遼寧省名校聯(lián)盟2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期3月份聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線與平行，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．或 D．02．已知展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則展開式中的系數(shù)為（

）A．31 B．30 C．29 D．283．已知直線過(guò)點(diǎn)，且為其一個(gè)方向向量，則點(diǎn)到直線的距離為（）A． B． C． D．4．已知，，且，則下列選項(xiàng)中不正確的是（

）A． B．C． D．5．現(xiàn)有5個(gè)編號(hào)為1，2，3，4，5的不同的球和5個(gè)編號(hào)為1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子內(nèi)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．共有120種不同的放法B．恰有一個(gè)盒子不放球，共有1200種放法C．每個(gè)盒子內(nèi)只放一個(gè)球，恰有2個(gè)盒子的編號(hào)與球的編號(hào)相同，不同的放法有60種D．將5個(gè)不同的球換成相同的球，恰有一個(gè)空盒的放法有5種6．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B．6 C． D．127．設(shè)A，B，C是集合的子集，且滿足，，這樣的有序組的總數(shù)（

）A． B． C． D．8．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn).現(xiàn)將所在平面沿直線折成平面角為銳角的二面角，如圖，翻折后兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，且若，則的離心率為（

）

A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說(shuō)法中正確的是（

）A．回歸直線恒過(guò)點(diǎn)B．兩個(gè)變量線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)就越接近1C．在線性回歸方程中，當(dāng)變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，平均減少個(gè)單位D．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則的值分別是和10．如圖，在直四棱柱中，為與的交點(diǎn).若，則下列說(shuō)法正確的有（）A．B．C．設(shè)，則D．以為球心，為半徑的球在四邊形內(nèi)的交線長(zhǎng)為11．法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A為圓，過(guò)上的動(dòng)點(diǎn)作的兩條互相垂直的切線，分別與交于兩點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，則（

）A．橢圓的蒙日?qǐng)A方程為B．面積的最大值為7C．的最小值為D．若動(dòng)點(diǎn)在上，將直線的斜率分別記為，則三、填空題（本大題共3小題）12．隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，，則的最小值為.13．甲?乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽11分制，若比分打到時(shí)，需要一人比另一人多得兩分，比賽才能結(jié)束.已知甲贏得每一分的概率為，在兩人的第一局比賽中，兩人達(dá)到了，此局比賽結(jié)束時(shí)，兩人的得分總和為24的概率為.14．棱長(zhǎng)為4的正方體中，分別是平面和平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．民航招飛是指普通高校飛行技術(shù)專業(yè)（本科）通過(guò)高考招收飛行學(xué)生，報(bào)名的學(xué)生需參與預(yù)選初檢、體檢鑒定，飛行職業(yè)心理學(xué)檢測(cè)、背景周查、高考選拔共5項(xiàng)流程，其中前4項(xiàng)流程選拔均通過(guò)，則被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)，然后參加高考，由招飛院校擇優(yōu)錄?。畵?jù)統(tǒng)計(jì)，某校高三在校學(xué)生有1000人，其中男生600人，女生400人，各有100名學(xué)生有民航招飛意向．(1)完成以下列聯(lián)表，并回答是否有99．9%的把握認(rèn)為該校高三學(xué)生有民航招飛意向與學(xué)生性別有關(guān)？對(duì)民航招飛有意向?qū)γ窈秸酗w沒(méi)有意向合計(jì)男生女生合計(jì)(2)若每名報(bào)名學(xué)生通過(guò)前《項(xiàng)流程的概率依次約為，假設(shè)學(xué)生能否通過(guò)這4項(xiàng)流程相互獨(dú)立，估計(jì)該校高三學(xué)生被認(rèn)為有效招飛的人數(shù)．附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82816．某工廠生產(chǎn)一批機(jī)器零件，現(xiàn)隨機(jī)抽取100件對(duì)某一項(xiàng)性能指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)，得到一組數(shù)招X，如下表：性能指標(biāo)X6677808896產(chǎn)品件數(shù)102048193(1)求該項(xiàng)性能指標(biāo)的樣本平均數(shù)的值，若這批零件的該項(xiàng)指標(biāo)X近似服從正態(tài)分布，其中：近似為樣本平均數(shù)的值，，試求的值；(2)若此工廠有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工這種機(jī)器零件，且甲機(jī)床的生產(chǎn)效率是乙機(jī)床的生產(chǎn)效率的2倍，甲機(jī)床生產(chǎn)的零件的次品率為0.02，乙機(jī)床生產(chǎn)的零件的次品率為0.01，現(xiàn)從這批零件中隨機(jī)抽取一件．①求這件零件是次品的概率；②若檢測(cè)出這件零件是次品，求這件零件是甲機(jī)床生產(chǎn)的概率．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．17．在中，，，，、分別是、上的點(diǎn)，滿足且，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示．(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的大??；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．強(qiáng)基計(jì)劃于2020年在有關(guān)高校開始實(shí)施，主要選拔有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生．為選拔培養(yǎng)對(duì)象，某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)學(xué)科夏令營(yíng)活動(dòng)．(1)若數(shù)學(xué)組的7名學(xué)員中恰有4人來(lái)自中學(xué)，從這7名學(xué)員中隨機(jī)選取4人，表示選取的人中來(lái)自中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)在夏令營(yíng)開幕式的晚會(huì)上，物理組舉行了一次學(xué)科知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競(jìng)答中，每人分別答兩題，若小組答對(duì)題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利．已知甲乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對(duì)每道題的概率分別為，．假設(shè)甲、乙兩人每次答題相互獨(dú)立，且互不影響．當(dāng)時(shí)，求甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值．19．設(shè)拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且.若拋物線的焦點(diǎn)為，記的面積分別為.

(1)求的最小值.(2)設(shè)點(diǎn)，直線與拋物線的另一交點(diǎn)為，求證：直線過(guò)定點(diǎn).(3)我國(guó)古代南北朝數(shù)學(xué)家祖暅所提出的祖暅原理是“冪勢(shì)既同，則積不容異”，即：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，記線段與拋物線圍成的封閉圖形為繞軸旋轉(zhuǎn)半周形成的曲面所圍成的幾何體為.試用祖桓原理的數(shù)學(xué)思想求出的體積.

參考答案1．【答案】A【分析】由直線與直線平行的充要條件，列式求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以且，解得.故選：A.2．【答案】C【詳解】中令得，解得，展開式通項(xiàng)公式為，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故展開式中的系數(shù)為.故選：C3．【答案】B【詳解】由已知可得，又，所以向量在向量上的投影向量的模為，又所以點(diǎn)到直線的距離為,故選：B.4．【答案】D【詳解】因?yàn)?，且，所以，即，因?yàn)樵谏线f增，且，所以，故A正確；，故B正確；，故C正確；，，故D錯(cuò)誤；故選：D5．【答案】B【詳解】對(duì)于A：每個(gè)小球都有5種選擇，所有共有種，錯(cuò)誤；對(duì)于B，第一步，選擇一個(gè)盒子不放球，由,第二步，5個(gè)小球分成4組，分別放入4個(gè)盒子有：，所以共有種，正確；對(duì)于C，第一步選擇兩個(gè)盒子使得編號(hào)與小球相同，有，第二步，剩下3個(gè)球，3個(gè)盒子使得盒子編號(hào)與小球編號(hào)不相同共有2種，所以共有20種，錯(cuò)誤；對(duì)于D，第一步，確定哪個(gè)盒子不放球，有，第二步，剩下四個(gè)盒子確定哪個(gè)盒子放兩個(gè)球，即可；所有共有20種，錯(cuò)誤；故選：B6．【答案】C【詳解】設(shè)，，，故，在圓上，且，

表示到直線的距離之和，原點(diǎn)到直線的距離為，如圖所示：，，是的中點(diǎn)，于，，，故在圓上，.故的最大值為.故選：C.7．【答案】D【分析】利用分步計(jì)數(shù)法可求有序組的總數(shù).【詳解】如圖：考慮，，把集合劃分為5個(gè)集合:，，，，，接下來(lái)將集合中的元素逐一安排到集合，，，，中即可，因?yàn)榧现械拿總€(gè)元素都可能安排到5個(gè)位置中的一個(gè)，所以中2024個(gè)元素的安排方法共有種．故選D.8．【答案】C【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，由題意可得：，則，且，則銳角二面角，在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，因?yàn)?，即，可得，解?故選：C.9．【答案】ACD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)榛貧w直線恒過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，兩個(gè)變量線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)就越接近1，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)榫€性回歸方程為，，則變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，平均減少個(gè)單位，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，由題知，則，所以，故選項(xiàng)D正確，故選：ACD.10．【答案】ACD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：連接DB，由題得，，故A正確.對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，，，所以，所以，故B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?，所以，即，故C正確.對(duì)于選項(xiàng)D：取的中點(diǎn)為，連接，由為等邊三角形可得，且面.由球的半徑為，知球面與平面的交線是以為圓心，為半徑的圓.如圖，在正方形內(nèi)，以為圓心，2為半徑作圓，所得的圓弧即為所求交線.由題意可知，所以弧的長(zhǎng)為，故D正確.故選：ACD.11．【答案】ABC【詳解】依題意，可設(shè)圓C方程為，過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作軸的垂線，過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)2,0作軸的垂線，則這兩條垂線的交點(diǎn)在圓C上，所以，即，所以橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，故A正確；因?yàn)辄c(diǎn)都在圓上，且，所以為圓的直徑，所以面積的最大值為，故B正確；由于為圓的直徑，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，即過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，故C正確；由直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，易得點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，則，又，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：.12．【答案】/【詳解】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，由，，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．所以的最小值為．故答案為：.13．【答案】【詳解】因?yàn)楸荣惤Y(jié)束時(shí)，兩人的得分總和為24，其中且兩人的得分的差的絕對(duì)值為2，若甲贏得比賽，則最后兩局比賽甲勝，第21球和第22球甲乙一勝一負(fù)，所以事件甲贏得比賽的概率為，同理乙贏得比賽的概率為，所以.故答案為：14．【答案】【詳解】取點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為4，且，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，則，所以點(diǎn)到平面的距離.即的最小值為.故答案為：.15．【答案】(1)表格見解析，認(rèn)為該校高三學(xué)生是否有民航招飛意向與學(xué)生性別無(wú)關(guān)(2)50人【詳解】（1）列聯(lián)表如下：對(duì)民航招飛有意向?qū)γ窈秸酗w沒(méi)有意向合計(jì)男生100500600女生100300400合計(jì)2008001000零假設(shè)：該校高三學(xué)生是否有民航招飛意向與學(xué)生性別無(wú)關(guān)聯(lián)．因?yàn)?，所以假設(shè)成立，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為該校高三學(xué)生是否有民航招飛意向與學(xué)生性別無(wú)關(guān)，即沒(méi)有99．9%的把握認(rèn)為該校高三學(xué)生有民航招飛意向與學(xué)生性別有關(guān)；（2）因?yàn)槊棵麍?bào)名學(xué)生通過(guò)前4項(xiàng)流程的概率依次約為，且能否通過(guò)相互獨(dú)立，所以估計(jì)每名報(bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率．因?yàn)樵撔Ｓ?00名學(xué)生有民航招飛意向，所以有效招飛的人數(shù).所以估計(jì)有人被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)．16．【答案】(1)80，0.8185(2)①，②【詳解】（1），因?yàn)?，所以，則（2）設(shè)“抽取的零件是甲機(jī)床生產(chǎn)”記為事件；“抽取的零件是乙機(jī)床生產(chǎn)”記為事件；“抽取的零件是次品”記為事件,則,,,,則，17．【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，或【詳解】（1）因?yàn)樵谥校?，，且，所以，，則折疊后，，，又，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，，、平面，所以平?（2）由（1）可知，平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，翻折前，在中，，則，則，則，則，，翻折后，因?yàn)槠矫妫矫?，則，所以，，，則，故，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，不妨令，則，，則．設(shè)直線與平面所成角的大小為，則有，則，直線與平面所成角的大小為.（3）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為．在空間直角坐標(biāo)系中，，，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則有，不妨令，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，不妨令，則，，所以，若平面與平面成角余弦值為．則滿足，化簡(jiǎn)得，解得或，即或，則或.故在線段上存在這樣的點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為．此時(shí)的長(zhǎng)度為或．18．【答案】(1)分布列見解析，(2)甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率取得最大值．【詳解】（1）的所有可能取值是1，2，3，4．，，，，所以的分布列是1234P數(shù)學(xué)期望是．（2）設(shè)甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝為事件A，則，由，得．令，因?yàn)?，，所以，所以，設(shè)，則，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，取得最大值．所以，當(dāng)時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率取得最大值．19．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).【詳解】（1）設(shè)，直線，由消去y整理