專題03平行線中的拐點模型之牛角模型

平行線中的拐點模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟

悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點模型（牛角模型）進行梳理

及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點模型，

這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。

通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。

模型1：牛角模型

如圖1,已知結(jié)論：Z1=Z2+Z3

如圖2,已知AB〃CD,結(jié)論：Zl+Z3-Z2=180°

【模型證明】在圖1中，過E作AB的平行線EF,.?.N1+NFEB=18O。

'JAB//CD,J.EF//CD,Z3+ZFED=180°,即：Z3+Z2+ZFEB=180°,?,.Z1=Z2+Z3.

在圖2中，過E作AB的平行線EF,.?.Nl+NEEB=180。

"."AB//CD,：.EF//CD,：.Z3=ZFEC,即：Z3-Z2=ZFEB,AZl+Z3-Z2=180°.

注意;牛角模型的證明也可添加其他輔助線，如：延長交DE于點月或延長班交CD于點F等。

例L（2023?江蘇?七年級期中）如圖，若AB//CD,貝物1+回3-回2的度數(shù)為

E

【答案】180°

【分析】延長EA交CD于點F,則有回2+回EFC=囪3,然后根據(jù)AB〃CD可得配=G）EFD,最后根據(jù)領(lǐng)補角及等量

代換可求解.

【詳解】解：延長EA交CD于點F,如圖所示：

VAB//CD,，回1=EIEFD,vE2+E1EFC=03,N￡FC=N3—N2,

NEFC+NEFD=180°,Zl+Z3-Z2=180°；故答案為180。.

【點睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵

例2.（2023下?遼寧大連?七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）小明觀察"抖空竹"時發(fā)現(xiàn)，可以將某一時刻的情形抽象成

數(shù)學(xué)問題：如圖，已知AB〃CD,ZDCE=124°,則NAEC的度數(shù)是（）

D.33°

【答案】D

【分析】延長。C,交AE于點由A3〃CD,利用“兩直線平行，同位角相等”可求出NCME的度數(shù),

再利用三角形的外角性質(zhì)可求出NAEC的度數(shù).

【詳解】解：延長DC,交AE于點二AB〃CD,.?.NQWE=/&LE=91。,

?.ZAEC=ZDCE-ZGWE=124O-91O=33°.故選：D.

A

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，牢記三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個

內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023?安徽滁州?校聯(lián)考二模）如圖，若AB"CD,則（）

A.Z1=Z2+Z3B.，1+/3=/2C.Nl+N2+N3=180。D.Zl-Z2+Z3=180°

【答案】A

【分析】如圖所示，過點E作￡F〃AB,則AB〃CD〃EF,由平行線的性質(zhì)得到

Z3+ZCEF=180°,Zl+ZA￡F=180°,進一步推出/I=/2+/3.

【詳解】解：如圖所示，過點E作防〃

0ABUCD,SAB//CD//EF,0Z3+ZCEF=18OO,Zl+ZAEF=180°,

0ZAEF=180°-Nl,Z3=180°-ZCEF=180°-Z2-ZAEF,

0Z3=180°-Z2-180°+Z1,EZ1=Z2+Z3,故選A.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是解題的關(guān)鍵.

例4.（2022?湖北洪山■七年級期中）如圖，已知AB〃C。，P為直線AB,C。外一點，BF平分/ABP,OE平

分NCDP,BF的反向延長線交DE于點E,若/FED=。,試用。表示NP為

P

E

D

【答案】ZP=360°-2a

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出N1=N2,Z3=Z4,平行線的性質(zhì)得出/1=/5,/6=4DC=2/3,

進而根據(jù)三角形內(nèi)角和得出/5、NFED,再得到4和。的關(guān)系，然后即可用。表示NP.

【詳解】解：延長陽交PD于點G,延長FE交CD于點兒

：BF平分NABP,DE^ZCDP,/.Z1=Z2,N3=/4,

"：AB//CD,AZ1=Z5,N6=NPDC=2N3,

VZPBG=180°-2Z1,：.ZPBG=180°-2Z5,N5=90°-；/P8G,

VZFED=180°-ZHED,Z5=180°-ZEHD,ZEHD+ZHED+Z3=180°,

：.180°-Z5+180°-ZFED+Z3=180°,：.ZFED=180°-Z5+Z3,

AZFED=180°-(90°-JNPBG)+^-Z6=90°+^-(ZPBG+Z6)=90°+；(180°-ZP)=180°-；/

P,'：ZFED=a,：.a=180°-ZP：.ZP=360°-2a.故答案為：/P=360°-2。.

7H'U

【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和,有一定的綜合性，認(rèn)真找出角的關(guān)

系是關(guān)鍵.

例5.（2023下?安徽安慶?七年級統(tǒng)考期末）已知E是平面內(nèi)一點，連接AE,CE.

ABEEF

乙

AA

CDBB

圖1圖2圖3

⑴如圖1,若NA=160。，NC=135。，求NAEC的度數(shù).

(2)如圖2,當(dāng)點E在CO上方時，猜想一A,NC與NAEC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

⑶如圖3,■平分Z3AE,連接CF,NFCD=；NECD,若/E=30。，ZAFC=40°,NFCD的度數(shù).

6

【答案】⑴NA￡C=65。(2)"CE=/AEC+NA,理由見解析⑶//CD=27.5。

【分析】(1)過點E作砂〃血，從而有AB〃EF//CD，則可求得ZAEF=20°,NCEF=45°,即可求NAEC；

(2)延長DC交AE于點尸，由平行線的性質(zhì)可得NCFE=NA,結(jié)合三角形的外角性質(zhì)即可求解；

(3)由三角形外角性質(zhì)可得NDMF=/FCD+/F,由平行線的性質(zhì)可得N&LF=NDMF,再由角平分線

的性質(zhì)得44E=244F,結(jié)合(2)的結(jié)論及所給的條件即可求NFCD.

【詳解】(1)解：過點E作砂〃他，如圖,

.-.AB//EF//CD,:.ZA+ZAEF^180°,ZC+ZCEF=180°,

vZA=160°,ZC=135°,ZAEF=180°-ZA=20°,ZCEF=180°-ZC=45°,

ZAEC=ZAEF+ZCEF=65°；

(2)解：ZDCE=ZAEC+ZA,理由如下：延長。C交AE于點尸，如圖，

■.■AB//CD,:.ZCFE=ZA,ZDCE=ZE+ZCFE,:.ZDCE=ZAEC+ZA；

(3)解：如圖，?.?"MF是△CW的外角，:.ZDMF=ZFCD+ZF,

■.■AB//CD,:./BAF=NDMF=NFCD+/F,

AF1平分NBAE,NBAE=2NBAF=2ZFCD+2ZF,

由(2)可得：NECD=NBAE+NE,-：ZFCD=-ZECD,ZECD=6ZFCD,

6

.?.6ZFCD=2ZFCD+2ZF+ZE,即：4NFCD=2NF+NE

2x400+30。

???/￡=30。，ZAFC=40°,/.ZFCD=----------------=27.5°.

4

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，角平分線的定義，解答本題的關(guān)鍵是熟記平行線

的性質(zhì)并靈活運用.

例6.(2023下?遼寧大連?七年級統(tǒng)考期末)如圖，ZABE+ZBED^ZCDE.

EEE

（1）如圖1,求證AB〃CD；（2）如圖2,點尸在AB上，ZCDP=ZEDP,BF平分/ABE,交PD于點F,探

究NBFP,/BED的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；⑶在（2）的條件下，如圖3,尸。交即延長線于點

。，ZDPQ=2ZAPQ,ZPQD=SO0,求NCDK的度數(shù).

【答案】⑴見解析（2）NB￡D=2NBFP,見解析⑶120°

【分析】（1）證明：延長8交BE于點H,KOZCDE=ZDHE+ZBED,結(jié)合已知即可得出ZDHE=ZABE,

據(jù)此即可得出結(jié)論；（2）設(shè)=ZCDP=J3,由角平分線的定義得NEB尸=N4BF=tz,NPBE=2a,

由（1）可知AB國CO,貝IJN￡?PB=NCO尸=尸，ZAPD=l80°-J3,然后由Z4PE）=/4BF+NBFP得

ZBFP=180°-（6Z+y3）,再四邊形的內(nèi)角和等于360。得ZBED+NEDP+ZDP8+ZPBE=360。，即

ZBE￡?=360°-2（a+^）,據(jù)此可得出ZBFP,N3ED的數(shù)量關(guān)系；

（3）設(shè)ZAPQ=〃，則NQPQ=2。，ZAPD=30,由AB團CD得NCDP=180。一39,而

ZEDP=ZPQD+ZDPQ=80°+20,然后根據(jù)NCDP=Z￡D尸得180。-36=80。+2。，據(jù)此可求出。=20。，則

NCDP=NEDP=120。,最后根據(jù)周角的定義可求出NCDE的度數(shù).

【詳解】（1）證明：延長CD交BE于點、H,：.NCDE=NDHE+NBED,

-.?ZABE+ZBED=ZCDE,:.ZDHE=ZABE,:.AB^CD.

(2)解：ZBFP,NBED的數(shù)量關(guān)系是：NBED=2NBFP,理由如下:

設(shè)/EBF=ct,4CDP=/3,/平分/ABE,NCDP=ZEDP,

:.ZEBF=ZABF=a,NCDP=NEDP=。，：.ZPBE=2ZEBF=2a,

由(1)可知：AB^CD,:.NDPB=2CDP=/3,ZAPD=180°-ZDPB=180°-,

ZAPD=ZABF+ZBFP,.-.1800-/3=a+ZBFP,ZBFP=1SO°-(a+/3),

由四邊形的內(nèi)角和等于360°得：ZBED+ZEDP+ZDPB+NPBE=360°,

即：ABED+尸+尸+2a=360°,ABED=360°-2(a+尸)，ZBED=2ZBFP.

(3)解：設(shè)=:.ZDPQ=2ZAPQ=20,

ZAPD=AAPQ+ZDPQ=30,由(1)可知：ABSCD,

ZCDP+ZAPD=180°,/.ZCDP=180O-ZAPD=180°-36,

ZPQD=80°,ZEDP=ZPQD+ZDPQ=80°+20,

-.■ZCDP=ZEDP,.?.180°-3（9=80°+26>,解得：0=20°,

.■.ZCDP=180°-36>=120°,ZEDP=80。+26=120。，根據(jù)周角的定義得：ZCDE+ZCDP+ZEDP=360°,

NCDE=360°-（ZCDP+ZEDP）=360°-（120°+120°）=120°.

【點睛】此題考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義等，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識圖，熟練掌握平行

線的判定及性質(zhì)：兩直線平行。同位角相等，兩直線平行。內(nèi)錯角相等，兩直線平行。同旁內(nèi)角互補.

例7.（2023?廣東七年級課時練習(xí)）已知CD,點E為A2,CO之外任意一點.

（1）如圖1,探究ZBED與/氏之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖2,探究NCDE與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【拓展變式】如圖，“抖空竹”是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn).在“抖空竹”的一個瞬間如圖1所示，將圖1抽象成

一個數(shù)學(xué)問題：如圖2,若AB〃CD,NEAB=7。。,NECD=11。。,則NE=.

【答案】（1）ZB=ZBED+ZD,理由見解析；（2）NCDE=NB+NBED,理由見解析；［拓展變式］40。.

【分析】（1）過點E作￡F〃M,則AB〃CD〃砂，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/BE尸=/B,/D=/DEF,進

而得出結(jié)論；（2）理由如下：過點E作印〃則AB〃CD〃EF,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得ZB=ZBEF,

/CDE=ZDEF,進而得出結(jié)論；（3）過點E作EF〃AB,則AB〃CD〃EF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

ZAEF=180°-ZEAB=110°,ZCEF=180°-ZECD=70°,進而即可求解.

【詳解】解：（1）ZB=ZBED+ZD.理由如下：

過點E作￡F〃AB,則AB〃CD〃EF./.ZBEF=ZB,ZD=ZDEF.

vZBEF=ZBED+ZDEF,:.ZB=ZBED+ZD.

圖1

(2)ZCDE=ZB+ZBED.

理由如下：過點E作成"4B,則AB〃CD〃砂.:.ZB=ZBEF,NCDE=/DEF.

■：ZDEF=ZBEF+ABED,:.Z.CDE=ZB+ZBED.

【拓展變式】過點E作即ZMB，則AB〃CD〃砂.

ZEAB=70°,ZECD=110°,ZAEF=180°-Z￡AB=110°,ZCEF=180°-ZECD=70°

ZAEC=ZAEF-ZCEF=110°-70°=40°,故答案為：40°.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

課后專項訓(xùn)練

1.（2023?安徽六安?統(tǒng)考模擬預(yù)測）一個直角三角板如圖擺放，其中《〃4,ZABC=90°,ZACB=60°,AB

與4交于點E,AC與4交于點若4=72。，則N2的大小為（）

A.18°B.28°C.30°D.42°

【答案】D

【分析】由直角三角形的性質(zhì)得到NA=90°-/ACB=30。，由三角形外角的性質(zhì)得到N1=NA+NABD,因

此ZABD=42°,由平行線的性質(zhì)得到Z2=ZABD=42°.

【詳解】解：V=90°,ZACB=6Q0,/.ZA=90°-ZACB=30°,

■.■Z[=ZA+ZABD,4=72°,ZABD^42°,

VZ2=ZABD=42°.故選：D.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是由三角形外角的性質(zhì)求出的度數(shù)，由

平行線的性質(zhì)即可求出Z2的度數(shù).

2.（2023下?山東煙臺?六年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，/〃AB,CD工1于點D,若/。=40。18',則N1的度

A.40°18'B.49°42,C.50°18'D.50°42,

【答案】B

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出NCED的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出N1的度數(shù).

【詳解】解：如圖，CD±l,\7CDE90?,

c

???NC=40°18',Z,CED=90°—NC=90°-40°18'=49°42',

???I//AB,Z1=ZC￡D=49°42,,故選：B.

【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的兩銳角互余以及兩直

線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵.

3.（2023,陜西咸陽,統(tǒng)考二模）如圖，已知直線a〃6,4=24。，Z2=66°,則/A的度數(shù)為（）

【答案】A

【分析】證明"3C=/2=66。，ZADB=Z1=24°,再利用三角形的外角的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：Ba//b,4=24°,Z2=66°,BZDBC=Z2=66°,ZADB=Z1=24°,

SZA=ZCBD-ZADB,0ZA=66°-24°=42°；故選A.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2023下?湖北武漢?七年級期末）如圖，AB//CD,BE±EF,ZB=150°,若/。=2々，則/尸的度

數(shù)為（）

A.75°B.80°C.85°D.160°

【答案】B

【分析】過點尸作好/〃CD,延長AB交收于點G,由BELEF得到/3EP=90。，則N3GE=60。，由

AB//CD,Ff/〃CD得到AB〃CD〃FH,則NGFH=NBGE=60。，ZD+ZDFH=18Q°,得到

Z.DFH=ZEFD-60°,又由"=2477）得至1]2/￡7工＞+/￡陽一60。=180。，即可得到答案.

【詳解】解：過點尸作出〃CD,延長A3交所于點G,

0BE±￡F,SZBEF=90°,ElZBGE=ZABE-Z.BEF=150°-90°=60°,

QAB//CD,PH//CD,^\AB//CD//FH,⑦NGFH=ZBGE=60°,ZD+ZDFH=180°,

ElZDFH=ZEFD-Z.GFH=ZEFD-60°,

^ZD=2ZEFD,ffl2Z.EFD+Z.EFD-60°=180°,0ZEFD=80°.故選：B

【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2023下?河南周口?七年級統(tǒng)考期中）某人把"抖空竹”的一個姿勢抽象成數(shù)學(xué)問題.如圖所示，已知

AB//CD,ZA=85。，ZC=120°,則2E的度數(shù)是（）

A.25°B.35°C.39°D.40°

【答案】B

【分析】延長。C交AE于點根據(jù)得到NEFC=/A,結(jié)合三角形內(nèi)外角關(guān)系即可得到答案.

【詳解】解：延長DC交AE于點尸，^AB//CD,EZEFC=ZA=85°,

0ZA=85°,ZECD=120°,ElZE=ZECD-ZEFC=120°-85°=35°,故選B；

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線.

6.（2023下?湖南常德?八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知直線a,b被直線c,d所截，且a〃6,Zl=70°,Z2=25°,

則Z3的度數(shù)為（）

A.25°B.35°C.45°D.70°

【答案】C

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，對頂角相等，先根據(jù)兩直線平行，同位角相

等得到NZMB=70。，再由三角形外角的性質(zhì)得到—ABCH5。，則由對頂角相等可得N3=ZABC=45。.

【詳解】解：Sa//b,Nl=70°,EZZMB=Z1=7O°,

0Z2=25°,ZDAB=Z2+ZABC,E^ABC=45°,fflZ3=ZABC=45°,故選C.

c

7.（2023下?重慶九龍坡?七年級?？计谥校┤鐖D，AB//CD,ZEBF=AFBA,ZEDG=NGDC,ZE=46°,

則/〃為（）

F/E

A

G、\/

C

D

H

A.22°B.23°C.24°D.25°

【答案】B

【分析】過E作用2〃AB,過“作m〃AB,利用平行線的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：過E作EQ〃A3,過"作印〃Afi,

SAB//CD,^\EQ//AB//CD//HI,^EQ//AB//CD,

團ZQEB+ZABE=180°,ZQED+ZEDC=180°,

回/BED=NQED-ZQEB=(180°-ZEDC)-(180°-ZABE)=ZABE-NEDC,

同理回AB〃CD〃印，aZIHD+Z.CDH=180°,ZIHB+ZABH=180°,

0ZBHD=ZIHB-ZIHD=(180。-ZABH)-(180°-ZCDH)=ZCDH-ZABH,

0/FRF=ZFBA,ZEDG=NGDC,回ZFBA=-ZABE,ZGDC=-ZEDC,

22

0ZBHD=ZCDH-ZABH=(180°-ZGDC)-(180°-ZFBA)=ZFBA-ZGDC

=1(ZABE-ZEDC)=|ABED=1x46°=23°.故選：B.

【點睛】此題考查平行線的性質(zhì)和平行公理的推論，關(guān)鍵是作出輔助線，利用平行線的性質(zhì)解答.

8.（2023下?浙江紹興?七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AB〃CD,點E為上方一點，F(xiàn)B、HG分別為/EFG,

/現(xiàn)"）的角平分線，若NE+2NG=135。，則/EFG的度數(shù)為（）

A.85°B.90°C.95°D.100°

【答案】B

【分析】如圖，過G作GA1〃AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)可推導(dǎo)出NFGH=N2+N4,NENB=NEHD,再根

據(jù)角平分線的定義和三角形的外角性質(zhì)推導(dǎo)出/E+2/2+/2-/E=135。，則/2=45。，進而求解即可.

【詳解】解：如圖，過G作GM〃AB,貝l」N2=N5,

0AB/7CD,0MG//CD,NENB=NEHD,0Z6=Z4,0ZFGH=Z5+Z6=Z2+Z4,

SFB.HG令知為/EFG,NEHD的角平分線，EZ1=Z2=1/￡FG,N3=N4=g/EHD,

0ZE+2ZFGH=135°,0ZE+2（Z2+Z4）=ZE+2Z2+Z￡77D=135°,即/E+2N2+/EZVB=135°,

田/1=NENB+/E,aNENB=Nl-NE=/2-NE,

0Z￡+2Z2+Z2-ZE=135°,則N2=45°,0ZEFG=2Z2=90°,故選：B.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)等知識，添加平行線，利用平行線

的性質(zhì)探究角之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵.

9.（2023,河南信陽??？既＃┤鐖D，AB//CD,ZE=30°,ZABE=130°,則/DCE的度數(shù)為

【答案】100°/100度

【分析】過點E做即平行于A3即可求解.

【詳解】解：過點E做平行于A3,如圖所示:

SAB//CD,AB//EH^CD//EH^\AB//EH,ZABE=130°ElNBEH=180°-ZABE=50°

0CD/7EW0NDCE=180°-ZCEH=180°-(/BEH+ZCEB)=100°故答案為：100。

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì).過拐點E作平行線是解題關(guān)鍵.

10.(2022下?西藏那曲,七年級統(tǒng)考期末)如圖，AB//CD,則ZB,NE,—D的關(guān)系是.

【答案】彳右=D+?E

【分析】過￡作所〃四，利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補可得N3,NE,NO的關(guān)系.

【詳解】解：過E作

FE

■.■AB//CD,\EF//AB//CD,ZB+ZBEF=180°,ZD+ZDEF=180°,

\?B180??BEF,?DEF180?ID,Q?BEF?DEF1BED,

\?B180??BEF=180?(1DEF?BED)=180??DEF?BED

=180?(180??D)?BED=?D?BED.故答案為：他=D+?E.

【點睛】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

11.(2023下?江蘇泰州?七年級統(tǒng)考期末)“抖空竹"是我國獨有的一項民族傳統(tǒng)健身項目，歷史悠久，源遠

流長，在我國有著悠久的歷史和深厚的文化底蘊.圖1是某同學(xué)“抖空竹”的一個瞬間，若將圖1抽象成圖2

的數(shù)學(xué)問題：在平面內(nèi)，已知AB〃C￡>,ZEDC=110°,ZE=25°,則/￡BA=度.

圖1圖2

【答案】85

【分析】延長C。，交BE于點、F,由三角形外角的性質(zhì)可求出NEFD=NEDC-NE=85。，再結(jié)合平行線的

性質(zhì)即可得出NEBA=ZEFD=85°.

【詳解】解：如圖，延長8,交BE于點、F,

0ZEE>C=11O°,ZE=25°,fflZEFD=ZEDC-ZE=85°.

ElAB//CD,^\ZEBA=ZEFD=85°.故答案為：85.

【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì).正確作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

12.（2023下?寧夏中衛(wèi)?七年級校考期末）如圖所示，AB//CE,NC=35。，ZA=115。，那么/產(chǎn)=。.

【答案】80

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NFDE=115。，再由三角形外角性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】解：,??AB〃CEZA=115°,ZFDE=ZA=115°,

?j/FDE是△<:￡>F的一個外角，ZC=35°,

.-.ZF=ZFDE-ZC=115°-35°=80°,故答案為：80.

【點睛】本題考查求角度問題，涉及平行線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合，準(zhǔn)確找到各個角

之間的和差倍分關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

13.（2023?上海浦東新??？既＃┤鐖D，已知MN〃EF,點A在MN上，點B和。在E尸上，點C在A2

的延長線上，ZMAB=16°,ZC=36°,則乙BDC的度數(shù)是.

【答案】40°/40?

【分析】利用平行線的性質(zhì)求出NABD=76。，再利用三角形外角的性質(zhì)計算即可.

【詳解】解：BMN//EF,0ZM4B=ZABD=76°,

0ZC=36°,0ZB￡>C=ZAB￡>-ZC=40°,故答案為：40°.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)是解

決本題的關(guān)鍵.

14.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考二模）如圖，直線4〃%有一個含30。的直角三角板的直角頂點A在直線4上,

若邊AC與直線12的夾角Z1=70°,則邊BC與直線k的夾角Z2=

A

【答案】40

【分析】延長CB交《于點。，由題意可得/C鉆=90。，NABC=60。，利用平角的定義求得NABD=120。,

ZBAD=20°,利用三角形內(nèi)角和定理求得NADB=40。，由平行線的性質(zhì)即可得到N2=ZADB.

【詳解】解：如圖，延長CB交4于點。，

c

由題意可得，ZCAB=90°,ZABC=60°,ZABD=180°-ZABC=180°-60°=120°,

-.-Zl=70°,ZBAD=180°-Z1-ZBAC=180°-70°-90°=20°,

在/\ABD中，ZADB=1800-ZBAD-ZABD=180°-20°-120°=40°,

回/1〃風(fēng).-.Z2=ZADB=40°.故答案為：40.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)、平角的定義、二角形內(nèi)角和定理，靈活運用所學(xué)知識解決問題是解

題關(guān)鍵.

15.(2023下?湖北武漢?七年級統(tǒng)考期中)如圖，直線AB〃CD,點E在A5上，點尸在C。上，點尸在AB,

CO之間，和/CEP的角平分線相交于點"EP的角平分線交的反向延長線于點N,下列

四個結(jié)論：(1)ZEPF=ZAEP+ZCFP；@ZEPF=2ZM；

③若EP〃FN,貝!=；(4)ZMNF+ZPEM=90°-ZPFM.

【答案】①②

【分析】過點尸作PQ〃AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NAEP=NEPQ,NC"=NQM,同理可得

ZM=ZAEM+NCFM,即可判斷①②，根據(jù)已知條件設(shè)乙回==￡,得出2a+￡=90。，不能得

出&=￡,故③錯誤，進而得出NM?VF+NPEN=90O—NPEM,而EP〃FN,不一定成立，故④錯誤，據(jù)

此即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點尸作尸。〃A8,^\AB//CD,SPQ//CD

(?)ZAEP=ZEPQ,ZCFP=ZQPF,0ZAEP+ZCFP=ZEPF,故①正確；

同理可得=ZAEM+ZCFM,0ME,MF分別為ZAEP和NCFP的角平分線

0ZAEM=-ZAEP,NCFM=gNCFP?/EPF=2ZM,故②正確；

22

如圖所示，設(shè)N尸交于點G,?EP〃FN,S\ZAEP=ZAGF

0AB/7CD0ZAGF=ZGFD0ZAEP=Z.GFD,

mFN是NDEP的角平分線，@NPFN=ZDFN,

設(shè)乙AEM=a,4CFM=[3,0ZAEP=2a=^ZPFD0ZPFD=4a,

0ZPFD+NPFC=180°04c+2/3=180°即2a+￡=90°不能得出a=/?,故③錯誤，

當(dāng)砂〃ZW時，2a+0=90°0ZMNF=NMEP=a,ZPFM=p,

02a+/?=9O°,02?=9Oo-y3,0ZMNF+ZPEM=90°-ZPFM

而EP〃引V不一定成立，故④錯誤，故答案為：①②.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

16.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考一模）直線4〃％線段BC分別與乙，4交于點。，C,過點8作AB13C,交

直線乙于點A,NOCE的平分線交直線乙于點若的￡>=15。，則NCED的度數(shù)是.

【答案】52.5°

【分析】由垂直關(guān)系及440=15?？汕蟮肗CD尸的度數(shù)，由平行線的性質(zhì)可求得/OCE的度數(shù)，由角平分

線的定義求得NFCE的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可求得ZCFD的度數(shù).

【詳解】解：SABJ.BC,ZBAD=15°,0ZCDF=ZADB=90°-15°=75°；

回4〃4，0ZCE>F+ZDC￡=180°,NCFD=NFCE,ElZDCE=180°-75°=105°:

團6尸平分，。。￡；,ElZFCE=ZDCE=52.5°,回NCFD=52.5°；故答案為：52.5°.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，互余關(guān)系，角平分線的定義等知識，其中平行線性質(zhì)的掌握是解題的

關(guān)鍵.

17.（2023?山東?九年級專題練習(xí)）如圖所示，AD//BC,ZCFE^Z1+ZD,ZB-NCFE=30°,求N2的

度數(shù).

E

B

CpD

【答案】Z2=30°.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，由靴子圖ABEFC知，ZB=ZCFE+Z1,Zl=ZB-ZCFE=30°,由靴子圖ABEDC

知，ZB=ZBED+ZD=Z1+Z2+ZD,

又因為ZB=/CFE+N1,得至!J/2+/O=/CFE,所以N2=Z1=3O。.

【詳解】因為AO〃BC，結(jié)合題意，由靴子圖ABEFC知，ZB=ZCFE+Z1,Zl=ZB-ZCFE=30°,由靴

子圖A5EDC知，ZB=ZB￡D+ZD=Z1+Z2+ZD,

NB=ZCFE+Z1,Z1+Z2+ZD=ZCFE+Z1即Z2+ZD=ZCFE,

vZCFE=Z1+ZD,.,.N2=Nl=30°

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì).

18.（2023下?廣東廣州?七年級?？计谥校┤鐖D，已知直線AB〃CD,M、N分別是直線AB、CD上的點.

⑴在圖①中，若N3ME=20。，NDNE=15°,則NM￡7V=_.

（2）在圖②中，請判斷Nm0、ZDNF、NMFN之間的關(guān)系，并說明理由.

⑶在圖③中，MB平分■/FME,NE平分NDNF,且NP+2NE=180。，求NFME.

【答案】⑴35。⑵ZMFN=NBMF-NDNF,理由見解析⑶/FME=120。.

【分析】（］）過點E作印〃.，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得NBME=NMEF,ZEND=ZFEN,然

后相加即可得解；（2）結(jié)論：ZMFN=ZBMF-ZDNF.過點F作直線〃鉆，利用平行線的性質(zhì)即可解

決問題；（3）利用（1）（2）結(jié)論構(gòu)建方程解決問題即可.

【詳解】（1）解：過點E作直線EF〃鉆.SEF//AB,@ZBME=ZMEF,

y^\AB//CD,^EF//AB//CD.0NFEN=NDNE,

ElZMEN=ZMEF+ZFEN=ZBME+ZDNE,

ElZBAffi=20o,ZONE=15°,fflZAffiV=20°+15°=35°.故答案為：35°；

（2）解：結(jié)論：ZMFN=Z.BMF-ZDNF.

理由：如圖中，過點E作直線即〃aZBMF=ZMFE,

又I3AB/7CD,SEF//AB//CD.0/EFN=NDNF,

0ZMFN=ZMFE-ZEFN=ZBMF-ZDNF；

（3）解：EIMB平分ZEMF,S\ZBMF=ZBME,

@NE平■分4DNF,0/DNF=2/DNE,

ZDNF=2ZDNE=2a,由⑴，得NE=/BME+ZDNE=a+/BME,

由（2）,得NF=NBMF-NDNF=NBMF-2a,

又EIZF+2ZE=180°,SIZBMF-2a+2（a+ZBME）=180°,

03ZBMF=18O°,即ZBMF=60°.0ZFME=2ZBMF=120°.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，屬于中考常

考題型.

19.（2023下?江蘇蘇州?七年級校聯(lián)考期中）如圖1,已知AB〃CD,P是直線AB,CO外的一點，PFT3CD

于點憶PE交AB于點、E,滿足回五尸￡=60。.

圖1圖2備用圖

(1)求朋EP的度數(shù)；(2)如圖2,射線PN從PE出發(fā),以每秒10。的速度繞P點按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn),

當(dāng)PN到達尸尸時立刻返回至PE,然后繼續(xù)按上述方式旋轉(zhuǎn)；射線從E4出發(fā)，以相同的速度繞E點按

順時針方向旋轉(zhuǎn)至￡尸后停止運動，此時射線尸N也停止運動.若射線PN、射線同時開始運動，設(shè)運動

時間為f秒.①當(dāng)射線PN平分EIE尸尸時，求IBMEP的度數(shù)（0。<斯"P<180。）；

②當(dāng)直線與直線PN相交所成的銳角是60。時，則t=.

【答案】（1）150°；（2）①回暇石尸=60?；?20。；②,或］

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)可得答案；

（2）①由角平分線的定義得I3EPN=3O。，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得答案；

②利用三角形外角性質(zhì)列出方程，通過解方程即可得到問題的答案.

【詳解】解：（1）如圖1,^AB//CD,PF^\CD,SPF^AB,03AMp=90°,

0EFP￡=60",^3\AEP=BFPE+SAMP=150°；

（2）如圖2,①當(dāng)PN平分EIEPF時，I3EPN=3O。時，

30

運動時間/=m=3（秒），此時Affi也運動了3秒，

^\AEM=3xl0°=30°f^\MEP=150°-30°=120°；

CCQ

PN繼續(xù)運動至尸尸時，返回時，當(dāng)PN平分EIEP尸時，運動時間至正+記=9（秒）時，此時ME也運動

了9秒，aMEM=9xl0°=90°,^\MEP=150°-90°=60°；

當(dāng)?shù)诙蜳E運動至PF時，當(dāng)PN平分SEPF時，運動了x2+黑=15（秒）

0EL4EM=15xlO°=15O°,EEMEP=150°-150°=0°,不符合題意；

綜上所述，^MEP的度數(shù)為60?；?20。；

②如圖3,當(dāng)0SW6時，此時回石尸囚=114瓦0=：10右^NEH=10t,EIPEN=30°,

0PHE=180°-SHPE-ELPEH=180--10r-30°-10f=150°-20/,

圖3

39

當(dāng)150°-20/=120°時，t=—，當(dāng)150°-20/=60°時，t=一；

22

當(dāng)6〈長12時，此時EIEPN=120°-101,SNEH^SAEM=Wt,I3PEN=3CI°,

0PHE=3O°,不成立，

當(dāng)12＜江15時，此時EIEPN=10f-120°,SNEH=SAEM=Wt,團PEN=30°,回PHE=270°-20f,

2115

0/7花=270。-20=60。時，t=—（不合題意），0PHE=27O°-20/=120°,t=—（不合題意）

22

故答案為：|3■或9

【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)及三角

形外角性質(zhì)是解決此題關(guān)鍵.

20.（2022下?河南三門峽?七年級?？茧A段練習(xí)）（1）"一條彩虹路，盡覽紅葉美，"濯池縣以打造最美旅

游

公路為重點，弘揚地域文化、彰顯仰韶特色.數(shù)學(xué)課上，老師把山路抽象成圖1所示的樣子，并提出了一

個問題：如圖1,已知AB〃CD,ZPBA=125°,ZPCD=155°,求N3尸C的度數(shù).

小明同學(xué)的思路:過點P作PG〃AB,點G在點P的左側(cè)，進而推出PG〃CD，由平行線的性質(zhì)來求/BPC,

得NBPC=.

（2）圖2、圖3均是由一塊直角三角尺和一把直尺拼成的圖形，ZACB=90°,DF//CG,AB與FD相交

于點E,有一動點尸在邊BC上運動，連接尸E,PA,記NPED=Na,/PAC=".

①如圖2,當(dāng)點尸在C,。兩點之間運動時，請直接寫出NAPE與”之間的數(shù)量關(guān)系；

②如圖3,當(dāng)點P在8,。兩點之間運動時，NAPE與/a,4之間有何數(shù)量關(guān)系？請判斷并說明理由.

Si圖2

【答案】（1）80°；(2)@ZAPE=Za+Zj3.(2)ZAPE=ZJ3-Za

【分析】（1）過點尸作尸G〃AB,點G在點尸的左側(cè)，根據(jù)平行線的性質(zhì)及平行公理即可;

（2）①過點P作尸尸，根據(jù)平行線的性質(zhì)及平行公理即可；②過點P作尸?！?。/，根據(jù)平行線的

性質(zhì)及平行公理即可.

【詳解】解：（1）過點尸作PG〃AB,點G在點尸的左側(cè).

圖①

^\AB//CD,SPG//CD//AB.SZPBA+ZBPG=180°,ZPCD+ZCPG=180°.

又IBNP3A=125°,ZPCD=155°,0ZBPC=ZBPG+ZCPG=180°-ZPBA+180°-ZPCD=80°.

故答案為：80°；

（2）①NAPE與/a,"之間的數(shù)量關(guān)系為/APE=/a+N/?.理由如下：如圖①，過點尸作P?！?。尸.

SDF//CG,^\DF//PQ//CG.回Na=/EPQ,A/3=AAPQ.

0ZAPE=ZEPQ+ZAPQ^Za+ZJB.回/4PE與Ne,”之間的數(shù)量關(guān)系為NAPE=Na+N尸.

②TAPE與Na,4之間的數(shù)量關(guān)系為NAPE=/￡-Na.

理由：如圖②，過點P作PQ〃。尸.

圖②

^\DF//CG,0DF//PQ〃CGQ邛=3Q,Na=/EPQ.

0ZAPE=ZAPQ-ZEPQ=Z/?-Z?.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及平行公理，熟練掌握平行線的性質(zhì)及平行公理，作出合適的輔助線是

本題的關(guān)鍵.

21.（2023下?浙江杭州?七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，A2,8的是兩根釘在木板上的平行木條，將

一根橡皮筋固定在AB兩點上，E是橡皮筋上一點，將橡皮筋拉緊后，隨意拉動E點.

⑴當(dāng)E在平行木條A2,8中間時，請你探索NA,NC,/E之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

備用圖

⑵若將點E拉至木條AB的上方，且E,A,C三點不共線.上述結(jié)論是否仍成立？若不成立，請?zhí)剿餍碌?/p>

數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

ZB4B

CDCD

⑶繼續(xù)將點拉至木條8下方，且區(qū)A,C三點不共線，你又能得出怎樣的結(jié)論？（直接寫出結(jié)論）

4B/B

CDCD

【答案】⑴/E=/A+NC和NE+NA+NC=360。，理由見解析

⑵不成立，理由見解析（3）NA=NC+NAEC；ZC=ZA+ZAEC

【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得出結(jié)論；（3）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得出結(jié)論

【詳解】（1）①/E=/A+NC理由：過“作的平行線EF,

CD

^\EF//AB,AB//CD,^EF//CD,0ZA=ZFE4；/C=ZFEC

BZE=ZFEA+ZFEC0ZE'=ZA+ZC

0ZBAE+ZAEP=180。，NCEP+NECD=180°,

:"BAE+ZAEP+ZCEP+NECD=360°,ZAEC+/EAR+ZECD=360°.

(2)不成立，①如圖所示，ZA+Z