專項訓(xùn)練九利用“將軍飲馬”解決線段最值問題1.在一條沿直線MN鋪設(shè)的電纜兩側(cè)有甲、乙兩個小區(qū),現(xiàn)要求在MN上選取一點P,向兩個小區(qū)鋪設(shè)電纜.下面四種鋪設(shè)方案中,使用電纜材料最少的是()A. B. C. D.2.如圖,在五邊形ABCDE中,∠BAE=α(∠BAE為鈍角),∠B=∠E=90°,在BC,DE上分別找一點M,N,當(dāng)△AMN周長最小時,∠MAN的度數(shù)為 ()A.12α B.α-90° C.2α-180° D.α-3.如圖,等邊三角形ABC的邊長為2,過點B的直線l⊥AB,且△ABC與△A'BC'關(guān)于直線l對稱,D為線段BC'上一動點,則AD+CD的最小值是 ()A.4 B.32 C.23 D.2+34.(2023·宜賓)如圖,M是正方形ABCD邊CD的中點,P是正方形內(nèi)一點,連接BP,線段BP以點B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BQ,連接MQ.若AB=4,MP=1,則MQ的最小值為.

5.如圖,E,F是正方形ABCD的邊AB的三等分點,P是對角線AC上的動點,當(dāng)PE+PF取得最小值時,APPC的值是6.(2023·達州)在△ABC中,AB=43,∠C=60°,在邊BC上有一點P,且BP=12AC,連接AP,則AP的最小值為7.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以點C為頂點的正方形CDEF(C,D,E,F四個頂點按逆時針方向排列)可以繞點C自由轉(zhuǎn)動,且CD=2,連接AF,BD.(1)求證:△FCA≌△DCB.(2)在正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過程中,求BD+22AD的最小值1.如圖,網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1,點A,點C均在格點上,點P為x軸上任意一點,則△PAC周長的最小值為.

2.(2023·自貢)如圖1,一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起,M,N分別是斜邊DE,AB的中點,DE=2,AB=4.(1)將△CDE繞頂點C旋轉(zhuǎn)一周,請直接寫出點M,N距離的最大值和最小值.(2)將△CDE繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)120°(如圖2),求MN的長.圖1圖23.(2023·宜賓)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,等腰直角三角形ABC的直角頂點C(3,0),頂點A,B(6,m)恰好落在反比例函數(shù)y=kx第一象限的圖象上(1)分別求反比例函數(shù)的解析式和直線AB所對應(yīng)的一次函數(shù)的解析式.(2)在x軸上是否存在一點P,使△ABP周長的值最小?若存在,求出最小值;若不存在,請說明理由.

【詳解答案】基礎(chǔ)夯實1.A2.C解析:如圖,作點A關(guān)于BC對稱的點A',作點A關(guān)于DE對稱的點A'',則A''E=AE,A'B=AB,連接A'A'',分別交線段BC和線段DE于點M和點N,連接AM,AN,這時候△AMN的周長取最小值.∵∠B=∠E=90°,∴A'M=AM,AN=A''N,∴∠AA'M=∠A'AM,∠AA''N=∠A''AN,∴∠AMN=2∠A'AM,∠ANM=2∠A''AN,∵∠MAN+∠MAB+∠NAE=α,∠MAN+∠AMN+∠ANM=180°,∴∠MAN+2∠BAM+2∠EAN=180°,∴∠BAM+∠EAN=180°-α,∴∠MAN=α-(180°-α)=2α-180°.故選C.3.A解析:連接CC',如圖所示.∵△ABC、△A'BC'均為等邊三角形,∴∠ABC=∠A'=60°,A'B=BC=A'C',∴A'C'∥BC,∴四邊形A'BCC'為菱形,∴點C關(guān)于BC'對稱的點是A',∴當(dāng)點D與點B重合時,AD+CD取最小值,最小值為AA'的長.∵AA'=AB+A'B=2+2=4,∴AD+CD的最小值為4.故選A.4.210-1解析:如圖,連接BM,將BM以點B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°,點M的對應(yīng)點為點E.∵點P的運動軌跡是以點M為圓心,1為半徑的半圓,∴點Q的運動軌跡是以點E為圓心,1為半徑的半圓.當(dāng)M,Q,E三點共線時,MQ的值最小.∵四邊形ABCD是正方形,∴CD=AB=BC=4,∠C=90°.∵M是CD的中點,∴CM=2.∴BM=CM2+BC2=22+42=25.由旋轉(zhuǎn),得BM=BE,∠MBE=90°.∴ME=2BM=210.∴MQ=ME5.27解析:如圖,作點F關(guān)于AC的對稱點F',連接EF'交AC于點P',過點F'作AD的垂線段,交AC于點K.由題意,得此時點F'落在AD上,且根據(jù)對稱的性質(zhì),當(dāng)點P與點P'重合時,PE+PF取得最小值.設(shè)正方形ABCD的邊長為a,則AF'=AF=23a.∵四邊形ABCD是正方形,∴∠F'AK=45°,∠P'AE=45°,AC=2a.∵F'K⊥AF',∴∠F'AK=∠F'KA=45°.∴∠F'KP'=∠EAP'=45°.∴AK=223a.∵∠F'P'K=∠EP'A,∴△F'KP'∽△EAP'.∴F'KEA=KP'AP'=2.∴AP'=13AK=292a.∴CP'=AC-6.213-2解析:如圖,作△ABC的外接圓,圓心為點M,連接AM,BM,CM,過點M作MD⊥AB于點D,過點B作BN⊥AB,交BP的垂直平分線于點N,連接AN,BN,PN,以點N為圓心,BN(PN)的長為半徑作圓.∵∠ACB=60°,點M為△ABC的外接圓的圓心,∴∠AMB=2∠ACB=120°,AM=BM.∴∠MAB=∠MBA=180°-∠AMB2=30°.∴MD=12AM.∵MD⊥AB,∴AD=12AB=23.在Rt△ADM中,∵AM2=MD2+AD2,∴AM2=12AM2+∴AM=4,即AM=BM=CM=4.由作圖可知BN⊥AB,點N在BP的垂直平分線上,∴∠PBN=∠BPN=90°-∠ABC.∴∠PNB=180°-(∠PBN+∠BPN)=2∠ABC.又∵點M為△ABC的外接圓的圓心,∴∠AMC=2∠ABC.∴∠AMC=∠PNB.∵CMPN=AMBN,∴△AMC∽△PNB.∴CMBN=ACPB.∵BP=12AC,∴CMBN=ACPB=2,即BN=12CM=2.∴PN=BN=2.在Rt△ABN中,AN=AB2+7.解:(1)證明:∵四邊形CDEF是正方形,∴CF=CD,∠FCD=∠ACB=90°,∴∠ACF=∠BCD,∵AC=BC,∴△FCA≌△DCB(SAS).(2)如圖,取AC的中點M,連接DM,BM.∵CD=2,CA=2,CM=1,∴CD2=CM·CA,∴CDCA∵∠DCM=∠ACD,∴△DCM∽△ACD,∴DMAD∴DM=22AD∴BD+22AD=BD+DM≥BM∴BD+22AD的最小值為BM∵BM=CB∴BD+22AD的最小值為5能力提升1.22+210解析:如圖,點P即為所求.∵A(2,4),C(4,2),C'(4,-2),∴AC=22+22=22,AC'=∴△PAC的周長的最小值=AC+AP+PC=AC+AP+PC'=AC+AC'=22+210.2.解:(1)點M,N距離的最大值為3,最小值為1.(2)如圖,連接MC,過點N作NP⊥MC,交MC的延長線于點P.∵△CDE繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)120°,∴∠BCE=120°.∵∠BCN=∠ECM=45°,∴∠MCN=(∠BCE+∠ECM)-∠BCN=∠BCE=120°.∴∠NCP=180°-∠MCN=60°.∴∠CNP=90°-∠NCP=30°.∴CP=12CN=1在Rt△CNP中,NP=NC2-在Rt△MNP中,MP=MC+CP=1+1=2,∴MN=NP3.解:(1)如圖1,過點A作AE⊥x軸于點E,過點B作BD⊥x軸于點D,則∠AEC=∠CDB=90°.圖1∵點C(3,0),B(6,m),∴OC=3,OD=6,BD=m.∴CD=OD-OC=3.∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB=90°,AC=BC.∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°,∴∠ACE=∠CBD.∴△ACE≌△CBD(AAS).∴AE=CD=3,CE=BD=m.∴OE=OC-EC=3-m.∴點A的坐標(biāo)是(3-m,3).∵點A,B(6,m)恰好落在反比例函數(shù)y=kx∴3(3-m)=6m.解得m=1.∴點A的坐標(biāo)是(2,3),點B的坐標(biāo)是(6,1).∴k=6m=6.∴反比例函數(shù)的解析式是y=6x設(shè)直線AB所對應(yīng)的一次函數(shù)的解析式為y=px+q.把點A(2,3),B(6,1)代入,得2p+∴直線AB所對應(yīng)的一次函數(shù)的解析式為y=-12x+4圖2(2)存在.如圖2,延長AE至點A',使得EA'=EA,連接A'B交x軸于點P,連接AP.∴點A與點A'關(guān)于x軸對稱.∴AP=A'P,點A'(2,-3).∵AP+PB=A'P+PB=A'B,∴AP+PB的最小值是A'B的長度.∵AB=(2-6)2∴