第五章方式與分式方程（培優(yōu)卷）

考試時(shí)間：120分鐘，滿分：120分

一、選擇題:本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的

1.下列各式中,是分式的是（）

3a兀一345

A.——B.----C.----D.-

271x-a4

【答案】C

【分析】本題考查了分式的定義.根據(jù)分式的定義逐項(xiàng)分析即可，一般地，如果A、B（3不等于零）

A

表示兩個整式，且5中含有字母，那么式子"就叫做分式，其中A稱為分子，3稱為分母.

D

【詳解】解：當(dāng)，金，;中，分母都不含字母，都不是分式；

2萬4

二4一中，分母含字母，是分式；

x-a

故選：C.

2.計(jì)算上1一上的結(jié)果等于（）

X—1X—1

r13

A.3B.xC.---D.-z--

X-l尤2-1

【答案】A

【分析】本題考查分式加減運(yùn)算，熟練運(yùn)用分式加減法則是解題的關(guān)鍵；運(yùn)用同分母的分式加減法則進(jìn)

行計(jì)算，對分子提取公因式，然后約分即可.

【詳解】解：原式===史二11=3

X—1X—1

故選：A

23

3.分式^~乃三的最簡公分母是（）

2x-42x

A.2xB.2x（2x-4）C.2x-4D.2x（x-2）

【答案】D

【分析】本題考查了最簡公分母，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次幕的積作公分母,

這樣的公分母叫做最簡公分母.

先變形得到2X-4=2（X-2）,然后根據(jù)最簡公分母的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：―尤-4=2（x-2）,

三的最簡公分母為2x（x-2）,

2x-42x

故選：D.

4.若關(guān)于x的分式方程在二一'1=3有增根，則加的值為（）

x—2x-2

A.-4B.-1C.3D.4

【答案】B

【分析】本題考查了解分式方程，理解增根的概念，掌握解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)解分式方程的方法得到分式方程的解，再根據(jù)增根的概念"使分式方程分母為0的未知數(shù)的值"得

至U,代入計(jì)算即可求解.

【詳解】解：汩!-」\=3,

x-2x-2

等式左邊同分母分式相減得，"5:m=3,

x-2

去分母得，2x-5-m=3（x-2）,

去括號得，2x-5-m=3x-6,

項(xiàng)彳導(dǎo)，2x-3x=-6+5+加，

合并同類項(xiàng)得，-、=加-1,

系數(shù)化為1得，x=l-m,

???分式方程有增根，BPx-2=0,

-2,

.'A-m=2,

解得，m=-\,

故選：B.

5.數(shù)學(xué)家斐波那契編寫的《算經(jīng)》中有如下問題：一組人平分10元錢，每人分得若干；若再加上6人，平

分40元錢，則第二次每人所得與第一次相同，求第一次分錢的人數(shù).設(shè)第一次分錢的人數(shù)為工人，則可

列方程（）

1040104010401040

An.—=------B.—=------C.-=—D.-------=—

xx+6xx-6%+6xx-6x

【答案】A

【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，設(shè)第一次分錢的人數(shù)為X人，根據(jù)題意列出二=三

即可，正確理解題意，找出等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)第一次分錢的人數(shù)為X人，

根據(jù)題意得：w=c，

xx+6

故選：A.

6.下列各式從左到右變形一定正確的是（）

mm21m+n

m-n一_m2—n2

mm+a-m-n,

C.—=----D.------=-l

nn+am+n

【答案】D

【分析】此題考查了分式的基本性質(zhì)，根據(jù)分式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】A.'=與，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

nn

B.當(dāng)加+〃*0時(shí)，^=」產(chǎn)，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

m-nm—n

c.YAHi巴n+土ci故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

nn+a

OT+w

D.z^zZL=~（）=-i,故選項(xiàng)正確，符合題意；

m+nm+n

故選：D

7.若分式/八H八的值為0,則b的值為（）

（6T）（8+3）

A.1B.-1C.±1D.1或-3

【答案】B

【分析】本題主要考查分式值為。的條件，根據(jù)分式值為0的條件（分子為零且分母不為零）進(jìn)行計(jì)算

求解.

b2

【詳解】解：若分式.r/八八的值為0

僅-1）（6+3）

6?！?=0,且（6-1）（6+3）H0,

即6=±1,且-w1或b#—3,

/?=—1,

故選：B.

8.按一定規(guī)律排列的數(shù)："，…則第〃個數(shù)為()

Lb1.U/JJU

2nn22nn2

A./B"("-1)2C-(H+1)2D-謔17

【答案】c

【分析】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，寫出相應(yīng)的數(shù)字.

根據(jù)題目中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的分子和分母的變化特點(diǎn)，從而可以寫出第"個數(shù).

24681012

【詳解】解：一組數(shù)為

4,9，16,25,36,49

79V1

???這組數(shù)據(jù)第1個數(shù)為：：=亳，

47x9

第2個數(shù)為：

第3個數(shù)為：5=策，

2n

.?4個數(shù)沏

故選：C.

9.如圖，設(shè)H表示甲圖陰影部分面積，$2表示乙圖陰影部分面積，則q=*(a>6>0)取值范圍是

)

【答案】C

【分析】本題考查了列代數(shù)式，分式的化簡，不等式的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是表示出甲乙兩圖中的陰影部

分的面積及熟悉分式的運(yùn)算.

分別把甲乙兩圖中的陰影部分的面積表示出來，代入求值，再討論即可求解.

【詳解】解：甲圖陰影部分的面積為：耳=/一〃,

2

乙圖陰影部分的面積為：S2=a-ab,

則”二

a-ab

(a-b)(a+b)

a(a-b)

a+b

a>b>0,

/.0<—<1,

a

.-.l<l+-<2,

a

<q<2,

故選C.

10.如果將分式大中的x和y都擴(kuò)大到原來的3倍，那么分式的值（）

A.不變B.擴(kuò)大到原來的3倍

C.縮小到原來的gD.縮小到原來的，

【答案】A

【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì).解題的關(guān)鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù)，解此類題首先把字

母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，即可解題.

【詳解】解：如果將分式言中的x和y都擴(kuò)大到原來的3倍，

3x3xx

貝-2="，\=^~，

3x+3y3（x+刃x+y

..?分式的值不變，

故選：A.

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.

11.若分式無意義，則X的取值為________.

6-4%

【答案】:3

【分析】本題主要考查了分式無意義的條件，熟練掌握分式無意義的條件是分式的分母等于0是解題

的關(guān)鍵.根據(jù)分式無意義的條件，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：6-4x=0,

3

解得：x=-.

3

故答案為：—

12.一輛汽車6h行駛了akm,則它的平均速度為km/h；一列火車行駛akm比這輛汽車少用lh,則

它的平均速度為km/h.

【分析】本題主要考查了列代數(shù)式：分式的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.根據(jù)平均速度等于

行駛的路程除以行駛的時(shí)間可得到汽車的平均速度；再表示出火車行駛“km的時(shí)間為（6-l）h,然后再

根據(jù)平均速度的計(jì)算方法表示出火車的平均速度.

【詳解】一輛汽車bh行駛了akm,則它的平均速度為fkm/h,一列火車行駛4km比這輛汽車少用lh,

b

則它的平均速度為三km/h,

P-1

故答案為：—,---

bb-1

x-3AB

13.若（》+1正1）不+口（人，B為有理數(shù)），那么/=一，B=

【答案】2-1

【分析】本題考查分式的加法的應(yīng)用，熟練掌握異分母分式的加法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.先計(jì)算

AB

------+------,再利用待定系數(shù)法列式求解即可.

x+1x-1

ABA(x~l)+B(x+1)_(A+B)x+B-A

【詳解】解:---1---=

x+1x-1(x+l)(x—1)

??------x----3-----------A------B--

'+x+1x-1?

x-3_(A+B)x+B-A

(x+l)(x-l)+

[A+B=\

，\B-A=-3t

A=2

解得:

B=-\'

故答案為：2；-1.

已知非零實(shí)數(shù)X,，滿足"止p則生尸的值等于

14.

【答案】5

Y

【分析】本題考查分式的求值，根據(jù)>=J，得到x+y=2孫，整體代入法求出分式的值即可.

2x-l

【詳解】解：

2x-l

：.x+y=2xy,

2x+xy+2y_2(^x++xy4xy+xy_

xyxyxy

故答案為：5.

x—32x

-------1八

15.若關(guān)于x的不等式組23有且只有兩個奇數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程一、-?=4有整數(shù)解,

上-l>3xy-1—

I2

則所有滿足條件的整數(shù)。的值之積為-.

【答案】-2

x-32x

------W------1

【分析】本題考查不等式組整數(shù)解問題及分式方程整數(shù)解，根據(jù)不等式組有且只有兩個

x+a,-

-------1>3x

I2

奇數(shù)解求出一個。的取值范圍，再根據(jù)分式方程一，一產(chǎn)=4有整數(shù)解求出。的值，最后求和即可得

y-11-y

到答案

x-32x

---?---1

7a

【詳解】解：解不等式組得，

x+a1c

---------l>3x

I2

x>-3

<a-2,

x<------

I5

x-32x

---S---1

?.?不等式組有且只有兩個奇數(shù)解,

x+a1

---------1>3%

I2

/7—2

,即-3<。47,

解分式方程-7-F=4得，

y-Ll-y

Q—2

廣丁

???關(guān)于了的分式方程*=4有整數(shù)解，

y-ii-v

a—2

???a-2是3的整數(shù)倍，且干力1，

,：一3<a47,

=或2,

??.所有滿足條件的整數(shù)a的值之積為-1x2=-2,

故答案為：-2.

三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分.

16.計(jì)算:

-b)-(3Q3_-j-3ci

【答案】⑴必

【分析】此題考查了分式的混合運(yùn)算，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是掌握以

上運(yùn)算法則.

（1）首先計(jì)算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，然后計(jì)算加減即可；

（2）首先將括號內(nèi)通分，然后計(jì)算加減，然后將除法轉(zhuǎn)化成乘法計(jì)算即可.

【詳解】（1）a（a—6）—（3/—6Q2b）+3a

—"—ab—Q2+2ab

=ab；

x—x—\x(x+l)

x+12

x

~~2.

17.解分式方程：

(1)—=^-;

2xx+3

【答案】（l）x=l

⑵X=1

【分析】本題考查了解分式方程.

(1)先去分母將原方程化為整式方程，解得X的值后進(jìn)行檢驗(yàn)即可;

(2)先去分母將原方程化為整式方程，解得x的值后進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

17

【詳解】(1)解：—=-

2xx+3

方程兩邊同乘以2x(x+3),得x+3=4x,

解得x=l,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=l時(shí)，2x(x+3)/0,

所以原方程的解為x=l；

方程兩邊同乘以(x-2),得

尤-3=-3-（尤-2）,

解得x=l,

當(dāng)x=l時(shí)，X-2W0,

所以原方程的解為無=1.

18.先化簡，再求值：［I-工］/+6：+9,請從一3,一1,0這三個整數(shù)中選一個適當(dāng)?shù)臄?shù)作為x的

值代入求值.

【答案】二X-3當(dāng)x=0時(shí)，原式=-1.

x+3

【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，分式有意義的條件，正確的運(yùn)用分式的混合運(yùn)算法則化簡

成為解答本題的關(guān)鍵.

先將原式運(yùn)用分式的混合運(yùn)算法則化簡,然后選取一個合適的數(shù)作為X的值代入求解即可.

【詳解】解：原式』(1)(:+1)_工X+1

x2+6x+9

x2—1-8x+1

_x+1(X+3)2

(x+3)(x-3)x+1

x+1(x+3)'

要使原分式有意義，則會-3且XW-1

???符合題意的X=O

四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分.

19.已知X、丁是實(shí)數(shù)，且）=46々+&-16+2,求歷的值.

【答案】1

【分析】本題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，求不等式組的解集，化簡二次根式，先根據(jù)

16-x2>0

分式有意義的條件是分母不為0,二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于。得到--1620,則

x-4^0

x=-4,進(jìn)一步可得丁=-；，據(jù)此代值計(jì)算即可.

【詳解】解：?.?式子＞='三±亞工±2有意義,

16-x2>0

<x2-16>0,

x-4^0

J16-x2+G-16+2_1

20.新考法【閱讀學(xué)習(xí)】閱讀下面的解題過程.

X|

解：由^--=知xwO,

3?I2

x2+l0即x+』=3,

=3,

x

4

X+l21(1丫cr2C-

—2—=xH—z-=xH——2=3—2=7,

xxvxJ

2

上Y的值為1:?

x4+l7

【類比探究】上題的解法叫做“倒數(shù)法"，請你利用"倒數(shù)法"解題

X

已知X的值;

%2—3x+1X4-7X2+1

【拓展延伸】已知齊沁,1、abc

14叱仍+bc+ac的值.

15

【答案】類比探究：-g;拓展延伸：詈

【分析】本題考查了求分式的值，采用倒數(shù)法是解此題的關(guān)鍵.

類比探究：由題意可得xwO,從而得出,-3x+l=_i,即x+,-3=-l,再求出、一7『+1=_5,即

XXX

可得解；

拓展延伸：由題意可得2】+1+1]=：+1+!=露且"叱0,從而得出!+*=言再由倒數(shù)法

求解即可.

【詳解】解：類比探究：由―一~-=-1，知xwO,

x-3x+l

x2—3x+1p,1ci

--------=-1,即1n工+——3二—1,

x------------x

1c

/.XH—=2,

X

.-4—7川+1=/H—-7=f%+——2—7=22—2—7——5,

X4-7X2+1-5

-日7…111111111

拓展延伸：,-,-+7=-,7+-=~,—+-=—,

abbbeyac15

131

且abcw0,

15-90

11131

—H--F—=--

abc180

ab+bc+ac11131

--------——i---1—=--,

abcabc180

abc_180

ab+bc+ac31

21.為了促進(jìn)學(xué)生加強(qiáng)體育鍛煉，某中學(xué)從去年開始，每周除體育課外，又開展了足球俱樂部1小時(shí)活動,

去年學(xué)校通過采購平臺在某體育用品店購買/品牌足球共花費(fèi)2880元，B品牌足球共花費(fèi)2400元，

且購買A品牌足球數(shù)量是B品牌數(shù)量的1.5倍，每個足球的售價(jià)A品牌比B品牌便宜12元.

⑴求去年/品牌足球和8品牌足球的單價(jià)；

⑵今年由于參加俱樂部人數(shù)增加，需要從該店再購買/、2兩種足球共50個，已知今年該店對每個足

球的售價(jià)進(jìn)行了調(diào)整，/品牌比去年降低了5%,8品牌比去年提高了10%,如果今年購買/、8兩種

足球的總費(fèi)用不超過去年總費(fèi)用的一半，那么學(xué)校至少要購買多少個/品牌足球？

【答案】⑴去年A品牌足球B品牌足球的單價(jià)分別為48元和60元

⑵至少要購進(jìn)A品牌足球33個

【分析】本題主要考查了分式方程和不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程，根據(jù)不等

關(guān)系列出不等式.

(1)設(shè)去年A品牌足球的單價(jià)為x元，根據(jù)購買/品牌足球數(shù)量是8品牌數(shù)量的1.5倍，列出方程，

解方程即可；

(2)設(shè)今年購進(jìn)A品牌足球y個，則購進(jìn)2品牌足球(50-田個，根據(jù)今年購買/、2兩種足球的總費(fèi)

用不超過去年總費(fèi)用的一半，列出不等式，解不等式即可.

【詳解】(1)解：設(shè)去年A品牌足球的單價(jià)為x元，則8品牌足球的單價(jià)為(x+12)元，根據(jù)題意得：

竺，5、叫

xx+12

解得：x=48,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=48是原方程的解，

x+12=60,

答：去年A品牌足球5品牌足球的單價(jià)分別為48元和60元.

(2)解：設(shè)今年購進(jìn)A品牌足球了個，則購進(jìn)8品牌足球(50-田個，根據(jù)題意得：

48(l-5%)j+60(l+10%)(50-y)<1x(2880+2400),

解得：y->

,?,了為正整數(shù)，

的最小值為33.

答：至少要購進(jìn)A品牌足球33個.

五、解答題(三)：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分.

22.閱讀理解材料1：小學(xué)時(shí)常常會遇到將一個假分?jǐn)?shù)寫成帶分?jǐn)?shù)的問題，在這個過程中，先計(jì)算分子中包

含幾個分母，求出整數(shù)部分，再把剩余的部分寫成一個真分?jǐn)?shù).

…5123

例如：~=l+y=1-

類似的，我們可以將分式寫成一個整數(shù)與一個新分式的和.

例如：^11=1+1,區(qū)=(1)+2=1+5

XXX—1X—1

材料2：為了研究字母x和分式工2得變化關(guān)系，小明制作了如下表格:

x-l

X-3-2-101234

2122

-1-2無意義21

x-l^23

從表格可以看出，當(dāng)x的取值大于。時(shí)，隨著x的增大，三2的取值減小，當(dāng)x的取值小于0時(shí)，隨

X-1

著x的減小，三2的取值增大.

x-l

請根據(jù)上述材料完成下列問題:

(1)把下列分式寫成一個整數(shù)與一個新分式的和的形式;

x+62x+2

xx—2,

v4-A

⑵隨著X值的變化，分式上的值是如何變化的？

X

2x+2

⑶當(dāng)x大于2時(shí),隨著，的增大，分式一的值無限趨近于一個數(shù)，這個數(shù)是

【答案】⑴1+J2+工

x—2

Y-I-A丫6

(2)當(dāng)x>0或x<0時(shí)，隨著x的增大，山的值逐漸減小；隨著x的減小，王卬的值逐漸增大.

XX

(3)2

【分析】本題主要考查了分式的加減法，分式的變化，分式的值，本題是閱讀型題目，理解題干值的

定義并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題中給出的例子即可寫出答案;

(2)將分式工心轉(zhuǎn)換成1+9形式，利用9的變化情況解答即可;

XXX

（3）將分式也:轉(zhuǎn)換成2+—［形式，利用隨著x的增大，x-2逐漸增大，一［逐漸減小，趨近與

x-2x-2x-2

0,進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：—=1+-,

2x+2_2（x-2）+66

--------=---------------=2+-------,

x—2x—2x—2

故答案為：1+9,2+；

xx-2

（2）根據(jù)表格可知，當(dāng)x>0或x<0時(shí)，隨著x的增大，的值逐漸減小，隨著x的減小，⑤的值逐

漸增大,

x+66

=1+一,

xx

當(dāng)%>0或x<0時(shí)，隨著X的增大，上的值逐漸減小；隨著X的減小，上的值逐漸增大.

XX

/、2x+26

(3)v--------=2+——，

x—2x—2

當(dāng)X大于2時(shí)，隨著x的增大，一