2.5一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系第二章一元二次方程北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)【公開(kāi)課精品課件】授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********呈現(xiàn)一些生活中的實(shí)際問(wèn)題情境，比如：?學(xué)校要建一個(gè)面積為150平方米的長(zhǎng)方形自行車(chē)棚，已知車(chē)棚的長(zhǎng)比寬多5米，求車(chē)棚的長(zhǎng)和寬各是多少？?設(shè)車(chē)棚的寬為x米，則長(zhǎng)為(x+5)米，根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式可列方程x(x+5)=150，即?x2+5x?150=0。?一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的和是14cm，面積是24?cm2

，求兩條直角邊的長(zhǎng)。?設(shè)一條直角邊為xcm，則另一條直角邊為(14-x)cm，根據(jù)三角形面積公式可得?21?x(14?x)=24，整理得?x2?14x+48=0。?引導(dǎo)學(xué)生觀察這些方程的特點(diǎn)，引入本節(jié)課主題——一元二次方程。?（二）知識(shí)新授（25分鐘）?一元二次方程的定義?讓學(xué)生觀察剛才列出的方程?x2+bx+c=0（a≠0），當(dāng)?b2?4ac＜0時(shí)方程的解的情況。?五、教學(xué)反思?在教學(xué)過(guò)程中，要注重引導(dǎo)學(xué)生積極參與課堂討論和探究活動(dòng)，對(duì)于學(xué)生在理解和解題過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題及時(shí)給予指導(dǎo)。在講解配方法和公式法時(shí)，要注意推導(dǎo)過(guò)程的邏輯性和條理性，讓學(xué)生理解公式的來(lái)源。在實(shí)際應(yīng)用部分，要多選取貼近學(xué)生生活的例子，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用意識(shí)。同時(shí)，通過(guò)作業(yè)和后續(xù)練習(xí)及時(shí)反饋學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，對(duì)存在的問(wèn)題進(jìn)行針對(duì)性輔導(dǎo)。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理9布置作業(yè)學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解1.通過(guò)閱讀課本學(xué)生可以掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力2.通過(guò)自主探究經(jīng)歷探索一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3.通過(guò)對(duì)根與系數(shù)之間關(guān)系的探究，體會(huì)事物之間的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生歸納和推理論證的能力.舊知回顧1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判別式b2-4ac來(lái)判斷一元二次方程根的情況？(①b2-4ac>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②b2-4ac=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③b2-4ac<0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根)()

一天，小王去小明家玩，當(dāng)時(shí)小明正為墨跡不小心污染了一道解一元二次方程的習(xí)題而愁眉不展，小王翻看了后面的答案后立馬幫他補(bǔ)全了題目.這讓解方程一向熟練的小明很驚訝，忙急著問(wèn)小王有什么“秘法”.

小王的“秘法”16世紀(jì)法國(guó)最杰出的數(shù)學(xué)家韋達(dá)最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間存在的特殊關(guān)系，因此,人們把這個(gè)關(guān)系稱(chēng)為韋達(dá)定理。數(shù)學(xué)原本只是韋達(dá)的業(yè)余愛(ài)好，但就是這個(gè)業(yè)余愛(ài)好，使他取得了偉大的成就。韋達(dá)是第一個(gè)有意識(shí)地和系統(tǒng)地使用字母表示數(shù)的人，并且對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行了很多改進(jìn)。是他確定了符號(hào)代數(shù)的原理與方法，使當(dāng)時(shí)的代數(shù)學(xué)系統(tǒng)化,并且把代數(shù)學(xué)作為解析的方法使用。因此，他獲得了“代數(shù)學(xué)之父”之稱(chēng)。1.請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本49-50頁(yè)內(nèi)容并思考.2.請(qǐng)同學(xué)們完成下面的表格：-3-4

自主探究

（10min）3.完成表格后，請(qǐng)同學(xué)們思考以下問(wèn)題：①針對(duì)表格中第一個(gè)方程，猜想：若方程x2+px+q=0的根為x?,x?,則x?+x?與x?x?的值與p,q之間的關(guān)系是什么?②針對(duì)表格中第二、三個(gè)方程，猜想：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根x?,x?之和、之積與a,b,c之間的關(guān)系是什么?③你能證明一下上述兩個(gè)猜想嗎?（證明略）x?+x?=-p,x?x?=q

（

）利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程2x2+3x-1=0的兩個(gè)根的平方和與倒數(shù)和.小組展示我提問(wèn)我回答我補(bǔ)充我質(zhì)疑提疑惑：你有什么疑惑？越展越優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)2：一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用（難點(diǎn)）（1）驗(yàn)根.不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根；（2）已知方程的一個(gè)根，求方程的另一個(gè)根及未知系數(shù)；

(4)已知方程的兩根，寫(xiě)出一個(gè)一元二次方程；以x?,x?為根的一元二次方程是x2-(x?+x?)x+x?x?=0.(5)已知一元二次方程的兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；(6)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以進(jìn)一步討論根的符號(hào).設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x?,x?,則①當(dāng)Δ>0且x?x?>0時(shí),兩根同號(hào).當(dāng)Δ>0且

x?x?>0,x?+x?>0時(shí),兩根同為正數(shù);當(dāng)Δ>0且x?x?>0,x?+x?<0|時(shí)，兩根同為負(fù)數(shù).②當(dāng)Δ>0且x?x?<0時(shí),兩根異號(hào).當(dāng)Δ>0且x?x?<0,x?+x?>0時(shí),兩根異號(hào)且正根的絕對(duì)值較大;當(dāng)Δ>0且x?x?<0,x?+x?<0|時(shí)，兩根異號(hào)且負(fù)根的絕對(duì)值較大.

b2－4

ac

≥0

234567891011121314151612.[2023天津]若

x1，

x2是方程

x2－6

x

－7＝0的兩個(gè)根，則

(

A

)A.

x1＋

x2＝6B.

x1＋

x2＝－6C.

x1

x2＝

D.

x1

x2＝7A234567891011121314151613.【新視角·結(jié)論開(kāi)放題】一元二次方程的兩個(gè)根分別是

x1，

x2，其中

x1＋

x2＝2，

x1

x2＜0，寫(xiě)出一個(gè)滿足此條件的方

程

?.x2－2

x

－1＝0(答案不唯一)

234567891011121314151614.[教材P50隨堂練習(xí)T1變式]利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列

方程的兩根之和與兩根之積.(1)

x2＋4

x

＝0；解：(1)這里

a

＝1，

b

＝4，

c

＝0，∵Δ＝

b2－4

ac

＝42

－4×1×0＝16＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.設(shè)

方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為

x1，

x2，則

x1＋

x2＝－4，

x1

x2＝0.23456789101112131415161(2)2

x2－3

x

＝5；

4.[教材P50隨堂練習(xí)T1變式]利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列

方程的兩根之和與兩根之積.23456789101112131415161(3)2

x2＋3＝

x

(7

x

＋1).

4.[教材P50隨堂練習(xí)T1變式]利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列

方程的兩根之和與兩根之積.23456789101112131415161知識(shí)點(diǎn)2

利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值5.若關(guān)于

x

的方程2

x2＋

mx

＋

n

＝0的兩個(gè)根是－2和1，則

nm

的值為(

C

)A.－8B.8C.16D.－16

∴

m

＝2，

n

＝－4，∴

nm

＝(－4)2＝16.C23456789101112131415161

234567891011121314151617.一元二次方程

x2＋6

x

＋3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為

x1，

x2，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列式子的值：

解：∵一元二次方程

x2＋6

x

＋3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為

x1，

x2，∴

x1＋

x2＝－6，

x1

x2＝3.

23456789101112131415161知識(shí)點(diǎn)3

利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求方程的根或

字母的值8.【易錯(cuò)題】已知關(guān)于

x

的一元二次方程