江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2019屆高三教學(xué)情況調(diào)查數(shù)學(xué)試題含附加題?一、填空題1.已知集合\(A=\{x|x^22x3\leq0\}\)，\(B=\{x|y=\ln(2x)\}\)，則\(A\capB=\)______。解不等式\(x^22x3\leq0\)，即\((x3)(x+1)\leq0\)，解得\(1\leqx\leq3\)，所以\(A=[1,3]\)。對于集合\(B\)，由\(y=\ln(2x)\)可知\(2x\gt0\)，即\(x\lt2\)，所以\(B=(\infty,2)\)。則\(A\capB=[1,2)\)。2.已知\(i\)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)\(z\)滿足\(z(1i)=1+i\)，則\(|z|=\)______。由\(z(1i)=1+i\)，可得\(z=\frac{1+i}{1i}\)。對\(\frac{1+i}{1i}\)進(jìn)行化簡，分子分母同時(shí)乘以\(1+i\)，得到\(z=\frac{(1+i)^2}{(1i)(1+i)}=\frac{1+2i+i^2}{1i^2}\)。因?yàn)閈(i^2=1\)，所以\(z=\frac{1+2i1}{2}=i\)。則\(|z|=1\)。3.從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù)，則所取2個(gè)數(shù)的乘積為6的概率是______。從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù)，所有可能的情況有\(zhòng)(C_4^2=\frac{4!}{2!(42)!}=\frac{4\times3}{2\times1}=6\)種。所取2個(gè)數(shù)的乘積為6的情況只有\(zhòng)((2,3)\)這1種。所以所取2個(gè)數(shù)的乘積為6的概率是\(\frac{1}{6}\)。4.根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果\(S\)為______。```S←1I←1WhileI<8S←S+II←I+2EndWhilePrintS```初始值\(S=1\)，\(I=1\)。第一次循環(huán)：\(S=1+1=2\)，\(I=1+2=3\)。第二次循環(huán)：\(S=2+3=5\)，\(I=3+2=5\)。第三次循環(huán)：\(S=5+5=10\)，\(I=5+2=7\)。第四次循環(huán)：\(S=10+7=17\)，\(I=7+2=9\)，此時(shí)\(I\geq8\)，循環(huán)結(jié)束。所以輸出的結(jié)果\(S\)為17。5.已知雙曲線\(C:\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的離心率為\(\sqrt{2}\)，則點(diǎn)\((4,0)\)到\(C\)的漸近線的距離為______。因?yàn)殡p曲線的離心率\(e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}\)，且\(c^2=a^2+b^2\)，所以\(c=\sqrt{2}a\)，則\(a=b\)。雙曲線的漸近線方程為\(y=\pmx\)，即\(x\pmy=0\)。點(diǎn)\((4,0)\)到直線\(x+y=0\)的距離\(d=\frac{|4+0|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2\sqrt{2}\)，點(diǎn)\((4,0)\)到直線\(xy=0\)的距離也為\(2\sqrt{2}\)。所以點(diǎn)\((4,0)\)到\(C\)的漸近線的距離為\(2\sqrt{2}\)。6.已知樣本數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的方差\(s^2=2\)，則樣本數(shù)據(jù)\(3x_1+2,3x_2+2,\cdots,3x_n+2\)的方差為______。根據(jù)方差的性質(zhì)，若\(y=ax+b\)，則\(D(y)=a^2D(x)\)。已知樣本數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的方差\(s^2=2\)，對于樣本數(shù)據(jù)\(3x_1+2,3x_2+2,\cdots,3x_n+2\)，\(a=3\)。所以其方差為\(3^2\times2=18\)。7.已知正四棱錐\(PABCD\)的所有棱長都相等，高為\(\sqrt{2}\)，則該正四棱錐的表面積為______。設(shè)正四棱錐的棱長為\(a\)。因?yàn)檎睦忮F的高、底面正方形對角線的一半與棱長構(gòu)成直角三角形，底面正方形對角線長為\(\sqrt{2}a\)，則底面正方形對角線的一半為\(\frac{\sqrt{2}}{2}a\)。由勾股定理可得\((\frac{\sqrt{2}}{2}a)^2+\sqrt{2}^2=a^2\)，解得\(a=2\)。底面正方形面積為\(2\times2=4\)，四個(gè)側(cè)面三角形的面積都為\(\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{2^21^2}=\sqrt{3}\)。所以正四棱錐的表面積為\(4+4\sqrt{3}\)。8.將函數(shù)\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的圖象向右平移\(\frac{\pi}{6}\)個(gè)單位長度，得到函數(shù)\(g(x)\)的圖象，則\(g(\frac{5\pi}{12})=\)______。將函數(shù)\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的圖象向右平移\(\frac{\pi}{6}\)個(gè)單位長度，根據(jù)"左加右減"原則，得到\(g(x)=\sin[2(x\frac{\pi}{6})+\frac{\pi}{3}]=\sin2x\)。則\(g(\frac{5\pi}{12})=\sin(2\times\frac{5\pi}{12})=\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\)。9.在\(\triangleABC\)中，\(AB=2\sqrt{5}\)，\(AC=3\)，\(\sinC=2\sinA\)，則\(\cosA=\)______。由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}\)，已知\(\sinC=2\sinA\)，可得\(c=2a\)。因?yàn)閈(AB=c=2\sqrt{5}\)，\(AC=b=3\)，所以\(a=\sqrt{5}\)。再根據(jù)余弦定理\(\cosA=\frac{b^2+c^2a^2}{2bc}\)，可得\(\cosA=\frac{3^2+(2\sqrt{5})^2(\sqrt{5})^2}{2\times3\times2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)。10.已知函數(shù)\(f(x)=x^33x^2+3\)，若函數(shù)\(g(x)=f(x)m\)在\(x\in[1,2]\)上有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)\(m\)的取值范圍是______。對\(f(x)=x^33x^2+3\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=3x^26x=3x(x2)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x\in[1,0)\)時(shí)，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增；當(dāng)\(x\in(0,2]\)時(shí)，\(f^\prime(x)\lt0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減。\(f(1)=(1)^33\times(1)^2+3=1\)，\(f(0)=3\)，\(f(2)=2^33\times2^2+3=1\)。函數(shù)\(g(x)=f(x)m\)在\(x\in[1,2]\)上有三個(gè)零點(diǎn)，即\(y=f(x)\)與\(y=m\)的圖象在\(x\in[1,2]\)上有三個(gè)交點(diǎn)。所以實(shí)數(shù)\(m\)的取值范圍是\((1,3)\)。11.已知向量\(\overrightarrow{a},\overrightarrow\)滿足\(|\overrightarrow{a}|=1\)，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot(2\overrightarrow{a}\overrightarrow)=\)______。根據(jù)向量數(shù)量積的分配律\(\overrightarrow{a}\cdot(2\overrightarrow{a}\overrightarrow)=2\overrightarrow{a}^2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)。已知\(|\overrightarrow{a}|=1\)，則\(\overrightarrow{a}^2=|\overrightarrow{a}|^2=1\)，又\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\)。所以\(\overrightarrow{a}\cdot(2\overrightarrow{a}\overrightarrow)=2\times1(1)=3\)。12.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+2}(n\inN^*)\)，則數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=\)______。由\(a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+2}\)，兩邊取倒數(shù)得\(\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_n+2}{a_n}=1+\frac{2}{a_n}\)。則\(\frac{1}{a_{n+1}}+1=2(\frac{1}{a_n}+1)\)。因?yàn)閈(\frac{1}{a_1}+1=2\)，所以數(shù)列\(zhòng)(\{\frac{1}{a_n}+1\}\)是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。則\(\frac{1}{a_n}+1=2\times2^{n1}=2^n\)，所以\(a_n=\frac{1}{2^n1}\)。13.已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}2^x,x\leq0\\\log_2x,x\gt0\end{cases}\)，若函數(shù)\(y=f(f(x))+a\)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍是______。當(dāng)\(x\leq0\)時(shí)，\(f(x)=2^x\in(0,1]\)；當(dāng)\(x\gt0\)時(shí)，\(f(x)=\log_2x\)。令\(f(f(x))=a\)。當(dāng)\(f(x)\leq0\)時(shí)，\(f(f(x))=2^{f(x)}\)；當(dāng)\(f(x)\gt0\)時(shí)，\(f(f(x))=\log_2(f(x))\)。要使函數(shù)\(y=f(f(x))+a\)有三個(gè)零點(diǎn)，則\(y=f(f(x))\)與\(y=a\)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)\(f(x)\leq0\)時(shí)，\(2^{f(x)}\in(0,1]\)；當(dāng)\(f(x)\gt0\)時(shí)，\(\log_2(f(x))\)值域?yàn)閈(R\)。所以\(a\in(0,1]\)，即\(a\in[1,0)\)。14.在平面直角坐標(biāo)系\(xOy\)中，已知圓\(C:x^2+y^2=4\)與\(x\)軸的正負(fù)半軸的交點(diǎn)分別是\(M,N\)。點(diǎn)\(P\)為圓\(C\)上異于\(M,N\)的任意一點(diǎn)，直線\(PM\)，\(PN\)分別交直線\(x=4\)于點(diǎn)\(A,B\)。則當(dāng)點(diǎn)\(P\)變化時(shí)，以\(AB\)為直徑的圓被\(x\)軸截得的弦長為______。設(shè)\(P(x_0,y_0)\)，因?yàn)閈(M(2,0)\)，\(N(2,0)\)。直線\(PM\)的方程為\(y=\frac{y_0}{x_0+2}(x+2)\)，令\(x=4\)，得\(y_A=\frac{6y_0}{x_0+2}\)。直線\(PN\)的方程為\(y=\frac{y_0}{x_02}(x2)\)，令\(x=4\)，得\(y_B=\frac{2y_0}{x_02}\)。所以\(A(4,\frac{6y_0}{x_0+2})\)，\(B(4,\frac{2y_0}{x_02})\)。以\(AB\)為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為\((4,\frac{3y_0}{x_0+2}+\frac{y_0}{x_02})\)，半徑\(r=\frac{1}{2}|\frac{6y_0}{x_0+2}\frac{2y_0}{x_02}|\)。令\(y=0\)，可得圓與\(x\)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)\(x_1,x_2\)，根據(jù)弦長公式\(|x_1x_2|=4\sqrt{3}\)，即弦長為\(4\sqrt{3}\)。

二、解答題15.已知向量\(\overrightarrow{a}=(\cos\alpha,\sin\alpha)\)，\(\overrightarrow=(\cos\beta,\sin\beta)\)，\(0\lt\beta\lt\alpha\lt\pi\)。(1)若\(|\overrightarrow{a}\overrightarrow|=\sqrt{2}\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)的值及向量\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的夾角；(2)設(shè)\(\overrightarrow{c}=(0,1)\)，若\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow{c}\)，求\(