第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年陜西省西安市高新一中南校區(qū)高二（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a6A.12 B.16 C.20 D.222.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sinA.52 B.5 C.103 3.有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結(jié)、記事本、筆袋，第四個(gè)禮盒里面三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個(gè)盒子，設(shè)事件A：所選盒中有中國結(jié)，事件B：所選盒中有記事本，事件C：所選盒中有筆袋，則(

)A.事件A與事件B互斥 B.P(AB)=P(A)P4.已知正三棱柱ABC?A1B1CA.32π3 B.43π 5.已知x，y為正實(shí)數(shù)，lnx+lA.x>y B.x<y C.6.甲、乙、丙三人參加“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”演講比賽，若甲、乙、丙三人能榮獲一等獎(jiǎng)的概率分別為12，23，34且三人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則這三人中至少有兩人獲得一等獎(jiǎng)的概率為A.14 B.724 C.1124 7.設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0與雙曲線A.[54,53] B.[8.已知aeax≥lnx對A.[ln33,+∞) 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知點(diǎn)F是拋物線C：x2=8y的焦點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)F交拋物線于A，B兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，且B為AA.AF=2FB B.直線l的斜率是k=±24

10.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為SnA.若Sn=(n+1)2，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列

B.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列且a1>0，S8=S18，則當(dāng)n=11.函數(shù)f(x)=A.當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)

B.當(dāng)a=2時(shí)，f(x)在x=1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(0,1)，圓C：x2+y2?413.已知f(x)=lnx?x4+34x，14.如圖，在棱長為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知數(shù)列{an}中，a3=18,2an+1=an+16.(本小題12分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)與橢圓x220+y24=1的焦點(diǎn)相同，且過點(diǎn)P(317.(本小題12分)

如圖(1)，等腰直角三角形ABC的底邊AB=4，點(diǎn)D在線段AC上，DE⊥AB于E，現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如圖(2))．

(1)求證：PB⊥DE18.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=e2x?2ln(x+1)+1219.(本小題12分)

在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦函數(shù)sinh(x)=ex?e?x2，雙曲余弦函數(shù)cosh(x)=ex+e?x2，答案和解析1.【答案】D

【解析】解：∵{an}是等差數(shù)列，且a6+a9=6?a3，

∴a6+a9+2.【答案】B

【解析】解：因?yàn)樵凇鰽BC中，B=2A，

則A是銳角，

又sinA=35，

則cosA=1?sin2A=453.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對于A，當(dāng)取到第四個(gè)盒子時(shí)，事件A和事件B同時(shí)發(fā)生，事件A與事件B不互斥，A錯(cuò)誤；

對于B，P(A)=12,P(B)=12,P(AB)=14，則有P(A)P(B)=P(AB)，B正確；

對于C，當(dāng)取到第四個(gè)盒子時(shí)，事件A與事件B∪C同時(shí)發(fā)生，事件A與事件B∪4.【答案】A

【解析】解：如圖，設(shè)正三棱柱ABC?A1B1C1外接球的球心為O，半徑為R．

記△ABC和△A1B1C1外接圓的圓心分別為O1和O2，其半徑為r，

由正弦定理得：r5.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閤，y為正實(shí)數(shù)，lnx+lny=1y?x，

所以lnx+x=?lny+1y=ln1y+1y，

令f(x)=lnx6.【答案】D

【解析】解：甲、乙、丙三人能榮獲一等獎(jiǎng)的概率分別為12，23，34且三人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立，

則甲、乙、丙三人不獲一等獎(jiǎng)的概率分別是12，23，14，

則這三人中恰有兩人獲得一等獎(jiǎng)的概率為P1=12×23×34+7.【答案】D

【解析】解：∵F1，F(xiàn)2為橢圓C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)與雙曲線C2的公共點(diǎn)左右焦點(diǎn)，

△MF1F2是以線段MF1為底邊的等腰三角形，且|MF1|=2，

∴|MF2|=|F1F2|=2c，

∵橢圓C1的離心率e∈8.【答案】A

【解析】解：設(shè)f(t)=tet(t>0)，則f′(t)=(t+1)et．

∵t>0時(shí)，f′(t)=(t+1)et>0，∴f(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增．

已知aeax≥lnx對?x≥3恒成立，當(dāng)x=3時(shí)，ae3a≥ln3>0，則有a>0，

當(dāng)a>0時(shí)，aeax≥lnx可變形為axe9.【答案】AB【解析】解：如圖，

設(shè)F(0,2)，B(x2,y2)，A(x1,y1)，

根據(jù)A向準(zhǔn)線作垂線，垂足為N，根據(jù)B向準(zhǔn)線作垂線，垂足為M，連接BM，AN，

根據(jù)題知，直線l的斜率一定存在且不為0，

設(shè)直線l的斜率為k，那么直線l：y=kx+2，

聯(lián)立直線l和拋物線方程可得y=kx+2,x2=8y,化簡得x2?8kx?16=0，

根的判別式Δ=64k2+64>0，根據(jù)韋達(dá)定理可得x1?x2=?16，x1+x2=8k，

對于A，因?yàn)锽為AD中點(diǎn)，所以△DBM∽△ADN，

所以|AN|=2|BM|，因?yàn)閨A10.【答案】BC【解析】解：A.∵Sn=(n+1)2，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1=(n+1)2?n2=2n+1，

當(dāng)n=1時(shí)，a1=22=4，不滿足上式，

∴an=4,n=12n+1,n≥2，故a2=5，a3=7，

∵a2?a1≠a3?a2，數(shù)列{an}不是等差數(shù)列，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤．

B.∵S8=S18，∴8a1+28d=18a1+153d，故d=?225a1，

∵a1>0，∴d<0．

由S8=S18得a9+a10+?+a17+11.【答案】BD【解析】解：對于A，f′(x)=2lnx+2ax+為增函數(shù)，x→0時(shí)f′(x)趨向負(fù)無窮，x→+∞時(shí)f′(x)趨向正無窮，

所以存在x0∈(0,+∞)使f′(x0)=0，

故x∈(0,x)上f′(x)<0，f(x)在(0,xo)上為減函數(shù)，A錯(cuò)；

對于B，由題設(shè)f′(x)=2lnx+4x+1，則f′(1)=5，且f(1)=1，

所以f(x)在x=1處的切線方程為y=5x?4，

切線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(45,0)，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,?4)，

所以f(x)在x=1處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為12×45×4=85，B對；

對于C，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù)，

則在(0,+∞)上12.【答案】π3【解析】解：圓C：x2+y2?4x+3=0，可得標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?2)2+y2=1，圓心為C(2,0)，半徑為r=1(如圖)．

由圖可知，當(dāng)OQ與圓C相切，且Q位于第一象限時(shí)∠POQ最小，13.【答案】[?【解析】解：對任意的x1∈(0,2]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，

∴f(x1)min≥g(x2)min，x1∈(0,2]，x2∈[1,2]，

f(x)=ln

x?x4+34x，x∈(0,2]，

f′(x)=1x?14?34x2=?(x?3)(x?1)4x2，可得：函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在[1,2]內(nèi)單調(diào)遞增．

∴x=1時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值即最小值，f(x14.【答案】[3【解析】解：如圖，分別取棱BB1，B1C1的中點(diǎn)M、N，連MN，BC1，

∵M(jìn)，N，E，F(xiàn)分別為所在棱的中點(diǎn)，∴MN/?/BC1，EF/?/BC1，則MN/?/EF，

又MN?平面AEF，EF?平面AEF，∴MN/?/平面AEF．

∵AA1/?/NE，AA1=NE，

∴四邊形AENA1為平行四邊形，則A1N/?/AE，

又A1N?平面AEF，AE?平面AEF，∴A1N/?/平面AEF，

又A1N∩MN=N，∴平面A1MN/?/平面AE15.【答案】證明見解析；

1?2【解析】解：(1)證明：因?yàn)閿?shù)列{an}中，a3=18,2an+1=an+12n?1，

所以2n+1an+1=2nan+2，

所以2n+1an+1?2nan=2，

又a3=16.【答案】解：(1)由題意得：a2+b2=1632a2?(?1)2b2=1，

解得a=22,b=22，

所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28?y28=1；

(2)由題意知，直線AB的斜率存在，

設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由x28?y28=1y=kx+m，

得(1?k2【解析】(1)根據(jù)a，b的關(guān)系以及雙曲線過的頂點(diǎn)列方程組，求出a，b的值即可；

(2)由題意設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y217.【答案】證明見解析；

45；

相交，理由見解析．【解析】解：(1)證明：∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，PE，BE?平面PEB，

∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，

∵PB?平面PEB，∴BP⊥DE；

(2)△ABC是等腰直角三角形且AB=4，則C到AB的距離為2，

∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，

∴可由DE，BE，PE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，

∴設(shè)PE=a(0<a<2)，

得B(0,4?a,0)，D(a,0,0)，C(2,2?a,0)，P(0,0,a)，

PB=(0,4?a,?a),BC=(2,?2,18.【答案】解：(1)f(x)的定義域是(?1,+∞)，

a=0時(shí)，f(x)=e2x?2ln(x+1)?1，

f′(x)=2e2x?2x+1，f″(x)=4e2x+2(x+1)2>0，

故f′(x)在(?1,0)遞增，而f(0)=0，

故x∈【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

(2)問題轉(zhuǎn)化為a≥4ln(