高一數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié)

必修一

一、集合

一、集合有關(guān)概念

1.集合的含義

2.集合的中元素的三個(gè)特性：

（1）元素的確定性如：世界上最高的山

（2）元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合｛H,A,P,Y）

（3）元素的無(wú)序性：如：｛a,b,c｝和（a,c,b｝是表示同一個(gè)集

合

3.集合的表示：｛…｝如：｛我校的籃球隊(duì)員｝,｛太平洋，

大西洋，印度洋，北冰洋）

⑴用拉丁字母表示集合：A=｛我校的籃球隊(duì)

員｝,B=｛1,2,3,4,5｝

（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。

?注意：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集

R

1）列舉法:｛a,b,c……｝

2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫在大

括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。｛xeRlx-3>2）,｛x|x-3>2｝

3）語(yǔ)言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形）

4）Venn圖:

4、集合的分類：

（1）有限集含有有限個(gè)元素的集合

（2）無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合

⑶空集不含任何元素的集合例：｛xIx2=-5｝

二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系一子集

注意：AqB有兩種可能（1）A是B的一部分,；（2）A與

B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作

A^B或B衛(wèi)A

2.“相等”關(guān)系:A=B（5>5,且545,則5=5）

實(shí)例：設(shè)A=｛x|x2-l=0｝B=｛-1,1｝“元素相同則兩集

合相等”

即：①任何一個(gè)集合是它本身的子集。AcA

②真子集：如果AcB,且AHB那就說(shuō)集合A是集合B的真子

集，記作A5B（或B?A）

③如果AcB,BaC，那么AcC

④如果AqB同時(shí)BqA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為。

規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真

子集。

?有n個(gè)元素的集合，含有2"個(gè)子集，2e個(gè)真子集

二、函數(shù)

1、函數(shù)定義域、值域求法綜合

2.、函數(shù)奇偶性與單調(diào)性問(wèn)題的解題策略

3、恒成立問(wèn)題的求解策略

4、反函數(shù)的幾種題型及方法

5、二次函數(shù)根的問(wèn)題-----題多解

&指數(shù)函數(shù)y=aAx

aAa*aAb=aAa+b(a>0,a?b屬于Q)

(aAa)Ab=aAab(a>0,a,b屬于Q)

(ab)Aa=aAa*bAa(a>0,a,b屬于Q)

指數(shù)函數(shù)對(duì)稱規(guī)律：

1、函數(shù)y=a"x與y=a"x關(guān)于y軸對(duì)稱

2、函數(shù)y=aAx與丫=飛為關(guān)于x軸對(duì)稱

3、函數(shù)y=aAx與y=-aA-x關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱

&對(duì)數(shù)函數(shù)y=logaAx

如果a>0,且awl,M>0,N>0,那么：

①log"(M-N)=log,,M+log?N;

°log?！?log“M-log?N；

③log(1M"=nlog“M(〃eR).

注意：換底公式

logb-”(a>0,且awl;c>0,且cwl;b>0).

log,a

嘉函數(shù)y=xAa(a屬于R)

1、嘉函數(shù)定義：一般地，形如y=xa(aeR)的函數(shù)稱為嘉

函數(shù)，其中a為常數(shù).

2、嘉函數(shù)性質(zhì)歸納.

(1)所有的嘉函數(shù)在(0,+8)都有定義并且圖象都過(guò)點(diǎn)

(1,1)；

(2)a>0時(shí)，基函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間［0,+8)

上是增函數(shù).特別地，當(dāng)a>l時(shí)，嘉函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)

0<￡<1時(shí)，嘉函數(shù)的圖象上凸；

(3)a<0時(shí)，嘉函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù).在

第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)限

地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+8時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限

地逼近x軸正半軸.

方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)y=/(x)(xe。)，把使

=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=〃x)(xe。)的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)就是方程/(x)=0

實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

即：方程/(口=0有實(shí)數(shù)根0函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有

交點(diǎn)o函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn).

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

d)(代數(shù)法)求方程/(x)=0的實(shí)數(shù)根；

②(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函

數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)y=a》2+bx+c(a豐0).

(1)△>0,方程a/+/>x+c=0有兩不等實(shí)根，二次函

數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

(2)△=0,方程a/+bx+c=0有兩相等實(shí)根，二次函

數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二

階零點(diǎn).

(3)△<0,方程a/+bx+c=0無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，二次

函數(shù)無(wú)零點(diǎn).

三、平面向量

向量：既有大小，又有方向的量.

數(shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量.

有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.

零向量：長(zhǎng)度為0的向量.

單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.

相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量

&向量的運(yùn)算

加法運(yùn)算

AB+BC=AC,這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則。

已知兩個(gè)從同一點(diǎn)0出發(fā)的兩個(gè)向量0A、0B,以0A、0B為鄰邊作平行四邊形0ACB,

則以0為起點(diǎn)的對(duì)角線0C就是向量0限0B的和，這種計(jì)算法則叫做向量加法的

平行四邊形法則。

對(duì)于零向量和任意向量a,有：0+a=a+0=a.

la+b|<|a|+|b|o

向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律。

減法運(yùn)算

與a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a,零向量的相

反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)0

數(shù)乘運(yùn)算

實(shí)數(shù)人與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作入a,I入a|

=1入llal,當(dāng)人＞。時(shí)，入a的方向和a的方向相同，當(dāng)入＜0時(shí)，入a的方

向和a的方向相反，當(dāng)入=0時(shí)，入a=Oo

設(shè)入、口是實(shí)數(shù)，那么：（1）（入H）a=入（.a）（2）（入p）a=入apa（3）

入（a±b）=入a±入b（4）（-入）a=-（入a）=入（-a）。

向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。

向量的數(shù)量積

已知兩個(gè)非零向量a、b,那么lallblcos。叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作

a?b,。是a與b的夾角，laIcos0（Iblcos。）叫做向量a在b方向上（b

在a方向上）的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。

a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影Iblcos6

的乘積。

兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。

四、三角函數(shù)

1、善于用“1“巧解題

2、三角問(wèn)題的非三角化解題策略

3、三角函數(shù)有界性求最值解題方法

4、三角函數(shù)向量綜合題例析

5、三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法

15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì):

y-tanx

定

義.711r

R<xx^k?！?kGZ>

域2

值

域

當(dāng)x=2k7V+—（keZ）當(dāng)x=2女%（&wZ）時(shí)，口工工口,/士工曰）

B最2''V'既無(wú)最大值也無(wú)最小

值時(shí)，Xnax=l；當(dāng)Vmax=l；當(dāng)X=2版'+%

-l.

y=

）時(shí)，

俏eZ

-

k7T-

x=2

min

-l.

y=

）時(shí),

（女€Z

min

周

7t

2/r

期21

性

奇

奇函數(shù)

數(shù)

奇函

偶偶函數(shù)

性

+—

,2k7r

7r--

在2k

Z)

旬(ke

肛2k

2k%—

在[

2」

2

-

])

版+

萬(wàn)-三

在「

；在

函數(shù)

是增

在上

函數(shù)；

上是增

單(AeZ)

調(diào)

性

+)]

2攵%

[2%肛

-|

-

數(shù).

增函

上是

(AeZ)

r+—

-,2k7

2k7i+

數(shù).

減函

上是

(keZ)

2J

2

L

數(shù).

減函

)上是

俏wZ

中

稱

心對(duì)

中

稱

對(duì)

心

中

稱

對(duì)對(duì)

Z)

)(攵G

(攵肛0

JleZ)

-,0](

稱I^+

)

。)(1

(M

；

2

性軸I

稱

對(duì)

)

僅eZ

=版■

軸x

對(duì)稱

EZ)

x=k兀

軸

無(wú)對(duì)稱

四

必修

,

幾象限

落在第

，終邊

軸重合

負(fù)半

的非

與x軸

始邊

，角的

點(diǎn)重合

與原

頂點(diǎn)

角。的

角.

象限

第幾

a為

則稱

eZ}

T,A

+9(

6(T

<h3

0。<a

|h36

為{a

集合

角的

象限

第一

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180",&

3600+

<人

+90°

.360°

為{0k

集合

角的

象限

第二

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+270