熱點(diǎn)專題2-7函數(shù)與方程

近5年考情(2020-2024)

考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求

2024年天津卷第15題，5分從近幾年鬲考命題來看，高考

(1)理解函數(shù)的零點(diǎn)與方

年全國甲卷，第題分對函數(shù)與方程也經(jīng)常以不同的

202416,5程的解的聯(lián)系.

方式進(jìn)行考查，比如：函數(shù)零

年天津卷第題，分(2)理解函數(shù)零點(diǎn)存在定

2023155點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題、位置問題、近

理，并能簡單應(yīng)用.

似解問題，以選擇題、填空題、

(3)了解用二分法求方程

2021年北京卷第15題，5分解答題等形式出現(xiàn)在試卷中的

的近似解.

不同位置，且考查得較為靈活

模塊一卜熱點(diǎn)題型解讀(目錄)

【題型1】求函數(shù)的零點(diǎn)

【題型2】求函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間

【題型3】二分法求近似解

【題型4】判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或交點(diǎn)個(gè)數(shù)

【題型5】利用函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍

【題型6】已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

【題型7】比較零點(diǎn)的大小

【題型8］求零點(diǎn)的和

模塊核心題型?舉一反三

【題型1］求函數(shù)的零點(diǎn)

基礎(chǔ)知識

函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對于一般函數(shù)y=/(%),我們把使/(x)=0的實(shí)數(shù)％叫做函數(shù)y=/(x)的

零點(diǎn).即函數(shù)的零點(diǎn)就是使函數(shù)值為零的自變量的值.

【要點(diǎn)辨析】

(1)函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，其函數(shù)值等于零;

(2)函數(shù)的零點(diǎn)也就是函數(shù)y=/(x)的圖象與1軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(3)函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)就是方程/(%)=0的實(shí)數(shù)根.

2、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系

函數(shù)V="X)的零點(diǎn)就是方程/(%)=0的實(shí)數(shù)解，也就是函數(shù)y=/(%)的圖象與x軸的公共點(diǎn)的

橫坐標(biāo).所以方程/(%)=0有實(shí)數(shù)根0函數(shù)丁="X)的圖象與x軸有交點(diǎn)o函數(shù)y=/(x)有

零點(diǎn).

3、函數(shù)零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)/(￡)在區(qū)間可上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且/(a)"僅)<0,那么，函數(shù)

y=/(無)在區(qū)間(2，)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在ce(a"),使得/?=0,這個(gè)c也就是方程

/(九)=0的解.

1.函數(shù)/(%)=3'-1的零點(diǎn)為()

A.(0,0)B.(1.1)C.0D.1

【答案】C

【解析】令/(力=3,-1=0,解得x=0,故選:C.

【鞏固練習(xí)1］函數(shù)〃x)=l-lg(3，+2)的零點(diǎn)為()

A.log38B.2C.log37D.log,5

【答案】A

【解析】令外力=1一坨(3工+2)=。，得3*+2=10,則x=log38.故選：A

【鞏固練習(xí)2】

【鞏固練習(xí)3】已知定義在(0,+8)上的/(x)是單調(diào)函數(shù)，且對任意xe(O,y)恒有

f/(x)+logi%=4,則函數(shù)的零點(diǎn)為()

I3)

A.—B.-C.9D.27

279

【答案】A

［解析］設(shè)/(x)+bgM=a,即/'(x)=TogiX+a,

/、3'3

因?yàn)?f(x)+log產(chǎn)=4,可得〃。)=4,

\37

所以-1%。+。=4,解得°=3,所以/(x)=T°g/+3,

33

令〃x)=0,可得一現(xiàn)產(chǎn)+3=0,即bgj=3,解得x=J_.故選：A.

3327

【題型2】求函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間

基礎(chǔ)知識

判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的步驟

第一步：將區(qū)間端點(diǎn)代入函數(shù)求函數(shù)的值；

第二步：將所得函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號判斷；

第三步：若符號為正切在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn);

若符號為負(fù)且函數(shù)圖象連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少一個(gè)零點(diǎn)。

2.函數(shù)/(x)=2，+x-4的零點(diǎn)所在區(qū)間為()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【答案】C

【解析】因?yàn)閥=2"和y=x-4均是R上的增函數(shù)，所以函數(shù)/(%)=2"+尤-4是R上的增函數(shù),

又/⑴=-1<0,〃2)=2>0,/(1)./(2)<0,

所以函數(shù)/的零點(diǎn)所在區(qū)間為(1,2).故選：C.

【鞏固練習(xí)1】函數(shù)/(x)=ln(2x)-/的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】因?yàn)椤▁)的定義域?yàn)?0,+e),且y=ln(2x),y=-工在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

X

可知“X)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

JL/(l)=ln2-l<0,/(2)=ln4-1>0,

所以函數(shù)的唯一一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2).

【鞏固練習(xí)2】函數(shù)/(x)=ln(2x)-g的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】因?yàn)椤癤）的定義域?yàn)椋?,+e）,且y=ln（2尤）,y=-工在（0,+8）內(nèi)單調(diào)遞增,

x

可知〃尤）在（0,+功內(nèi)單調(diào)遞增，

JL/（l）=ln2-l<0,/（2）=ln4-1>0,

所以函數(shù)的唯一一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（1,2）.

【題型3】二分法求近似解

基礎(chǔ)知識

所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.

求方程〃龍）=0的近似解就是求函數(shù)〃龍）零點(diǎn)的近似值.

3.（2024?廣東梅州?二模）用二分法求方程log4X-[=0近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可以是（）

2x

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】^f（x）=log4x-^~,

因?yàn)楹瘮?shù)y=log4x,y=-*在（0,+功上都是增函數(shù),

所以函數(shù)/⑺=log4x-1在（0,+oo）上是增函數(shù)，

所以函數(shù)/（%）=log4x-—區(qū)間（1,2）上有唯一零點(diǎn)，

所以用二分法求方程logs%--=0近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可以是（1,2）.

【鞏固練習(xí)1]一塊電路板的線段之間有60個(gè)串聯(lián)的焊接點(diǎn)，知道電路不通的原因是焊口脫落

造成的，要想用二分法的思想檢測出哪處焊口脫落，至少需要檢測（）

A.4次B.6次

C.8次D.30次

【答案】B

【解析】利用二分法檢測，每次取中點(diǎn)，焊接點(diǎn)數(shù)減半，不妨設(shè)需要〃次檢測，則|?vi,

即2"260,因?yàn)?5<60<26,故〃的最小值為6,即至少需要檢測6次.

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)/（無）=log2尤-L在區(qū)間CU）內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，在利用二分法求函數(shù)/⑴近

X

似解的過程中，第二次求得的區(qū)間中點(diǎn)值為.

7

【答案】-

4

【分析】根據(jù)題意，利用對數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合零點(diǎn)二分法，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/（x）=log2%-，為單調(diào)遞增函數(shù)，且在（1,2）內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，

X

又由/⑴=—1"（2）=；,則/⑴/（2）<0,

3323-

第一次用二分法，由/（5）=1。825-§=1。82]-1。8223,

因?yàn)槎?lt;4,可得（M）3<43,即三<23,可得log：<log,23,所以/■（）<（）,

o8222

3

所以確定函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（-,2）；

7741R電

7

第二次用二分法，由/（-）=log2--y=log27-y=log27-log22,

18187

因?yàn)?>2?？傻?。與7-log227>0,即/（/>0

7373

所以4E）<°，所以確定函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（牙萬），

7

所以第二次求得的區(qū)間的中點(diǎn)值為一.

4

【鞏固練習(xí)3】（2024.遼寧大連.一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法.對于非線性可

導(dǎo)函數(shù)〃可在「附近一點(diǎn)的函數(shù)值可用/（%卜/（5）+/'（2（》T。）代替，該函數(shù)零點(diǎn)更逼近方程

的解，以此法連續(xù)迭代，可快速求得合適精度的方程近似解.利用這個(gè)方法，解方程尤3一3》+1=0,

選取初始值％=；，在下面四個(gè)選項(xiàng)中最佳近似解為（）

A.0.333B.0.335C.0.345D.0.347

【答案】D

【解析】令〃力=/一3x+l,貝1刊^）=31-3,

f(x]

令〃x)=0,即〃%)+/'(%0)(%-不卜0,可得了Q,

KG。），

迭代關(guān)系為4+1

f,M

03[2x—10312x--1

取尤則占12x-1_2725

0=:,2^0~18x=—?0.34722

3r2-31“無23丫2_3i

"oJ3x--3州J3x--372

49

【題型4】判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或交點(diǎn)個(gè)數(shù)

基礎(chǔ)知識

零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法

(1)直接法：直接求零點(diǎn)，令/(尤)=0,如果能求出解，則有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)定理法：利用零點(diǎn)存在定理，函數(shù)的圖象在區(qū)間句上是連續(xù)不斷的曲線，且

結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)圖象法：

①單個(gè)函數(shù)圖象：利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫出函數(shù)了(%)的圖象，函數(shù)/(X)的圖象與X軸交點(diǎn)的個(gè)

數(shù)就是函數(shù)了(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

②兩個(gè)函數(shù)圖象：將函數(shù)/(X)拆成兩個(gè)函數(shù)/z(x)和g(x)的差，根據(jù)/(x)=Oo/z(x)=g(x),

則函數(shù)八X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)y=/z(x)和y=g(九)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

(4)性質(zhì)法：利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是

周期函數(shù)，則只需解決在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

4.函數(shù)〃x)=xlgx-l的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】令/(x)=xlgx-l=。，^lgx=-,

X

畫出函數(shù)y=lgx與y=」的圖象，

X

可得這兩個(gè)函數(shù)在(0,+00)上的圖象有唯一公共點(diǎn)，

故/'(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.故選：B

5.函數(shù)/(犬)=——2，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】通過圖形可以得出/(%)=%2-2”有3個(gè)零點(diǎn)

【鞏固練習(xí)1】函數(shù)/(無)=§廠-/一2在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】函數(shù)y=(|r,y=V-2分別是R上的減函數(shù)和增函數(shù)，則函數(shù)/(%)=(；)'-尤3-2是減函數(shù)，

而〃T=g［-(-1)3-2=1>0,7(0)=-1<0,

所以函數(shù)/(x)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.故選：B

【鞏固練習(xí)2】(2024.江蘇鹽城.模擬預(yù)測)函數(shù)y=c。次與y=lg|x|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】在同一坐標(biāo)系中，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得到交點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】函數(shù)y=COSA'與y=lgN都是偶函數(shù)，其中cos2兀=cos4?t=l,坨4兀>IglO=1>1g2兀，

在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)丫=85與y=lg|x|的圖象，如下圖，

如

尸館團(tuán)尸COSX|

-4兀-2兀752兀4兀攵

由圖可知，兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.

【鞏固練習(xí)3】(2019?全國?高考真題)函數(shù)/(%)=2sinx-sin2x在［0,21］的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】令/(%)=。,得sinx=0或cosx=l,再根據(jù)光的取值范圍可求得零點(diǎn).由

f(x)=2sinx—sin2x=2sinx—2sinxcosx=2sinx(l—cosx)=0,

得sini=0或cosx=l,,/xG［0,2TT］,

二.x=0、〃或2%.

/(1)在［0,2句的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3

x2+2xxW0

【鞏固練習(xí)4】已知函數(shù)/("=大唇］I；?！?則函數(shù)g(x)=〃x)—3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】由題意可知，<?(%)=/(%)-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為了(力和函數(shù)y=3的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

它們的函數(shù)圖象如圖所示.故選：C.

【題型5】利用函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍

基礎(chǔ)知識

本類問題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點(diǎn)及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)的等量關(guān)系，列關(guān)于

參數(shù)的不等式，解不等式，從而解決.

6.函數(shù)y=工2一2以+。-1在(0,1)上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.0<?<1B.或C.a>\D.av-l或?！?

【答案】B

［解析］令/(x)=x2-2ax+a-l,

因?yàn)锳=4八4(“-1)=4(4a+l)=4[”?+3〉。，

所以函數(shù)圖象與無軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=Y-2以+。-1在(0,1)上存在零點(diǎn)，且函數(shù)圖象連續(xù),

/(0)>0Q—1>0

所以/(0)/(1)<0,或/⑴>。，所以(4一1)(一。)<0,或<—4>0,

0<a<l0<a<l

解得〃<0或Q>1

7.函數(shù)〃x)=log2尤+/+機(jī)在區(qū)間0,2)存在零點(diǎn).則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(—00,—5)B.(-5,-1)C.(1,5)D.(5,+co)

【答案】B

【解析】由M=log2X在(。,+8)上單調(diào)遞增，%=+加在(。,+8)上單調(diào)遞增，得函數(shù)

2

/(x)=log2x+x+m在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)楹瘮?shù)/(^)=log2x+f+機(jī)在區(qū)間(1,2)存在零點(diǎn)，

f/(l)<0flogl+l2+m<0&

?2

所以[乂八，即〈2，解得—5<根<—1,

,2

[/(2)>0[log22+2+m>0

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(-5,-1).

【鞏固練習(xí)1】(2024?高三?浙江紹興?期末)已知命題P：函數(shù)/(工)=2/+工_。在(1,2]內(nèi)有零點(diǎn)，則

命題P成立的一個(gè)必要不充分條件是（）

A.3<a<18B.3<a<18C.a<18D.a>3

【答案】D

【解析】函數(shù)/（x）=21+x-a在R上單調(diào)遞增，由函數(shù)/（x）=21+x-a在（1,2］內(nèi)有零點(diǎn),

得《［小、C，解得3<a<18,即命題。成立的充要條件是3<aV18,

"（2）=18-aN0

顯然3<aV18成立，不等式3<a<18、3<口<18、a<18都不一定成立，

而3<aV18成立，不等式恒成立，反之，當(dāng)時(shí)，3<。<18不一定成立，

所以命題〃成立的一■個(gè)必要不充分條件是41>3.

【鞏固練習(xí)2】（2024?山西陽泉.三模）函數(shù)/（力=現(xiàn)2%+尤?+機(jī)在區(qū)間（L2）存在零點(diǎn).則實(shí)數(shù)機(jī)的

取值范圍是（）

A.（―co,—5）B.（―5,—1）C.（1,5）D.（5,+co）

【答案】B

【解析】由》=log2x在（0,+oo）上單調(diào)遞增，%=—+根在（0,+8）上單調(diào)遞增，得函數(shù)

2

/（^）=log2x+j;+根在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，

因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=log2x+Y+”?在區(qū)間（1,2）存在零點(diǎn)，

/(1)<0log,1+12+機(jī)<0/、

所以/(2)>0,即‘log2+22+m>0,解得一5,根（一1，所以實(shí)數(shù)”的取值范圍是（-5,-1）.

【鞏固練習(xí)3】（2024?四川巴中?一模）若函數(shù)〃x）=2加+3x-l在區(qū)間（-1,1）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則

實(shí)數(shù)a的取值集合為（）

9、

A.{a\-l<a<2]B.{a\a=——或一Iva〈2}.

8

9

C.{a\-l<a<2]D.{a\a=一一或一1<々<2}.

8

【答案】D

【解析】由函數(shù)/(%)=262+3%-1,

若。=0,可得〃x)=3x-l,令〃x)=0,即3x—1=0,解得尤=g,符合題意;

若awO,令Fp2ax2+3x—1=0,可得A=9+8〃,

992

當(dāng)A=0時(shí)，即9+8〃=0,解得。=—,此時(shí)/(冗)=—x2+3x—1,解得x=一,符合題意;

8''43

當(dāng)A>0時(shí),即且"0,則滿足/(T"(l)=(2a-4)(2a+2)W0,

8

解得一1＜。＜2且awO,

若a=—1,可得+3x—1,令/(兀)=0,即2%2—3%+1=0,

解得x=l或x=g,其中尤=ge(-l,l),符合題意；

若〃=2,可得/(%)=4f+3x—1,令〃尤)=0,Fp4x2+3x—1=0,

解得x=—1或龍=!，其中x=[e(-l,l),符合題意；

44

9

綜上可得，實(shí)數(shù)〃的取值范圍為{。|。=—-或

8

【題型6】已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

基礎(chǔ)知識

已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍的方法

(1)直接法：利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；

(2)數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)的解析式或者方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危押瘮?shù)的零點(diǎn)或方程的根的問題轉(zhuǎn)化

為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；

(3)分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解.

求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是求函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，因此只要作出函數(shù)圖象即可.如果函數(shù)圖象

不易作出，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=m(x)—72(x)的結(jié)構(gòu)，然后轉(zhuǎn)化為m(x)與n(x)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問

題.

解決步躲

第一步：將函數(shù)化為y="z(尤)-〃(％)的形式，機(jī)(x)與“(％)一個(gè)含參，一個(gè)不含參.

第二步：畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象.

第三步：確定滿足題意時(shí)含參函數(shù)的圖象的移動范圍，從而求出參數(shù)的取值范圍.

8.若函數(shù)/八I有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(0,2]B.(0,2)C.(0,1)D.~,1)

【答案】A

【解析】當(dāng)X＞1時(shí),由ln(x-l)=O,得x=2,

因?yàn)楹瘮?shù)={/、有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

則當(dāng)X41時(shí)，函數(shù)/(x)=2*-。還有一個(gè)零點(diǎn),

因?yàn)?<2*42i=2,所以0<。<2,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,2].故選：A

9.函數(shù)/(x)=|2x-耳-心乂有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是.

【答案】(f,ln2+l)

【解析】由題意可得，問題等價(jià)于y=|2x-司與y=|lnx|有且只有一個(gè)交點(diǎn).

考慮他們的臨界情況，即y=|2x-對與y=|1時(shí)相切時(shí)，如上圖，即y=機(jī)一2%與"-加、相切時(shí),

僅有一個(gè)交點(diǎn).

設(shè)切點(diǎn)為(冗。,%),

,1c

貝”=----=-2,

%

所以％=；，%=—ln；=ln2,

所以ln2=m-2x；=nt-l,m=ln2+l,

但因?yàn)閥=\2x-rr^與y=|lnR有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

所以ln2>?n-l,即加<In2+1

【鞏固練習(xí)1】若函數(shù)/。)=2'-3|-1-掰有2個(gè)零點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是

【答案】(-1,2)

【解析】由〃r)="3卜i=0,得歸-3卜1=m.

2-2x,x<log3一/、-

設(shè)函數(shù)g(x)=|2、'-3|-1=2x-4x>log?3,作出式力的大致圖象，如圖所示?

函數(shù)/(x)=2'-31-1-也有2個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)g(X)與函數(shù)y=用的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

由圖可知，m的取值范圍是(-1,2).

'\2x-]\,x<2

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)，(x)=3，若方程/(尤)=。有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取

----,x〉2

.x—1

值范圍是()

A.(1,3)B.(0,1)C.(0,3)D.[0,1]

【答案】B

【解析】方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y=/(x)與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn).

作函數(shù)y=/(x)的圖象如下圖所示，"2)=3

由圖可得，0<。<1.所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是：(0,1).故選：B.

2'x,x<0

【鞏固練習(xí)3】已知函數(shù)/(x)=h,g(x)=f(x)-x-a,若g(x)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取

—%,x>0

值范圍是()

A.[-1,0)B.[0,+co)C.D.[1,+co)

【答案】D

【解析】x>o時(shí)，y(x)=1-x,函數(shù)在(o,+8)上單調(diào)遞減，/⑴=。，

令g(x)=0可得/(x)=x+a,作出函數(shù)y=/(無)與函數(shù)y=x+a的圖象如圖所示:

由上圖可知，當(dāng)。上1時(shí)，函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=x+a的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，

此時(shí)，函數(shù)y=g(無)有2個(gè)零點(diǎn).因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是口,水?).故選：D.

【題型7】比較零點(diǎn)的大小

基礎(chǔ)知識

利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

10.(2024?新疆烏魯木齊?二模)設(shè)尤>0,函數(shù)y=x2+x-7,y=2*+x-7,y=log2X+x-7的零點(diǎn)分

別為a,b,C,則()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】A

【分析】由題意。也。分別為函數(shù)丁=-％+7與函數(shù)y=x2,y=2",y=log2X圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出

函數(shù)y=y=—X+7,y=2=y=log2x的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解.

【詳解】分別令y=M+%—7=0,y=2"+x—7=0,^=log2x+x-7=0,

2

則x——x+7,2"——x+7,log2-^=—%+7,

則。,4。分別為函數(shù)了=一％+7與函數(shù)>=工2,,=2，,,=1082元圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

2x

分別作出函數(shù)y=x,y=-x+7,y=2,y=log2x的圖象，如圖所示，

【鞏固練習(xí)1】(2024?廣東梅州?二模)三個(gè)函數(shù)/(九)=d+%—3,g(x)=lnx+x—3,/z(x)=e%+x-3

的零點(diǎn)分別為名氏c,則。之間的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

【分析】先判斷各函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理求出函數(shù)零點(diǎn)的范圍，即可得出答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=V,y=e',y=\nx9丁=%-3都是增函數(shù)，

所以函數(shù)/(x)=/+x-3,g(x)=lnx+x-3,/z(x)=e"+%—3均為增函數(shù)，

因?yàn)?⑴=—1(0"(2)=7>0,

所以函數(shù)/(X)的零點(diǎn)在(1,2)上,即a?1,2),

因?yàn)間(2)=ln2—l(0,g(3)=ln3)0,

所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)在(2,3)上,即be(2,3),

因?yàn)閆i(o)=—2(0,/i(l)=e-2)0,

所以函數(shù)/z(x)的零點(diǎn)在(0,1)上，即ce(O,l),

綜上，c<a<b.

【鞏固練習(xí)2］(2024?海南?模擬預(yù)測)已知正實(shí)數(shù)。，瓦。滿足log3Z?,c=log1c,則

&m咱=3

)

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】利用數(shù)形結(jié)合法，根據(jù)題意結(jié)合圖象交點(diǎn)分析判斷.

［詳解］因?yàn)閏=l°g"=T°g3C,即-c=log3。，

3

由題意可知："為y=與y=bg3x的交點(diǎn)橫坐標(biāo)；

萬為與y=bg3尤的交點(diǎn)橫坐標(biāo)；

。為y=-x與y=log3》的交點(diǎn)橫坐標(biāo)；

在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y=,y=logj羽y=,y=-x的圖象,

由圖可得：c<a<b.

【鞏固練習(xí)3】設(shè)正實(shí)數(shù)。，"c分別滿足=61og36=clog2c=1,則。也c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.a>c>b

【答案】B

【分析】作出y=2",y=log2羽y=log3%的圖像，利用圖像和圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)比較大小即可.

X

【詳解】由已知可得4=2°,y=log3b,-=log2c,

abc

作出y=2*,y=log2x,y=log3x的圖像如圖所示：

由圖像可得b>c>a

【題型8】求零點(diǎn)的和

基礎(chǔ)知識

結(jié)合函數(shù)的對稱性以及交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合

11.(2024?青海西寧?二模)函數(shù)/(x)=4sin]xT尤-1|的所有零點(diǎn)之和為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】令/(幻=。兩個(gè)解為零點(diǎn)，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)換成g(x)=4sin]x,"(%)=卜-1|兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)

問題，作圖即可求出零點(diǎn)，且g(x)和〃(力的圖象關(guān)于x=l對稱，零點(diǎn)也關(guān)于九=