河南省確山縣高中數學第二章空間向量與立體幾何2.4用向量討論垂直與平行（1）教學實錄北師大版選修2-1課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、教學內容分析1.本節(jié)課的主要教學內容為北師大版選修2-1第二章空間向量與立體幾何2.4節(jié)，即用向量討論垂直與平行。

2.教學內容與學生已有知識的聯(lián)系緊密。學生已學習過向量的基本概念和運算，本節(jié)課將向量知識應用于解決立體幾何問題，有助于鞏固和深化學生對向量的理解。同時，通過引入垂直與平行這兩個幾何概念，將向量與幾何問題相結合，有助于學生形成空間思維，提升解題能力。二、核心素養(yǎng)目標1.培養(yǎng)學生空間觀念，通過向量方法理解幾何關系。

2.提升學生數學抽象能力，學會從幾何現象中抽象出向量概念。

3.強化學生邏輯推理能力，通過向量運算推導幾何定理。

4.增強學生直觀想象能力，通過向量圖形直觀感受幾何性質。三、重點難點及解決辦法重點：

1.理解向量垂直與平行的幾何意義及其在立體幾何中的應用。

2.掌握向量垂直與平行的坐標表示和計算方法。

難點：

1.將向量知識與立體幾何問題相結合，理解抽象的向量關系。

2.準確運用向量坐標進行垂直與平行關系的計算。

解決辦法：

1.通過實例講解，讓學生直觀感受向量在立體幾何中的應用，強化空間觀念。

2.結合圖形，引導學生分析向量坐標與幾何關系，逐步建立抽象思維。

3.設計階梯式練習，從基礎到復雜，逐步提高學生的計算能力。

4.鼓勵學生合作討論，共同解決難題，培養(yǎng)團隊協(xié)作和問題解決能力。四、教學方法與手段教學方法：

1.講授法：系統(tǒng)講解向量垂直與平行的基本概念和性質，確保學生理解基礎知識。

2.討論法：引導學生圍繞實際問題進行討論，培養(yǎng)獨立思考和解決問題的能力。

3.實例分析法：通過典型例題解析，幫助學生將理論知識與實際問題相結合。

教學手段：

1.多媒體展示：利用PPT展示向量圖和立體幾何圖形，增強直觀教學效果。

2.動畫演示：運用動畫技術展示向量運算過程，幫助學生理解復雜概念。

3.在線資源：利用網絡平臺提供相關教學視頻和練習題，拓展學習資源。五、教學過程設計一、導入環(huán)節(jié)（5分鐘）

1.創(chuàng)設情境：展示生活中常見的立體圖形，如建筑物的結構、立體包裝等，引導學生思考這些圖形的特點和關系。

2.提出問題：引導學生思考如何用數學語言描述這些圖形之間的關系，引入向量的概念。

3.學生互動：請學生舉例說明向量在日常生活中的應用，激發(fā)學習興趣。

二、講授新課（15分鐘）

1.向量垂直與平行的概念：講解向量垂直與平行的定義，以及其在立體幾何中的應用。

2.坐標表示：介紹向量垂直與平行的坐標表示方法，包括點積和叉積。

3.計算方法：講解向量垂直與平行的計算方法，包括坐標表示下的計算和幾何圖形下的計算。

三、鞏固練習（10分鐘）

1.基礎練習：布置與向量垂直與平行相關的計算題，鞏固學生對概念和計算方法的理解。

2.應用練習：設計實際問題，引導學生運用向量垂直與平行的知識解決實際問題。

四、課堂提問（5分鐘）

1.提問環(huán)節(jié)：教師提出與向量垂直與平行相關的問題，引導學生思考。

2.學生回答：請學生回答問題，教師點評并糾正錯誤。

五、師生互動環(huán)節(jié)（10分鐘）

1.小組討論：將學生分成小組，討論向量垂直與平行在立體幾何中的應用，如判斷兩條直線是否平行、計算兩個平面之間的夾角等。

2.小組匯報：每組選派代表進行匯報，教師點評并總結。

六、創(chuàng)新教學環(huán)節(jié)（5分鐘）

1.實驗演示：利用教學軟件或實物模型，展示向量垂直與平行的實際應用，如測量兩個平面之間的夾角。

2.角色扮演：請學生扮演建筑師、工程師等角色，運用向量垂直與平行的知識解決實際問題。

七、課堂小結（5分鐘）

1.回顧重點：總結本節(jié)課的重點內容，包括向量垂直與平行的概念、坐標表示、計算方法等。

2.強調難點：強調本節(jié)課的難點內容，如將向量知識與立體幾何問題相結合、準確運用向量坐標進行計算等。

3.展望應用：引導學生思考向量垂直與平行在生活中的應用，激發(fā)學習興趣。

總用時：45分鐘六、教學資源拓展1.拓展資源：

-向量在物理學中的應用：介紹向量在描述物理量（如力、速度、加速度等）中的重要性，以及向量運算在解決物理問題中的應用。

-向量在計算機圖形學中的應用：探討向量在計算機圖形學中的角色，包括三維圖形的創(chuàng)建、渲染和動畫制作。

-向量在工程學中的應用：分析向量在工程計算中的使用，如結構分析、電路設計、機械設計等領域。

-向量在經濟學中的應用：闡述向量在經濟學中的概念，如投資組合分析、供需分析等。

2.拓展建議：

-閱讀相關書籍：推薦《向量分析與幾何》、《向量在物理學中的應用》等書籍，幫助學生深入了解向量的理論和應用。

-觀看教學視頻：建議學生觀看在線教學視頻，如《向量入門》、《向量在幾何中的應用》等，通過視覺輔助理解抽象概念。

-實踐項目：鼓勵學生參與實踐項目，如制作簡單的三維模型或編程項目，以實際操作加深對向量的理解。

-組織小組討論：組織學生進行小組討論，探討向量在不同學科中的應用，促進知識整合和批判性思維。

-制作教學卡片：讓學生制作向量相關的教學卡片，總結向量概念、性質和計算方法，便于復習和記憶。

-探索立體幾何問題：鼓勵學生探索立體幾何中的復雜問題，如求解空間中兩點間的最短距離、空間圖形的體積計算等，提高空間思維能力。

-參加數學競賽：鼓勵學生參加數學競賽，如向量相關的數學競賽，以提升解題能力和競賽經驗。

-教師指導下的研究性學習：在教師的指導下，讓學生進行研究性學習，探索向量在特定領域的應用，如設計一個基于向量的游戲或模擬實驗。七、典型例題講解1.例題：已知向量$\vec{a}=(3,4)$和$\vec=(1,2)$，求向量$\vec{a}$與$\vec$的點積。

解答：根據點積的定義，$\vec{a}\cdot\vec=3\times1+4\times2=3+8=11$。

2.例題：已知平面$\alpha$上的兩個向量$\vec{u}=(2,3)$和$\vec{v}=(4,6)$，證明這兩個向量垂直。

解答：計算向量$\vec{u}$和$\vec{v}$的點積，$\vec{u}\cdot\vec{v}=2\times4+3\times6=8+18=26$。由于點積不為0，$\vec{u}$和$\vec{v}$不垂直。

3.例題：已知空間中兩個向量$\vec{a}=(1,2,3)$和$\vec=(4,5,6)$，求向量$\vec{a}$與$\vec$的叉積。

解答：根據叉積的定義，$\vec{a}\times\vec=\left|\begin{array}{ccc}

\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\

1&2&3\\

4&5&6\\

\end{array}\right|=(2\times6-3\times5)\mathbf{i}-(1\times6-3\times4)\mathbf{j}+(1\times5-2\times4)\mathbf{k}=-3\mathbf{i}-6\mathbf{j}+3\mathbf{k}$。

4.例題：已知平面$\alpha$的法向量$\vec{n}=(2,1,1)$和平面$\beta$上的一條直線上的向量$\vec{m}=(1,3,5)$，求平面$\alpha$和直線$\vec{m}$的夾角。

解答：由于平面$\alpha$的法向量$\vec{n}$和直線$\vec{m}$的方向向量$\vec{m}$垂直，它們的點積為0，即$\vec{n}\cdot\vec{m}=2\times1+1\times3+1\times5=2+3+5=10$。夾角$\theta$的余弦值為0，因此$\theta=\frac{\pi}{2}$。

5.例題：已知空間中兩個平面$\alpha$和$\beta$的法向量分別為$\vec{n}_\alpha=(1,2,3)$和$\vec{n}_\beta=(4,5,6)$，求兩個平面的夾角。

解答：由于平面$\alpha$和$\beta$的法向量$\vec{n}_\alpha$和$\vec{n}_\beta$的點積可以用來計算兩個平面的夾角$\theta$的余弦值，我們有$\vec{n}_\alpha\cdot\vec{n}_\beta=1\times4+2\times5+3\times6=4+10+18=32$。兩個平面的夾角$\theta$的余弦值為$\cos(\theta)=\frac{32}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{77}}$，從而可以求出$\theta$的具體值。八、內容邏輯關系①本文重點知識點：

-向量的垂直與平行定義

-向量的點積和叉積運算

-向量與立體幾何的關系

②關鍵詞：

-垂直

-平行

-點積

-叉積

-空間向量

③重點句子：

-向量$\vec{a}$和$\vec$垂直的充要條件是$\vec{a}\cdot\vec=0$。

-向量$\vec{a}$和$\vec$平行的充要條件是存在非零實數$k$使得$\vec{a}=k\vec$。

-向量$\vec{a}$和$\vec$的叉積$\vec{a}\times\vec$是一個垂直于$\vec{a}$和$\vec$的向量。教學評價與反饋1.課堂表現：

-學生能夠積極參與課堂討論，對于向量垂直與平行的概念和性質有較好的理解。

-在小組討論中，學生能夠主動提出問題并嘗試解決，體現了良好的合作學習態(tài)度。

-課堂提問環(huán)節(jié)，學生能夠準確回答問題，展示出對知識的掌握程度。

2.小組討論成果展示：

-小組討論成果展示環(huán)節(jié)，各小組能夠清晰闡述討論結果，展示出對向量在立體幾何中應用的理解。

-學生能夠結合實際案例，展示向量在解決幾何問題中的優(yōu)勢，體現了學生的創(chuàng)新思維。

3.隨堂測試：

-隨堂測試覆蓋了向量垂直與平行的定義、坐標表示、計算方法等知識點。

-學生在測試中能夠熟練運用所學知識，解決實際問題，表現出較好的學習效果。

-測試結果反映出學生對重點知識點的掌握程度較高，但也存在對向量運算細節(jié)掌握不足的情況。

4.學生自評與互評：

-學生在課后進行自評和互評，反思自己在課堂上的表現和學習成果。

-學生能夠認識到自己的優(yōu)點和不足，并提出改進措施，如加強向量運算練習、深入研究立體幾何問題等。

5.教師評價與反饋：

-針對學生在課堂上的表現，教師給予積極的評價，鼓勵學生繼續(xù)保持良好的學習態(tài)度。

-對于學生在隨堂測試中出現的問題，教師進行個別輔導，幫助學生解決學習難點。

-教師強調學生在學習過程中要注重基礎知識的學習，加強向量運算的練習，以提高解題能力。

-教師建議學生利用課后時間，結合實際案例，深入理解向量在立體幾何中的應用，提升空間思維能力。

-教師將對學生的學習情況進行跟蹤，及時調整教學策略，確保每位學生都能跟上教學進度。反思改進措施反思改進措施（一）教學特色創(chuàng)新

1.結合實際案例：在講解向量垂直與平行的概念時，我嘗試結合實際生活中的案例，如建筑設計、工程設計等，讓學生更容易理解抽象的數學概念。

2.多媒體輔助教學：利用多媒體技術，通過動畫、圖形等方式展示向量運算的過程，幫助學生直觀地理解向量的幾何意義。

反思改進措施（二）存在主要問題

1.學生對向量運算的熟練度不足：在隨堂測試中，我發(fā)現部分學生在進行向量運算時存在錯誤，這說明他們在日常學習中缺乏足夠的練習。

2.學生空間思維能力有待提高：有些學生在解決立體幾何問題時，空間思維能力較弱，難以將向量知識與實際問題相結合。

3.教學評價方式單一：目前的教學評價主要依靠隨堂測試，缺乏對學生學習過程的全面評價。

反思改進措施（三）改進措施

1.加強向量運算練習：在課堂上，我將增加向量運算的練習環(huán)節(jié)，讓學生通過不斷的練習提高運算