書目

第一部分行程

第一章火車過橋和火車與人的相遇追及問題

其次章火車與火車的相遇與追及問題

第三章流水行船

第四章扶梯問題

其次部分計數(shù)

第一章乘法原理

第二章幾何計數(shù)

第三章加法原理

第四章排列

第五章組合

第三部分幾何

第一章風箏模型和梯形蝴蝶定理

其次章三角形等高模型

第三章鳥頭模型

第四章圖形的分割與拼接

第四部分計算

第一章整數(shù)小數(shù)四則運算

其次章多位數(shù)計算

第三章?lián)Q元法與常用計算結(jié)論

第四章平方差公式和完全平方公式

第五部分應用題

第一章列方程解應用題

第二章一元一次方程解法綜合

第六部分雜題

第一章抽屜原理

其次章統(tǒng)籌規(guī)劃

第三章嬉戲與策略

第一部分

行程

窣酵善間版四

火車過橋常見題型及解題方法

（一）、行程問題基本公式：路程=速度X時間

總路程=平均速度X總時間：

（二）、相遇、追及問題：速度和X相遇時間=相遇路程

速度差X追剛好間:追及路程；

（三）、火車過橋問題

1、火車過橋（隧道）：一個有長度、有速度，一個有長度、但沒速度，

解法：火車車長+橋（隧道）長度（總路程）=火車速度x通過的時間；

2、火車+樹（電線桿）：一個有長度、有速度，一個沒長度、沒速度，

解法：火車車長（總路程）=火車速度X通過時間；

2、火車+人：一個有長度、有速度，一個沒長度'但有速度，

（1）、火車+迎面行走的人：相當于相遇問題，

解法：火車車長（總路程）=（火車速度+人1t勺速度）義迎面錯過的時間：

（2）火車+同向行走的人：相當于追及問題，

解法：火車車長（總路程）=（火車速度一人的速度）X追及的時間；

（3）火車+坐在火車上的人：火車與人的相遇和追及問題

解法：火車車長（總路程）=（火車速度土人的速度）X迎面錯過的時間（追及

的時間）；

4、火車十火車：一個有長度、有速度，一個也有長度、有速度,

（1）錯車問題：相當于相遇問題，

解法：快車車長+慢車車長（總路程）=（快車速度+慢車速度）X錯車時間:

（2）超車問題：相當于追及問題，

解法：快車車長+慢車車長（總路程）=（快車速度一慢車速度）X錯車時間;

對于火車過橋、火車和人相遇、火車追及人以及火車和火車之間的相遇、追及等等這幾種類

型的題目，在分析題目的時候肯定得結(jié)合著圖來進行。

【例1】一列火車長200米，以60米每秒的速度前進，它通過一座220米長的大橋用時多

少？

【鞏固】一列火車長360米，每秒鐘行駛16米，全車通過一條隧道須要90秒鐘，求這條隧

道長多少米？

火車<________隧道長？-------?火車

火車行駛路程

［例2］四、五、六3個年級各有100名學生去春游，都分成2歹ij（豎排）并列行進.四、五、

六年級的學生相鄰兩行之間的距離分別是1米、2米、3米，年級之間相距5米.他

們每分鐘都行走90米，整個隊伍通過某座橋用4分鐘，那么這座橋長米.

【鞏固】一個車隊以6米/秒的速度緩緩通過一座長250米的大橋，共用152秒.已知每

輛車長6米，兩車間隔10米.問：這個車隊共有多少輛車？

【例3］小紅站在鐵路旁，一列火車從她身邊開過用了21秒.這列火車長63（）米，以同樣

的速度通過一座大橋，JU/1.5分鐘.這座大橋長多少米？

【鞏固】小胖用兩個秒表測一列火車的車速。他發(fā)覺這列火車通過一座660米的大橋須要

40秒，以同樣速度從他身邊開過須要10秒，請你依據(jù)小胖供應的數(shù)據(jù)算出火車的

車身長是米。

［例4］小英和小敏為了測量飛駛而過的火車速度和車身長，他們拿了兩塊跑表.小英用一

塊表登記了火車從她面前通過所花的時間是15秒;小敏用另一塊表登記了從車頭

過第一根電線桿到車尾過其次根電線桿所花的時間是20秒.已知兩電線桿之間的

距離是100米.你能幫助小英和小敏算出火車的全長和時速嗎

【鞏固】一條隧道長360米，某列火車從車頭入洞到全車進洞用了8秒鐘，從車頭入海到全

車出洞共用了20秒鐘。這列火車長多少米？.

［例5］已知某鐵路橋長l（XX）米，一列火車從橋上通過，測得火車從起先上橋到完全下橋

共用120秒，整列火車完全在橋上的時間為80秒，求火車的速度和長度？

【鞏固】已知一列長200米火車，穿過一個隧道，測得火車從起先進入隧道到完全出來共用

60秒，整列火車完全在隧道里面的時間為40秒，求火車的速度？

［例6］一列火車長152米，它的速度是每小時63.36公里，一個人與火車相向而行，全列

火車從他身邊開過用8秒鐘，這個人的步行速度是每秒米.

【鞏固】柯南以3米/秒的速度沿著鐵路跑步，迎面開來一列長147米的火車，它的行駛速

度是18米/秒，問：火車經(jīng)過柯南身旁的時間是多少？

［例7］李云靠窗坐在一列時速60千米的火車里，看到一輛有30節(jié)車廂的貨車迎面駛來,

當貨車車頭經(jīng)過窗口時，他起先計時，直到最終一節(jié)車廂駛過窗口時，所計的時間

是18秒.已知貨車車廂長15.8米，車廂間距1.2米，貨車車頭長10米.問貨車

行駛的速度是多少？

【鞏固】鞏固兩列火車相向而行，甲車每時行48千米，乙車每時行6()千米，兩車錯車時，

甲車上?乘客從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時起先計時，到車尾經(jīng)過他的車窗共用13

秒。問：乙車全長多少米？

［例8］一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長是280米，慢車的車長是385米，坐在

快車上的人望見慢車駛過的時間是11秒，那么坐在慢車上的人望見塊車駛過的時

間是多少秒？

【鞏固】鐵路途旁有一沿鐵路方向的馬路,在馬路上行駛的一輛拖拉機司機望見迎面駛來的

一列火車從車頭到車尾經(jīng)過他身旁共用15秒，已知火車速度為72千米/小時，全

長435米，求拖拉機的速度？

［例9］一列客車以每秒72米的速度行進，客車的司機發(fā)覺迎面開來一列貨車，速度是每秒

54千米,這列貨車從他身邊駛過共用r8秒.求這列火車的長

【鞏固】兩列火車相向而行，甲車每小時行36千米，乙車每小時行54千米.兩車錯車時，

甲車上一乘客發(fā)覺:從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時起先到乙車車尾經(jīng)過他的車窗共用

了14秒，求乙車的車長.

【例10】小張沿著一條與鐵路平行的筆直小路行走，這時有一列長460米的火車從他背后

開來，他在行進中測出火車從他身邊通過的時間是20秒，而在這段時間內(nèi)，他行

走了40米.求這列火車的速度是多少？

【鞏固】小明沿著一條與鐵路平行的筆直的小路由南向北行走，這時有一列長825米的火車

從他背后開來，他在行進中測出火車從他身邊通過的時間是30秒，而在這段時間

內(nèi)，他行走了75米.求這列火車的速度是多少？

【隨練1】一列火車經(jīng)過南京長江大橋，大橋長6700米，這列火車長100米，火車每分鐘行

400米，這列客車經(jīng)過長江大橋須要多少分鐘？

火車行駛路程

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【隨練2】一座鐵路橋長I2(X)米，一列火車開過大橋須要75秒，火車開過路旁一信號桿須

要15秒，求火車的速度和車身長

【隨練3】已知某鐵路橋長960米，一列火車從橋上通過，測得火車從起先上橋到完全下橋

共用100秒，整列火車完全在橋上的時間為60秒，求火車的速度和長度？

【隨練4】小明在鐵路旁邊沿鐵路方向的馬路上漫步，他漫步的速度是2米/秒，這時從他后

面開過來一列火車，從車頭到車尾經(jīng)過他身旁共用了21秒.已知火車全長336米,

求火車的速度.

火車過橋常見題型及解題方法

（一）、行程問題基本公式：路程=速度X時間

總路程=平均速度X總時間；

（二）、相遇、追及問題：速度和X相遇時間=相遇路程

速度差X追剛好間=追及路程；

（三）、火車過橋問題

1、火車過橋（隧道）：一個有長度、有速度，一個有長度、但沒速度，

解法：火車車長+橋（隧道）長度（總路程）=火車速度x通過的時間；

2、火車十樹（電線桿）：一個有長度、有速度，一個沒長度、沒速度，

解法：火車車長（總路程）=火車速度X通過時間；

2、火車+人：一個有長度、有速度，一個沒長度,但有速度，

（1）、火車+迎面行走的人：相當于相遇問題，

解法：火車車長（總路程）=（火車速度+人的速度）X迎面錯過的時間；

（2）火車+同向行走的人：相當于追及問題，

解法：火車車長（總路程）=（火車速度一人的速度）X追及的時間；

（3）火車+坐在火車上的人：火車與人的相遇和追及問題

解法：火車車長（總路程）=（火車速度土人的速度）X迎面錯過的時間（追及

的時間）;

4、火車+火車：一個有長度、有速度，一個也有長度、有速度,

（1）錯車問題：相當于相遇問題，

解法：快車車長+慢車車長（總路程）=（快車速度+慢車速度）X錯車時間;

（2）超車問題：相當于追及問題，

解法：快車車長+慢車車長（總路程）=（快車速度一慢車速度）X錯車時間;

對于火車過橋、火車和人相遇、火車追及人以及火車和火車之間的相遇、追及等等這幾種類

型的題目，在分析題目的時候肯定得結(jié)合著圖來進行。

【例11】快車A車長120米，車速是20米/秒，慢車8車長140米，車速是16米/秒。慢車

B在前面行駛，快車A從后面追上到完全超過須要多少時間？

【鞏固】慢車的車身長是142米，車速是每秒17米，快車車身長是173米，車速是每秒22,

慢車在前面行駛，快車從后面追上到完全超過慢車須要多少時間

【例12】有兩列火車，一列長102米,每秒行20米;一列長120米,每秒行17米.兩車同向而

行，從第一列車追及其次列車到兩車離開須要幾秒？

【鞏固】有兩列火車，一列長200米，每秒行32米；一列長340米，每秒行20米.兩車同

向行駛，從第一列車的車頭追及其次列車的車尾，到第一列車的車尾超過其次列車

的車頭，共需多少秒？

【例13】一列長72米的列車，追上長108米的貨車到完全超過用了10秒，假如貨車速度

為原來的1.4倍，那么列車追上到超過貨車就須要15秒。貨車的速度是每秒多少

米？

【鞏固】一列長72米的列車，追上長108米的貨車到完全超過用了10秒，假如列車速度削

減：，那么列車追上到超過貨車就須要15秒。列車的速度是每秒多少米？

【例14】從北京開往廣州的列車長350米，每秒鐘行駛22米，從廣州開往北京的列車長

280米，每秒鐘行駛20米，兩車在途中相遇，從車頭相遇到車尾離開須要多少秒

鐘？

【鞏固】一列客年長190米，一列貨年長240米，兩年分別以每秒20米和23米的速度相向

行進，在雙軌鐵路上，兩車從車頭相遇到車尾相離共須要多少時間.

【例15】從北京開往廣州的列車長200米，每秒鐘行駛30米，從廣州開往北京的列車每秒

鐘行駛20米，兩車在途中相遇，從車頭相遇到車尾離開須要9秒鐘，從廣州開往

北京的列車長多少米？

【鞏固】一列客車長150米，一列貨車長210米，速度為每秒30米，在雙軌鐵路上，兩車

從車頭相遇到車尾相離共須要3秒，客車車速為多少？

【例16］快車長106米，慢車長74米，兩車同向而行，快車追上慢車后，又經(jīng)過1分鐘才

超過慢車；假如相向而行，車頭相接后經(jīng)過12秒兩車完全離開。求兩列火車的速

度。

【鞏固】長180米的客車速度是每秒15米，它追上并超過長100米的貨車用了28秒，假如

兩列火車相向而行，從相遇到完全離開須要多少時間？

【例17】有兩列同方向行駛的火車，快車每秒行33米：慢車每秒行21米.假如從兩車頭

對齊起先算，則行20秒后快車超過慢車；假如從兩車尾對齊起先算，則行25秒后

快車超過慢車.那么，兩車長分別是多少？假如兩車相對行駛，兩車從車頭重疊起

到車尾相離須要經(jīng)過多少時間？

【鞏固】現(xiàn)有兩列火車同時同方向齊頭行進，行12秒后決車超過慢車.快車每秒行18米，慢

車每秒行1()米.假如這兩列火車車尾相齊同時同方向行進，則9秒后快車超過慢車,

求當快車車頭追上慢車車尾到快車車尾離開慢車車頭的時間.

【例18】快車長182米,每秒行20米,慢車長1034米,每秒行18米.兩車同向并行，當快車

車尾接慢車車尾時\求快車穿過慢車的時間

【例19】甲乙兩列火車，甲車每秒行22米，乙車每秒行16米，若兩車齊頭并進，則甲車行30

秒超過乙車;若兩車齊尾并進，則甲車行26秒超過乙車.求兩車各長多少米

【鞏固】長180米的客車速度是每秒15米，它追上并超過長100米的貨車用了28秒，假如兩

列火車相向而行，從相遇到完全離開須要多長時間？

【例20】某列車通過25Q米長的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，若該列車與

另一列長150米時速為72千米的列車相遇，錯車而過須要幾秒鐘？

【鞏固】某列火車通過342米的隧道用了23秒，接著通過234米的隧道用了17秒，這列火

車與另一列長88米，速度為每秒22米的列車錯車而過，問須要幾秒鐘？

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【隨練5】一列長100米的列車，追上長150米的貨車到完全超過用了5秒，假如貨車速度

為原來的2倍，那么列車追上到超過貨車就須要10秒。貨車的速度是每秒多少

米？

【隨練6】兩列火車,一列長120米,每秒行20米；另一列長160米,每秒行15米,兩車相向而

行,從車頭相遇到車尾離開須要幾秒鐘

【隨練7】長120米的客車速度是每80米，它追上并超過長180米的貨車用了5秒，假如兩

列火車相向而行，從相遇到完全離開須要多少時間？

【隨練8】某列火車通過1000米的隧道用了20秒，接著通200米的隧道用了10秒，這列火

車與另一列長200米，速度為每秒20米的列車錯車而過，問須要幾秒鐘？

一、參考系速度

通常我們所接觸的行程問題可以稱作為“參考系速度為（）”的行程問題，例如當我

們探討甲乙兩人在一段馬路上行走相遇時，這里的參考系便是馬路，而馬路本身是沒

有速度的，所以我們只須要考慮人本身的速度即可。

二參考系速度一一“水速”

但是在流水行船問題中，我們的參考系將不再是速度為。的參考系，因為水本身

也是在流淌的，所以這里我們必需考慮水流速度對船只速度的影響，詳細為：

①水速度:船速+水速；②逆水速度二船速-水速。（可理解為和差問題）

由上述兩個式子我們不難得出一個有用的結(jié)論：

船速=（順水速度+逆水速度）4-2；

水速=（順水速度-逆水速度）4-2

此外，對于河流中的漂移物，我們還會常常用到一個常識性性質(zhì)，即：漂移物速

度二流水速度。

三、流水行船問題中的相遇與追及

①兩只船在河流中相遇問題，當甲、乙兩船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向開出：

甲船順水速度十乙船逆水速度=（甲船速十水速）十（乙船速-水速）=甲船船速十乙船船速

②同樣道理，假如兩只船，同向運動，一只船追上另一只船所用的時間，與水速無關.

甲船順水速度-乙船順水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）二甲船速-乙船速

也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）二甲船速-乙船速.

說明：兩船在水中的相遇與追及問題同靜水中的及兩車在陸地上的相遇與追及問題一樣，與

水速沒有關系.

ZBn

［例21］一艘每小時行25千米的客輪，在大運輸河中順水航行140千米，水速是每小時3

千米，須要行幾個小時？

【鞏固】某船在靜水中的速度是每小時15千米，它從上游甲地開往下游乙地共花去了8小

時，水速每小時3千米，問從乙地返回甲地須要多少時間？

［例22］一只小船在靜水中的速度為每小時25千米.它在長144千米的河中逆水而行用

了8小時.求返回原處需用幾個小時？

【鞏固】一只小船在靜水中速度為每小時30千米.它在長176千米的河中逆水而行用了11

小時.求返回原處需用幾個小時？

【例23】兩個碼頭相距352千米，一船順流而下，行完全程須要11小時.逆流而上，行完

全程須要16小時，求這條河水流速度。

【鞏固】光明號漁船順水而下行200千米要10小時，逆水而上行120千米也要10小時.那

么，在靜水中航行320千米須要多少小時？

【例24］一位少年短跑選手，順風跑90米用了10秒，在同樣的風速下逆風跑70米，也用

了10秒，則在無風時他跑100米要用秒.

【鞏固】輪船從月城到H城需行3天，而從8城到力城需行4天。從月城放一個無動力的木

筏，它漂到〃城需多少天？

【例25】一艘輪船在兩個港口間航行，水速為每小時6千米,順水下行須要4小時，返回

上行須要7小時.求：這兩個港口之間的距離

【鞏固】輪船用同一速度來回于兩碼頭之間，它順流而下行了8個小時，逆流而上行了10小

時，假如水流速度是每小時.3千米，兩碼頭之間的距離是多少千米？

【例26］乙船順水航行2小時，行了120千米，返回原地用了4小時.甲船順水航行同一段

水路，用了3小時.甲船返回原地比去時多用了幾小時

【鞏固】一只船在河里航行，順流而下每小時行18千米.已知這只船下行2小時恰好與上

行3小時所行的路程相等.求船速和水速.

【例27］力、夕兩碼頭間河流長為220千米，甲、乙兩船分別從力、A碼頭同時起航.假

如相向而行5小時相遇，假如同向而行55小時甲船追上乙船.求兩船在靜水中

的速度.

【鞏固】甲、乙兩船從相距64千米的4、8兩港同時動身相向而行，2小時相遇：若兩船

同時同向而行，則甲用16小時趕上乙.問：甲、乙兩船的速度各是多少？

【例28］甲、乙兩船的船速分別為每小時17千米和每小時13千米.兩船先后從同一港口

順水開出，乙船比甲船早動身3小時，，假如水速是每小時3千米，問：甲船開出

后幾小時能追上乙船？

【鞏固】甲、乙兩艘游艇，靜水中甲艇每小時行3.3千米，乙艇每小時行2.1千米.現(xiàn)在甲、

乙兩游艇于同一時刻相向動身，甲艇從下游上行，乙艇從相距27千米的上游下行，

兩艇于途中相遇后，又經(jīng)過4小時，甲艇到達乙艇的動身地.水流速度是每小時

千米.

【例29】甲、乙兩艘小漩艇，靜水中甲艇每小時行2.2千米，乙艇每小時行1.4千米.現(xiàn)甲、

乙兩艘小游艇于同一時刻相向動身，甲艇從下游上行，乙艇從相距18千米的上游

下行，兩艇于途中相遇后，又經(jīng)過4小時，甲艇到達乙艇的動身地.問水流速度為

每小時多少千米？

【鞏固】學學和思思各開一艘游艇,靜水中學學每小時行3.3千米,思思每小時行2.1千米。

現(xiàn)在兩游艇于同?時刻相向動身，學學從下游上行，思思從相距27千米的上游下

行，兩艇于途中相遇后，又經(jīng)過4小時，學學到達思思的動身地。水流速度是每小

時千米。

［例30］某人暢游長江，逆流而上，在A處丟失一只水壺，他向前又游了20分鐘后，才發(fā)

覺丟失了水壺，馬上返回追尋，在離A處2千米的地方追到，則他返回尋水壺用了

多少分鐘？

【鞏固】小剛和小強租一條小船，向上游劃去，不慎把水壺掉進江中，當他們發(fā)覺并請過船

頭時，水壺與船已經(jīng)相距2千米，假定小船的速度是每小時4千米，水流速度是每

小時2千米，那么他們追上水壺須要多少時間？

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【隨練9】甲、乙兩港間的水路長208千米，一只船從甲港開往乙港，順水8小時到達，從

乙港返1可甲港，逆水13小時到達，求船在靜水中的速度和水流速度。

【隨練10】甲、乙兩船在睜水中速度相同，它們同時自河的兩個碼頭相對開出，3小時后相

遇.已知水流速度是4千米/時.求：相遇時甲、乙兩船航行的距離相差多少千

米？

【隨練11】A、4兩碼頭間河流長為90千米，甲、乙兩船分別從A、5碼頭同時起航.假

如相向而行3小時相遇，假如同向而行15小時甲船追上乙船.求兩船在靜水中的

速度.

【隨練12】某河有相距45千米的上下兩港，每天定時有甲乙兩船速相同的客輪分別從兩港

同時動身相向而行，這天甲船從上港動身掉下一物，此物浮于水面順水漂下，4分

鐘后與甲船相距1千米，預料乙船動身后兒小時可與此物相遇。

后皚松自照

1.對扶梯問題中順（逆）扶梯速度、扶梯速度、人II勺速度的理解。

2.在扶梯的相遇與追及問題中引入消元思想。

3.解決行程問題時畫線段圖可以幫助解題。

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一、扶梯問題說明

扶梯問題與流水行船問題特別相像，區(qū)分只在與這里的速度并不是我們常見的“千米每

小時”，或者“米每秒”，而是“每分鐘走多少個臺階”，或是“每秒鐘走多少個臺階”。

從而在扶梯問題中''總路程”并不是求扶梯有多少“千米”或者多少“米”，而是求扶梯的

“靜止時可見臺階總數(shù)”。

二、扶梯問題解題關鍵

①當人順著扶梯的運動方向走臺階時，相當與流水行船中的“順水行駛”，這里的水

速就是扶梯自身的臺階運行速度。有：人的速度+扶梯速度二人在扶梯上的實際速度

扶梯靜止可見臺價總數(shù):時間X人速+時間義扶梯速=人走的臺階數(shù)+扶梯自動

運行的臺階數(shù)

②當人沿著扶梯逆行時，有：人的速度-扶梯速度=人在扶梯上的實際速度

扶梯靜止可見臺階總數(shù):時間X人速-時間X扶梯速=人走的臺階數(shù)-扶梯自

動運行的臺階數(shù)。

1

【例1】小明站著不動乘電動扶梯上樓需30秒，假如在乘電動扶梯的同時小明接著向上走

需12秒，那么電動扶梯不動時，小明徒步沿扶梯上樓需多少秒？

【鞏固】假如在乘電動扶梯的同時小明接著向上走需12秒到達樓上，假如在乘電動扶梯的

同時小明逆著向下走需24秒到達樓下(千萬別仿照！)，那么電動扶梯不動時，小

明徒步沿扶梯上樓需多少秒？

【例2】在地鐵車站中，從站臺到地面有一架向上的自動扶梯.小強乘坐扶梯時，假如每

秒向上邁一級臺階，那么他走過20級臺階后到達地面；假如每秒向上邁兩級臺階,

那么走過30級臺階到達地面.從站臺到地面有級臺階.

【鞏固】在地鐵車站中，從站臺到地面架設有向上的自動扶梯.小強想逆行從上到下，假如

每秒向下邁兩級臺階，那么他走過100級臺階后到達站臺；假如每秒向下邁三級臺

階，那么走過75級臺階到達站臺.自動扶梯有多少級臺階

［例3］小丁在捷運站搭一座電扶梯下樓.假如他向二走14階，則需時30秒即可由電扶

梯頂?shù)竭_底部；假如他向下走28階，則需時18秒即可由電扶梯頂?shù)竭_底部.請

問這座電扶梯有幾階？

【例4】自動扶梯以勻稱的速度山下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓，己知男

孩每分走2()級，女孩每分走15級，結(jié)果男孩用了5分到達樓上，女孩用了6分到

達樓上.問該扶梯露在外面的部分共有多少級？

【鞏固】小志與小剛在電梯上的行走速度分別為每秒2個臺階和每秒3個臺階，電梯運行

后，他倆沿電梯運行方向的相同方向從一樓走上二樓，分別用時28秒和20秒，那

么小志攀登靜止的電梯須要用時多少秒？

［例5］商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個孩子在行駛的扶梯上上下走動，女孩

由下往上走，另孩由上往下走，結(jié)果女孩走f40級到達樓上，男孩走了80級到

達樓下.假如男孩單位時間內(nèi)走的扶梯級數(shù)是女孩的2倍，則當該扶梯靜止時，

可看到的扶梯梯級有多少級？

【鞏固】商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個孩子在行駛的扶梯上上下走動，女孩由

下往上走，男孩由上往下走，結(jié)果女孩走了40級到達樓上，男孩走了80級到達樓

下.假如男孩單位時間內(nèi)走的扶梯級數(shù)是女孩的3倍，則當該扶梯靜止時，可看到

的扶梯梯級有多少級？

【例1】商場里，小明從正在向上移動的自動樓梯頂部下120級臺階到達底部，然后從底

部上90級臺階回到頂部.自動樓梯從底部到頂部的臺階數(shù)是不變的，假設小明單

位時間內(nèi)下的臺階數(shù)是他上的臺階數(shù)的2倍.則該自動樓梯從底到頂?shù)呐_階數(shù)

為.

【例2】小調(diào)皮乘正在下降的自動扶梯下樓，假如他一級一級的走下去，從扶梯的上端走

到下端須要走36級.假如小調(diào)皮沿原自動扶梯從下端走到上端(很危急哦，不要

效仿!)，須要用下樓時5倍的速度走6()級才能走到上端.請問這個自動扶梯在靜

止不動時有多少級

【例3】甲在商場中乘自動扶梯從一層到二層，并在順扶梯運行方向向上走，同時乙站在

速度相等的并排扶梯從二層到一層.當甲乙處于同一高度時，甲反身向下走，結(jié)

果他走了60級到達一層.假如他到了頂端再從“上行扶梯”返回，則要往下走80

級.那么，自動扶梯不動時甲從下到上要走多少級？

【隨練1】自動扶梯由下向上勻速運動，每兩秒想上移動1級臺階。康康沿扶梯想上行走，

每秒走兩級臺階。已知自動扶梯的可見部分共120級，康康沼扶梯向上走，從底

部走到頂部的過程中，他共走了多少級臺階？

【隨練2】自動扶梯由下向上勻速運動，甲從頂部向下走究竟部，共走了150級；乙從底部

向上走到頂部，共走了75級。假如甲的速度是乙速度的3倍，那么扶梯可見部

分共有多少級？

【隨練3】自動扶梯以勻稱的速度向上行駛，一男孩和一女孩同時從自動扶梯向上走，男孩

的速度是女孩的2倍，已知男孩走了27級到之扶梯頂部，而女孩走了18級到達

頂部，問扶梯露在外面的部分有多少級？

其次部分

計數(shù)

（1）懂得并運用加法乘法原理來解決問題，

（2）駕馭常見的計數(shù)方法，會運用這些方法來解決問題

魏繪胸

一、乘法原理

我們在完成一件事時往往要分為多個步驟，每個步驟又有多種方法，當計算一共有多

少種完成方法時就要用到乘法原理.

乘法原理：一般地，假如完成一件事須要n個步驟，其中，做第一步有此種不同的方

法，做其次步有吸種不同的方法，…，做第n步有小種不同的方法，則完成這件事一共有

加叫乂叱乂…Xn1n種不同的方法.

乘法原理運用的范圍：這件事要分幾個彼此互不影響的獨立步驟來完成，這幾步是完

成這件任務缺一不行的，這樣的問題可以運用乘法原理解決.我們可以簡記為：“乘法分步,

步步相關”.

二、乘法原理解題三部曲

1、完成一件事分"個必要步驟；

2、每步找種數(shù)（每步的狀況都不能單獨完成該件事）；

3、步步相乘

三、乘法原理的考題類型

1、路途種類問題一一比如說從A地到B地有三種交通方式，從B地到C地有2科交通

方式，問從A地到C地有多少種乘車方案；

2、字的染色問題一一比如說要3個字，然后有5種顏色可以給每個字然后，問3個字

有多少種染色方法；

3、地圖的染色問題一一同學們可以回家看地圖，比如中國每個省的染色狀況，給你幾

種顏色，問你一張包括幾個部分的地圖有幾種染色的方法；

4、排隊問題一一比如說6個同學，排成一個隊伍，有多少種排法；

5、數(shù)碼問題一一就是對一些數(shù)字的排列，比如說給你幾個數(shù)字，然后排個幾位數(shù)的偶

數(shù)，有多少種排法.

國肥彘

(1)駕馭加法乘法原理

(2)嫻熟運用加乘方法

(3)解決加乘及計數(shù)綜合性題目

【例1］馬戲團的小丑有紅、黃、藍三頂帽子和黑、白兩雙鞋，他每次出場演出都要戴一

頂帽子、穿一雙鞋.問：小丑的帽子和鞋共有幾種不同搭配？

【鞏固】康康到食堂去買飯，主食有三種，副食有五種，他主食和副食各買一種，共有多少

種不同的買法？

［例2］從甲地到乙地有2條路，從乙地到丙地有3條路，從丙地到丁地也有2條路.問：

從甲地經(jīng)乙、內(nèi)兩地到J地，共有多少種小同的走法？

【鞏固】郵遞員投遞郵件由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條，那么

郵遞員從A村經(jīng)8村去C村，共有多少種不同的走法？

【例3］5種不同顏色的筆來寫“智康教化”這幾個字，相鄰的字顏色不同，共有多少種

寫法？

【鞏固】“IMO”是國際數(shù)學奧林匹克的縮寫，把這3個字母寫成三種不同顏色.現(xiàn)在有五

種不同顏色的筆，按上述要求能寫出多少種不同顏色搭配的“IMO”？

［例4］如下圖，A,B,C,D,E五個區(qū)域分別用紅、黃、藍、白、黑五種顏色中的某一

種染色，要使村鄰的區(qū)域染不同的顏色，共有多少種不同的染色方法？

BD

【鞏固】用四種顏色給右圖的五塊區(qū)域染色，要求每塊區(qū)域染一種顏色，相鄰的區(qū)域染不同

的顏色.問：共有多少種不同的染色方法？

【例1］從全班20人中選出3名學生排隊，一共有多少種排法？

【鞏固】假如將四面顏色不同的小旗子掛在一根繩子上，組成一個信號，那么這四面小旗子

可組成種不同的信號。

【例2】五位同學扮成奧運會祥瑞物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演

節(jié)目.假如貝貝和妮妮不相鄰，共有多少種不同的排法？

【鞏固】1（）個人圍成一I卷，從中選出三個人，其中恰有兩人相鄰，共有多少種不同選法？

【例3】（D由3、6、9這3個數(shù)字可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？

⑵由3、6、9這3個數(shù)字可以組成多少個三位數(shù)？

【鞏固】⑴由數(shù)字1、2可以組成多少個兩位數(shù)？

⑵由數(shù)字1、2可以組成多少個沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)？

【例4】用數(shù)字0,1,2,3,4可以組成多少個：

⑴三位數(shù)？

⑵沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？

【鞏固】由四張數(shù)字卡片：0,2,4,6可以組成個不同的三位數(shù)。

【例5】有五張卡，分別寫有數(shù)字1、2、4、5、8.現(xiàn)從中取出3張卡片，并排放在一起,

組成一個三位數(shù)，問：可以組成多少個不同的偶數(shù)？

【鞏固】有5張卡，分別寫有數(shù)字2,3,4,5,6.假如允許6可以作9用，那么從中隨意

取出3張卡片，并排放在一起.問：⑴可以組成多少個不同的三位數(shù)？⑵可以組

成多少個不同的三位偶數(shù)？

［例6］北京到上海之間一共有6個站，車站應當準備多少種不同的車票？（來回車票算不

同的兩種）

【鞏固】一條線段上除了兩個端點還有6個點，那么這段線段上可以有多少條線段？

程菖隱蒯

【隨練4】要從四年級六個班中評比出學習和體育先進集體各一個（不能同時評一個班）,

共有多少種不同的評比結(jié)果？

【隨練5】如下圖所示，從A地去B地有5種走法，從B地去C地有3種走法，那么李明

從A地經(jīng)8地去。地有多少種不同的走法？

【隨練6】有6種不同顏色的筆，來寫“學習變更命運”這六個字，要求相鄰字的顏色不能相

同，有多少種不同的方法?

第三章幾何計數(shù)

2^第間繪奧

一、公式計算法

幾何計數(shù)內(nèi)容很廣，包括數(shù)線段的條數(shù)，角的個數(shù)，長方形、正方形、三角形、平

行四邊形、梯形等圖形的個數(shù)，也包括數(shù)立體圖形的個數(shù)。

圖形的計數(shù)?般有兩種思索方法：公式計算法和分類計數(shù)法。三年級學習的線段、

長方形和正方形的計數(shù)就屬于公式計算法。

(1)一條線段有兩個端點，若這條線段上有n個點，那么線段總數(shù)是

(n-1)4-(n+2)+…+3+2+1

(2)假如一個長方形的長邊上有n個小格，寬邊上有m個小格，那么長方形的總數(shù)是

(1+2+3+…+n)X(l+2+-+m)

(3)假如把正方形各邊都n等分，那么正方形的總數(shù)是

n12+(n-1)24-(n-2)2+-+32+22+12

上面計算線數(shù)的方法也可用于計算角的個數(shù)，而且，依據(jù)這些計數(shù)方法在以后還可以類

推出立體圖形的計算方法，

對應法

將難以計數(shù)的數(shù)量與某種可計量的事物聯(lián)系起來，只要能建立一一對應的關系，那么這

兩種事物在數(shù)量上是相同的.事實上插入法和插板法都是對應法的一種表現(xiàn)形式.

(1)分類數(shù)圖形。

(2)對應法數(shù)圖形。

ZB

-、分類數(shù)圖形

［例1］下圖的兩個圖形（實線）是分別用10根和16根單位長的小棍圍成的.假女「按此

規(guī)律（每一層匕上面一層多擺出兩個小正方形）圍成的圖形共用了60多根小棍,

那么圍成的圖形有幾層，共用了多少根小棍？

【鞏固】如圖所示，用長亞相同的火柴棍擺成3x1996的方格網(wǎng)，其中每個小方格的邊都由

一根火柴棍組成，那么一共需用多少根火柴棍

［例2］圖中有個正方形.

【鞏固】數(shù)一數(shù)：圖中共有個正方形。

［例3］右圖中三角形共有個.

【鞏固】數(shù)一數(shù)圖中有個三角形.

［例4］圖中共有多少個三角形？

【鞏固】下圖是由邊長為1的小三角形拼成，其中邊長為4的三角形有個。

［例5］如圖，每個小正方形的面積都是1平方厘米。則在此圖中最多可以畫出

個面積是4平方厘米的格點正方形（頂點都在圖中交叉點上的正方形）。

【鞏固】圖中的每個小方格都是面枳為1的正方形，面枳為2的矩形有個。

二、對應法數(shù)圖形

［例6］在8x8的方格棋盤中，取出一個由三個小方格組成的"”形（如圖），一共有多少

種不同的方法？

m

【例7】在8x8的黑白相間染色的國際象棋棋盤中，以網(wǎng)格線為邊的、恰包含兩個白色小

方格與一個黑色小方格的長方形共有多少個？

【鞏固】用一張如圖所示的紙片蓋住6x6方格表中的四個小方格，共有多少種不同的放置

方法？

B

三、幾何計數(shù)綜合

［例8］如圖，連接一個正六邊形的各頂點.問圖中共有多少個等腰三角形（包括等邊三角

形）？

【鞏固】如右圖是一個跳棋棋盤，請你算算棋盤上共有多少個棋孔?

［例9］如圖所示，在直線A8上有7個點，直線。。上有9個點.以A8上的點為一個端

點，CD上的點為另一個端點的全部線段中，隨意3條線段都不相交于同一個點，

求全部這些線段在AB與CO之間的交點數(shù).

【鞏固】圖中可數(shù)出的三角形的個數(shù)為

【例10】用9個釘子釘成相互間隔為1厘米的正方陣（如右圖）.假如用一根皮筋將適當?shù)?/p>

三個釘子連結(jié)起來就得到一個三角形，這樣得到的三角形中，面積等于1平方厘

米的三角形的個數(shù)有多少？面積等于2平方，里米的三角形有多少個?

【鞏固】下圖中的正方形被分成9個相同的小正方形，它們一共有16個頂點（共同的頂點

算一個），以其中不在一條直線上的3個點為頂點，可以構(gòu)成三角形.在這些三角

形中，與陰影三角形有同樣大小面積的有多少個？

【例11】一張長方形紙片，長是寬的2倍，先對折成正方形，再對折成長方形，再對折成

正方形,，共對折7次，將紙打開展平，數(shù)一數(shù)用折痕分割成的正方形共有

多少個？

【鞏固】將正方形紙片由下往上對折，再由左向右對折，稱為完成一次操作.按上述規(guī)則完

成五次操作后，剪去所得的小正方形的左下角.問：當綻開這張正方形紙后，一共

有多少個小洞孔?

【例12】一個圓上有12個點4,4,…，4口以它們?yōu)轫旤c連三角形，使每個

點恰好是一個三角形的頂點，且各個三角形的邊都不相交.問共有多少種不同的

連法

【隨練7】數(shù)一數(shù)，圖中有.個三角形,

【隨練8】用3根等長的火柴可以擺成一個等邊三角形.如圖用這樣的等邊三角形拼合成一

個更大的等邊三角形.假如這個大等邊三角形的每邊由20根火柴組成，那么一共

要用多少根火柴

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A.一△

哈慣短質(zhì)

4.使學生駕馭加法原理的基本內(nèi)容；

5.培育學生分類探討問題的實力，了解分類的主要方法和遵循的主要原則.

6.理解標數(shù)法

加法原理的數(shù)學思想主旨在于分類探討問題，教授本講的目的也是為了培育學生分類探

討問題的習慣，熬煉思維的周全細致.

等滲間給能

加法原理

在生活中做一件事情的時候常常會有幾類不同的方法，而每一類方法中，又有幾種可能

的做法。那么，考慮完成這件事情全部可能的做法，就要用我們將探討的加法原理來解決。

例如；春節(jié)期間康康要從北京去天津看奶奶。他可以乘火車也可以乘長途汽車，現(xiàn)在知

道每天有五次火車從北京到天津，有四趟長途汽車從北京到天津。那么他在一天中去天津能

有多少種不同的走法？

分析這個問題發(fā)覺，康康去天津要么乘火車，要么乘長途汽車，有兩大類走法：第一類

乘火車，有五種走法；其次類乘汽車，有四種走法。上面的每一種走法都可以從北京到天津,

故有5+4=9種不同的走法。

在上面的問題中，完成一件事有兩大類不同的方法，在詳細做的時候，只要采納一類中

的一種方法就可以完成，汴且兩大類方法是互尢影響的。那么完成這件事的全部做法數(shù)就是

用第一類的方法數(shù)加上其次類的方法數(shù)。

一般地，假如完成一件事有K類方法，第一類方法中有g(shù)種不同做法，其次類方法中

有no種不同的做法，……,第K類方法中有HIK種不同的做法，則完成這件事共有：N=m1+

m2+……HIK種不同的方法。這就是加法原理。

四、加法原理的運用

加法原理運用的范圍；完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成

任務，這樣的問題可以運用加法原理解決.我們可以簡記為：“加法分類，類類獨立

分類時，首先要依據(jù)問題的特點確定一個適合于它的分類標準，然后在這個標準下進行

分類；其次，分類時要留意滿意兩條基本原則：

①完成這件事的任何一種方法必需屬于某一類：

②分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法.

只有滿意這兩條基本原則，才可以保證分類計數(shù)原理計算正確.

-網(wǎng)四盜

（3）選取合適的分類標準；

（4）標數(shù)法。

后

一、枚舉法

【例1】從甲地到乙地可以乘坐飛機、火車和輪船，在一天中，從甲地直達乙地有3班飛機,4

班火車和3班輪船，那么一天中甲地到乙地共有多少種不同的走法

【鞏固】從甲地到乙地，有3條馬路和2條鐵路可以干脆到達，從甲地到乙地，共有多少條路可

走

【例2】小寶去給小貝買生日禮物，商店里賣的東西中，有不同的玩具8種，不同的課外

書20本，不同的紀念品10種,那么，小寶買一種禮物可以有多少種不同的選法?

【鞏固】有不同的語文書6本，數(shù)學書4本，英語書3本，科學書2本，從中任取一本，共

有多少種取法？

【例3］把一元錢換成角幣，有多少種換法？人民幣角幣的面值有五角、二角、一角三種.

【鞏固】一把硬幣全是2分和5分的，這把硬幣一共有1元，問這里可能有多少種不同的

狀況？

［例4］從I?10中每次取兩個不同的數(shù)相加，和大于10的共有多少種取法？

【鞏固】從1?8中每次取兩個不同的數(shù)相加，和大于10的共有多少種取法？

【例5］給定三種重量的祛碼（每種數(shù)量都有足夠多個）3kg,llkg,17kg,將它們組合

湊成100依有種，不同的方法（每種總碼至少用一塊。）

【鞏固】用若干個1分、2分、5分的硬幣組成一-角錢（不要求每種硬幣都有），共有（）

種不問的方法.

［例6］一次，齊王與大將田忌賽馬.每人有四匹馬，分為四等.田忌知道齊王這次競

賽馬的出場依次依次為一等，二等，三等，四等，而且還知道這八匹馬跑的最快

的是齊王的一等馬，接著依次為自己的一等，齊王的二等，自己的二等，齊王的

三等，自己的三等，齊王的四等，自己的四等.田忌有種方法支配自己

的馬的出場依次，保證自己至少能贏兩場競賽.

【鞏固】一個文具店橡皮每塊5角、圓珠筆每支1元、鋼筆每支2元5角.小明要在該店

花5元5角購買兩種文具，他有多少種不同的選擇.

［例7］小明要登上12級臺階，他每一步只能登1級或2級臺階，他登上12級臺階共有多

少種不同的登法？

【鞏固】取用15根火柴，每次只能取1根或者2根火柴，那么取完15根火柴共有多少種

不同的取法？

二、標數(shù)法

［例8］如圖所示，從A到B的最短線路有多少條?

A

【鞏固】小偉從家到爺爺家經(jīng)過的全部路途如下圖所示，那么，小偉從家到爺爺家有幾條

最短路途？

小偉家

爺爺家

［例9］如圖所示，小明家在A地，小學在B地，電影院在C地。

（1）小明從家去小學，走最短的線路，有多少種走法？

（2）小明從家去電影院，走最短的線路，有多少種走法？

A

【例10]下圖是某地街道平面圖，標彳處的道路是不準通行的。問消防車從消防隊到

著火點有多少條最短通路？

著火點

x__________

______9

消防隊

【鞏固】如圖，某城市的街道由五條東西向馬路和七條南北向馬路組成，現(xiàn)在要從西南角

的A處沿最短的路途走到東北角B出，由于修路，十字路口C不能通過，那么共

有多少種不同走法？

B

C

A

二"寒菖檢蒯

【隨練9】從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中火車有4班,

汽車有3班，輪船有2班。問：一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多

少種不同走法？

【隨練10】從1—8中每次取兩個不同的數(shù)相加，和大于11的共有多少種取法？

【隨練11]從A處到B處共有多少條最短路途？

1.使學生正確理解排列的意義；

2.了解排列、排列數(shù)的意義，能依據(jù)詳細的問題，寫出符合要求的排列；