第十七章勾股定理評估測試卷

（總分:120分時間:120分鐘）

一'選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符

合題目要求的）

1.（2024武漢洪山區(qū)期末）如圖，在"BC中,NC=90。,若AC=15AB=2,則的長是（）

B

A.1B.V3C.2D.V5

2.下列定理中，沒有逆定理的是（）

A.等腰三角形的兩個底角相等B.對頂角相等

C.兩直線平行，同位角相等D.直角三角形的兩個銳角互余

3.如圖，在平面直角坐標系中,有兩點的坐標分別為（2,0）和（0,3）,則這兩點之間的距離是（）

A.V13B.V5C.13D.5

4.若3,4,a為勾股數(shù)，則a的值為)

A.V7B.5C.5或7D.5或S

5.如圖，在3x3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上,AD為&ABC的高，則

AD的長為)

A筌B等D?答

6.（2025汝州期末）在如圖所示的網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,46,C三點均在正方形的格點上,

則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.5AABC=10B.NB4c=90°

C.AB=2V5D.點A到直線BC的距離是2

7.如圖，長方形ABCD的頂點A,B在數(shù)軸上，點A表示-1H3=3血）=1.若以點A為圓心，對角線AC

長為半徑作弧，交數(shù)軸的正半軸于點M則點M所表示的數(shù)為（）

A.V10-1B.V10C.V10+1D.V10+2

8.如圖,25m長的梯子A3,斜靠在一豎直的墻AC上，這時梯足B到墻底端C的距離為7m.若梯子

的頂端沿墻下滑4m,則梯足將向左移

A.4mB.6mC.8mD.10m

9.（2024淄博中考）《九章算術(shù)》中提到:“今有戶高多于廣六尺八寸.兩隅相去適一丈.問戶高、廣各

幾何?”其大意如下:已知長方形門的高比寬多6尺8寸,門的對角線長1丈,那么門的高和寬各是

多少?（1丈=10尺,1尺=10寸）若設門的高和寬分別是x尺和y尺,則下面所列方程組正確的是

（）

(x—y-6.8,x—y-6.8,

_1_102_ylx2+y2-102

儼=y+6.8,rx—y+6.8,

'(x2+102=y2+y2=io2

10.下列條件中，不能判斷ZkABC為直角三角形的是)

A.BC=6AC=10,AB=8B.ZA：ZB:ZC=3：4：5

C.BC：AC：AB=3：4：5D.ZA+ZB=ZC

11.（2024南通中考）“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理如圖所示的“趙爽弦圖”是由四

個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形.設直角三角形的兩條直角邊長分別

為機,〃（加＞”）.若小正方形的面積為5,（7〃+"）2=21,則大正方形的面積為（）

A.12B.13

C.14D.15

12.如圖是一個三級臺階，它每一級的長、寬、高分別為4mAm和9mA和5是這個臺階的兩個

相對的端點，點A上有一只螞蟻想到點B去吃可口的食物，則它所走的最短路線的長度為（）

A

A.3.5mB.4.5mC.5mD.5.5m

二'填空題（本大題有4個小題，每小題3分，共12分）

13.如圖，在RtAABC中,/。=90。4。平分NC4B交BC于點D,DE±AB于點E.若CD=2,3C=6,則

BE=.

14.在RtAABC中,A3=33C=3,貝IAC的長為.

15.如圖，已知釣魚竿AC的長為10m,露在水面的漁線BC的長為6m,某釣魚者想看看魚鉤上的情

況,把魚竿AC轉(zhuǎn)動到A。的位置，此時露在水面的漁線5c的長為8m,則39的長為m.

-----------1_-

--------2-K-

16.（2024常州中考）如圖，在RtAABC中,/4/=90。,4。=6,3。=4,￡＞是邊AC的中點,E是邊BC上

一點，連接BDQE.將ACDE沿DE翻折，點C落在3。上的點R處，則CE=.

三、解答題（本大題共8個小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（6分）如圖，一只螞蟻在底面半徑為10cm,高為207icm的圓柱下底面的點A處,它想吃到上底

面上與點A相對的點B處的食物.求螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程.

18.（6分）如圖,已知在△A3。中,43=854。=17,/43。=90。乃。=9,。=12.求438的面積.

19.（6分）如圖，在四邊形A3CD中，已知/3=90。,/4。3=30。,43=3,4。=10,。=8.求/3。的度數(shù)

20.（10分）小龍在放風箏時想測量風箏離地面的垂直高度,通過如圖勘測，得到如下記錄:①測得水

平距離的長為12m;②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線A3的長為13m;③小龍牽線放風

箏的手到地面的距離CD的長為1.5m.

⑴求風箏到地面的距離（線段AD的長）.

（2）如果小龍想要風箏沿CA方向再上升4m,3c和CD的長度不變，那么他應該再放出m

的風箏線.

D

21.（10分）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點4B,其中由

于某種原因,由村莊C到取水點A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村莊為方便村民取水，決定在河邊新建一

個取水點H（點在同一直線上）,并新建一條路CH,測得底=舊km,CH=3km,HB=2km.

（1）CH是不是從村莊C到河邊的最近路?請通過計算加以說明.

（2）新路CH比原路CA短多少千米？

22.（10分）為了滿足市民健身需求，市政部門在某公園的東門C和西門A之間修建了四邊形ABCD

循環(huán)步道.如圖，經(jīng)勘測，點B在點A的正南方，點C在點A的正東方,。4LDC,且點D到點A,C的

距離相等，已知AB=1000m,BC=2600m.（參考數(shù)據(jù):企司.414,8H1.732）

⑴求A,C兩點之間的長度.

⑵小慶準備從西門A跑步到東門C去見小渝，因A,C兩點之間的道路施工不能通行，小慶決定選

擇一條較短線路，請計算說明小慶應選擇A—3—C路線，還是A—D—C路線?（結(jié)果精確到1m）

D

△

A^---------->C

R

23.（10分）如圖,A市接到臺風警報時，臺風中心位于距離A市52km的3處（即AB=52km）,臺風正

以8km/h的速度沿方向移動.已知A市到BC的距離AD=20km.

⑴臺風中心從點3移到點。經(jīng)過多長時間？

⑵如果在距臺風中心25km的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到臺風影響，那么A市受到臺風影響的時間是多

長？

24.（14分）如圖，在中,/3=90。5A5=8cm,BC=6cm,P,Q是AABC的邊AB,3C上的兩個動點,

其中點P從點A開始沿A-3方向運動,且速度為每秒1cm,點。從點3開始沿3-C方向運動,

且速度為每秒2cm,它們同時出發(fā)，設出發(fā)的時間為ts.

⑴當f=2時，求PQ的長.

⑵求出發(fā)時間為幾秒時,APOB是等腰三角形.

⑶若點Q沿3—C—A方向運動,則當點Q在邊CA上運動時,求能使ABCQ成為等腰三角形的運

動時間.

【詳解答案】

1.B解析:：NC=90°/C=l;AB=2,

:.BC=7AB2-AC2=也2-12=逐故選B.

2.B解析:如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理,其中一個定理稱為另一個定理的逆

定理.A.等腰三角形的兩個底角相等，它的逆定理是有兩個角相等的三角形是等腰三角形;B.對頂角相等,它的逆

命題是如果兩個角相等，那么它們是對頂角，：如果兩個角相等，但它們不一定是對頂角,“對頂角相等“沒有逆

定理;C.兩直線平行，同位角相等，它的逆定理是同位角相等，兩直線平行;D.直角三角形的兩個銳角互余，它的逆

定理是兩個銳角互余的三角形是直角三角形.故選B.

3.A解析：：設點4(2,0)1(0,3),

。4=2,。2=3.AB=y/OA2+OB2=V22+32=V13.A.

4.B解析:???3,4,a為勾股數(shù),...當。最大時,°=于*=5,能構(gòu)成勾股數(shù);當4時最大時,°=回爐=近,不能構(gòu)

成勾股數(shù).綜上所述,a的值為5.故選B.

5.D解析:由題可得SAABC=3X3-1X3X|-2X3X|-1X2X|=|,BC=V12+32=V10.：.ADxyJ10x之、.解得AD=答.故

選D.

6.A解析:A.SAABC=4X42X3X4-［X1X2WX2X4=5,本選項結(jié)論錯誤，符合題意;B.：AC2=l2+22=5,432=22+42=20,

BC2=32+42=25,：.AC2+AB-=BC2.：./B4C=90。.本選項結(jié)論正確,不符合題意;(2.：482=20,；.48=27^本選項結(jié)

論正確，不符合題意;D.設點A到直線BC的距離為九則巳x逐x2西與5x/z,解得仁2.本選項結(jié)論正確，不符合題

意.故選A.

7.A解析:：四邊形ABCD是長方形,；.ZABC=90°,BC=AZ)=l.VAB=3,J.AC^AB2+BC2=V32+l2=V10.

：點A表示-1,；.點M表示的數(shù)為V1U-1.故選A.

8.C解析:在RtAABC中，已知AB=25m,BC=7m,則由勾股定理，得AC=V^支浮=24(m).：梯子的頂端沿墻下

滑4m,：.AAi=4m.：AC=A4i+CAi,；.C4i=24-4=20(m).：在RtAAiBiC中八由i=AB=25m,且小田為斜邊,.?.由

勾股定理，得CBi=V252-202=15(m)..?.BBi=CB|-CB=15-7=8(m)....梯足將向左移8m.故選C.

9.D解析:設門的高是x尺，寬是y尺.

由題意，得［；2：］：空2故選D.

10.B解析:A.：8C=6,AC=10/8=8,

.-.AB2+BC2=82+62=100,AC2=102=100.：.AB2+BC2^AC2.：.AABC是直角三角形.故A不符合題意;B-..ZA：

ZB：NC=3:4:5,ZA+ZB+ZC=180°,.,.ZC=180°x-^-=75°.：.AABC不是直角三角形.故B符合題意;C.

3+4+5

'：BC：AC:AB=3：4：5,.?.設BC=3左，則AC=4鼠48=5L：AC2+BC2=16妤+9爐=25您=44,，AABC是直角三角

形.故C不符合題意;D.：ZA+ZB=ZC,ZA+ZB+ZC=180°,AZC=^=90°.；.AABC是直角三角形.故D不

符合題意.故選B.

11.B解析:由題意可知，中間小正方形的邊長為機(加-")2=5,即rrf+n2-2mn=5?.(m+ti)2=2i,

...租2+"2+2優(yōu)〃=21②.①+②，得2(MI2+”2)=26..,.大正方形的面積為/+〃2=13.故選B.

12.C解析:如圖,將臺階展開為長方形，線段AB恰好是直角三角形的斜邊，

則AC=4m,BC=(|+》x3=3(m).

在RtAABC中，

AB=y/AC2+SC2=V42+32=5(m),

???螞蟻所走的最短路線的長度為5m.故選C.

13.2V3解析平分/CAB交BC于點D,DE1AB,ZC=90°,DE^CD^I.'：BC=6,BD^BC-CD=6-2=4.

：.BE^BD2-DE2=2V3.

14.2/或VTU解析:：A8=3BC=3,

：.AB=3,BC=].

①當AB為斜邊時，

AC^AB2-BC2=V32-12=2近；

②當AB為直角邊時，

AC-y/AB2+FC2=V32+l2=VTU.

綜上所述,AC的長為2&或VTU.

15.2解析:在RtAABC中,AC=10m,BC=6m,AB=<AC2-BC2=V102-62=8(m).4RsA夕C中,AC=AC=10m,

BC=8m,AB'=>jAC,2-B'C'2=yJ102-82=6(m)./.BB'=AB-AB'=8-6=2(m).

16.j解析:：/4。8=90。"=6,8。=4,。是邊AC的中點,.*.Cr>=14C=3".8r>=V^TT?^I=5」.,將ACZJE沿

OE翻折，點C落在8。上的點尸處,尸=3,CE=EF,/EFD=/C=90°.；.8P=8￡)-DF=2,NBFE=/EFr>=90°.

設CE=x，則EF=x,BE=BC-CE=4-x.在RtZkBFE中，由勾股定理，得臺層.尸+瓦巴即《㈤2=/+22.解得苫=|.C￡=|.

17.解:圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示.

,圓柱的底面半徑為10cm,高為20兀cm,

.??AC=2nxl0+2=10兀(cm),BC=20兀cm.

在RtAABC中,/C=90。，

則由勾股定理，得

AB=y/AC2+BC2=10V5TIcm.

答:螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是1OV57Tcm.

'：AB=SAD=n,ZABD=90°,

：.BD=^JAD2-AB2=15.

：BC=9,C￡)=12,

C.BC^+CD^^BD1.

ABCD是直角三角形，/C=90°.

.,.5ASCD=|C￡)BC=|X12X9=54.

19.解:：ZB=90°,ZACB=30°,AB=3,

：.AC=2AB=6.

在△AC。中,：A￡)=10,CZ)=8,AC=6,

.\AC2+C￡)2=62+82=100,AD2=102=100.

.,.AC2+CD2=AD2.

...AACZ)是直角三角形，乙4CZ)=90。.

ZBC￡>=ZACB+ZACD=30°+90°=120°.

20.解:⑴在RtAABC中，由勾股定理，得

ACZAB2-BC2=4132-122=5(m).

VCr>=1.5m,

：.AD=AC+CD=5+1.5=6.5(m).

答:風箏到地面的距離(線段A。的長)為6.5m

(2)2

21.解:(1)CH是從村莊C到河邊的最近路.

理由如下：

VCB=V13km,CH=3km,HB=2km,

，CB-=CH2+HB2.

：.ABCH為直角三角形,NBHC=90。.

CH±AB.

/.CH是從村莊C到河邊的最近路.

(2)設AC=xkm,則AB=xkm,AH=(尤-2)km.

在RtAACH中,AH2+C//2=AC2,

即⑴2)2+32=—,

解得x=3.25.

.".AC-3.25km.

，AC-C7/=3.25-3=0.25(km).

答:新路CH比原路CA短0.25km.

22.解:(1)由題意，得/8AC=90。.在RtAABCZBAC=90°,AB=1000m,

BC-2600m,

：.AC=^BC2-AB2=V26002-l0002=2400(m).

答:A,C兩點之間的長度為2400m.

(2)由(1),得AC=2400m.

"：DA±DC,AD=CD,

：.ZADC=90°.

：.AC2=AD2+CD2=24002.

：.AD=CD^1200V2m.

8—C路線的長為

AB+BC^l000+2600=3600(m),

A—D—C路線的長為AD+Z?C=]200V2+1200V2=2400V2-3394(m).

V3394<3600,

小慶應選擇A—D—C路線.

23.解:(1)由題意，得在AABD中,/4。2=90。/2=52km/D=20km.

：.BD=>JAB2-AD2=48km.

:臺風以8km/h的速度沿8C方向移動，

.-.48-8=6(h).

答:臺風中心從點B移到點D經(jīng)過6h.

(2)如圖，以點A為圓心，以25km為半徑畫弧，交BC于點P,。,連接ARAQ,則A市在點P開始受到影響，離開點

Q恰好不受影響.

由題意，得AP=25km.在Rt^ADP中，