duì)于D，若成立，則，即，則，又為邊中點(diǎn)，故，這不一定成立，故D錯(cuò)誤.故選：C．7．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為單位向量，且，．若，存在最小值，則正數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的運(yùn)算律以及模長(zhǎng)公式可得，再由二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，即可得到結(jié)果.【分析】因?yàn)?，所以．又，，所以．令．由，可知為二次函?shù)，其圖像開口向上，要使，存在最小值，只需其圖像的對(duì)稱軸即可，解得．則正數(shù)的取值范圍是.故選：D8．（2324高一下·江蘇無錫·期末）設(shè)點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)：①若，則點(diǎn)是邊的中點(diǎn)；②若，則點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上；③若，且，則是面積的一半；④若，則直線一定過的內(nèi)心．則上述說法正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)中線的性質(zhì)即可判斷①，根據(jù)向量的運(yùn)算得到，即可判斷②，根據(jù)三點(diǎn)共線的性質(zhì)即可判斷③，根據(jù)垂心的性質(zhì)及數(shù)量積公式即可判斷④.【詳解】，即，即，即點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，故①正確；，即，即，即點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，故②錯(cuò)誤；，且，故，且，設(shè)，則，且，故三點(diǎn)共線，且，即是面積的一半，故③正確.設(shè)的中點(diǎn)為，，即，故過的垂心，故④錯(cuò)誤；故選：C二、多選題9．（2324高一下·四川綿陽(yáng)·期末）如圖，在中，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E為的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)C），，，，則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．是在上的投影向量【答案】AD【分析】對(duì)于A，由向量的加法法則分析判斷，對(duì)于B，給兩邊平方化簡(jiǎn)可求出，對(duì)于C，將用表示，代入化簡(jiǎn)判斷，對(duì)于D，利用投影向量的定義求解判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樵谥校c(diǎn)D為的中點(diǎn)，所以，所以，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)?，，，，所以，所以，即，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)E為的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)C），所以，所以在上的投影向量為，所以D正確.故選：AD10．（2425高二上·四川遂寧·階段練習(xí)）下列四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．任意向量，，若，則或或B．若空間中點(diǎn)O，A，B，C滿足，則A，B，C三點(diǎn)共線C．空間中任意向量都滿足D．若，，則【答案】AB【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的概念判斷AC的真假；根據(jù)三點(diǎn)共線的有關(guān)結(jié)論判斷B的真假；舉特例說明D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)A：因?yàn)?，若，則或或，即或或，故A正確；對(duì)B：因?yàn)椋瑫r(shí)，三點(diǎn)共線，故B正確；對(duì)C：因?yàn)閮蓚€(gè)向量的數(shù)量積是實(shí)數(shù)，故是與共線的向量，是與共線的向量，所以未必成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意向量，，都成立，但未必成立，故D錯(cuò)誤.故選：AB11．（2324高一下·四川瀘州·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．非零向量，，滿足且與同向，則B．若，則與的夾角θ的范圍是C．非零向量，，滿足，則與的夾角為30°D．在中，若，則為等腰三角形【答案】BCD【分析】對(duì)于A,向量不能比較大小判斷，對(duì)于B,運(yùn)用數(shù)量積就定義得到，則夾角范圍是判斷，對(duì)于C,運(yùn)用模長(zhǎng)公式，結(jié)合數(shù)量積和夾角公式計(jì)算判斷，對(duì)于D,因?yàn)楸硎九c的平分線共線的向量，結(jié)合數(shù)量積判斷垂直即可.【詳解】對(duì)于A,向量不能比較大小，則A錯(cuò)誤．對(duì)于B,，則，則夾角范圍是，則B正確.對(duì)于C,由，可得，可得，可得又由，可得，則C正確.對(duì)于D,因?yàn)楸硎九c的平分線共線的向量，又，可得的平分線與垂直，所以為等腰三角形，則D正確.故選：BCD.12．（2425高一上·河北保定·期中）已知點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，則以下說法正確的有（

）A．若，，分別表示，的面積，則B．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的重心C．若，則點(diǎn)是的垂心D．若，，分別為，，的中點(diǎn)，且，，則的最大值為【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，得到，從而得到所以，即可判斷；B選項(xiàng)，作出輔助線，得到，故點(diǎn)在中線上，故向量一定經(jīng)過的重心；C選項(xiàng)，作出輔助線，得到，故⊥，并得到在的平分線上，同理可得，在的平分線上.D根據(jù)得到點(diǎn)的軌跡，將轉(zhuǎn)化為，然后求數(shù)量積，根據(jù)點(diǎn)的軌跡求最值.【詳解】對(duì)于A：如圖，分別為的中點(diǎn)，，則，故，所以，故，A正確；對(duì)于B：過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則，，則，故點(diǎn)在中線上，故向量一定經(jīng)過的重心，B正確；對(duì)于C：分別表示方向上的單位向量，故，，故⊥，由三線合一可得，在的平分線上，同理可得，在的平分線上，則點(diǎn)是的內(nèi)心，C錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，設(shè)中點(diǎn)為，因?yàn)椋渣c(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，結(jié)合上圖，，當(dāng)為直徑時(shí)最大，最大為，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的重心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的垂心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的外心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的內(nèi)心，三、填空題13．（2324高一下·新疆烏魯木齊·期中）在中，，為邊的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).相交于點(diǎn).則的余弦值為.【答案】/【分析】借助向量的線性運(yùn)算將、用、表示后，借助向量夾角公式求出與的夾角的余弦值即可得.【詳解】，，則，，，故.故答案為：.14．（2324高一下·北京·期中）已知非零平面向量，，，①若，則；②若，則；③若，則；④若，則或．其中正確命題的序號(hào)是．【答案】②③【分析】舉反例結(jié)合向量垂直可判斷①；對(duì)已知等式兩邊平方可判斷②③；根據(jù)向量相等可判斷④．【詳解】對(duì)于①，例如，時(shí)，則，滿足題意，但，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，若，則，可得，所以，所以與的夾角為，故正確；對(duì)于③，若，則，，可得，因?yàn)橄蛄?，是非零向量，則，故正確；對(duì)于④，若，則，所以，可得與的模長(zhǎng)相等，但夾角不確定，故錯(cuò)誤.其中正確命題的序號(hào)是②③.故答案為：②③.15．（2324高一下·上海松江·期末）如圖，直徑的半圓，為圓心，點(diǎn)在半圓弧上，，線段上有動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】先分別過作、交于點(diǎn)和，求出，設(shè)，接著根據(jù)數(shù)量積定義以及題中所給條件求得，從而求出即可得解.【詳解】分別過作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，則，設(shè)，則，由題可知即，所以，故的最小值為.故答案為：.四、解答題