廣東省東莞市2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

姓名：班級：考號：

題號——四五總分

評分

一、選擇題（共10題，每小題3分，共30分）

1.方程2/—3久—1=0的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為（）□

A.2/和一3久B.2,和3%C.2和一3D.2和3

2.“福祿壽喜”圖是中華傳統(tǒng)祥云圖紋，以下四個圖案是中心對稱圖形的是（）

B.

D嬉

3.一個不透明的袋子中只有4個黑球和2個白球，這些球除顏色外無其他差別，隨機從袋子中一次摸出3個球,

下列事件中是不可能事件的是（）o

A.3個球都是黑球B.3個球都是白球

C.3個球中有黑球D.3個球中有白球

4.二次函數(shù)y=2（x—1>+2的圖象可由y=2/的圖象（）。

A.向左平移1個單位,再向下平移2個單位得到

B.向左平移1個單位,再向上平移2個單位得到

C.向右平移1個單位,再向下平移2個單位得到

D.向右平移1個單位,再向上平移2個單位得到

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AOAB的頂點為。（0,0）,71（-6,4）,B（—3,0）?以點。為位似中心，在

第四象限內(nèi)作與A04B的位似比為④的位似圖形△OCC,則點C坐標(biāo)為（）。

c.（I，-f）D.（I，-1）

6.如圖，在。。中，點C是油上一點，若乙4OB=126。，則ZC的度數(shù)為（）0

1

C

AB

A.127°B.117°C.63°D.54°

7.為積極響應(yīng)國家“雙減”政策，某市推出名師公益大課堂，為學(xué)生提供線上線下免費輔導(dǎo)，據(jù)統(tǒng)計第一批公益

課受益學(xué)生2萬人次，第三批公益課受益學(xué)生2.42萬人次。設(shè)平均每批受益學(xué)生人次的增長率為x,根據(jù)題意

可列方程為（）o

A.2（1-%）2=2.42B.2.42（1-%）2=2

C.2.42（1+%）2=2D.2（1+%）2=2.42

8.某杠桿裝置如圖，桿的一端吊起一桶水，阻力臂保持不變，在使杠桿平衡的情況下，小康通過改變動力臂L,

測量出相應(yīng)的動力F數(shù)據(jù)如表。請根據(jù)表中數(shù)據(jù)規(guī)律探求，當(dāng)動力臂L長度為2.0m時,所需動力最接近（）o

D.302N

9.如圖，在矩形/BCD中，48=24,BC=25,以點8為圓心，長為半徑畫弧，交邊4。于點巴則四邊

C.82D.92

10.拋物線7=。%2+/?%+式。。0）的部分圖象如圖所示，與久軸的一個交點坐標(biāo)為（4,0）,拋物線的對稱軸是

直線汽=L下列結(jié)論中：@abc>0；（2）2a+b=0；③方程a/+法+c=0有兩個不相等的實數(shù)根；（4）

若點4（刻幾）在該拋物線上，則am?+人7n4Q+力.其中正確的有（）

2

A.1個B.2個C.3個D.4個

二'填空題（共5題，每小題3分，共15分）

11.二次函數(shù)y=2（久—4）2-3的頂點坐標(biāo)是0

12.已知（小-i）x|m+i|-3%-5=0是一元二次方程，則m=□

13.如圖，在科學(xué)活動課上，同學(xué)們用圓心角為120。，半徑為12cm的扇形紙片，卷成一個無底圓錐形小帽,

則這個小紙帽的底面半徑r等于.

14.在△4BC中，E,尸分別是邊ZB,4C上的點且EF||BC,AE-.EB=2：3,四邊形BCFE的面積為42cm2,

則小ABC的面積為

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形4BCCEF的中心尸在反比例函數(shù)丫=號（％>0）的圖象上，邊CQ

在x軸上，點3在y軸上，則該正六邊形的邊長為。

三'解答題（共4小題，5+5+5+6,共21分）

3

16.解方程：x（2久-1）=2（2久—1）

17.在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為4(5,4),B(0,3),C(2,1)。

(1)畫出△力BC關(guān)于原點成中心對稱的A&B1C1，并寫出點Ci的坐標(biāo)；

(2)畫出將ABC繞點B按順時針旋轉(zhuǎn)90。所得的△A2BC2O

18.已知關(guān)于x的一元二次方程/一(卜+4)+3+2k=0。

(1)求證：此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)設(shè)方程的兩個實數(shù)根為％1，%20若X1〉0,久2<0，求人的取值范圍。

19.如圖，AB為。。的直徑，弦CDLAB,垂足為點P,直線BF與AD延長線交于點F,且/AFB=/ABC.

Br

(1)求證：直線BF是。O的切線；

(2)若CD=2V5，BP=1,求。O的半徑.

四、解答題(共4小題，7+7+8+8=30分)

20.抖音直播帶貨已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，某商場在抖音平臺上直播銷售某種商品，該商品每件進貨價

為40元，市場調(diào)研表明：當(dāng)銷售單價為80元時，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，

經(jīng)過一段時間銷售，當(dāng)銷售價每降低1元時，平均每天就能多售出2件。

(1)若降價2元，則平均每天銷售數(shù)量為件；

(2)當(dāng)每件商品定價多少元時，該商場平均每天銷售某種商品利潤達(dá)到1200元。

21.如圖，菱形4BCD的邊長為a,^ADC=120°,分別以C為圓心，。為半徑畫麗D及麗D。求麗D及麗D

所圍成的葉形的周長及面積.

C

22.科學(xué)點亮未來，創(chuàng)新成就夢想，為了點燃同學(xué)們的科技熱情，某校開展了科技探秘活動，為了了解同學(xué)們

對人工智能、無人機、航模、3d打印這四個興趣小組的喜愛情況，在全校進行隨機抽樣調(diào)查，并根據(jù)收集的數(shù)

據(jù)繪制了下面兩幅統(tǒng)計圖(信息不完整)，請根據(jù)圖中提供的信息，解答下面的問題：

(1)此次共調(diào)查了多少名學(xué)生？

(2)將條形圖補充完整；

(3)計算扇形統(tǒng)計圖中人工智能部分的圓心角的度數(shù)；

(4)小明和小方想報名參加興趣課堂，現(xiàn)從人工智能、無人機、航模、3d打印這四種興趣課堂中隨機選擇

一種，用列表法或樹狀圖法求出他們選中同一種興趣課堂的概率。

23.如圖，經(jīng)過點4(1,0)的直線/與雙曲線y=?(%>0)交于點B(2,1),直線y=2分別交曲線y=?(%>0)

和y。)于點”、N,點、P(P,2一1)(2>1)在直線丫=2上.連接8時、AN。

6

(2)求證：4MPBNPA.

五、解答題（共2小題，每小題12分，共24分）

24.如圖（1）,已知等邊△ABC,點。，E分別是邊BC,C4上的點，且CD=AE,連接4D,BE交于點尸.

⑴

(1)求證：AABD^△BCE；

(2)如圖（2）連接CP,若點P恰好落在以CD為直徑的圓上，求ZCPE的度數(shù);

(3)在條件（2）下，求AE：EC的值。

25.如圖，拋物線y=直好+6%與無軸交于應(yīng)一2,。），B（6,0）,交y軸于點C,點P是線段BC下方拋物線

（1）求拋物線的函數(shù)解析式;

（2）求A/OQ周長的最小值;

7

(3)假設(shè)AP/Q與△PBQ的面積分別為Si，S2,且5=51+52，求S的最大值。

8

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：方程2/—3久—1=0的二次項系數(shù)為2,一次項系數(shù)為-3.

故答案為：C.

【分析】對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a加)，二次項系數(shù)為a,一次項系數(shù)為b,常數(shù)項為c,據(jù)此作答即可.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：A是中心對稱圖形，符合題意；

B不是中心對稱圖形，不符合題意題意；

C不是中心對稱圖形，不符合題意題意；

D不是中心對稱圖形，不符合題意題意.

故答案為：A

【分析】將圖形沿某一點旋轉(zhuǎn)180。后能夠與原圖形重合的圖形為中心對稱圖形.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：A是隨機事件，不符合題意；

B是不可能事件，符合題意；

C是隨機事件，不符合題意；

D是隨機事件，不符合題意；

故答案為：B

【分析】根據(jù)事件的可能性大小逐項進行判斷即可求出答案.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：由題意可得：

將y=2/的圖象向右平移1個單位可得y=2(久—1)2

再向上平移2個單位可得y=2(%—1)2+2

故答案為：D

【分析】根據(jù)函數(shù)圖形的平移規(guī)律：左加右減(對x),上加下減(對y),即可求出答案.

5.【答案】A

【解析】【解答】04B的頂點為。(0,0),71(-6,4),B(-3,0),以點O為位似中心，在第四象限內(nèi)作

與△OAB的位似比為4的位似圖形△OCD

.,.點C的坐標(biāo)為(一6X4,4x1),即(3,-2)

故答案為：A

9

【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可求出答案.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：作圓周角NADB,使D在優(yōu)弧上

ZAOB=126°

1

LD="AOB=63°

,/ZACB+ZD=180°

.,.ZACB=180o-63o=117°

故答案為：B

【分析】作圓周角/ADB,使D在優(yōu)弧上，根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半可得ND=63。，再根據(jù)圓內(nèi)

接四邊形性質(zhì)即可求出答案.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：設(shè)平均每批受益學(xué)生人次的增長率為x

由題意可得2（1+久）2=2.42

故答案為：D

【分析】設(shè)平均每批受益學(xué)生人次的增長率為x,根據(jù)題意建立方程即可求出答案.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：由題意可得：動力臂與動力成反比的關(guān)系

設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：L=$

將（0.5,600）代入關(guān)系式可得600=白

解得：k=300

.7300

-L=—

將L=2代入關(guān)系式可得2=犁

F

解得:F=150

.,.a=150

10

故答案為：B

【分析】由題意可得：動力臂與動力成反比的關(guān)系，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：L=j,根據(jù)待定系數(shù)法將(0.5,600)

代入關(guān)系式可得k=300,再將L=2代入函數(shù)關(guān)系式即可求出答案.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：連接BE,如圖，

???四邊形ABCD是矩形，

24=2。=90°,AB=DC=24,AD=BC=25,

在Rt△ABE中，4E=7BE2-AB2=V252-242=7，

DE=AD-AE=25-7=18,

在Rt△EDC中，EC=JDE2+CD2=J182+242=30,

???四邊形ABCE的周長=AB+BC+AE+CE=24+25+7+30=86.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出AE、CE即可。

10.【答案】C

【解析】【解答】解：由圖象可得，a<0,b〉0,c>0,

.".abc<0,故①錯誤；

??b(

?-2ka—=1，

??b=-2a,故2a+b=0,故②正確；

拋物線與x軸有兩個交點，故方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根，故③正確；

二?當(dāng)％=1時，該函數(shù)取得最大值，此時y=a+b+c,

???點在該拋物線上，則am2+bm+c<a+b+c,即am2+bm<a+b,故④正確.

???正確的有②③④共三個，

故答案為：C.

【分析】利用一次函數(shù)的圖象、性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系(①當(dāng)k>0時，一次函數(shù)的圖象呈上升趨勢，此時函數(shù)值y

隨x的增大而增大；②當(dāng)k<0時，一次函數(shù)的圖象呈下降趨勢，此時函數(shù)值y隨x的增大而減?。虎郛?dāng)b>0

11

時，函數(shù)圖象經(jīng)過y軸的正半軸；④當(dāng)b<0時，函數(shù)圖象經(jīng)過y軸的負(fù)半軸）分析求解即可.

11.【答案】（4,-3）

【解析】【解答】解：由題意可得：

頂點坐標(biāo)是（4,-3）

故答案為：（4,-3）

【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式的性質(zhì)即可求出答案.

12.【答案】-3

【解析】【解答】解：由題可得｛/

解得：m=-3,

故答案為：-3.

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義“形如ax2+bx+c=0（a加）的等式是一元二次方程”解題即可.

13.【答案】4cm

【解析】【解答】解：???圓心角為120。，半徑為12cm的扇形的弧長=12哈12=&兀皿，

loU

?,?圓錐的底面圓的周長為871cm,

設(shè)圓錐的底面半徑為r,則2nr=8兀，

解得：r=4,

???圓錐的底面圓的半徑為4cm,

故答案為：4cm.

【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為「，貝!]2幾廠=8必再求出r的值即可.

14.【答案】50cm2

【解析】【解答】解：TEFIIBC

???AAEF^AABC

^AEzEB=2：3

AAE：AB=2：5

?SNEF_MF\2_4

S&ABC14M25

設(shè)S/k/EF=x

?"△/BC=42+%

.,?^^=奈解得:x=8

?9?S^ABC=42+%=50

故答案為：50cm2

12

【分析】根據(jù)相似三角形判定定理可得△AEFS/\ABC,由ZE：EB=2：3可得AE：AB=2：5,再根據(jù)相似

三角形性質(zhì)可得改=(奈)2=白

設(shè)SAAEF=X，貝USMBC=42+久，建立方程，解方程即可求出答案.

15.【答案】V2

【解析】【解答】解：由題意可得:

ZBCO=60°

設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為x

,/ZBOC=90°

0C=^x,OB=亨無

.?.點P的坐標(biāo)為卜，孚尤)

?..正六邊形ABCDEF的中心P在反比例函數(shù)y=>°)的圖象上

解得：％=&

故答案為：V2

【分析】根據(jù)正六邊形外角性質(zhì)可得NBCO60。，設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為x,根據(jù)含30。角的直角三角

形性質(zhì)可得。。=*久，OB=*x，則點P的坐標(biāo)為(%,孚％)，再將點P坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求出答

案.

16.【答案】解：x(2x7)=2(2x-1)

x(2x-1)-2(2x-1)=0

(2x-1)(x-2)=0

2x-1=0或(x-2)=0

Xl=-i,X2=2

【解析】【分析】移項，提公因式進行因式分解，再解方程即可求出答案.

17.【答案】(1)解：如圖，△AiBiCi即為所求

13

點Ci的坐標(biāo)(-2,-1)

(2)解：如圖，△A2BC2即為所求

【解析】【分析】(1)根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征作出Bi，的，再依次連接即可求出答案.

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作出力2,B,C2,再依次連接即可求出答案.

18.【答案】(1)證明：VA=[-(k+4)]2-4(3+2k)

=k2+8k+16-12-8k

=k2+4>0

.??此方程總有兩個不相等的實數(shù)根

(2)解：Vxi>0,X2<0,

?"?Xl*X2<0

x『X2=3+2k

/.3+2k<0,

解得k<-1

即k的范圍為kV-|

14

【解析】【分析】(1)根據(jù)二次方程判別式A=b2-4ac>0,可得方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系建立不等式，解不等式即可求出答案.

19.【答案】(1)證明：?.?弧AC=MAC,

；./ABC=/ADC,

,/ZAFB=ZABC,

ZADC=ZAFB,

；.CD〃BF,

VCDXAB,

；.AB_LBF,

「AB是圓的直徑，

直線BF是。O的切線

(2)解：設(shè)。。的半徑為r,連接OD.如圖所示：

VAB±BF,CD=2V5,

；.PD=PC=1CD=V5,

VBP=1,

；.OP=r-1

在RtZ\OPD中，由勾股定理得：d=(r-1)2+(6)2

解得：r=3.

即。。的半徑為3.

【解析】【分析】(1)由圓周角定理得出NABC=NADC,由已知得出NADC=NAFB,證出CD〃BF,得出AB1BF,

即可得出結(jié)論；(2)設(shè)。。的半徑為r,連接OD.由垂徑定理得出PD=PC=1CD=V5,得出OP=r-l在

RtaOPD中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

20.【答案】(1)24

(2)解：設(shè)每件商品降價x元，則平均每天可銷售(20+2x)件

依題意，得：(80-X-40)(20+2x)=1200

整理，得：x2-30x+200=0

解得：xi=10x2=20

當(dāng)x=20時，40-x=20<25

15

；.x=20舍去.

,定價=80-10=70（元）

答：當(dāng)每件商品定價70元時，該商店每天銷售利潤為1200元.

【解析】【解答】解：（1）若降價兩元，則每天銷售量為24件

故答案為：24

【分析】（1）根據(jù)降價每降低1元時，平均每天就能多售出2件即可求出答案.

（2）設(shè)每件商品降價x元，則平均每天可銷售（20+2x）件，根據(jù)題意建立方程，解方程即可求出答案.

21.【答案】解：I?在菱形ABCD中，ZADC=120°

NA=NC=60°

葉形的周長=2x需=看

loU37r

連接BD,過點D作DELAB于點E

ADE=^a

二葉形的面積=2S扇形ABD-S菱形ABCD

—

【解析】【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)可得NA=ZC=60%則葉形的周長=2x^3=看兀,連接BD,過點D作DEXAB

loU5

于點E,根據(jù)含30。角的直角三角形性質(zhì)可得DE=21a,再根據(jù)葉形的面積=2S扇形ABD-S菱形ABCD即可求出答案.

22.【答案】（1）解：此次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為120—40%=300（名）

答：此次共調(diào)查了300名學(xué)生；

（2）解：人工智能的人數(shù)為300-（60+120+40）=80（名），將條形圖補充完整如圖：

16

(3)解：扇形統(tǒng)計圖中人工智能部分的圓心角的度數(shù)為：360。乂熱=96。

(4)解:C、D,畫樹狀圖如圖所示:

小明

小方

共有16種等可能的結(jié)果，小明和小方選中同一種興趣課堂的結(jié)果有4個

...小明和小方選中同一種興趣課堂的概率為4=1

164

【解析】【分析】（1）根據(jù)航模興趣小組人數(shù)及所占百分比即可求出總?cè)藬?shù).

（2）根據(jù)人工智能的人數(shù)=總?cè)藬?shù)-其他小組人數(shù)，補全圖形即可求出答案.

（3）根據(jù)人工智能部分的圓心角的度數(shù)=360。、所占比，即可求出答案.

（4）畫出樹狀圖，求出所有等可能結(jié)果，再求出小明和小方選中同一種興趣課堂的結(jié)果，再根據(jù)簡單事件的

概率即可求出答案.

23?【答案】（1）解：把B點的坐標(biāo)（2,1）代入y=5得n=2xl=2

設(shè)直線1的解析式是y=kx+b（修0）

把A、B的坐標(biāo)代入y=kx+b,得

解得：k=l,b=-1

即直線1的解析式是y=x-1

（2）證明：（p,p-1）在直線y=2上

；.p-1=2

解得：p=3

即P點的坐標(biāo)是（3,2）

把y=2代入y=Z,得x=l,即M點的坐標(biāo)是（1,2）

x

17

把y=2代入y=—得乂=-1,即N的坐標(biāo)是(-1,2)

；.PM=3-1=2,PN=3-(-1)=4

VP(3,2),A(1,0),B(2,1.)

???PB=Jf3-2；2+<2-1；2=V2

I22__

PA=J(3—1)+f2-0;=2V2

.PM_PB_1

??麗—西—2

?/ZMPB=ZNPA

AMPB^ANPA

【解析】【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法將點(2,1)代入反比例函數(shù)解析式即可得n值，設(shè)直線1的解析式是y

=kx+b(k#)),根據(jù)待定系數(shù)法將點A,B坐標(biāo)代入解析式即可求出答案.

(2)將點P坐標(biāo)代入直線y=2上可得P點的坐標(biāo)是(3,2),把y=2代入y=2,得x=l,即M點的坐標(biāo)是

X

(1,2),把y=2代入y=—|,得x=-l,即N的坐標(biāo)是(-1,2),根據(jù)兩點間距離可得PM=2,PN=4,再

根據(jù)勾股定理可得PB,PA,再根據(jù)相似三角形判定定理即可求出答案.

24?【答案】(1)證明：???△ABC是等邊三角形

???AB=AC=BC,ZABC=ZBCA=60°

VCD=AE

ABD=CE

在AABD與ABCE中

(AB=BC

\^ABD=乙BCE

(BD=CE

AAABD^ABCE(SAS)

(2)解：???點P恰好落在以CD為直徑的圓上

.,.ZDPC=ZAPC=90°

由(1)知：AABD^ABCE

AZBAD=ZCBE

???ZAPE=ZBAD+ZABP=ZCBE+ZABP=60°

???NCPE=30。

(3)解：VAABD^ABCE

JZADB=ZBEC

ZADB+ZADC=180°

18

???NBEC+NADC=180。

???C、D、P、E四點共圓

連接DE,則NCED=90。，ZCDE=ZCPE=30°

VCD=AE

?AE_ry

??前一2

【解析】【分析】(1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)可得AB=AC=BC,NABC=NBCA=60。，再根據(jù)全等三角形判定

定理即可求出答案.

(2)根據(jù)圓周角定理可得NDPC=NAPC=90。，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得NBAD=NCBE,再根據(jù)三角形

外角性質(zhì)可得NAPE=60。，再根據(jù)角之間的關(guān)系即可求出答案.

(3)根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得/ADB=NBEC,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得C、D、P、E四點共圓，連接

DE,則NCED=90。，NCDE=NCPE=30。，再根據(jù)含30。角的直角三角形性質(zhì)可得空=2,再進行等量替換即

C￡1

可求出答案.

25.【答案】(1)解：:?拋物線丫=2*2+6*-6與x軸交于A(-2,0),B(6,0)兩點

???｛普二氏一解