專題04特殊三角形（難點(diǎn)）一、單選題1．下列說法正確的是（

）A．真命題的逆命題是真命題 B．原命題是假命題，則它的逆命題也是假命題C．命題一定有逆命題 D．定理一定有逆命題【答案】C【分析】根據(jù)命題、逆命題，真假命題的關(guān)系對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解析】解：A．真命題的逆命題不一定是真命題，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．原命題是假命題，則它的逆命題不一定是假命題，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．命題一定有逆命題，故本選項(xiàng)正確，符合題意；D．定理不一定有逆命題，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理，也考查了逆命題，逆定理．2．如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為，底面周長為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在與點(diǎn)B相對容器外壁，且離容器上沿的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】將容器側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長度即為所求，在中，根據(jù)勾股定理即可求出的長度．【解析】解：如圖：將容器側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，

過作交的延長線于，則四邊形是矩形，，，連接，則即為最短距離，高為，底面周長為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點(diǎn)處有一飯粒，此時(shí)螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿與飯粒相對的點(diǎn)處，，，在中，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，，，的平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)，將沿在上，在上）折疊，點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合，有如下五個(gè)結(jié)論：①；②；③是等邊三角形；④；⑤．則上列說法中正確的個(gè)數(shù)是（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得，，故①正確；由點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，則的長不確定，即，故②錯(cuò)誤，由折疊的性質(zhì)可得，，，則不是等邊三角形，故③錯(cuò)誤，由“”可證，故④正確；由全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求，故⑤正確；即可求解．【解析】解：如圖，連接、，

，為的平分線，，又，，是的垂直平分線，，，，為的平分線，，，，故①正確；，將沿在上，在上）折疊，點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合，，，，不是等邊三角形，故③錯(cuò)誤；在和中，，，故④正確；，，在中，，，故⑤正確；∵根據(jù)現(xiàn)有條件無法確定是否相等，，故②錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在第1個(gè)△中，，，在邊上任取一點(diǎn)，延長到，使，得到第2個(gè)，在邊上任取一點(diǎn)，延長到，使，得到第3個(gè)，…按此做法繼續(xù)下去，則第2021個(gè)三角形中以為頂點(diǎn)的底角度數(shù)是（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求得的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出，，的度數(shù)，找出規(guī)律即可求解．【解析】解：，，；，；同理得：，，，一般地，第個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)是，第2021個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形和數(shù)式規(guī)律探究，等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和以及三角形外角的性質(zhì)等知識，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5．如圖，中，，、是邊的中線，有；垂足為點(diǎn)E交于點(diǎn)D．且平分交于N．交于H．連接．則下列結(jié)論：①；②；③；④；錯(cuò)誤的有（）個(gè)．A．0 B．1 C．3 D．4【答案】A【分析】如圖，過點(diǎn)C作交的延長線于K，首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明，得到，，，可判斷②③正確，然后利用同角的余角相等得到，進(jìn)而證明，得到，，然后證明，得到，，等量代換可得，，可判斷①④正確．【解析】如圖，過點(diǎn)C作交的延長線于K．，，平分，∴，，，，，，，（ASA），，，，故②③正確，，，，，（ASA），，，，，（SAS），，，，，故①④正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．6．如圖，在中，，，和的角平分線相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)作的垂線，交延長線于點(diǎn)，連接，若的面積為6，下列結(jié)論：①；②；③平分；④，其中正確的有幾個(gè)．（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】由可判定①不正確；根據(jù)，和的角平分線相交于點(diǎn)，可得，而，即得，故②正確；由和的角平分線相交于點(diǎn)，知是的內(nèi)心，可判定③正確；由，得，又平分，，可得，即可判定④不正確．【解析】，∴，①不正確；，，和的角平分線相交于點(diǎn)，，，，，，故②正確；和的角平分線相交于點(diǎn)，三條角平分線交于同一點(diǎn)平分，故③正確；，，，∴，∴，平分，，，∴，∴，故④不正確；綜上所述，正確的有②③故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的綜合應(yīng)用，涉及三角形的內(nèi)心、三角形面積、三角形全等的判定及性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是從圖中找出并證明．7．如圖，在中，，E，F(xiàn)是斜邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段移動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)B停止，連接，若，則這樣的點(diǎn)P有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】由題意知，分點(diǎn)在線段上和在線段上兩種情況求解：①當(dāng)點(diǎn)在線段上，求出的最小值，然后分別計(jì)算與重合時(shí)的值，然后判斷即可；②當(dāng)在線段上，求出的最小值大于5，即不滿足要求，然后進(jìn)行判斷作答即可．【解析】解：由題意知，，，由勾股定理得，，由題意知，分①點(diǎn)在線段上，②點(diǎn)在線段上兩種情況求解：①當(dāng)點(diǎn)在線段上，如圖1，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交于，連接，，則，

∴，此時(shí)最小，如圖1，過作于，∵∴，，∴是等邊三角形，∴，，，由勾股定理得，∵，∴的最小值的值為，當(dāng)與重合時(shí)，，∴當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在一點(diǎn)使，當(dāng)與重合時(shí)，如圖2，過作于，

∵，∴，解得，由勾股定理得，，∴，，由勾股定理得，，，∴，∴當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在一點(diǎn)使，綜上，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在2個(gè)點(diǎn)使；②當(dāng)在線段上，如圖3，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于，連接交于，連接，則，

∴，此時(shí)最小，如圖3，過作的延長線于，∵∴，∴，∴，由勾股定理得，，∴，，，由勾股定理得，則，∴，∵的最小值的值大于5，∴點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，不存在點(diǎn)使；綜上所述，共有2個(gè)點(diǎn)使；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了含的直角三角形，軸對稱，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于分情況并靈活運(yùn)用知識進(jìn)行求解．8．如圖，中，，是邊的垂直平分線，交于G，過點(diǎn)F作于點(diǎn)E，平分交于F，連接，．下列結(jié)論：①②③④．其中正確的結(jié)論是（

）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得到；過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，證明，得到，結(jié)合平分，得到，繼而，可證明；利用斜邊大于直角邊，證明；利用等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理證明．【解析】∵是邊的垂直平分線，∴；故①正確；過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，∵平分，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，

故③正確；∵，∴，∴，∴，故②正確；∵，，∴，∴，故④正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形中，斜邊大于任意直角邊，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，角的平分線的性質(zhì)，直角三角形中，斜邊大于任意直角邊，線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，和都是等邊三角形，連接、相交于點(diǎn)M，連接、．①；②；③；④平分．其中正確的有（）個(gè)．

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】可證，從而可證()，進(jìn)而可求，即可判斷①③；過作交于，作交于，可證，即可判斷④；當(dāng)、、在一條直線上時(shí)，可判斷②；即可求解．【解析】解：和都是等邊三角形，，，，，即：，在和中，()，，，，，即：，，故①③都正確；如圖，過作交于，作交于，

，，平分，故④正確；如圖，當(dāng)、、在一條直線上時(shí)，

此時(shí)滿足已知條件，但與顯然不平行，故③錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論中正確的結(jié)論有（）

；；點(diǎn)到各邊的距離相等；設(shè)，則．A． B． C． D．【答案】C【分析】由在中，和的平分線相交于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的定義與三角形內(nèi)角和定理，即可求得錯(cuò)誤；由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出和是等腰三角形得出故正確；由角平分線的性質(zhì)得出點(diǎn)到各邊的距離相等，故正確；由角平分線定理與三角形面積的求解方法，即可求得設(shè)，則，故正確．【解析】解：在中，和的平分線相交于點(diǎn)，，，；故錯(cuò)誤；在中，和的平分線相交于點(diǎn)，，，，，，，故正確；過點(diǎn)作于，作于，

在中，和的平分線相交于點(diǎn)，，；故正確；在中，和的平分線相交于點(diǎn)，點(diǎn)到各邊的距離相等，故正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識，此題難度適中，解題的關(guān)鍵是添加適當(dāng)?shù)妮o助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．二、填空題11．如圖，中，，，，將折疊，使得點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)出，折痕為，為折痕上一動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)由沿對稱,得到，進(jìn)而表示出，最后求周長即可．【解析】由沿對稱得到，則E與C關(guān)于直線對稱，，∴，如圖,連接，由題意得，∴，當(dāng)P在邊上，即D點(diǎn)時(shí)取得最小值6，∴周長為，最小值為．故答案為:．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形折疊問題，正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵．12．如圖，在中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒的速度沿運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是秒，那么當(dāng)秒，的面積等于．

【答案】或或【分析】分當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)且在點(diǎn)的左邊時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)且在點(diǎn)的右邊時(shí)，三種情況討論，根據(jù)的面積等于，計(jì)算點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程，求出的值即可．【解析】解：∵，，，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵的面積等于12，∴，∴（秒）；當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)且在點(diǎn)的左邊時(shí)，，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程，∴（秒）；當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)且在點(diǎn)的右邊時(shí)，，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程，∴（秒）．故答案為∶或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式的運(yùn)用、勾股定理等，根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)位置分類討論是解題的關(guān)鍵．13．如圖1，將一條兩邊互相平行的紙袋折疊．（1）若圖中，則；（2）在圖1的基礎(chǔ)上繼續(xù)折疊，使得圖1中的邊與邊重合（如圖2），若繼續(xù)沿邊折疊，邊恰好平分，則此時(shí)的度數(shù)為度．【答案】5545【分析】（1）根據(jù)平行線和折疊的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，折疊兩次后形成的三個(gè)角與折疊后的都相等，而這四個(gè)角的和為，故每個(gè)角為，從而可知，再由（1）的思路可得的值．【解析】（1）根據(jù)上下邊互相平行可知，．由折疊的性質(zhì)可知，∴．故答案為：55；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，折疊兩次后形成的三個(gè)角都相等，根據(jù)題意可知，折疊兩次后形成的三個(gè)角與折疊后的都相等，而這四個(gè)角的和為，故每個(gè)角為，∴，即，由（1）同理可得：．故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的有關(guān)計(jì)算．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．14．如圖，中，，的角平分線，相交于點(diǎn)，過作交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④連接，．其中正確的是．（填序號）【答案】①②③④【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理則可判斷結(jié)論①；證明，可判斷結(jié)論②；證明，可判斷結(jié)論③；連接，，證明，結(jié)合全等的性質(zhì)可得，，，最后根據(jù)進(jìn)行恒等變換后即可判斷結(jié)論④．【解析】解：在中，，∴，又∵、分別平分、，∴，，，∴，故結(jié)論①正確；∴，又∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，，故結(jié)論②正確；∴，在和中，，∴，∴，，∴，故結(jié)論③正確；連接，，∵，，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故結(jié)論④正確．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，，等邊對等角，平行線的判定等知識點(diǎn)．證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．15．如圖，中，，點(diǎn)D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在的左下方作等邊，連接，則點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，線段長度的最小值是．

【答案】3【分析】如圖，取的中點(diǎn)Q，連接，由，推出，推出當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)的值最?。窘馕觥拷猓喝鐖D，取的中點(diǎn)Q，連接，

∵，∴，，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)的值最小，在中，∵，∴，∴的最小值為3．故答案為：3【點(diǎn)睛】本題旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．16．公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》題時(shí)給出了“趙爽弦圖”．將兩個(gè)“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個(gè)正方形和八個(gè)直角三角形按圖2方式擺放圍成正方形，記空隙處正方形，正方形的面積分別為，，則下列四個(gè)判斷：①②；③若，則；④若點(diǎn)A是線段的中點(diǎn)，則，其中正確的序號是

【答案】①②③【分析】設(shè)“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊為，較長直角邊為，斜邊為，則小正方形的邊長為，正方形的邊長為，正方形的邊長為，正方形的邊長為，由正方形面積公式，勾股定理逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解析】設(shè)“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊為，較長直角邊為，斜邊為，則小正方形的邊長為，正方形的邊長為，正方形的邊長為，正方形的邊長為，∴，，．∴．∴．故①正確；∵，∴．∴．∴．故②正確；∵，，∴．即．∴．∴．故③正確；∵點(diǎn)A是線段的中點(diǎn)，∴．即．∴．∴．∴．故④不正確；故答案是①②③．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，正方形的面積，關(guān)鍵是設(shè)“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊為，較長直角邊為，斜邊為，用表示出相關(guān)線段的長度，從而解決問題．17．如圖，中，，，，垂足是，平分，交于點(diǎn)．在外有一點(diǎn)，使，．在上取一點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn)，連接．①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有：．（只填序號）

【答案】①②③④【分析】①通過角的轉(zhuǎn)換和等腰直角三角形的性質(zhì)，得到和，從而證明，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到結(jié)論；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，通過證明是的垂直平分線就易得出結(jié)論；③通過證明和來證明結(jié)論；④過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)，即可得出結(jié)論．【解析】①∵，，∴，，∴，又∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴；故①正確②過E作于點(diǎn)G．∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∵，平分，∴，∴，∵，∴，即G是的中點(diǎn)，∴是的垂直平分線，∴，∴，∴，即．故②正確；③∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴．∴，故③正確；

④如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，∴，又∵，∴，∵，

∴，∴，，∴，∵,∴，即故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在中，，，點(diǎn)D為延長線上一點(diǎn)，延長至點(diǎn)B，使，連接、．過點(diǎn)F作的垂線，過點(diǎn)G作的垂線交于點(diǎn)C，交于點(diǎn)H，兩條垂線相交于點(diǎn)A，連接、、．下列結(jié)論中正確的是．（請?zhí)顚懶蛱枺伲虎诋?dāng)時(shí)，；③；④；⑤若，，，則．

【答案】①②④【分析】證明，即可判斷①；根據(jù)等邊對等角有，結(jié)合垂直的定義可判斷②；先證明，即有，在中，，據(jù)此進(jìn)而可判斷③；根據(jù)，有，根據(jù)，，可得，結(jié)合，可得，故可判斷④；利用勾股定理可得，進(jìn)而有，則可得，根據(jù)，可得，根據(jù)，可得，進(jìn)而有，即可得，據(jù)此可判斷⑤．【解析】∵在中，，，∴，，∵，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，故①正確；∵，，∴，∵，∴，故②正確；∵，∴，即，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵在中，，∴，∵，∴，故③錯(cuò)誤；∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，故④正確；∵，，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故⑤錯(cuò)誤；故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊對等角，勾股定理，垂直的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積公式等知識，證明，，是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題19．如圖，已知中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著的三條邊逆時(shí)針走一圈回到點(diǎn)，速度為，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)為何值時(shí)，平分？(2)求當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形？(3)若出發(fā)時(shí)，同時(shí)另有一點(diǎn)，從點(diǎn)開始，按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一圈回到點(diǎn)C，且速度為每秒．當(dāng)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．是否存在某一時(shí)刻，直線將的周長分成相等的兩部分？若存在，求的值，若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)或或或(3)或【分析】（1）過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，根據(jù)勾股定理逆定理得出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，通過證明，得出，根據(jù)，則，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可；（2）根據(jù)題意進(jìn)行分類討論①當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)：Ⅰ、當(dāng)時(shí)；Ⅱ、當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H；Ⅲ、當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)G；即可解答；（3）根據(jù)題意進(jìn)行分類討論①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q都在上，不符合題意；④當(dāng)時(shí)，即可解答．【解析】（1）解：過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，∵，∴，∴，∵平分，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：；

（2）解：①當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，，∵，∴；

②當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，Ⅰ、當(dāng)時(shí)，∵，，∴，∵，∴，∴；

Ⅱ、當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，∵，∴，即，解得：，根據(jù)勾股定理可得：，∵，，∴，∴，∴，∴；

Ⅲ、當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)G，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴∴，∴；

綜上：或或或；（3）解：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B需要時(shí)間，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A需要時(shí)間，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C需要時(shí)間，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A需要時(shí)間，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B需要時(shí)間，①當(dāng)時(shí)，，∵直線將的周長分成相等的兩部分，∴，即，解得：；

②當(dāng)時(shí)，，∴，，∵直線將的周長分成相等的兩部分，∴，即，解得：（舍去），

③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q都在上，不符合題意；

④當(dāng)時(shí)，，∴，∴，，∵直線將的周長分成相等的兩部分，∴，即，解得：；

綜上：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形綜合，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的周長和幾何動(dòng)點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，具有分類討論的思想．20．如果一個(gè)三角形能被一條線段分割成兩個(gè)等腰三角形，那么稱這條線段為這個(gè)三角形的雙腰分割線，稱這個(gè)三角形為雙腰三角形．

(1)如圖1，三角形內(nèi)角分別為，，，請你畫出這個(gè)三角形的雙腰分割線，并標(biāo)出每個(gè)等腰三角形各角的度數(shù)．(2)如圖2，中，，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：是的一條雙腰分割線．(3)如圖3，已知中，，是三角形的雙腰分割線，且．①求∠C的度數(shù)．②若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)①；②【分析】（1）從三個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)各作一條線段，根據(jù)等邊對等角，求出角度，看是否符合另一個(gè)三角形也是等腰三角形；（2）根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)求解可得．（3）①由是三角形的雙腰分割線，且．得，，從而求得；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，中，，中，，得，解方程即可．【解析】（1）解：線段是的雙腰分割線，每個(gè)等腰三角形各角的度數(shù)如圖：

（2）證明：線段的垂直平分線交于點(diǎn)，，是等腰三角形，，，，，，是等腰三角形，是的一條雙腰分割線．（3）①是三角形的雙腰分割線，且．，，，；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，設(shè)為，中，，中，，，解得，，．

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)．21．如圖1，為等腰三角形，，點(diǎn)在射線上（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），以為腰長作等腰，于點(diǎn)．

(1)當(dāng)點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），求證：；(2)在（1）的條件下，連接交于點(diǎn)，若，求的值；(3)如圖2，過點(diǎn)作于直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，連接．則點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，線段、與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)(3)或，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題目中的信息可以得到，與之間的關(guān)系，與之間的關(guān)系，從而可以解答本題；（2）由第一問中的兩個(gè)三角形全等，可以得到各邊之間的關(guān)系，然后根據(jù)題目中的信息找到與的關(guān)系，從而可以解答本題；（3）分情況討論，作合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形，通過三角形的全等可以找到所求問題需要的邊之間的關(guān)系，從而可以解答本題．【解析】（1）證明：，是等腰直角三角形，于．，，，，在和中，，；（2）∵，∴，，∵，∴，在和中，∴，∴，∵，，，∴，∵，∴，∴．（3）或理由如下：如圖所示：當(dāng)P在線段上時(shí)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，

，，，，，，為等腰直角三角形，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，∴．當(dāng)P在線段的延長線上時(shí)，如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，

同理可得：，∴，同理可得：，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出所求問題需要的關(guān)系，通過三角形的全等可以得到相關(guān)的角和邊之間的關(guān)系．22．（1）如圖，在和中，，．且，B、D、E三點(diǎn)共線，與交于點(diǎn)F．①求證：；②如圖2，若點(diǎn)G是中點(diǎn)，且，連接、，求證：；（2）若，，且，在直線上取一點(diǎn)D，使得，連，過A作，且，使直線和交于F，則____________．

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）或或【分析】（1）①利用“”易證，即可證明結(jié)論；②延長至點(diǎn)，使得，連接，可證，得到，，進(jìn)而得到，，從而證明，得到，即可證明結(jié)論；（2）點(diǎn)在直線上有兩種情況：①點(diǎn)在線段上；②點(diǎn)在線段的延長線上，同時(shí)又存在兩種情況，利用全等三角形的判定和性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)分別求解，即可得到答案．【解析】（1）證明：①，，，在和中，，，；②解：如圖，延長至點(diǎn)，使得，連接，

點(diǎn)G是中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，即；（2）①如圖，點(diǎn)在線段上，此時(shí)，

當(dāng)時(shí)，連接，，，，在和中，，，，；當(dāng)時(shí)，，，，在和中，，，，；②如圖，點(diǎn)在線段的延長線上，此時(shí)，

，，，當(dāng)時(shí)，連接，，，，，，，在和中，，，，，，；當(dāng)時(shí)，，，，在和中，，，，，，；綜上可知，或或，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論的思想，正確作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．23．在中，，，是邊上的中點(diǎn)，是直線右側(cè)的一點(diǎn)，且，連接，過點(diǎn)作的垂線交射線于點(diǎn)．

(1)點(diǎn)到的距離為______；(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在的外部時(shí)．①求證：：②如圖2，連接，當(dāng)時(shí)，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系；【答案】(1)(2)①見解析，②【分析】（1）連，由等腰直角三角形可知，，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，求出的長即可；（2）①連接，設(shè)交于點(diǎn)，由（1）可知，，即，，利用互余可得，，證明，即可證得結(jié)論；②延長和交于點(diǎn)，連接，根據(jù)手拉手模型證明，，可得，，再根據(jù)等腰三角形三線合一可得．【解析】（1）解：連接，

∵在中，，，D是邊上的中點(diǎn)，∴，，，∴點(diǎn)C到的距離為，故答案為：；（2）①證明：連接，設(shè)交于點(diǎn)，由（1）可知，，即，∵，∴，∵，，∴，∵過點(diǎn)D作的垂線交射線于點(diǎn)F，∴，∴，∴，∴；②延長和交于點(diǎn)，連接，

∵，，，∴，都是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，∵∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，屬于中考壓軸題，綜合性強(qiáng)，難度大，對學(xué)生要求很高；解題關(guān)鍵是熟練利用“手拉手模型”合理添加輔助線構(gòu)造全等三角形．24．(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和點(diǎn)則線段的長為______；(2)問題探究：如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，為等邊三角形，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)M，N分別是邊，上兩點(diǎn)，求周長的最小值．（提示：在直角三角形中，角所對的直角邊是斜邊的一半．）(3)問題解決：為迎接國慶節(jié)，西安市園林綠化部門準(zhǔn)備在一塊正方形的空地上用鮮花擺放一個(gè)四邊形的圖案．設(shè)計(jì)員小華將其置于如圖③所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)A，C在坐標(biāo)軸上，綠化部門計(jì)劃在正方形內(nèi)圍成一個(gè)如圖所示的四邊形，在其內(nèi)部擺放花卉圖案，其余地方種植草坪．要求N，P在邊上，M在上，且．請問是否存在點(diǎn)P，N，使得四邊形的周長最??？若存在，請求出最小值？如不存在，請說明理由．

【答案】(1)5(2)(3)【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式計(jì)算即可；（2）作分別關(guān)于、的對稱點(diǎn)和，根據(jù)對稱的性質(zhì)的，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，周長最小，最小值為的長，求出的長即可；（3）將向上平移個(gè)單位長度，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)到點(diǎn)，四邊形周長為，其中，，故最小時(shí)周長最小，作關(guān)于對稱點(diǎn)，連接，則，故當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，計(jì)算即可解答；【解析】（1）；（2）如圖1所示，求分別關(guān)于、的對稱點(diǎn)和，

由對稱性質(zhì)得，則的周長為，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，周長最小，最小值為的長，∵在等邊中，，過作，且，在中，，如圖2，過點(diǎn)作，則，

在中，，則，∴的周長最小為；（3）存在；如圖3，將向上平移個(gè)單位長度，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)到點(diǎn)，

四邊形周長為，其中，，故最小時(shí)周長最小，關(guān)于對稱點(diǎn)，連接，則，故當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，∴最小值為；則四邊形周長最小為．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間的距離公式，利用軸對稱求周長最小，遇到動(dòng)線段問題需要先平移變換再進(jìn)行對稱求解．25．如圖，長方形紙片，，，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，將