數(shù)列的極限2.1主講人：xxx第二章函數(shù)的極限中國(guó)古代極限思想數(shù)列的定義數(shù)列極限的定義數(shù)列的極限中國(guó)古代極限思想Part011一、中國(guó)古代極限思想“割圓術(shù)”問(wèn)題

在中國(guó)古代，數(shù)學(xué)家們用獨(dú)特的思想和方式探究圓的面積和體積等問(wèn)題?！案顖A術(shù)”（劉徽）——割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)失矣。用圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)近似圓的周長(zhǎng)L。（漸近法）A1表示圓內(nèi)接正6邊形周長(zhǎng)，A2表示圓內(nèi)接正12邊形周長(zhǎng)，......，

An表示圓內(nèi)接正6

2n-1邊形周長(zhǎng)，顯然，n越大，An越接近于L。

A3表示圓內(nèi)接正24邊形周長(zhǎng)，......，

因此n

時(shí),An

近似于圓的周長(zhǎng)L。

數(shù)列{An}：A1，A2，A3

...，An...A1

A2

A3

一、中國(guó)古代極限思想

截丈問(wèn)題莊子：“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”第一天剩下1/2；第二天剩下1/22；......第n天剩下1/2n；......這樣就得到一個(gè)數(shù)列一、中國(guó)古代極限思想（1）上面兩個(gè)問(wèn)題提出，體現(xiàn)了極限的思想，揭示了變量與常量、有限與無(wú)限、量變與質(zhì)變等對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，是唯物辯證法在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用；（2）借助極限思想，我們可以從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限，從“不變”認(rèn)識(shí)“變”，從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變；（3）劉徽利用“割圓術(shù)”，計(jì)算出圓周率π=3.1416，并用3072邊形面積并驗(yàn)證，稱為“徽率”。南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家祖沖之采用劉徽的“割圓術(shù)”，將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后的后七位，比歐洲人早了1000多年。

中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們的智慧和努力讓我們感到自豪。他們的思想和成就對(duì)后世數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。數(shù)列的定義Part022二、數(shù)列的定義例如數(shù)列就是按一定順序排列起來(lái)的一列數(shù)

x1，x2，x3，

，xn，

，這一序列叫做數(shù)列，記為{xn}，其中第n項(xiàng)xn叫做數(shù)列的一般項(xiàng)。二、數(shù)列的定義注意：1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是自變量取正整數(shù)n的函數(shù)數(shù)列的極限Part033三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列

當(dāng)

時(shí)的變化趨勢(shì)。21.751.51.2510.750.50.25204681012三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列

當(dāng)

時(shí)的變化趨勢(shì)。21.751.51.2510.750.50.252.5057.51012.515三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列

當(dāng)

時(shí)的變化趨勢(shì)。21.751.51.2510.750.50.252.5057.51012.51517.5三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列

當(dāng)

時(shí)的變化趨勢(shì)。21.751.51.2510.750.50.252.5057.51012.51517.5三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列

當(dāng)

時(shí)的變化趨勢(shì)。21.751.51.2510.750.50.2505101520三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列

當(dāng)

時(shí)的變化趨勢(shì)。21.751.51.2510.750.50.250510152025三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列

當(dāng)

時(shí)的變化趨勢(shì)。21.751.51.2510.750.50.250510152025三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列

當(dāng)

時(shí)的變化趨勢(shì)。21.751.51.2510.750.50.25051015202530三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列

當(dāng)

時(shí)的變化趨勢(shì)。21.751.51.2510.750.50.25051015202530三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列

當(dāng)

時(shí)的變化趨勢(shì)。21.751.51.2510.750.50.2505101520253035三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列

當(dāng)

時(shí)的變化趨勢(shì)。21.751.51.2510.750.50.25010203040三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列

當(dāng)

時(shí)的變化趨勢(shì)。21.751.51.2510.750.50.25010203040三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列

當(dāng)

時(shí)的變化趨勢(shì)。21.751.51.2510.750.50.25010203040三、數(shù)列的極限問(wèn)題：當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，

是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是，如何確定?通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察：當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，

無(wú)限接近于1。數(shù)列極限的定義Part044四、數(shù)列極限的定義

例如：

當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，如果數(shù)列{xn}的一般項(xiàng)xn無(wú)限接近于常數(shù)a，則常數(shù)a稱為數(shù)列{xn}的極限,或稱數(shù)列{xn}收斂a，記為四、數(shù)列極限的定義

如果不存在這樣的常數(shù)a，就說(shuō)數(shù)列{xn}沒(méi)有極限，或說(shuō)數(shù)列{xn}是發(fā)散的,習(xí)慣上也說(shuō)

不存在

例如：數(shù)列拓展提升對(duì)數(shù)列極限

符號(hào)的詮釋：永遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)無(wú)限接近的過(guò)程。由定義引申：極限如同我們的理想目標(biāo)，變量好比每一個(gè)個(gè)體，只有不忘初心，砥礪前行，方得始終，才能接近理想目標(biāo)；荀子《勸學(xué)》不積硅步，無(wú)以至千里；不積小流，無(wú)以成江海。水滴石穿，貴在堅(jiān)持。函數(shù)的極限（1）2.2.1主講人：xxx第二章函數(shù)的極限引入自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限極限意境自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)極限的定義引入Part011一、引入數(shù)列極限：

相當(dāng)于x123...n...f(x)x1x2x3...xn...自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限Part022二、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限考察函數(shù)

當(dāng)x取正值，且絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)的變化趨勢(shì)。x11010010001000001000010.10.010.0010.000010.0001......yO當(dāng)自變量x取正值且絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)

的值無(wú)限趨近于0當(dāng)x趨向于正無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)

的極限是0，記作二、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限考察函數(shù)

當(dāng)x取負(fù)值，且絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)的變化趨勢(shì)。x-1-10-100-1000-100000-10000-1-0.1-0.01-0.001-0.00001-0.0001......y當(dāng)自變量x取負(fù)值且絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)

的值無(wú)限趨近于0當(dāng)x趨向于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)

的極限是0，記作yxO二、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限從以上分析發(fā)現(xiàn)當(dāng)x取負(fù)值或取正值，而且絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)

的值都無(wú)限趨近于0。此時(shí)，把0稱作是函數(shù)

，當(dāng)時(shí)的極限，記作自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)極限的定義Part033三、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)極限的定義一般地，當(dāng)

時(shí)，函數(shù)

f(x)的極限定義如下：定義：設(shè)函數(shù)

f(x)，當(dāng)

無(wú)限增大時(shí)，

f(x)趨于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為函數(shù)

f(x)，當(dāng)

時(shí)的極限，記充要條件討論當(dāng)

時(shí)，函數(shù)

f(x)=

極限。

例1解：（右圖）

例2討論當(dāng)

時(shí)，函數(shù)

f(x)=arccotx的極限。解：（右圖）x0y三、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)極限的定義極限意境Part044四、極限意境黃鶴樓送孟浩然之廣陵

李白故人西辭黃鶴樓，煙花三月下?lián)P州。孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，唯見長(zhǎng)江天際流。

相見時(shí)難、別亦難，珍惜友情、處好宿舍關(guān)系！四、極限意境望岳

杜甫岱宗夫如何，齊魯青未了。造化鐘神秀，陰陽(yáng)割未了。蕩胸生層云，決眥入歸鳥。會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小。

熱愛(ài)祖國(guó)大好河山，不怕困難、敢攀頂峰，俯視一切的雄心和氣概。四、極限意境

這兩首詩(shī)歌中的極限思想，教導(dǎo)我們?cè)趯W(xué)習(xí)中要勇于追求自己的夢(mèng)想和目標(biāo)。無(wú)論面對(duì)何種困難和挑戰(zhàn)，我們都要盡自己最大的努力（極限），有勇氣和決心去追求自己的夢(mèng)想，從而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。這種追求精神將激勵(lì)我們?cè)谌松缆飞喜粩嗲斑M(jìn)、不斷超越自我。課堂小結(jié)能從函數(shù)變化趨勢(shì)上理解函數(shù)的定義函數(shù)的極限（2）2.2.2主講人：xxx第二章函數(shù)的極限函數(shù)的極限（2）引例

分析：

討論

在

x趨向于1時(shí)函數(shù)值的變化情況。

xf(x)...0.90.990.9991......1.91.991.9992............1.0011.11.01...2.0012.12.01結(jié)論：

當(dāng)

x從1的左右兩側(cè)無(wú)限接近于1時(shí)，函數(shù)

f(x)的值無(wú)限接近于2，記為

自變量趨于有限值

x0

時(shí)函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)

f(x)在

x0

點(diǎn)附近有定義（

x0可除外），當(dāng)

x

無(wú)限接近

x0

時(shí)，f(x)趨于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為

時(shí)函數(shù)的極限，記函數(shù)的極限（2）例如：特別：函數(shù)的極限（2）引例

x1y0L2R分析：當(dāng)

x

從1的左側(cè)趨向于1，函數(shù)值趨向于2，當(dāng)

x

從1的右側(cè)趨向于1，函數(shù)值趨向于2。函數(shù)的極限（2）單側(cè)極限定義：當(dāng)

x從

x0

的左側(cè)（右側(cè)）無(wú)限接近

x0

時(shí)，f(x)趨于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為當(dāng)

時(shí)函數(shù)的左極限（右極限），記左極限右極限定理：極限存在的充分必要條件：左右極限存在且相等。即單選題1.判斷：若

，則

。（）Ａ.正確

Ｂ.錯(cuò)誤

A函數(shù)的極限（2）函數(shù)的極限（2）例1

討論函數(shù)

在

x

=

0處的極限。如下圖所示:x0yRL2分析：因?yàn)楹瘮?shù)在

x=0

處的左極限為2，右極限為0，所以函數(shù)

x=0處的極限不存在，即不存在。函數(shù)的極限（2）例2

討論函數(shù)

在

x

=

1

處的極限。解：

因?yàn)?/p>

因?yàn)樗?/p>

主觀題函數(shù)的極限（2）2.

討論函數(shù)

在

處的極限。單選題3.（）Ａ.1

C.-2

Ｂ.2

D.-1

A函數(shù)的極限（2）單選題4.（）Ａ.1

C.-2

Ｂ.2

D.-1

C函數(shù)的極限（2）函數(shù)的極限（2）

現(xiàn)象從以上例題可以看出：函數(shù)在某點(diǎn)有極限，但在該點(diǎn)可以沒(méi)有定義，函數(shù)在

x0點(diǎn)有定義，且單側(cè)極限存在，但兩者不等，函數(shù)在

x0點(diǎn)有定義，單側(cè)極限存在且相等，特別注意：求分段函數(shù)的極限時(shí)，要先求左右極限，然后再進(jìn)行判斷。拓展提升說(shuō)出生活中自變量趨于有限值

x0

時(shí)函數(shù)的極限的案例。例如：體育課隊(duì)形整理，兩邊幾列，向中間看齊后，隊(duì)伍整齊，左右兩列有一列不齊，隊(duì)伍不齊。善于觀察生活，勤于思考，用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題。課堂小結(jié)函數(shù)在某點(diǎn)極限的定義分段函數(shù)的極限無(wú)窮小量與無(wú)窮大量2.3主講人：xxx第二章函數(shù)的極限無(wú)窮小量與無(wú)窮大量在有極限的變量中，這類變量會(huì)經(jīng)常遇到，也特別重要，那就是無(wú)窮小量。吃餅問(wèn)題：一張餅，第一天吃它的一半，第二天吃第一天剩下的一半，第三天吃第二天剩下的一半，

，即每天都吃前一天剩下的一半，天天如此，利用極限的思想思考能吃完嗎？觀察：

案例引例無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

無(wú)窮小量的定義定義：設(shè)極限為零的變量稱為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小。我們經(jīng)常用希臘字母，，

來(lái)表示無(wú)窮小量。當(dāng)x

1時(shí)，x-1是無(wú)窮小量；當(dāng)x

時(shí)，

是無(wú)窮小量。例1

當(dāng)

時(shí)，，

，

，

都趨近于零，因此當(dāng)

時(shí)，這些變量都是無(wú)窮小量。例2

當(dāng)

時(shí)，

，

，

都趨近于零，因此當(dāng)

時(shí)，這些變量都是無(wú)窮小量。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

說(shuō)明（1）無(wú)窮小量不是一個(gè)很小的數(shù),因此任意的非零常數(shù)c，不論它的絕對(duì)值多么小，都不是無(wú)窮小量，常數(shù)0是惟一的可以作為無(wú)窮小量的常數(shù)。（2）某個(gè)變量是否是無(wú)窮小量與自變量的變化過(guò)程有關(guān)。例如

，所以當(dāng)

時(shí)，為無(wú)窮小，又，所以當(dāng)時(shí)，

不是無(wú)窮小。因此不能籠統(tǒng)地說(shuō)某個(gè)變量是無(wú)窮小量，必須同時(shí)指明自變量的變化過(guò)程。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

無(wú)窮小的性質(zhì)（1）有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍為無(wú)窮小量。

注意：無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的和未必是無(wú)窮小量。如：蘊(yùn)含哲學(xué)中“量變”“質(zhì)變”辯證思想；樹立正確的世界觀和價(jià)值觀?！拔鹨陨菩《粸椋鹨詯盒《鵀橹?；習(xí)近平：每個(gè)人的生活都是一件件小事組成，養(yǎng)小德才能成大德。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

無(wú)窮小的性質(zhì)（2）有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量。（3）常量與無(wú)窮小量的乘積為無(wú)窮小量。（4）有界變量與無(wú)窮小量的乘積為無(wú)窮小量。例3求極限解：因?yàn)楫?dāng)

時(shí)，x

為無(wú)窮小量，且

，

所以由性質(zhì)（4）.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

無(wú)窮大量的定義定義：在自變量的某一變化過(guò)程中，變量f(x)的絕對(duì)值無(wú)限增大，則稱變量f(x)為在該變化過(guò)程中的無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮大記作：當(dāng)x

0時(shí)，

是無(wú)窮大量；當(dāng)

時(shí)，

是無(wú)窮大量。

注意無(wú)窮大量不是很大的數(shù)，因此任意的常數(shù)，不論它的絕對(duì)值多么大，都不是無(wú)窮大量。某個(gè)變量是否是無(wú)窮大量與自變量的變化過(guò)程有關(guān)。無(wú)窮大是函數(shù)極限不存在的一種情形。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系定理：在同一變化過(guò)程中，無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮??；恒不等于零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大。例如：當(dāng)

時(shí)，

為無(wú)窮大，故為無(wú)窮小；當(dāng)時(shí)，

為非零無(wú)窮??；故為無(wú)窮大。矛盾的對(duì)立統(tǒng)一原理：無(wú)窮大與無(wú)窮小看似對(duì)立，實(shí)則聯(lián)系，在一定的條件下能夠相互轉(zhuǎn)化。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量拓展提升從戰(zhàn)國(guó)時(shí)期詩(shī)人屈原的《天問(wèn)》，到2020年7月23日，中國(guó)人民把“天問(wèn)一號(hào)”送入太空，踏上了人類訪問(wèn)火星的文明之旅。再到2022年12月31日，中國(guó)天宮空間站全面建成，充分展現(xiàn)了中國(guó)人民：（1）敢于提出疑問(wèn)，追求真理，揭開無(wú)窮大的宇宙奧秘；（2）發(fā)揚(yáng)航天精神，不改初心、勇于攀登高峰、銳意進(jìn)取。課堂小結(jié)無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的定義無(wú)窮小量的性質(zhì)無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系極限的運(yùn)算2.4主講人：xxx第二章函數(shù)的極限極限的運(yùn)算法則極限運(yùn)算的例子極限的運(yùn)算法則Part011一、極限的運(yùn)算法則設(shè)在自變量

x的同一變化過(guò)程中，極限

及都存在，則有（1）（2）（3）推論1

（C為常數(shù)）推論2（n為正整數(shù)）一、極限的運(yùn)算法則

使用法則的前提兩函數(shù)極限必須都存在。法則中自變量的變化趨勢(shì)要一致。加法和乘法法則可推廣到有限個(gè)。用商的法則時(shí)，分母極限不為0。極限運(yùn)算的例子Part022二、極限運(yùn)算的例子例1

求

解：多項(xiàng)式函數(shù)在點(diǎn)的極限為二、極限運(yùn)算的例子例2

方法：分母的極限不為0，直接用商的極限法則。求

解：由商的極限運(yùn)算法則二、極限運(yùn)算的例子例3

方法：分子分母極限都為0，通過(guò)分解因式，約去極限為零的公因子。求

解：

，分子分母先約去因式=二、極限運(yùn)算的例子例4求

解：

，分子分母極限都為0，不能用商的法則，此時(shí)先對(duì)分子有理化，然后再求極限二、極限運(yùn)算的例子例5求

解：分子與分母的極限都是無(wú)窮大（

型）=方法：對(duì)于型未定式，若分子與分母都是x的多項(xiàng)式函數(shù)，則型未定義的求解方法是分子與分母同時(shí)除以分子、分母中x的最高次冪。

二、極限運(yùn)算的例子一般結(jié)果注意：此公式只實(shí)用于時(shí)的情形。

二、極限運(yùn)算的例子例6求（1）

（2）=0兩個(gè)重要極限（1）2.5主講人：xxx第二章函數(shù)的極限第一重要極限第二重要極限第一重要極限Part011一、第一重要極限該重要極限在極限計(jì)算中有重要作用，它在形式上有以下特點(diǎn)：（1）它是型未定式；（2）它可以寫成（代表同樣的變量或同樣的表達(dá)式）。等價(jià)形式：一、第一重要極限例1

求極限.

解：==7

重要結(jié)論：?jiǎn)芜x題1.（）Ａ.4

C.3/4

Ｂ.3

D.4/3

C一、第一重要極限一、第一重要極限例2

此結(jié)果可當(dāng)作公式用，用法和第一重要極限一樣求極限.

解：===1

重要結(jié)論：?jiǎn)芜x題2.（）Ａ.2

C.2/5

Ｂ.5

D.5/2

D一、第一重要極限一、第一重要極限例3

求極限.

解：一、第一重要極限例4

求極限.

解：=1單選題3.=（）Ａ.0

Ｂ.1

A一、第一重要極限兩個(gè)重要極限（2）2.5主講人：xxx第二章函數(shù)的極限第一重要極限第二重要極限第二重要極限Part022二、第二重要極限該重要極限在形式上有以下特點(diǎn)：（1）它是底數(shù)的極限為1，指數(shù)為無(wú)窮大的變量的極限，這也是一種未定式，通常記為型未定式；（2）它可以寫成或.對(duì)于數(shù)列也有類似的結(jié)論，即例1

二、第二重要極限求極限.

解：例2

二、第二重要極限求極限.

解：例3

二、第二重要極限求極限.

解：例4

二、第二重要極限求極限.

解：==例5

二、第二重要極限求極限.

解：==典型案例設(shè)本金為A，銀行存款的年利率為r，如果以年為周期結(jié)算，則t年的本利和為（1）如果要求一年結(jié)算n次，求t年末的本利和；（2）如果以連續(xù)復(fù)利結(jié)算，求t年末的本利和。解：（1）如果要求每年結(jié)算n次，則每次的利率為

，于是，t年末的本利和為復(fù)利問(wèn)題典型案例（2）如果以連續(xù)復(fù)利計(jì)算，即每年結(jié)算的次數(shù)（資金的周轉(zhuǎn)是連續(xù)的，計(jì)算復(fù)利也應(yīng)越細(xì)越合理），則t年末的本利和為

這即為國(guó)際上廣泛使用的“連續(xù)復(fù)利法”，

稱為連續(xù)復(fù)利系數(shù)。例如，物體的冷卻、生物的連續(xù)生長(zhǎng)、人口的增長(zhǎng)等，都可視為這種模型。拓展提升校園貸問(wèn)題

學(xué)生貸款10000元，一個(gè)月后地下錢莊扣除2000元利息，給學(xué)生8000元，我們可以算一下，一年期后學(xué)生需要還多少錢?解：月利息為2000÷8000=25%，年利率為r=25%×12=300%，A=10000。

有上例第（2）問(wèn)結(jié)論知，一年期后學(xué)生需要還10000×=20.1萬(wàn)。結(jié)論：當(dāng)代大學(xué)生要立場(chǎng)堅(jiān)定，堅(jiān)決抵抗物質(zhì)的誘惑，形成合理的消費(fèi)觀。函數(shù)的連續(xù)性2.6.1主講人：xxx第二章函數(shù)的極限概念引入預(yù)備知識(shí)初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的定義概念引入Part011一、概念引入

生活中很多事物的變化是連續(xù)的，例如，一天中氣溫的變化、動(dòng)植物的生長(zhǎng)、水的流動(dòng)等，都是隨時(shí)間連續(xù)不斷變化，這些現(xiàn)象的特點(diǎn)：當(dāng)時(shí)間變化量很小時(shí)，相應(yīng)有關(guān)量的變化也很小，這反映在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的連續(xù)性。預(yù)備知識(shí)Part022二、預(yù)備知識(shí)函數(shù)的增量：

定義1：設(shè)y=f(x)在點(diǎn)

x0

附近的點(diǎn)x記為

，當(dāng)自變量

x

從

x0變到

時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)從

變到，此時(shí)稱為x的增量，為函數(shù)y的增量，即說(shuō)明：增量就是終值與初值之差，其值可以是正的，可以是負(fù)的，也可以是零。連續(xù)函數(shù)的定義Part033三、連續(xù)函數(shù)的定義f(x)在點(diǎn)

x0

連續(xù)的定義

定義2：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)

x0

的某鄰域內(nèi)有定義，自變量x在點(diǎn)

x0取得增量

時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)增量為

，若當(dāng)

時(shí)，

，即則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0

連續(xù)。三、連續(xù)函數(shù)的定義

設(shè)

，則

且

就是

，故

，等價(jià)于，于是得函數(shù)連續(xù)的等價(jià)定義。定義3：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)

x0

的某鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)

時(shí)，極限則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)

x0

連續(xù)。三、連續(xù)函數(shù)的定義函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x0

連續(xù)的條件 f(x)在點(diǎn)

x0有定義

存在三、連續(xù)函數(shù)的定義例1

證明：函數(shù)

在處連續(xù)解：函數(shù)在的領(lǐng)域內(nèi)有定義，因?yàn)?/p>

，且

，

即

所以函數(shù)

在處連續(xù)三、連續(xù)函數(shù)的定義左右連續(xù)的概念

定義4：如果

，則稱函數(shù)

在點(diǎn)處左連續(xù)；

如果

，則稱函數(shù)

在點(diǎn)處右連續(xù)。函數(shù)

在點(diǎn)處連續(xù)的充分必要條件是它在點(diǎn)既左連續(xù)，又右連續(xù)。三、連續(xù)函數(shù)的定義例2

討論函數(shù)

在處的連續(xù)性。

解：因?yàn)?/p>

，且

所以

在處左連續(xù)且右連續(xù)，從而在處連續(xù)。

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)

f(x)

在區(qū)間（a,b）內(nèi)連續(xù)。三、連續(xù)函數(shù)的定義f(x)在區(qū)間上的連續(xù)性的定義

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)連續(xù)，且

；

，即在左端點(diǎn)處右連續(xù)，右端點(diǎn)處左連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)。注：連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。

基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)都是連續(xù)的。初等函數(shù)的連續(xù)性Part044四、初等函數(shù)的連續(xù)性定理：設(shè)函數(shù)f(x)和

g(x)

在點(diǎn)

x0連續(xù)，則它們的和（差）

、積

、商

在點(diǎn)

x0連續(xù)。定理：設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

x0處連續(xù)，

在點(diǎn)處連續(xù)。若復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x0處也連續(xù)。定理：初等函數(shù)在其定義區(qū)間（包含在定義域內(nèi)的區(qū)間）上都是連續(xù)函數(shù)。概念拓展

知識(shí)的積累也是連續(xù)的，需要付出時(shí)間和精力，妄圖尋求捷徑的想法是不可取的。正如荀子《勸學(xué)》中所說(shuō)，不積硅步，無(wú)以至千里；不積小流，無(wú)以成江海。水滴石穿，貴在堅(jiān)持。課堂小結(jié)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義函數(shù)在一點(diǎn)左右連續(xù)的定義連續(xù)函數(shù)的定義函數(shù)的間斷點(diǎn)2.6.2主講人：xxx第二章函數(shù)的極限函數(shù)的間斷點(diǎn)定義間斷點(diǎn)定義：若函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0

的滿足下列條件之一，則稱點(diǎn)

x0為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)。f(x)在點(diǎn)

x0無(wú)定義；

在點(diǎn)x0有定義，但

不存在；在點(diǎn)x0有定義，但

。

函數(shù)的間斷點(diǎn)分類函數(shù)的間斷點(diǎn)一般分為兩大類第一類間斷點(diǎn)：x0為間斷點(diǎn)，且左右極限都存在，分為以下兩類：（1）若

，則稱

x0為函數(shù)

f(x)的可去間斷點(diǎn)；（2）若

，則稱

x0為函數(shù)

f(x)的跳躍間斷點(diǎn)。第二類間斷點(diǎn)：x0為間斷點(diǎn)，且左右極限至少有1個(gè)不存在，分為以下兩類：（1）若

，則稱

x0為

f(x)的無(wú)窮間斷點(diǎn)；（1）若

時(shí)，震蕩性地不存在，則稱

x0為

f(x)的震蕩間斷點(diǎn)。函數(shù)的間斷點(diǎn)例1

求函數(shù)

的間斷點(diǎn)，并判斷類型。解：函數(shù)在點(diǎn)處無(wú)定義，故是函數(shù)的間斷點(diǎn)。

又

，故是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)。函數(shù)的間斷點(diǎn)例2

討論函數(shù)

在點(diǎn)的連續(xù)性。

解：因?yàn)?/p>

，

，

不存在，

所以

是間斷點(diǎn)，且是第一類當(dāng)中的跳躍間斷點(diǎn)。函數(shù)的間斷點(diǎn)例3

求函數(shù)

的間斷點(diǎn)，并判斷類型。

解：函數(shù)

在點(diǎn)處無(wú)定義，所以是函數(shù)的間斷點(diǎn)。

因?yàn)?/p>

，

所以

是函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)。

課堂小結(jié)間斷點(diǎn)的定義01間斷點(diǎn)分類02（1）第一類間斷點(diǎn)：可去間斷點(diǎn),跳躍間斷點(diǎn)；（2）第二類間斷點(diǎn)：無(wú)窮間斷點(diǎn),振蕩間斷點(diǎn)。03會(huì)判斷間斷點(diǎn)類型無(wú)窮小的比較2.7主講人：xxx第二章函數(shù)的極限引入無(wú)窮小的比較常見的等價(jià)無(wú)窮小等價(jià)無(wú)窮小的代換引入Part011一、引入

在同一變化過(guò)程兩個(gè)無(wú)窮小的