同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分?一、教學(xué)目標(biāo)1.理解定積分的概念，掌握定積分的幾何意義與物理意義。2.了解定積分的性質(zhì)，能熟練運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算和證明。3.掌握牛頓萊布尼茨公式，會(huì)用該公式計(jì)算定積分。4.理解定積分的換元法和分部積分法，能正確運(yùn)用這兩種方法計(jì)算定積分。5.了解反常積分的概念，會(huì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單的反常積分。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

（一）重點(diǎn)1.定積分的概念和性質(zhì)。2.牛頓萊布尼茨公式及其應(yīng)用。3.定積分的換元法和分部積分法。

（二）難點(diǎn)1.定積分概念中對(duì)極限的理解。2.定積分換元法中積分限的變換。3.反常積分收斂性的判斷及計(jì)算。

三、教學(xué)方法講授法、討論法、練習(xí)法相結(jié)合

四、教學(xué)過(guò)程

（一）定積分的概念（2學(xué)時(shí)）1.引入通過(guò)求曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程等實(shí)際問(wèn)題，引出定積分的概念。2.定積分的定義設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上有界，在\([a,b]\)中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)\(a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b\)，把區(qū)間\([a,b]\)分成\(n\)個(gè)小區(qū)間\([x_{i1},x_i]\)，其長(zhǎng)度\(\Deltax_i=x_ix_{i1}\)，在每個(gè)小區(qū)間\([x_{i1},x_i]\)上任取一點(diǎn)\(\xi_i\)，作乘積\(f(\xi_i)\Deltax_i\)，并作和\(S_n=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax_i\)，記\(\lambda=\max\{\Deltax_1,\Deltax_2,\cdots,\Deltax_n\}\)，如果當(dāng)\(\lambda\to0\)時(shí)，和\(S_n\)的極限存在，且極限值與區(qū)間\([a,b]\)的分法及\(\xi_i\)的取法無(wú)關(guān)，則稱這個(gè)極限為函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的定積分，記作\(\int_{a}^f(x)dx\)，即\(\int_{a}^f(x)dx=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax_i\)。3.定積分的幾何意義當(dāng)\(f(x)\geq0\)時(shí)，\(\int_{a}^f(x)dx\)表示由曲線\(y=f(x)\)，直線\(x=a\)，\(x=b\)及\(x\)軸所圍成的曲邊梯形的面積；當(dāng)\(f(x)\leq0\)時(shí)，\(\int_{a}^f(x)dx\)表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值；當(dāng)\(f(x)\)在\([a,b]\)上有正有負(fù)時(shí)，\(\int_{a}^f(x)dx\)表示介于\(x\)軸、曲線\(y=f(x)\)以及直線\(x=a\)，\(x=b\)之間的各部分面積的代數(shù)和。4.定積分的物理意義變速直線運(yùn)動(dòng)的路程\(s=\int_{T_1}^{T_2}v(t)dt\)，其中\(zhòng)(v(t)\)是速度函數(shù)，\([T_1,T_2]\)是運(yùn)動(dòng)時(shí)間區(qū)間。5.例題講解例1：利用定積分定義計(jì)算\(\int_{0}^{1}x^2dx\)。解：1.分割：將\([0,1]\)分成\(n\)等份，分點(diǎn)為\(x_i=\frac{i}{n}\)，\(i=0,1,\cdots,n\)，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度\(\Deltax=\frac{1}{n}\)。2.近似代替：取\(\xi_i=x_i=\frac{i}{n}\)，則\(f(\xi_i)\Deltax=(\frac{i}{n})^2\cdot\frac{1}{n}\)。3.求和：\(S_n=\sum_{i=1}^{n}(\frac{i}{n})^2\cdot\frac{1}{n}=\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n}i^2\)。由\(\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)，可得\(S_n=\frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\)。4.取極限：\(\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\frac{1}{3}\)，所以\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}\)。

（二）定積分的性質(zhì)（2學(xué)時(shí)）1.性質(zhì)1\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）2.性質(zhì)2\(\int_{a}^[f(x)\pmg(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx\pm\int_{a}^g(x)dx\)3.性質(zhì)3\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx\)（\(a<c<b\)），該性質(zhì)稱為定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性。4.性質(zhì)4如果在區(qū)間\([a,b]\)上\(f(x)\geq0\)，則\(\int_{a}^f(x)dx\geq0\)（\(a<b\)）。5.性質(zhì)5如果在區(qū)間\([a,b]\)上\(f(x)\leqg(x)\)，則\(\int_{a}^f(x)dx\leq\int_{a}^g(x)dx\)（\(a<b\)）。6.性質(zhì)6\(\vert\int_{a}^f(x)dx\vert\leq\int_{a}^\vertf(x)\vertdx\)（\(a<b\)）。7.性質(zhì)7（積分中值定理）如果函數(shù)\(f(x)\)在閉區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則在積分區(qū)間\([a,b]\)上至少存在一個(gè)點(diǎn)\(\xi\)，使\(\int_{a}^f(x)dx=f(\xi)(ba)\)，\(\xi\in[a,b]\)。8.例題講解例2：已知\(\int_{0}^{1}f(x)dx=3\)，\(\int_{0}^{1}g(x)dx=2\)，求\(\int_{0}^{1}[3f(x)2g(x)]dx\)。解：根據(jù)定積分性質(zhì)\(\int_{0}^{1}[3f(x)2g(x)]dx=3\int_{0}^{1}f(x)dx2\int_{0}^{1}g(x)dx=3\times32\times2=5\)。

例3：估計(jì)\(\int_{0}^{1}e^{x^2}dx\)的值。解：因?yàn)閈(y=e^{x^2}\)在\([0,1]\)上單調(diào)遞減，所以\(e^{1}\leqe^{x^2}\leqe^0\)，即\(\frac{1}{e}\leqe^{x^2}\leq1\)。由定積分性質(zhì)\(\frac{1}{e}(10)\leq\int_{0}^{1}e^{x^2}dx\leq1\times(10)\)，即\(\frac{1}{e}\leq\int_{0}^{1}e^{x^2}dx\leq1\)。

（三）牛頓萊布尼茨公式（2學(xué)時(shí)）1.定理如果函數(shù)\(F(x)\)是連續(xù)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的一個(gè)原函數(shù)，則\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)F(a)\)，該公式稱為牛頓萊布尼茨公式，也記作\(\int_{a}^f(x)dx=[F(x)]_{a}^\)。2.證明思路利用定積分的定義以及原函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明。3.例題講解例4：計(jì)算\(\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx\)。解：因?yàn)閈((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)，所以\(\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx=[\lnx]_{1}^{2}=\ln2\ln1=\ln2\)。

例5：計(jì)算\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sinxdx\)。解：因?yàn)閈((\cosx)^\prime=\sinx\)，所以\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sinxdx=[\cosx]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\cos\frac{\pi}{2}(\cos0)=1\)。

（四）定積分的換元法（2學(xué)時(shí)）1.定理設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，函數(shù)\(x=\varphi(t)\)滿足條件：（1）\(\varphi(\alpha)=a\)，\(\varphi(\beta)=b\)；（2）\(\varphi(t)\)在\([\alpha,\beta]\)（或\([\beta,\alpha]\)）上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且其值域\(R_{\varphi}\subseteq[a,b]\)，則有\(zhòng)(\int_{a}^f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t)]\varphi^\prime(t)dt\)。2.注意事項(xiàng)換元的同時(shí)要相應(yīng)地變換積分限。3.例題講解例6：計(jì)算\(\int_{0}^{4}\frac{x+2}{\sqrt{2x+1}}dx\)。解：令\(t=\sqrt{2x+1}\)，則\(x=\frac{t^21}{2}\)，\(dx=tdt\)。當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(t=1\)；當(dāng)\(x=4\)時(shí)，\(t=3\)。原積分化為\(\int_{1}^{3}\frac{\frac{t^21}{2}+2}{t}\cdottdt=\int_{1}^{3}(\frac{t^21}{2}+2)dt=\int_{1}^{3}(\frac{t^2}{2}+\frac{3}{2})dt=[\frac{t^3}{6}+\frac{3t}{2}]_{1}^{3}=(\frac{3^3}{6}+\frac{3\times3}{2})(\frac{1^3}{6}+\frac{3\times1}{2})=\frac{27}{6}+\frac{9}{2}\frac{1}{6}\frac{3}{2}=\frac{26}{6}+3=\frac{13}{3}+3=\frac{22}{3}\)。

例7：計(jì)算\(\int_{0}^{a}\sqrt{a^2x^2}dx\)（\(a>0\)）。解：令\(x=a\sint\)，則\(dx=a\costdt\)。當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(t=0\)；當(dāng)\(x=a\)時(shí)，\(t=\frac{\pi}{2}\)。原積分化為\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^2a^2\sin^2t}\cdota\costdt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a^2\cos^2tdt=\frac{a^2}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos2t)dt=\frac{a^2}{2}[t+\frac{1}{2}\sin2t]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{a^2}{2}(\frac{\pi}{2}+000)=\frac{\pia^2}{4}\)。

（五）定積分的分部積分法（2學(xué)時(shí)）1.定理設(shè)函數(shù)\(u=u(x)\)及\(v=v(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有\(zhòng)(\int_{a}^u(x)v^\prime(x)dx=[u(x)v(x)]_{a}^\int_{a}^u^\prime(x)v(x)dx\)，即\(\int_{a}^udv=[uv]_{a}^\int_{a}^vdu\)。2.例題講解例8：計(jì)算\(\int_{0}^{1}xe^xdx\)。解：令\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。根據(jù)分部積分公式\(\int_{0}^{1}xe^xdx=[xe^x]_{0}^{1}\int_{0}^{1}e^xdx=(e0)[e^x]_{0}^{1}=e(e1)=1\)。

例9：計(jì)算\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cosxdx\)。解：令\(u=x\)，\(dv=\cosxdx\)，則\(du=dx\)，\(v=\sinx\)。\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cosxdx=[x\sinx]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sinxdx=(\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2}0)[\cosx]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}(01)=\frac{\pi}{2}+1\)。

（六）反常積分（2學(xué)時(shí)）1.無(wú)窮限的反常積分（1）定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,+\infty)\)上連續(xù)，取\(b>a\)，如果極限\(\lim_{b\to+\infty}\int_{a}^f(x)dx\)存在，則稱此極限為函數(shù)\(f(x)\)在無(wú)窮區(qū)間\([a,+\infty)\)上的反常積分，記作\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)，即\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to+\infty}\int_{a}^f(x)dx\)。類似地可定義\(\int_{\infty}^f(x)dx=\lim_{a\to\infty}\int_{a}^f(x)dx\)，\(\int_{\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{\infty}^{c}f(x)dx+\int_{c}^