2024-2025學年江蘇省鎮(zhèn)江市高二上學期期末考試數(shù)學檢測試題

注意事項：所有試題的答案均填寫在答題紙上，答案寫在試卷上的無效.

一、單選題(每小題5分共40分)

1.直線x+J+2=°的傾斜角為()

A.45°B.60°C.135°D.150°

2.已知/(x)=>_2/⑴+1,則/'⑼的值為()

A.2B.-2C.1D.-1

3.已知。C的圓心C在x軸上，且與x軸相交于坐標原點。和2(2,0),則。。的方程為

()

A.(x-1)2+y2=1B.(x+1)2+y2=1

C.(X+1)2+/=2D.(1)2+/=2

4,函數(shù)/(x)=+3x+q(其中。eR)的單調(diào)增區(qū)間是()

A.(-oo,-1),(3,+oo)B.(-L3)

C.(-3,1)D.R

5.在四面體/BCD中，點滿足：W=2而，麗=2兩，若

MN=xAB+yAC+zAD,則x+y+z=()

11i

A—B.—C.-D.1

.332

6.若x=l是函數(shù)/(幻=：/+辦？+(/—i)x的極大值點，則實數(shù)。的值為()

A.0B.-2C.±2D.0或—2

7.某產(chǎn)品的銷售收入%(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)，且函數(shù)解析式為乃=25/(》>0),

生產(chǎn)成本8(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)，且函數(shù)解析式為歹2=3d-(x>0),要

使利潤最大，則該產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)()

A.6千臺B.7千臺C.8千臺D.9千臺

8.某五面體木塊的直觀圖如圖所示，現(xiàn)準備給其5個面涂色，每個面涂一種顏色，且相鄰兩

個面(有公共棱的兩個面)所涂顏色不能相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的

涂色方案有（）

B.1080種C.1200種D.1560種

二、多選題（每小題5分共20分：選錯不得分，漏選得2分）

9,下列求導運算正確的是（）

,1,1

)11

A.(ln2024=-------B.4(log744x)=------D.

()2024'xln4tanxsin2%

10.已知拋物線C的焦點在直線X-2y+3=o上，則拋物線。的標準方程為（）

A./=12xB.y2=-12xC.x2=-6yD.x2=6v

11.某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科

目，下列說法錯誤的是（）

A.若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為A；

B,若物理和化學至少選一門，選法總數(shù)為C；屋

C.若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為C；-C；

D.若物理和化學至少選一門，且物理和歷史不同時選，選法總數(shù)為c；c；c：

12.已知數(shù)列｛%｝滿足q=L%+i=京7（〃eN*）,則（）

A.m為等比數(shù)列

B.｛4｝的通項公式為%=—-—

3〃一2

C.｛為｝為單調(diào)遞減數(shù)列

13/-n

D.<—>的前n項和Tn=-------

2

三、填空題(每小題5分共20分)

13若C3=3A3,則"=.

14.由數(shù)字1,2,3,4可以組成多少個沒有重復數(shù)字且比1300大的正整數(shù).

22

15.己知橢圓去+3_=1的左右焦點分別為片，鳥，點8為短軸的一個端點，則月的

周長為—.

16.若直線歹=4x+加是曲線3?=/一〃x+13與曲線y=/+2山工的公切線，則

n+m=.

四、解答題(17題10分，18-22每題12分)

17.己知函數(shù)/(%)=爐_3奴-1在》=-1處取得極直

(1)求實數(shù)。的值和函數(shù)的極值；

(2)當xe[—2,1]時，求函數(shù)/(x)的最小值.

18.已知圓C：x2+j2-6x-8v+21=0.

(1)若直線4過定點且與圓C相切，求直線4的方程；

(2)若圓。的半徑為3,圓心在直線￡x-y+2=0±.,且與圓C外切，求圓。的方程.

19.已知等差數(shù)列｛%｝的前四項和為10,且%，生，%成等比數(shù)列

(1)求數(shù)列｛%｝通項公式

(2)設(shè)"=a“+2",求數(shù)列出｝的前〃項和S"

204名男生和5名女生站成一排.

(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？

(2)甲、乙兩人必須站在兩端的站法有多少種？

(3)男、女分別排在一起的站法有多少種？

(4)男、女相間的站法有多少種？

(5)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？

21.如圖，在平行六面體/BCD—HB'C'。'中，AB=\,AD=AA'=2

____._UULLr

ZBAD=ZDAA'=90°>ZBAA'=60°>設(shè)方=1，AD=b，AA'=c-

-----?

（i）用向量b）己表示/并求|*|

（2）求反77亍的值和異面直線BC與4C的夾角余弦直

V

22.設(shè)函數(shù)/(x)=、—alnx.

（1）當。=1時，求曲線y=/（x）在點（1,/⑴）處的切線方程；

（2）求函數(shù)y=/（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；

（3）若函數(shù)Ax）在區(qū)間（132］內(nèi)恰有兩個零點，試求。的取值范圍.

2024-2025學年江蘇省鎮(zhèn)江市高二上學期期末考試數(shù)學檢測試題

注意事項：所有試題的答案均填寫在答題紙上，答案寫在試卷上的無效.

一、單選題(每小題5分共40分)

1.直線x+J+2=°的傾斜角為()

A.45°B.60°C.135°D.150°

【正確答案】C

【分析】根據(jù)直線的方程，算出直線的斜率上=-1,利用左=tana即可算出所求的傾斜角大

小.

【詳解】根據(jù)題意：x+y+2=0oy=-x—2,

所以該直線的斜率為-1,設(shè)該直線的傾斜角為a,且0°Wa<180。，

可得tana=-loa=135°.

故選：C

2.已知/(x)=d—2斤⑴+1,則/'(0)的值為()

A.2B.-2C.1D.-1

【正確答案】B

【分析】對/(X)求導代入x=l求出/'(1)=1得到/'(X),代入0可得答案.

【詳解】根據(jù)題意,/(1)=X、2礦(1)+1,

則其導數(shù)/'3=3/—2/'(1),

令x=l可得：/,(1)=3-2/,(1),解可得=

則有/'3=31-2,

故/'(0)=-2.

故選：B.

3.已知OC的圓心。在x軸上，且與1軸相交于坐標原點。和4(2,0),則。。的方程為

()

A.(x-l)2+j2=1B.(x+1)2+y2=1

C.(X+1)2+/=2D.(X-1)2+/=2

【正確答案】A

【分析】根據(jù)已知條件可確定圓心和半徑，寫出圓的標準方程即可.

【詳解】由已知圓心坐標為(1,0),半徑為1,

所以圓的方程為(x—l『+y2=i.

故選.A

4,函數(shù)/(x)=+x?+3x+a(其中aeR)的單調(diào)增區(qū)間是()

A.(—”,—1),(3,+。)B.(-1,3)

C.(-3,1)D.R

【正確答案】B

【分析】對“X)求導后，解不等式可(x)>0即可.

【詳解】因為/(x)=—+x?+3x+a(aeR),

所以八x)=-丁+2》+3=-(x+l)(x-3),

令/'(x)>0,解得:-l<x<3,

故函數(shù)/(x)=—；工3+/+3%+。(。€區(qū))的單調(diào)增區(qū)間是(-1,3).

故選：B.

5.在四面體45CD中，點滿足加=2標，曲=2兩，若

MN=xAB+yAC+zAD,則x+y+z=()

11i

A.—B.—C.-D.1

332

【正確答案】B

--2--1--1--

【分析】根據(jù)題意，化簡得到“N=--AB+-AC+-AD,進而求得x,%z的值，即可求

322

解.

【詳解】如圖所示，根據(jù)空間向量的線性運算法則，

可得麗=不—而=」/+詬)—2萬=一2萬+4％+工赤，

2、>3322

—.—.—.—.211

因為=x/B+y/C+z/Z),可得x=—,y=—,z=—,

322

所以x+y+z=§.

故選：B.

6.若x=l是函數(shù)/(x)=；x3+辦2+伍2_1〃的極大值點，則實數(shù)。的值為()

A.0B.-2C.±2D.0或一2

【正確答案】B

【分析】根據(jù)已知條件/'。)=0可得。的值，運用導數(shù)分別計算。=0與。=-2時函數(shù)的極

大值點即可求得結(jié)果.

【詳解】因為/'*)=/+2辦+(。2—1),且x=l是/(0的極值點.

所以=2a+a2=a(a+2)=0,解得a=0或a=—2.

①若a=0,則/'(》)=》2一1.

當了<一1或x>l時/'(x)>0；當一1<X<1時/'(x)<0,

所以“X)在(—8,—1)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增，

所以X=1是f(x)的極小值點,

所以a=0不合題意.

②若a=-2,則八x)=/—4x+3=(x-l)(x-3).

當x<l或x〉3時/'(x)>0；當l<x<3時/'(x)<0,

所以/(x)在(-8,1)單調(diào)遞增，在(1,3)單調(diào)遞減，在(3,+8)單調(diào)遞增.

所以X=1是/(X)的極大值點，

所以。=-2符合題意.

綜述：<7=—2

故選：B.

7.某產(chǎn)品的銷售收入力(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)，且函數(shù)解析式為乃=25f(x>0),

生產(chǎn)成本%(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)，且函數(shù)解析式為歹2=3d-(x>0),要

使利潤最大，則該產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)()

A.6千臺B.7千臺C.8千臺D.9千臺

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意，得到利潤y=%-％=一3/+27/(x>0),利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)

間與極大值(最大值)，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)利潤為了萬元，則

V=%一％=25x2-(3x3-2x2)=-3x3+27x2(x>0),所以了=-9x2+54x=-9x(x-6)，

令y'=0,解得x=0(舍去)或x=6,

當xe(0,6)時，y'>0；當xe(6,+oo)時，y'<0,

所以函數(shù)y=-3X3+27/在(0,6)上單調(diào)遞增，在(6,+8)上單調(diào)遞減，

所以當x=6時，函數(shù)取得極大值，也為最大值，

所以應(yīng)生產(chǎn)6千臺該產(chǎn)品時，利潤最大.

故選:A.

8.某五面體木塊的直觀圖如圖所示，現(xiàn)準備給其5個面涂色，每個面涂一種顏色，且相鄰兩

個面(有公共棱的兩個面)所涂顏色不能相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的

涂色方案有（

B.1080種C.1200種D.1560種

【正確答案】D

【分析】分三類：用5種、4種、3種顏色涂在5個面上，再由分步計數(shù)及排列組合數(shù)求不同

的涂色方案.

【詳解】若用5種顏色，從6種顏色任選5種再作全排，即A：=720種；

若用4種顏色，從6種顏色任選4種有C：=15種，

再任選一種顏色涂在其中一組對面上有C；C；=8種，其它3種顏色作全排有A；=6,

所以，共有15x8x6=720種；

若用3種顏色，從6種顏色任選3種有C：=20種，

再任選兩種顏色涂在兩組對面上A；=6種，余下的一種顏色涂在底面有1種，

所以，共有20x6x1=120種；

綜上，不同的涂色方案有720+720+120=1560種.

故選：D

二、多選題（每小題5分共20分：選錯不得分，漏選得2分）

9,下列求導運算正確的是（）

A.（ln2024）'=--—B.（log44x）=——C.（」一］=----D.

'）2024'64）xln4（tan"sin2x

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)導數(shù)的運算法則及簡單復合函數(shù)求導法則計算可得.

【詳解】對于A：(ln2024)=0;故A錯誤；

對于B：(log44x)=-----=----,故B正確；

對于C：

(1)cosx)_(cosx)sinx-(sinx)cosx__sinxsinx-cosxcosx_1

(tanxj(sinxjsin2xsin2xsin2x

故C正確；

對于D：=3/+3,故D錯誤.

\XJX

故選：BC

10.已知拋物線C的焦點在直線X-2y+3=o上，則拋物線。的標準方程為()

A.y2=12xB.y2=-12xC.x2=-6yD.x2=6y

【正確答案】BD

【分析】分類討論焦點的位置，根據(jù)拋物線的標準方程計算即可.

【詳解】易知直線x—2y+3=0與坐標軸的交點分別為(—3,0)［。,I］,

當焦點為(-3,0)時，可知拋物線方程為：y2=-12x；

當焦點為［o,|］時，可知拋物線方程為=6了

故選：BD

11.某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科

目，下列說法錯誤的是()

A.若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為A；

B,若物理和化學至少選一門，選法總數(shù)為C；C；

C.若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為C：-C；

D.若物理和化學至少選一門，且物理和歷史不同時選，選法總數(shù)為C；C；C；

【正確答案】ABD

【分析】利用組合的概念進行計算即可判斷A；分類討論物理和化學只選一門，物理化學都選

然后進行計算判斷B；利用間接法進行分析判斷即可判斷C,將問題分三類討論：只選物理，

只選化學，同時選物理和化學，由此進行計算和判斷D.

【詳解】對于A：若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為C"故A錯誤；

對于B：若物理和化學選一門，有C；種方法，其余兩門從剩余的五門中選，有C；種選法；

若物理和化學選兩門，有C；種選法，剩下一門從剩余的五門中選，有C；種選法，所以總數(shù)為

C；C：+C；C；=25,而C；C；=30,故B錯誤；

對于c：若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為c；-c；c；=c：-c；,故c正確；

對于D：有3種情況：①選物理，不選化學，有C；種選法；

②選化學，不選物理，有C：種選法；

③物理與化學都選，有C；種選法.

故總數(shù)C；+C；+C；=6+10+4=20,故D錯誤.

故選：ABD

12.已知數(shù)列｛%｝滿足q=l,%+i=*7(〃eN*),則()

A.m為等比數(shù)列

B.｛4｝的通項公式為%=—-—

3〃一2

C.｛為｝為單調(diào)遞減數(shù)列

1]3/22-n

D.<—>的前n項和Tn=--------

J2

【正確答案】BCD

1l+3a〃1rf1

【分析】——=-----=—+3,則得到《一》為等差數(shù)列，即可判斷A,求出其通項，即

aaaa

n+\nnn

可判斷A,利用函數(shù)單調(diào)性即可判斷C,利用等差數(shù)列的前〃和公式即可判斷D.

【詳解】因為——=——-=—+3,所以〈一卜是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，故選

aaaa

n+lnnn

項A錯誤；

一=1+3(〃-1)=3〃-2,即4=—i—,故選項B正確；

an"3M-2

根據(jù)函數(shù)y=3x—2在［1,+8)上單調(diào)遞增，且3x—2>0,則函數(shù)y一在［1,+8)上單

3x-2

調(diào)遞減，

又因為〃eN*，則數(shù)列｛4｝為單調(diào)遞減數(shù)列，故選項C正確；

3〃一2

<：>的前〃項和Tn==%；”,故選項口正確，

故選：BCD.

三、填空題(每小題5分共20分)

13.若C>；=3A3，則〃=,

【正確答案】3

【分析】根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)公式計算可得.

【詳解】因為=—1)(〃—2),〃—1之2且〃eN*,

又C：；=3A"所以—1)(〃—2),即(5〃—4)(〃—3)=0,

4

解得〃=3或〃=］(舍去).

故3

14.由數(shù)字1,2,3,4可以組成多少個沒有重復數(shù)字且比1300大的正整數(shù).

【正確答案】22個

【分析】根據(jù)千位為1和不為1,由排列組合即可求解.

【詳解】當千位和百位分別為1,3時，則十位和個位有A；個符合條件的，

當千位和百位分別為1,4時，則十位和個位有A；個符合條件的，

當千位為不為1時，共有C；A；個符合條件的，

故共有C；A；+A；+A；=18+2+2=22個,

故答案為:22個

22

15.已知橢圓與=1的左右焦點分別為G，耳，點3為短軸的一個端點，則45片片的

周長為—.

【正確答案】18

【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓的長半軸長及半焦距即可得解.

22

【詳解】橢圓|j+3~=l的長半軸長。=5,短半軸長6=3,則半焦距°=17萬=4,

因此|BF1|+1BF21=2a=10,|FXF21=2c=8,

所以月的周長為2Q+2C=18.

故18

16.若直線y=4x+加是曲線y=一”x+i3與曲線歹=/+21nx的公切線，則

n+m=.

【正確答案】5

【分析】由直線V=4x+加是曲線y=x2+2inx的切線求解加=—3,可得切線方程，再設(shè)直

線歹=4x-3與曲線歹x+13的切點，由切點處的導數(shù)值等于切線的斜率，且切點處

的函數(shù)值相等列式求解”則答案可求.

22

【詳解】由^=/+2111］，得y'=2x+—,由2x+—=4,解得x=l（x〉。），

XX

則直線歹=4x+加與曲線y=/+21nx相切于點（1,4+加），

4+m=l+21nl=l,得加二一3,

?,?直線歹=4x—3是曲線y=〃x+i3的切線，

由y=—〃x+13,得歹'=312—72,設(shè)切點為，——加+13),

c-116

則3/一〃二4,且+13=4%—3,聯(lián)立可得3/—t——+4=4,

解得，=2,所以〃=8.

〃+加=8+(—3)=5.

故5.

四、解答題(17題10分，18-22每題12分)

17.已知函數(shù)=3辦-1在x=-l處取得極值.

(1)求實數(shù)。的值和函數(shù)的極值；

(2)當xe[—2,1]時，求函數(shù)/(x)的最小值.

【正確答案】(1)a=\,/(x)極大值=1,/(x)極小值=一3

(2)-3

【分析】(1)由題意得/'(-1)=0,代入求值，再求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值;

(2)結(jié)合(1)可得函數(shù)的單調(diào)性，求端點函數(shù)值，從而求出函數(shù)的最小值.

【小問1詳解】

函數(shù)/(x)=x3-3ax-1,則f\x)=3x2-3a，

又函數(shù)/(x)=/-3"-1在x=-1處取得極值，

所以有/'(-l)=0n3(_l)2_3a=0na=l；

此時/(%)=x3-3x-l,則/'(》)=3%2-3=3(x+l)(x-l),

所以當x>l或x<—1時/'(x)>0,當—1<X<1時<0,

所以/(x)在(―。，―1),(1,+。)上單調(diào)遞增，在(—1,1)上單調(diào)遞減，

所以/(x)在x=-1處取得極大值，在x=l處取得極小值，符合題意，

所以/(%)極大值=/(T)=L/(x)極小值=/(1)=一3；

【小問2詳解】

由(1)可知/(x)在(-2,-1)上單調(diào)遞增，在(-1,1)上單調(diào)遞減，

所以Ax)在［-2,1］上的最小值為/(-2)和/⑴中較小的一個，

X/(-2)=(-2)3-3x(-2)-1=-3,/⑴=F-3x1-1=-3,

故函數(shù)/(x)在上的最小值為-3.

18.己知圓C：x2+j2-6x-8y+21=0.

(1)若直線/i過定點2(1,1),且與圓C相切，求直線4的方程；

(2)若圓。的半徑為3,圓心在直線￡x-y+2=0±.,且與圓C外切，求圓。的方程.

【正確答案】(1)x=l或5x—12>+7=0

(2)(x+Ip+(y—1)2=9或(x—6)2+(y-8)2=9

【分析】(1)由點到直線的距離等于半徑，即可分情況求解，

(2)由兩圓外切圓心距與半徑之和的關(guān)系，即可列方程求解.

【小問1詳解】

圓C：x2+j2-6x-8v+21=0

化為標準方程為(x-3)2+(y-4)2=4,

所以圓。的圓心為(3,4),半徑為2.

①若直線4的斜率不存在，即直線為x=l,符合題意.

②若直線4的斜率存在，設(shè)直線4的方程為y—l=k(x—1).即日—>―左+1=0.

由題意知，圓心(3,4)到已知直線4的距離等于半徑2,

|3^-4-^+1|

所以

JE+1

解得左=2,所以直線方程為5x—12歹+7=0.

綜上，所求直線4的方程為x=l或5x—12〉+7=0.

【小問2詳解】

依題意，設(shè)。(a,a+2).

又已知圓C的圓心為(3,4),半徑為2,

由兩圓外切，可知|CD|=3+2=5,

所以,("3)2+(a+2-42=5，

解得。=—1或a=6.所以。(—1』)或。(6,8),

所以所求圓。的方程為(x+1)2+(y—Ip=9或(x—6)2+(y-8)2=9.

本題考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系及圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

(1)先求出圓心和半徑，然后分成直線斜率存在或不存在兩種情況，利用圓心到直線的距離等

于半徑列方程可求得直線的方程.

(2)設(shè)出圓。圓心坐標，利用兩圓外切，連心線等于兩圓半徑的和列方程，可求得。的值，從

而求得圓。的方程.

19.已知等差數(shù)列｛%｝的前四項和為10,且%，生，%成等比數(shù)列

(1)求數(shù)列｛%｝通項公式

(2)設(shè)6“=%+2”,求數(shù)列出｝的前〃項和I

【正確答案】(1)%=3或=3〃一5；(2)見解析.

【分析】

(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,由等差數(shù)列的通項公式結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可得解;

(2)由分組求和法結(jié)合等差、等比數(shù)列的前”項和公式即可得解.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛2｝的公差為d,

5

q+%+%+%=46+京=10Q]=—q——2

由題意，得＜(、/\/\29解得<12或<

(q++6d)=(%+2d)d=3

d=0

所以或?！?—2+3(〃—1)=3〃—5；

(2)當%=3時，bn=-+2\

22

?452(1-2")5

此時S=h+b+...+b=-n+A------L=2"+口—2；

n12n21-22

當%=3〃一5時，bn=(3?-5)+2",

廿時(?人，八，，八一2+3〃一5,20-2)j327。

人口J5=O,+H----FO=-----------------------------=2H——n77-2?

"12"21-222

20.4名男生和5名女生站成一排.

(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？

(2)甲、乙兩人必須站在兩端的站法有多少種？

(3)男、女分別排在一起的站法有多少種？

(4)男、女相間的站法有多少種？

(5)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？

【正確答案】(1)241920種

(2)10080種

(3)5760種

(4)2880種

(5)60480種

【分析】(1)按有特殊位置元素的排列方法求解；

(2)按有特殊位置元素的排列方法求解；

(3)按捆綁法排列即可；

(4)按插空法排列即可；

(5)按部分均勻的排列方法求解即可.

【小問1詳解】

先排甲有6種，其余有犬種，

???共有6xZf=241920種排法.

【小問2詳解】

先排甲、乙，再排其余7人,

共有耳=10080種排法.

【小問3詳解】

把男生和女生分別看成一個元素,

男生和女生內(nèi)部還有一個全排列，共=5760種.

【小問4詳解】

先排4名男生有種方法，

再將5名女生插在男生形成的5個空上有4種方法，

故共有㈤?用=2880種排法.

【小問5詳解】

9人共有工種排法，

其中甲、乙、丙三人有用種排法,

因而在X種排法中每4種對應(yīng)一種符合條件的排法，

故共有二

=60480種排法.

21.如圖，在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，AB=\,AD=AA'=2,

_______?一UL1LLr

ZBAD=ZDAA'=90°>ZBAA'=60°>設(shè)方=a，AD=b，AA'=c-

(2)求立.死的值和異面直線BC與A'C的夾角余弦值.

【正確答案】⑴A'C=a+b-cV7;

V14

(2)1,

【分析】（i）利用空間向量的基底1｝表示7亍，再利用數(shù)量積的運算律計算得

（2）利用向量數(shù)量積的運算律及夾角公式求解即得.

【小問1詳解】

在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，A^C=A/A+AB+BC=a+b-c>

由/5=1,/。=/4=2,NBAD=NDAA'=90°,/BAA'=60°,得：）=）；=0，

a-c=lx2cos60°=1，

所以|牙。=^'a+~b+~c-2a-~c=Jl+4+4-2="-

【小問2詳解】

依題意，BC=BC+BB'=b+c>貝U

BC'-A^C=[b+cy（a+b-c）=a-b+d-c+b2-c2=1,

Ipc'i-Jg'-J4+4-7J2'貝Ucos〈BC'>A'C）==—~尸=,

Ml—"+c—74+4—2\BCJA'C\2V2xV728

所以異面直線BC與AC的夾角余弦值為巫.

28

V2

22.設(shè)函數(shù)/（x）=萬一alnx.

（1）當。=1時，求曲線>=/（尤）在點（1,/⑴）處的切線方程；

（2）求函數(shù)y=/（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；

（3）若函數(shù)/（X）在區(qū)間（132]內(nèi)恰有兩個零點，試求a的取值范圍.

【正確答案】（1）J=-

2；

（2）單調(diào)區(qū)間見解析，函數(shù)Ax）有極小值",一?"）,無極大值.

2

（3）（e,—1

【分析】（1）根據(jù)導數(shù)幾何意義得曲線>=〃x）在點（1,/（I））處的切線斜率為/'（1）=0,因

為/（1）=;，所以根據(jù)點斜式可得切線方程了=;;

2_

（2）先求函數(shù)導數(shù)/，（%）=三二應(yīng),再討論導函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)零點：當。<0時，無零點，

“X）在（0,+8）上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值；當a>0時，一個零點x=JZ，列表分析導函數(shù)符

號變化規(guī)律，確定單調(diào)性，并根據(jù)導函數(shù)符號變化規(guī)律確定極值；

（3）由（2）知JZe（l,e2）,再由零點存在定理解得。的取值范圍.

【小問1詳解】