5.2同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式【考點梳理】1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)由三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)間有以下兩個等式：①sin2α＋cos2α＝1；②eq\f(sinα,cosα)＝tanα．(2)同角三角函數(shù)的關(guān)系式的基本用途：①根據(jù)一個角的某一三角函數(shù)值，求出該角的其他三角函數(shù)值；②化簡同角的三角函數(shù)式；③證明同角的三角恒等式．2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(1)誘導(dǎo)公式的內(nèi)容：x函數(shù)sinxcosxtanx－α－sinαcosα－tanαeq\f(π,2)±αcosα?sinαπ±α?sinα－cosα±tanαeq\f(3π,2)±α－cosα±sinα2π±α±sinαcosα±tanα(2)誘導(dǎo)公式的規(guī)律：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可概括為：奇變偶不變，符號看象限．其中“奇變偶不變”中的奇、偶分別是指eq\f(π,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱的變化．若是奇數(shù)倍，則正、余弦互變，正、余切互變；若是偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱不變．“符號看象限”是把α當(dāng)成銳角時，原三角函數(shù)式中的角eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(π,2)＋α))所在象限原三角函數(shù)值的符號．注意：把α當(dāng)成銳角，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此時把120°當(dāng)成了銳角來處理．“原三角函數(shù)”是指等號左邊的函數(shù)．(3)誘導(dǎo)公式的作用：誘導(dǎo)公式可以將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，因此常用于化簡和求值，其一般步驟是：eq\x(\a\al(任意負(fù)角的,三角函數(shù)))eq\o(→,\s\up7(去負(fù)（化負(fù)角為正角）))eq\x(\a\al(任意正角的,三角函數(shù)))eq\o(→,\s\up11(脫周),\s\do4(脫去k·360°))eq\x(\a\al(0°到360°的,三角函數(shù)))eq\o(→,\s\up11(化銳),\s\do4(（把角化為銳角）))eq\x(\a\al(銳角三,角函數(shù)))3．sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三者之間的關(guān)系(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α；(sinα－cosα)2＝1－sin2α；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝2sin2α.考點一同角三角函數(shù)的基本關(guān)系【例題】（1）若角是銳角，且，則（

）A． B．－ C．－ D．【答案】D【解析】因為，可得，又因為角是銳角，可得，所以，故選：D.（2）已知cosα=，tanα=1，則sinα=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故選：B.（3）若，且為第四象限角，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】所以，，故選：D.（4）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知，兩邊平方可得：，所以，所以，故選：D．（5）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故選：A．（6）已知，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，，所以，故選：D.【變式】（1）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，且，所以，，故選：C．（2）已知，且是第二象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，則，故選：B.（3）若為第三象限角，且，則（

）A．2 B．-2 C． D．【答案】C【解析】因為為第三象限角，且，所以，所以.故選：C.（4）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，因為，所以，故選：C.（5）若，則（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】，故選：D.（6）已知角終邊在第一象限，，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，在第一象限，則，所以，故選：C.考點二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用【例題】（1）的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故選:C.（2）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，故選：A.（3）下列函數(shù)中，偶函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，為奇函數(shù)，故A不正確；對于B，為奇函數(shù)，故B不正確；對于C，為奇函數(shù)，故C不正確；對于D，為偶函數(shù)，故D正確，故選：D.（4）已知，且為銳角，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，故選：B.（5）（

）A． B．0 C． D．【答案】A【解析】，故選：A（6）已知角的終邊經(jīng)過點，則.【答案】【解析】∵P（-3,4），∴在第2象限，，，故答案為：.【變式】（1）若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故選：B.（2）若，為第四象限角，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)，所以，則，故選：C.（3）已知，，則（

）A．B．C． D．【答案】C【解析】依題意，由于，所以，所以，故選：C.（4）函數(shù)是（

）A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)【答案】A【解析】∵函數(shù)，∴函數(shù)為最小正周期為的奇函數(shù)，故選：A.（5）已知，則（

）A．2 B．—2 C． D．【答案】C【解析】由已知得，，∴，故選：C.（6）已知，則.【答案】【解析】，故答案為：.【方法總結(jié)】1.誘導(dǎo)公式用角度制,弧度制表示都可運用時應(yīng)注意函數(shù)名稱是否要改變以及正負(fù)號的選?。?．已知一個角的某一個三角函數(shù)值，求這個角的其他三角函數(shù)值，這類問題用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求解，一般分為三種情況：(1)一個角的某一個三角函數(shù)值和這個角所在的象限或終邊所在的位置都是已知的，此類情況只有一組解．(2)一個角的某一個三角函數(shù)值是已知的，但這個角所在的象限或終邊所在的位置沒有給出，解答這類問題，首先要根據(jù)已知的三角函數(shù)值確定這個角所在的象限或終邊所在的位置，然后分不同的情況求解．(3)一個角的某一個三角函數(shù)值是用字母給出的，此類情況須對字母進(jìn)行討論，并注意適當(dāng)選取分類標(biāo)準(zhǔn)，一般有兩組解．3．計算、化簡三角函數(shù)式常用技巧(1)減少不同名的三角函數(shù)，或化切為弦，或化弦為切，如涉及sinα，cosα的齊次分式問題，常采用分子分母同除以cosnα(n∈N*)，這樣可以將被求式