編程算法設(shè)計與優(yōu)化訓(xùn)練題姓名_________________________地址_______________________________學(xué)號______________________-------------------------------密-------------------------封----------------------------線--------------------------1.請首先在試卷的標(biāo)封處填寫您的姓名，身份證號和地址名稱。2.請仔細(xì)閱讀各種題目，在規(guī)定的位置填寫您的答案。一、基本算法分析與設(shè)計1.時間復(fù)雜度分析

題目1：給定一個整數(shù)數(shù)組，找出數(shù)組中的最大元素。

時間復(fù)雜度分析：O(n)

題目2：實現(xiàn)一個函數(shù)，計算兩個整數(shù)的最大公約數(shù)（GCD）。

時間復(fù)雜度分析：O(log(min(a,b)))

2.空間復(fù)雜度分析

題目3：實現(xiàn)一個函數(shù)，計算斐波那契數(shù)列的第n項。

空間復(fù)雜度分析：O(n)

題目4：編寫一個函數(shù)，判斷一個字符串是否是回文。

空間復(fù)雜度分析：O(1)

3.基本算法設(shè)計

題目5：實現(xiàn)一個函數(shù)，實現(xiàn)兩個整數(shù)的加法運算，不使用或運算符。

基本算法設(shè)計：使用位運算實現(xiàn)

題目6：編寫一個函數(shù)，實現(xiàn)兩個整數(shù)的乘法運算，不使用運算符。

基本算法設(shè)計：使用位運算實現(xiàn)

4.算法優(yōu)化

題目7：實現(xiàn)一個函數(shù)，計算一個整數(shù)數(shù)組中的最大子數(shù)組和。

算法優(yōu)化：使用動態(tài)規(guī)劃實現(xiàn)Kadane算法

題目8：編寫一個函數(shù)，實現(xiàn)字符串的查找功能，使用KMP算法。

算法優(yōu)化：使用KMP算法實現(xiàn)

5.算法效率對比

題目9：比較冒泡排序、選擇排序和插入排序的效率。

算法效率對比：分析三種排序算法的平均時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度

答案及解題思路：

題目1：使用線性遍歷數(shù)組，比較每個元素，找到最大元素。

解題思路：遍歷數(shù)組，記錄最大值。

題目2：使用輾轉(zhuǎn)相除法計算最大公約數(shù)。

解題思路：使用輾轉(zhuǎn)相除法不斷遞歸計算兩個數(shù)的最大公約數(shù)。

題目3：使用遞歸計算斐波那契數(shù)列。

解題思路：遞歸計算斐波那契數(shù)列的第n項。

題目4：從字符串兩端開始比較字符，如果相同則繼續(xù)比較，直到中間。

解題思路：使用雙指針從兩端開始比較字符。

題目5：使用位運算實現(xiàn)加法運算。

解題思路：使用異或運算實現(xiàn)無進位加法，使用與運算和左移運算實現(xiàn)進位。

題目6：使用位運算實現(xiàn)乘法運算。

解題思路：使用位運算實現(xiàn)乘法運算，通過循環(huán)實現(xiàn)乘法。

題目7：使用動態(tài)規(guī)劃實現(xiàn)Kadane算法。

解題思路：遍歷數(shù)組，使用動態(tài)規(guī)劃記錄以當(dāng)前位置為結(jié)尾的最大子數(shù)組和。

題目8：使用KMP算法實現(xiàn)字符串查找。

解題思路：構(gòu)建部分匹配表，根據(jù)部分匹配表實現(xiàn)字符串查找。

題目9：比較冒泡排序、選擇排序和插入排序的效率。

解題思路：分析三種排序算法的平均時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度，比較它們的功能。二、排序算法1.插入排序

題目1：實現(xiàn)一個插入排序算法，對以下數(shù)組進行排序：[5,2,9,1,5,6]。

題目2：編寫一個函數(shù)，使用插入排序算法對鏈表進行排序。

2.冒泡排序

題目1：實現(xiàn)冒泡排序算法，對以下數(shù)組進行排序：[3,2,1,4,5]。

題目2：優(yōu)化冒泡排序算法，使其在數(shù)組已經(jīng)有序的情況下不再進行不必要的比較。

3.快速排序

題目1：實現(xiàn)快速排序算法，對以下數(shù)組進行排序：[10,7,8,9,1,5]。

題目2：分析快速排序算法的平均時間復(fù)雜度和最壞情況時間復(fù)雜度。

4.歸并排序

題目1：實現(xiàn)歸并排序算法，對以下數(shù)組進行排序：[12,11,13,5,6,7]。

題目2：討論歸并排序算法的空間復(fù)雜度。

5.堆排序

題目1：實現(xiàn)堆排序算法，對以下數(shù)組進行排序：[4,10,3,5,1]。

題目2：解釋堆排序算法中如何調(diào)整堆以保持最大堆性質(zhì)。

6.希爾排序

題目1：實現(xiàn)希爾排序算法，對以下數(shù)組進行排序：[25,12,22,35,15,1,40]。

題目2：比較希爾排序和插入排序的功能差異。

7.計數(shù)排序

題目1：實現(xiàn)計數(shù)排序算法，對以下數(shù)組進行排序：[4,2,2,8,3,3,1]。

題目2：分析計數(shù)排序算法在處理大數(shù)據(jù)集時的功能。

8.基數(shù)排序

題目1：實現(xiàn)基數(shù)排序算法，對以下數(shù)組進行排序：[170,45,75,90,802,24,2,66]。

題目2：討論基數(shù)排序在處理負(fù)數(shù)時的處理方法。

答案及解題思路：

1.插入排序

答案1：[1,2,5,5,6,9]

解題思路：從左到右逐個元素插入到已排序的序列中。

答案2：[1,2,5,5,6,9]

解題思路：使用鏈表節(jié)點和插入排序的邏輯，逐個節(jié)點插入到鏈表中。

2.冒泡排序

答案1：[1,2,3,4,5]

解題思路：通過相鄰元素的比較和交換，逐步將最大元素“冒泡”到數(shù)組的末尾。

答案2：[3,2,1,4,5]

解題思路：在冒泡排序的基礎(chǔ)上，增加一個標(biāo)志位來檢測數(shù)組是否已經(jīng)有序。

3.快速排序

答案1：[1,3,5,7,9,10]

解題思路：選擇一個基準(zhǔn)值，將數(shù)組分為小于基準(zhǔn)值和大于基準(zhǔn)值的兩個子數(shù)組，遞歸地對子數(shù)組進行快速排序。

答案2：平均時間復(fù)雜度O(nlogn)，最壞情況時間復(fù)雜度O(n^2)

解題思路：通過基準(zhǔn)值的選取和遞歸劃分，實現(xiàn)數(shù)組的快速排序。

4.歸并排序

答案1：[1,2,3,5,6,7,11,12,13,15,22,24,25,66,802,90]

解題思路：將數(shù)組分為兩半，遞歸地對兩半進行歸并排序，最后合并兩個有序的子數(shù)組。

答案2：空間復(fù)雜度O(n)

解題思路：歸并排序需要額外的空間來存儲臨時數(shù)組。

5.堆排序

答案1：[1,2,3,4,5]

解題思路：構(gòu)建最大堆，然后交換堆頂元素與數(shù)組末尾元素，調(diào)整剩余元素構(gòu)成的堆，重復(fù)此過程。

答案2：保持最大堆性質(zhì)，通過調(diào)整子節(jié)點與父節(jié)點的值來實現(xiàn)。

6.希爾排序

答案1：[1,2,3,5,12,15,22,24,25,35,66,75,802,90,170]

解題思路：使用不同間隔的子序列進行插入排序，逐步縮小間隔，最終實現(xiàn)整個數(shù)組的排序。

答案2：希爾排序通常比插入排序快，因為它允許更遠(yuǎn)的元素進行交換。

7.計數(shù)排序

答案1：[1,2,2,3,4,5]

解題思路：創(chuàng)建一個計數(shù)數(shù)組，記錄每個元素出現(xiàn)的次數(shù)，然后根據(jù)計數(shù)數(shù)組來構(gòu)建排序后的數(shù)組。

答案2：在處理大數(shù)據(jù)集時，計數(shù)排序的功能通常很好，因為它的時間復(fù)雜度與輸入數(shù)據(jù)的范圍無關(guān)。

8.基數(shù)排序

答案1：[1,2,2,3,4,5,6,7,9,10,12,13,15,22,24,25,35,66,75,802,90,170]

解題思路：根據(jù)數(shù)字的每一位進行排序，從最低位到最高位，逐步構(gòu)建排序后的數(shù)組。

答案2：處理負(fù)數(shù)時，可以采用絕對值排序或先對數(shù)組進行預(yù)處理，將所有元素轉(zhuǎn)換為非負(fù)數(shù)。三、查找算法1.順序查找

（1）題目：

假設(shè)有一個未排序的數(shù)組`nums`，編寫一個函數(shù)`search`，實現(xiàn)順序查找算法，查找`target`是否存在于數(shù)組中。如果存在返回其索引，否則返回1。

輸入：

`nums`:整數(shù)數(shù)組

`target`:整數(shù)

輸出：

索引（存在時）或1（不存在時）

（2）代碼實現(xiàn)：

defsearch(nums,target):

foriinrange(len(nums)):

ifnums[i]==target:

returni

return1

2.二分查找

（1）題目：

假設(shè)有一個已排序的數(shù)組`nums`，編寫一個函數(shù)`binary_search`，實現(xiàn)二分查找算法，查找`target`是否存在于數(shù)組中。如果存在返回其索引，否則返回1。

輸入：

`nums`:整數(shù)數(shù)組

`target`:整數(shù)

輸出：

索引（存在時）或1（不存在時）

（2）代碼實現(xiàn)：

defbinary_search(nums,target):

left,right=0,len(nums)1

whileleft=right:

mid=(leftright)//2

ifnums[mid]==target:

returnmid

elifnums[mid]target:

left=mid1

else:

right=mid1

return1

3.插值查找

（1）題目：

假設(shè)有一個已排序的數(shù)組`nums`，編寫一個函數(shù)`interpolation_search`，實現(xiàn)插值查找算法，查找`target`是否存在于數(shù)組中。如果存在返回其索引，否則返回1。

輸入：

`nums`:整數(shù)數(shù)組

`target`:整數(shù)

輸出：

索引（存在時）或1（不存在時）

（2）代碼實現(xiàn)：

definterpolation_search(nums,target):

left,right=0,len(nums)1

whileleft=rightandtarget>=nums[left]andtarget=nums[right]:

ifleft==right:

ifnums[left]==target:

returnleft

return1

ifleft==0ortarget==nums[right]:

returnright

pos=leftint(((rightleft)(targetnums[left]))/(nums[right]nums[left]))

ifnums[pos]==target:

returnpos

ifnums[pos]target:

left=pos1

else:

right=pos1

return1

4.斐波那契查找

（1）題目：

假設(shè)有一個已排序的數(shù)組`nums`，編寫一個函數(shù)`fibonacci_search`，實現(xiàn)斐波那契查找算法，查找`target`是否存在于數(shù)組中。如果存在返回其索引，否則返回1。

輸入：

`nums`:整數(shù)數(shù)組

`target`:整數(shù)

輸出：

索引（存在時）或1（不存在時）

（2）代碼實現(xiàn)：

deffibonacci_search(nums,target):

fib_m_minus_2=0

fib_m_minus_1=1

fib_m=fib_m_minus_1fib_m_minus_2

whilefib_mlen(nums):

fib_m_minus_2=fib_m_minus_1

fib_m_minus_1=fib_m

fib_m=fib_m_minus_1fib_m_minus_2

offset=1

whilefib_m>1:

i=min(offsetfib_m_minus_2,len(nums)1)

ifnums[i]target:

fib_m=fib_m_minus_1

fib_m_minus_1=fib_m_minus_2

fib_m_minus_2=fib_mfib_m_minus_1

offset=i

elifnums[i]>target:

fib_m=fib_m_minus_2

fib_m_minus_1=fib_m_minus_1fib_m_minus_2

fib_m_minus_2=fib_mfib_m_minus_1

else:

returni

iffib_m_minus_1andnums[offset1]==target:

returnoffset1

return1

5.哈希查找

（1）題目：

假設(shè)有一個整數(shù)數(shù)組`nums`，編寫一個函數(shù)`hash_search`，實現(xiàn)哈希查找算法，查找`target`是否存在于數(shù)組中。如果存在返回其索引，否則返回1。

輸入：

`nums`:整數(shù)數(shù)組

`target`:整數(shù)

輸出：

索引（存在時）或1（不存在時）

（2）代碼實現(xiàn)：

defhash_search(nums,target):

hash_table={}

fori,numinenumerate(nums):

hash_table[num]=i

returnhash_table.get(target,1)

6.二叉查找樹

（1）題目：

編寫一個`TreeNode`類，實現(xiàn)一個二叉查找樹（BST），包含以下功能：

插入節(jié)點

查找節(jié)點

刪除節(jié)點

中序遍歷

輸入：

`data`:整數(shù)

輸出：

樹的根節(jié)點

（2）代碼實現(xiàn)：

classTreeNode:

def__init__(self,data):

self.data=data

self.left=None

self.right=None

classBinarySearchTree:

def__init__(self):

self.root=None

definsert(self,data):

ifnotself.root:

self.root=TreeNode(data)

else:

self._insert_recursive(self.root,data)

def_insert_recursive(self,node,data):

ifdatanode.data:

ifnotnode.left:

node.left=TreeNode(data)

else:

self._insert_recursive(node.left,data)

else:

ifnotnode.right:

node.right=TreeNode(data)

else:

self._insert_recursive(node.right,data)

defsearch(self,data):

returnself._search_recursive(self.root,data)

def_search_recursive(self,node,data):

ifnotnode:

returnNone

ifdata==node.data:

returnnode

elifdatanode.data:

returnself._search_recursive(node.left,data)

else:

returnself._search_recursive(node.right,data)

defdelete(self,data):

self.root=self._delete_recursive(self.root,data)

def_delete_recursive(self,node,data):

ifnotnode:

returnnode

ifdatanode.data:

node.left=self._delete_recursive(node.left,data)

elifdata>node.data:

node.right=self._delete_recursive(node.right,data)

else:

ifnotnode.left:

returnnode.right

elifnotnode.right:

returnnode.left

else:

min_larger_node=self._find_min(node.right)

node.data=min_larger_node.data

node.right=self._delete_recursive(node.right,min_larger_node.data)

returnnode

def_find_min(self,node):

current=node

whilecurrent.left:

current=current.left

returncurrent

definorder_traversal(self):

result=

self._inorder_recursive(self.root,result)

returnresult

def_inorder_recursive(self,node,result):

ifnotnode:

return

self._inorder_recursive(node.left,result)

result.append(node.data)

self._inorder_recursive(node.right,result)

7.平衡二叉樹

（1）題目：

編寫一個`AVLTree`類，實現(xiàn)一個平衡二叉樹（AVL樹），包含以下功能：

插入節(jié)點

查找節(jié)點

刪除節(jié)點

中序遍歷

輸入：

`data`:整數(shù)

輸出：

樹的根節(jié)點

（2）代碼實現(xiàn)：

classAVLNode:

def__init__(self,data):

self.data=data

self.left=None

self.right=None

self.height=1

classAVLTree:

def__init__(self):

self.root=None

definsert(self,data):

self.root=self._insert_recursive(self.root,data)

def_insert_recursive(self,node,data):

ifnotnode:

returnAVLNode(data)

ifdatanode.data:

node.left=self._insert_recursive(node.left,data)

else:

node.right=self._insert_recursive(node.right,data)

node.height=1max(self._get_height(node.left),self._get_height(node.right))

balance=self._get_balance(node)

ifbalance>1anddatanode.left.data:

returnself._right_rotate(node)

ifbalance1anddata>node.right.data:

returnself._left_rotate(node)

ifbalance>1anddata>node.left.data:

node.left=self._left_rotate(node.left)

returnself._right_rotate(node)

ifbalance1anddatanode.right.data:

node.right=self._right_rotate(node.right)

returnself._left_rotate(node)

returnnode

defsearch(self,data):

returnself._search_recursive(self.root,data)

def_search_recursive(self,node,data):

ifnotnode:

returnNone

ifdata==node.data:

returnnode

elifdatanode.data:

returnself._search_recursive(node.left,data)

else:

returnself._search_recursive(node.right,data)

defdelete(self,data):

self.root=self._delete_recursive(self.root,data)

def_delete_recursive(self,node,data):

ifnotnode:

returnnode

ifdatanode.data:

node.left=self._delete_recursive(node.left,data)

elifdata>node.data:

node.right=self._delete_recursive(node.right,data)

else:

ifnotnode.left:

returnnode.right

elifnotnode.right:

returnnode.left

else:

min_larger_node=self._find_min(node.right)

node.data=min_larger_node.data

node.right=self._delete_recursive(node.right,min_larger_node.data)

node.height=1max(self._get_height(node.left),self._get_height(node.right))

balance=self._get_balance(node)

ifbalance>1anddatanode.left.data:

returnself._right_rotate(node)

ifbalance1anddata>node.right.data:

returnself._left_rotate(node)

ifbalance>1anddata>node.left.data:

node.left=self._left_rotate(node.left)

returnself._right_rotate(node)

ifbalance1anddatanode.right.data:

node.right=self._right_rotate(node.right)

returnself._left_rotate(node)

returnnode

def_get_height(self,node):

ifnotnode:

return0

returnnode.height

def_get_balance(self,node):

ifnotnode:

return0

returnself._get_height(node.left)self._get_height(node.right)

def_left_rotate(self,z):

y=z.right

T2=y.left

y.left=z

z.right=T2

z.height=1max(self._get_height(z.left),self._get_height(z.right))

y.height=1max(self._get_height(y.left),self._get_height(y.right))

returny

def_right_rotate(self,y):

x=y.left

T2=x.right

x.right=y

y.left=T2

y.height=1max(self._get_height(y.left),self._get_height(y.right))

x.height=1max(self._get_height(x.left),self._get_height(x.right))

returnx

definorder_traversal(self):

result=

self._inorder_recursive(self.root,result)

returnresult

def_inorder_recursive(self,node,result):

ifnotnode:

return

self._inorder_recursive(node.left,result)

result.append(node.data)

self._inorder_recursive(node.right,result)

8.B樹

（1）題目：

編寫一個`BTree`類，實現(xiàn)一個B樹，包含以下功能：

插入節(jié)點

查找節(jié)點

刪除節(jié)點

中序遍歷

輸入：

`data`:整數(shù)

輸出：

樹的根節(jié)點

（2）代碼實現(xiàn)：

classBTreeNode:

def__init__(self,leaf=False):

self.leaf=leaf

self.keys=

self.children=

classBTree:

def__init__(self,t):

self.root=BTreeNode(True)

self.t=t

definsert(self,data):

root=self.root

iflen(root.keys)==(2self.t)1:

new_root=BTreeNode()

self.root=new_root

new_root.children.insert(0,root)

self.split_child(new_root,0)

self.insert_non_full(new_root,data)

else:

self.insert_non_full(root,data)

definsert_non_full(self,node,data):

i=len(node.keys)1

ifnode.leaf:

node.keys.append(1)

whilei>=0anddatanode.keys[i]:

node.keys[i1]=node.keys[i]

i=1

node.keys[i1]=data

else:

whilei>=0anddatanode.keys[i]:

i=1

i=1

iflen(node.children[i].keys)==(2self.t)1:

self.split_child(node,i)

ifdata>node.keys[i]:

i=1

self.insert_non_full(node.children[i],data)

defsplit_child(self,parent,i):

child=parent.children[i]

new_child=BTreeNode(child.leaf)

mid=len(child.keys)//2

parent.keys.insert(i,child.keys[mid])

new_child.keys=child.keys[mid1:]

child.keys=child.keys[:mid]

ifnotchild.leaf:

new_child.children=child.children[mid1:]

child.children=child.children[:mid1]

defsearch(self,data):

returnself._search_recursive(self.root,data)

def_search_recursive(self,node,data):

iflen(node.keys)==0:

returnFalse

i=0

whileilen(node.keys)anddata>node.keys[i]:

i=1

ifilen(node.keys)anddata==node.keys[i]:

returnTrue

ifnode.leaf:

returnFalse

returnself._search_recursive(node.children[i],data)

defdelete(self,data):

self.delete_recursive(self.root,data)

defdelete_recursive(self,node,data):

ifnode.leaf:

ifdatanotinnode.keys:

return

node.keys.remove(data)

return

i=0

whileilen(node.keys)anddata>node.keys[i]:

i=1

ifdata==node.keys[i]:

iflen(node.children[i].keys)>=self.t:

self.delete_key(node,i)

else:

self.delete_key_with_rebalance(node,i)

eliflen(node.children[i].keys)>=self.t:

self.delete_key(node,i)

else:

self.delete_key_with_rebalance(node,i)

defdelete_key(self,node,i):

child=node.children[i]

key_to_replace=self._find_min(child)

node.keys[i]=key_to_replace

self.delete_recursive(child,key_to_replace)

defdelete_key_with_rebalance(self,node,i):

child=node.children[i]

right_child=node.children[i1]

iflen(child.keys)>=self.t:

key_to_replace=self._find_max(child)

node.keys[i]=key_to_replace

self.delete_recursive(child,key_to_replace)

else:

iflen(right_child.keys)>=self.t:

self._rebalance_right(node,i)

else:

self._rebalance_left(node,i)

def_rebalance_right(self,node,i):

child=node.children[i]

right_child=node.children[i1]

node.keys[i]=right_child.keys[0]

child.keys.append(right_child.keys.pop(0))

ifnotchild.leaf:

child.children.append(right_child.children.pop(0))

def_rebalance_left(self,node,i):

child=node.children[i]

left_child=node.children[i1]

node.keys[i1]=child.keys.pop(0)

right_child=child.children.pop(0)

child.keys.insert(0,left_child.keys.pop())

child.children.insert(0,left_child.children.pop())

ifnotchild.leaf:

child.children.insert(0,left_child.children.pop(0))

def_find_min(self,node):

whilenotnode.leaf:

node=node.children[0]

returnnode.keys[0]

def_find_max(self,node):

whilenotnode.leaf:

node=node.children[1]

returnnode.keys[1]

definorder_traversal(self):

result=

self._inorder_recursive(self.root,result)

returnresult

def_inorder_recursive(self,node,result):

iflen(node.keys)==0:

return

self._inorder_recursive(node.children[0],result)

result.extend(node.keys)

self._inorder_recursive(node.children[1],result)

答案及解題思路：

1.順序查找

答案：實現(xiàn)順序查找算法，遍歷數(shù)組，找到目標(biāo)值則返回索引，否則返回1。

解題思路：遍歷數(shù)組，比較每個元素與目標(biāo)值，找到目標(biāo)值則返回索引，否則返回1。

2.二分查找

答案：實現(xiàn)二分查找算法，使用兩個指針`left四、圖算法1.深度優(yōu)先搜索

題目：

給定一個有向圖，使用深度優(yōu)先搜索算法遍歷圖中所有頂點，并輸出訪問順序。

編程案例：

defdfs(graph,start):

visited=set()

stack=[start]

whilestack:

vertex=stack.pop()

ifvertexnotinvisited:

print(vertex)

visited.add(vertex)

stack.extend(graph[vertex]visited)

returnvisited

圖的示例，使用鄰接表表示

graph={

'A':['B','C'],

'B':['D','E'],

'C':['F'],

'D':,

'E':['F'],

'F':

}

print("DFStraversalstartingfromvertexA:")

dfs(graph,'A')

2.廣度優(yōu)先搜索

題目：

給定一個無向圖，使用廣度優(yōu)先搜索算法遍歷圖中所有頂點，并輸出訪問順序。

編程案例：

fromcollectionsimportdeque

defbfs(graph,start):

visited=set()

queue=deque([start])

whilequeue:

vertex=queue.popleft()

ifvertexnotinvisited:

print(vertex)

visited.add(vertex)

queue.extend(graph[vertex]visited)

returnvisited

圖的示例，使用鄰接表表示

graph={

'A':['B','C'],

'B':['D','E'],

'C':['F'],

'D':,

'E':['F'],

'F':

}

print("BFStraversalstartingfromvertexA:")

bfs(graph,'A')

3.最短路徑算法（Dijkstra算法、Floyd算法）

題目：

給定一個帶權(quán)重的有向圖，使用Dijkstra算法計算從起點到所有其他頂點的最短路徑。

編程案例：

importheapq

defdijkstra(graph,start):

distances={vertex:float('infinity')forvertexingraph}

distances[start]=0

priority_queue=[(0,start)]

whilepriority_queue:

current_distance,current_vertex=heapq.heappop(priority_queue)

ifcurrent_distance>distances[current_vertex]:

continue

forneighbor,weightingraph[current_vertex].items():

distance=current_distanceweight

ifdistancedistances[neighbor]:

distances[neighbor]=distance

heapq.heappush(priority_queue,(distance,neighbor))

returndistances

圖的示例，使用鄰接表表示

graph={

'A':{'B':1,'C':4},

'B':{'A':1,'C':2,'D':5},

'C':{'A':4,'B':2,'D':1},

'D':{'B':5,'C':1}

}

print("Dijkstra'sshortestpathfromvertexA:")

print(dijkstra(graph,'A'))

4.最小樹算法（Prim算法、Kruskal算法）

題目：

給定一個帶權(quán)重的無向圖，使用Prim算法計算最小樹。

編程案例：

importheapq

defprim(graph,start):

min_heap=[(0,start,None)]

visited=set()

mst_edges=

whilemin_heap:

weight,vertex,parent=heapq.heappop(min_heap)

ifvertexinvisited:

continue

visited.add(vertex)

ifparent:

mst_edges.append((parent,vertex,weight))

forneighbor,weightingraph[vertex].items():

ifneighbornotinvisited:

heapq.heappush(min_heap,(weight,neighbor,vertex))

returnmst_edges

圖的示例，使用鄰接表表示

graph={

'A':{'B':2,'C':3},

'B':{'A':2,'C':1,'D':1},

'C':{'A':3,'B':1,'D':3},

'D':{'B':1,'C':3}

}

print("Prim'sminimumspanningtree:")

print(prim(graph,'A'))

5.最大權(quán)匹配算法

題目：

給定一個帶權(quán)重的二分圖，使用匈牙利算法求解最大權(quán)匹配問題。

編程案例：

defhungarian_algorithm(cost_matrix):

ThisisaplaceholderfortheHungarianalgorithmimplementation.

Theactualimplementationwouldbemoreplexandwouldinvolvematrixmanipulation.

return"Maximumweightmatchingsolution."

Costmatrixofabipartitegraph

cost_matrix=[

[2,4,3],

[5,1,3],

[2,5,1]

]

print("Maximumweightmatching:")

print(hungarian_algorithm(cost_matrix))

6.最小路徑覆蓋算法

題目：

給定一個帶權(quán)重的無向圖，找到覆蓋所有頂點且路徑最短的路徑集合。

編程案例：

Thisisaplaceholderfortheimplementationoftheminimumpathcoveralgorithm.

Theactualimplementationwoulddependonthegraphstructureandwouldrequiregraphtraversaltechniques.

print("Minimumpathcover:")

print("Tobeimplemented.")

7.單源最短路徑算法（BellmanFord算法）

題目：

給定一個帶權(quán)重的有向圖和一個源頂點，使用BellmanFord算法找出所有頂點的最短路徑。

編程案例：

defbellman_ford(graph,start):

distances={vertex:float('infinity')forvertexingraph}

distances[start]=0

for_inrange(len(graph)1):

foruingraph:

forvingraph[u]:

ifdistances[v]>distances[u]graph[u][v]:

distances[v]=distances[u]graph[u][v]

Checkfornegativeweightcycles

foruingraph:

forvingraph[u]:

ifdistances[v]>distances[u]graph[u][v]:

print("Graphcontainsnegativeweightcycle")

returnNone

returndistances

圖的示例，使用鄰接表表示

graph={

'A':{'B':1,'C':4},

'B':{'A':1,'C':2,'D':5},

'C':{'A':4,'B':2,'D':1},

'D':{'B':5,'C':1}

}

print("BellmanFordshortestpathsfromvertexA:")

print(bellman_ford(graph,'A'))

8.最長路徑算法

題目：

給定一個帶權(quán)重的有向圖和一個源頂點，使用FloydWarshall算法找出所有頂點的最長路徑。

編程案例：

deffloyd_warshall(graph):

distances={vertex:{vertex:0forvertexingraph}forvertexingraph}

foruingraph:

forvingraph[u]:

distances[u][v]=graph[u][v]

forkingraph:

foriingraph:

forjingraph:

distances[i][j]=max(distances[i][j],distances[i][k]distances[k][j])

returndistances

圖的示例，使用鄰接表表示

graph={

'A':{'B':5,'C':9},

'B':{'C':3,'D':2},

'C':{'A':6,'B':3,'D':4},

'D':{'A':4,'B':2,'C':4}

}

print("FloydWarshalllongestpaths:")

print(floyd_warshall(graph))

答案及解題思路

答案：

此處應(yīng)根據(jù)上述代碼案例提供的輸出進行答案填充。

解題思路：

1.深度優(yōu)先搜索和廣度優(yōu)先搜索：通過構(gòu)建訪問順序和層次隊列，遍歷圖中所有頂點。

2.Dijkstra算法：使用優(yōu)先隊列存儲頂點和到達(dá)它們的距離，更新最短距離并繼續(xù)遍歷。

3.Prim算法：從起始頂點開始，逐漸構(gòu)建最小樹，選擇具有最小邊的未訪問頂點。

4.FloydWarshall算法：迭代地更新所有頂點之間的距離，以找到所有頂點之間的最長路徑。

5.BellmanFord算法：檢查所有邊權(quán)重是否可能導(dǎo)致負(fù)權(quán)重循環(huán)，然后計算所有頂點到源頂點的最短路徑。

6.最大權(quán)匹配算法和最小路徑覆蓋算法：需要更復(fù)雜的算法實現(xiàn)，具體解題思路取決于算法的具體步驟。五、動態(tài)規(guī)劃1.最大子序列和

題目：給定一個整數(shù)數(shù)組，找出一個具有最大和的連續(xù)子數(shù)組（至少包含一個元素）。

示例：[1,3,2,1,1]的最大子序列和為3。

編程語言：C

2.最小路徑和

題目：給定一個包含非負(fù)整數(shù)的mxn網(wǎng)格，找出一條從左上角到右下角的路徑，使得路徑上的數(shù)字總和最小。

示例：網(wǎng)格[[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]的最小路徑和為7。

編程語言：Java

3.最長公共子序列

題目：給定兩個字符串，找出兩個字符串的最長公共子序列。

示例：字符串"ABCBDAB"和"BDCAB"的最長公共子序列為"BCAB"。

編程語言：Python

4.最長公共子樹

題目：給定兩個二叉樹，找出它們的最大公共子樹。

示例：兩個二叉樹的最大公共子樹結(jié)構(gòu)相同，但葉子節(jié)點可能不同。

編程語言：C

5.最長遞增子序列

題目：給定一個無序數(shù)組，找出數(shù)組中一個最長遞增子序列的長度。

示例：數(shù)組[10,9,2,5,3,7,101,18]的最長遞增子序列長度為4。

編程語言：JavaScript

6.最短編輯距離

題目：給定兩個字符串，找出將一個字符串轉(zhuǎn)換成另一個字符串所需的最少編輯操作次數(shù)。

示例：字符串"kitten"和"sitting"的最短編輯距離為3。

編程語言：Ru

7.最小三角形覆蓋

題目：給定一個整數(shù)數(shù)組，找出最小的三角形覆蓋數(shù)，使得所有數(shù)都至少被覆蓋一次。

示例：數(shù)組[1,3,4,2,6,5]的最小三角形覆蓋數(shù)為2。

編程語言：PHP

8.最長連續(xù)子數(shù)組

題目：給定一個整數(shù)數(shù)組，找出一個最長連續(xù)子數(shù)組，使得子數(shù)組中所有元素都是相同的。

示例：數(shù)組[1,2,2,3,4,4,4,5]的最長連續(xù)子數(shù)組為[4,4,4]。

編程語言：Go

答案及解題思路：

1.最大子序列和

答案：使用動態(tài)規(guī)劃，定義dp[i]為以nums[i]結(jié)尾的最大子序列和，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為dp[i]=max(dp[i1]nums[i],nums[i])。

解題思路：從左到右遍歷數(shù)組，不斷更新dp數(shù)組，最后dp數(shù)組的最大值即為最大子序列和。

2.最小路徑和

答案：使用動態(tài)規(guī)劃，定義dp[i][j]為到達(dá)點(i,j)的最小路徑和，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為dp[i][j]=min(dp[i1][j],dp[i][j1])grid[i][j]。

解題思路：從左上角到右下角遍歷網(wǎng)格，更新dp數(shù)組，最后dp[m1][n1]即為最小路徑和。

3.最長公共子序列

答案：使用動態(tài)規(guī)劃，定義dp[i][j]為s1[0i1]和s2[0j1]的最長公共子序列長度，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為dp[i][j]=dp[i1][j1]1，如果s1[i1]==s2[j1]。

解題思路：填充dp數(shù)組，最后dp[m][n]即為最長公共子序列長度。

4.最長公共子樹

答案：使用動態(tài)規(guī)劃，定義dp[u][v]為以u和v為根節(jié)點的子樹的最長公共子樹長度，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為dp[u][v]=max(dp[u][v],dp[u][w]dp[v][w])，其中u和v是節(jié)點，w是它們的共同祖先。

解題思路：遞歸遍歷所有節(jié)點，計算dp數(shù)組，最后找到最大值即為最長公共子樹長度。

5.最長遞增子序列

答案：使用動態(tài)規(guī)劃，定義dp[i]為以nums[i]結(jié)尾的最長遞增子序列長度，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為dp[i]=max(dp[i],dp[j]1)，其中ji且nums[j]nums[i]。

解題思路：遍歷數(shù)組，更新dp數(shù)組，最后找到最大值即為最長遞增子序列長度。

6.最短編輯距離

答案：使用動態(tài)規(guī)劃，定義dp[i][j]為s1[0i1]和s2[0j1]的最短編輯距離，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為dp[i][j]=min(dp[i1][j]1,dp[i][j1]1,dp[i1][j1](s1[i1]!=s2[j1])1)。

解題思路：填充dp數(shù)組，最后dp[m][n]即為最短編輯距離。

7.最小三角形覆蓋

答案：使用動態(tài)規(guī)劃，定義dp[i]為以nums[i]結(jié)尾的最小三角形覆蓋長度，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為dp[i]=min(dp[i],dp[j]1)，其中ji且nums[j]>=nums[i]。

解題思路：遍歷數(shù)組，更新dp數(shù)組，最后找到最大值即為最小三角形覆蓋長度。

8.最長連續(xù)子數(shù)組

答案：使用動態(tài)規(guī)劃，定義dp[i]為以nums[i]結(jié)尾的最長連續(xù)子數(shù)組長度，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為dp[i]=max(dp[i],dp[i1]1)，如果nums[i]==nums[i1]。

解題思路：遍歷數(shù)組，更新dp數(shù)組，最后找到最大值即為最長連續(xù)子數(shù)組長度。六、貪心算法1.01背包問題

題目：給定一個可裝載重量為W的背包和N件物品，每件物品有重量和價值的屬性，求背包能裝載物品的最大價值。

輸入：N（物品數(shù)量），W（背包容量），一個N×2的二維數(shù)組，表示每件物品的重量和價值。

輸出：背包能裝載物品的最大價值。

2.股票買賣

題目：給定一個數(shù)組，表示每天股票的價格，找出只買賣一次能夠獲得的最大利潤。

輸入：一個整數(shù)數(shù)組，表示每天的價格。

輸出：最大利潤。

3.最長不重復(fù)子串

題目：給定一個字符串，找出最長的無重復(fù)字符的子串的長度。

輸入：一個字符串。

輸出：最長不重復(fù)子串的長度。

4.最小路徑覆蓋

題目：給定一個m×n的網(wǎng)格，每個單元格有兩種狀態(tài)：0（未被覆蓋）和1（被覆蓋）。找出覆蓋所有被覆蓋單元格的最小路徑數(shù)。

輸入：一個m×n的網(wǎng)格。

輸出：最小路徑數(shù)。

5.最長遞增子序列

題目：給定一個無序數(shù)組，找出其中最長的遞增子序列的長度。

輸入：一個無序數(shù)組。

輸出：最長遞增子序列的長度。

6.最長連續(xù)子數(shù)組

題目：給定一個整數(shù)數(shù)組，找出其中最長的連續(xù)子數(shù)組的長度。

輸入：一個整數(shù)數(shù)組。

輸出：最長連續(xù)子數(shù)組的長度。

7.資源分配問題

題目：給定一組資源需求，以及一組資源可用性，找出一個分配方案，使得資源分配最優(yōu)化。

輸入：資源需求數(shù)組，資源可用性數(shù)組。

輸出：資源分配方案。

8.最優(yōu)二分搜索樹的層級輸出

題目：給定一個整數(shù)數(shù)組，構(gòu)建一個最優(yōu)二分搜索樹，并按照層級輸出樹的結(jié)構(gòu)。

輸入：一個整數(shù)數(shù)組。

輸出：最優(yōu)二分搜索樹的層級輸出。

答案及解題思路：

1.01背包問題

答案：動態(tài)規(guī)劃求解。

解題思路：使用動態(tài)規(guī)劃，創(chuàng)建一個二維數(shù)組dp，其中dp[i][j]表示前i件物品放入容量為j的背包的最大價值。通過遍歷物品和背包容量，更新dp數(shù)組，最后dp[N][W]即為最大價值。

2.股票買賣

答