6.2

等差數(shù)列及其前n項和-2-知識梳理雙基自測23411.等差數(shù)列(1)定義:一般地,如果一個數(shù)列從

起,每一項與它的前一項的

等于

,那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的

,公差通常用字母d表示.數(shù)學語言表示為

(n∈N*),d為常數(shù).

(2)等差中項:數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列的充要條件是

,其中A叫做a,b的

.

(3)等差數(shù)列的通項公式:an=

,可推廣為an=

.

第2項

差

同一個常數(shù)

公差

an+1-an=d

等差中項

a1+(n-1)d

am+(n-m)d-3-知識梳理雙基自測23412.等差數(shù)列及其前n項和的性質(1)若m+n=p+q,則

(m,n,p,q∈N*);m+n=2p,則am+an=2ap(m,n,p∈N*).

(2)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差為

的等差數(shù)列.

(3)若{an},{bn}是等差數(shù)列,p,q∈R,則{pan+qbn}也是等差數(shù)列.(4)設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,則數(shù)列也是

數(shù)列.

(5)若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則S2n-1=(2n-1)an.(6)若n為偶數(shù),則;若n為奇數(shù),則S奇-S偶=a中(中間項).am+an=ap+aqmd等差

-4-知識梳理雙基自測23413.等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式與函數(shù)的關系(1)an=a1+(n-1)d可化為an=dn+a1-d的形式.當d≠0時,an是關于n的一次函數(shù);當d>0時,數(shù)列為遞增數(shù)列;當d<0時,數(shù)列為遞減數(shù)列.(2)

當d≠0時,它是關于n的二次函數(shù).數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)).-5-知識梳理雙基自測23414.等差數(shù)列的前n項和的最值在等差數(shù)列{an}中,a1>0,d<0,則Sn存在最

值;若a1<0,d>0,則Sn存在最

值.

大

小

2-6-知識梳理雙基自測34151.下列結論正確的打“√”,錯誤的打“×”.(1)若一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列是等差數(shù)列.(

)(2)已知數(shù)列{an}的通項公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列.(

)(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù).(

)(4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(

)(5)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.(

)(6)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù).(

)答案答案關閉(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

(5)√

(6)×

-7-知識梳理雙基自測234152.(2017浙江,6)已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn,則“d>0”是“S4+S6>2S5”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件答案解析解析關閉答案解析關閉-8-知識梳理雙基自測234153.設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若a10+a11+a12=6,則S21=(

)A.42 B.21 C.23 D.44答案解析解析關閉答案解析關閉-9-知識梳理雙基自測234154.(2017全國Ⅰ,理4)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a4+a5=24,S6=48,則{an}的公差為(

)A.1 B.2 C.4 D.8答案解析解析關閉答案解析關閉-10-知識梳理雙基自測23415答案解析解析關閉答案解析關閉5.(教材例題改編P16例7)在100以內(nèi)(包括100)的正整數(shù)中有

個能被6整除的數(shù).

-11-考點1考點2考點3考點4例1(1)在等差數(shù)列{an}中,a4=2,且a1+a2+…+a10=65,則公差d的值是(

)A.4 B.3 C.1 D.2(2)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m等于(

)A.3 B.4 C.5 D.6思考求等差數(shù)列基本量的一般方法是什么?答案答案關閉

(1)B

(2)C

-12-考點1考點2考點3考點4解析:

(1)∵在等差數(shù)列{an}中,a4=2,且a1+a2+…+a10=65,∴公差d的值是3.故選B.(2)(方法一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,∴d=am+1-am=1,∵m≠0,∴a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.-13-考點1考點2考點3考點4-14-考點1考點2考點3考點4-15-考點1考點2考點3考點4解題心得1.等差數(shù)列運算問題的一般求法是設出首項a1和公差d,然后由通項公式或前n項和公式轉化為方程(組)求解.2.等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,已知其中三個就能求出另外兩個,體現(xiàn)了用方程組解決問題的思想.3.減少運算量的設元的技巧,若三個數(shù)成等差數(shù)列,可設這三個數(shù)為a-d,a,a+d;若四個數(shù)成等差數(shù)列,可設這四個數(shù)為a-3d,a-d,a+d,a+3d.-16-考點1考點2考點3考點4對點訓練1(1)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27,a10=8,則a100=(

)A.100 B.99 C.98 D.97(2)設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,a12=-8,S9=-9,則S16=

.

答案答案關閉(1)C

(2)-72

-17-考點1考點2考點3考點4-18-考點1考點2考點3考點4-19-考點1考點2考點3考點4例2數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)設bn=an+1-an,證明{bn}是等差數(shù)列;(2)求{an}的通項公式.思考判定一個數(shù)列為等差數(shù)列的基本方法有哪些?-20-考點1考點2考點3考點4

(1)證明

由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1,所以{bn}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.(2)解

由(1)得bn=1+2(n-1)=2n-1,即an+1-an=2n-1.所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以{an}的通項公式為an=n2-2n+2.-21-考點1考點2考點3考點4解題心得1.等差數(shù)列的四種判定方法(1)定義法:an+1-an=d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.(2)等差中項法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列.(3)通項公式法:an=pn+q(p,q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.(4)前n項和公式法:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.2.若證明一個數(shù)列不是等差數(shù)列,則只要證明存在連續(xù)三項不成等差數(shù)列即可.-22-考點1考點2考點3考點4對點訓練2設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2n-1.數(shù)列{bn}滿足b1=2,bn+1-2bn=8an.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;-23-考點1考點2考點3考點4-24-考點1考點2考點3考點4

答案解析解析關閉答案解析關閉-25-考點1考點2考點3考點4考向二

等差數(shù)列前n項和的性質的應用例4在等差數(shù)列{an}中,前m項的和為30,前2m項的和為100,則前3m項的和為

.

思考本例題應用什么性質求解比較簡便?答案解析解析關閉答案解析關閉-26-考點1考點2考點3考點4解題心得1.利用等差數(shù)列項的性質解決基本量的運算體現(xiàn)了整體求值思想,應用時常將an+am=2ap(m+n=2p,m,n,p∈N*)與am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,q∈N*)相結合,可減少運算量.2.在等差數(shù)列{an}中,依據(jù)題意應用其前n項和的性質解題能比較簡便地求出結果,常用的性質有:在等差數(shù)列{an}中,數(shù)列-27-考點1考點2考點3考點4對點訓練3(1)已知等差數(shù)列{an}的前17項和S17=51,則a5-a7+a9-a11+a13等于(

)A.3 B.6 C.17 D.51(2)已知等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分(3)已知在等差數(shù)列{an}中,其前n項和為Sn,S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=

.

答案答案關閉(1)A

(2)D

(3)45

-28-考點1考點2考點3考點4-29-考點1考點2考點3考點4(3)∵{an}為等差數(shù)列,∴S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列.∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6).∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2(36-9)-9=45.-30-考點1考點2考點3考點4例5在等差數(shù)列{an}中,已知a1=20,前n項和為Sn,且S10=S15,求當n取何值時,Sn取得最大值,并求出它的最大值.思考求等差數(shù)列前n項和的最值有哪些方法?-31-考點1考點2考點3考點4-32-考點1考點2考點3考點4∵n∈N*,∴當n=12或n=13時,Sn有最大值,且最大值為S12=S13=130.又由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0.∴5a13=0,即a13=0.∴當n=12或n=13時,Sn有最大值,且最大值為S12=S13=130.-33-考點1考點2考點3考點4解題心得求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法:(1)函數(shù)法:將等差數(shù)列的前n項和Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))看做二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質求最值.(2)鄰項變號法:①利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出其正負轉折項,當②利用性質求出其正負轉折項,便可求得前n項和的最值.-34-考點1考點2考點3考點4對點訓練4(1)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a5+a7=4,a6+a8=-2,則當Sn取最大值時,n的值是(

)A.5 B.6 C.7 D.8(2)設數(shù)列{an}是公差d<0的等差數(shù)列,Sn為前n項和,若S6=5a1+10d,則Sn取最大值時,n的值為(

)A.5 B.6 C.5或6 D.11答案解析解析關閉

(1)依題意得2a6=4,2a7=-2,a6=2>0,a7=-1<0;又數(shù)列{an}是等差數(shù)列,因此在該數(shù)列中,前6項均為正數(shù),自第