第第頁專題05立體幾何綜合（精選45題）題型概覽題型01立體幾何的基本概念題型02直觀圖及相關(guān)計算題型03體積、表面積的計算題型04球體的綜合計算題型05截面問題題型06最值問題題型07解答題綜合優(yōu)選提升題題型01立體幾何的基本概念題型011．(23-24高一下·湖南邵陽縣第二高級中學(xué)·期中)空間中垂直于同一個平面的兩條直線（

）A．相交 B．異面 C．平行 D．垂直【答案】C【來源】湖南省邵陽縣第二高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)得出.【詳解】垂直于同一個平面的兩條直線互相平行.故選：C.2．(23-24高一下·湖南慈利縣第一中學(xué)·期中)下面說法不正確的是（

）A．多面體至少有四個面 B．平行六面體六個面都是平行四邊形C．棱臺的側(cè)面都是梯形 D．長方體、正方體都是正四棱柱【答案】D【來源】湖南省慈利縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)各選項中的幾何體的結(jié)構(gòu)特征即可判斷.【詳解】對于A：最簡單的多面體是三棱錐，有4個面，所以多面體的面數(shù)大于等于4，所以“多面體至少有四個面”正確，故A正確；對于B：由平行六面體的定義可知：平行六面體六個面都是平行四邊形，故B正確；對于C：由棱臺的定義可知：棱臺的側(cè)面都是梯形，故C正確；對于D：按照正四棱柱的定義，底面必須是正方形，所以底面不是正方形的長方體就不是正四棱柱，故D錯誤.故選：D.3．(23-24高一下·湖南耒陽第一中學(xué)等多校聯(lián)考·期中)下列命題是真命題的是（

）A．兩個四棱錐可以拼成一個四棱柱 B．正三棱錐的底面和側(cè)面都是等邊三角形C．經(jīng)過不共線的三個點的球有且只有一個 D．直棱柱的側(cè)面是矩形【答案】D【來源】湖南省耒陽市第一中學(xué)等多校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】利用空間幾何體的結(jié)構(gòu)，依次分析選項即可得到答案.【詳解】對于A，兩個四棱錐不一定可以拼成一個四棱柱，A錯誤．對于B，正三棱錐的底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰三角形，不一定是等邊三角形，B錯誤．對于C，經(jīng)過不共線的三個點只能確定一個平面，經(jīng)過不共線的三個點的球有無數(shù)個，C錯誤．對于D，直棱柱的側(cè)面是矩形，D正確．故選：D4．(23-24高一下·湖南三湘名校教育聯(lián)盟聯(lián)考·期中)在數(shù)學(xué)實踐課堂上小明將手中的非等腰直角三角形板繞著該直角板的斜邊旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體為（

）A．圓柱 B．兩個大小相同的圓錐組成的組合體C．兩個大小不同的圓錐組成的組合體 D．八面體【答案】C【來源】湖南省三湘名校教育聯(lián)盟聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】利用旋轉(zhuǎn)體定義即可求出結(jié)果.【詳解】因為三角形為非等腰直角三角形，所以繞著該直角板的斜邊旋轉(zhuǎn)一周后得到的是兩個大小不同的圓錐組成的組合體，故選：C.5．(23-24高一下·湖南常德第一中學(xué)·期中)設(shè)，是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則是異面直線 D．若，則或，是異面直線【答案】D【來源】湖南省常德市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】利用空間中線、面的位置關(guān)系一一判定選項即可.【詳解】對于A，可設(shè)為平面，顯然，但，故A錯誤；對于B，可設(shè)為平面，顯然，但，故B錯誤；對于C，可設(shè)分別為平面，平面，顯然，但，故C錯誤；對于D，若，則兩平面不會有交點，所以或，是異面直線，故D正確.故選：D6．(23-24高一下·湖南常德德善高級中學(xué)·期中)表示點，,表示線，表示平面，下列命題中是真命題的為（

）A．若點平面，點平面，則與平面相交B．若.則與必異面C．若平面平面，則平面D．若平面平面，則【答案】A【來源】湖南省常德市德善高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】由線線關(guān)系、線面關(guān)系逐一判斷每個選項即可得解.【詳解】對于選項A，由線面位置關(guān)系可知，若點平面，點平面，則與平面相交點，故A正確；對于選項B，如圖①所示，顯然B錯誤.對于選項C，如圖②所示，顯然C錯誤.對于選項D，如圖③所示，顯然D錯誤.

故選：A.題型02直觀圖及相關(guān)計算題型027．(23-24高一下·湖南株洲淥口區(qū)第三中學(xué)·期中)利用斜二測畫法畫出邊長為的正方形的直觀圖，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【來源】湖南省株洲市淥口區(qū)第三中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】利用直觀圖的性質(zhì)求解即可.【詳解】由直觀圖的性質(zhì)得原正方形的橫向長度不變，縱向長度減半，橫縱夾角變?yōu)椋@然C正確.故選：C8．(23-24高一下·湖南長沙明德中學(xué)·期中)的直觀圖如圖所示，其中軸，軸，且，則的面積為（

）

A． B．2 C．4 D．【答案】C【來源】湖南省長沙市明德中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷【分析】將直觀圖還原為原圖，如圖所示，進(jìn)而求解.【詳解】將直觀圖還原為原圖，如圖所示，

則是直角三角形，其中，故的面積為．故選：C9．(23-24高一下·湖南常德沅澧共同體·期中)如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，且，，則該平面圖形的高為（

）A． B．3 C． D．【答案】C【來源】湖南省常德市沅澧共同體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)斜二測畫法即可直接求解.【詳解】由直觀圖可知在軸上，在軸上，原圖如圖所示，在原圖中，在軸上，在軸上，，所以的長即為該平面圖形的高，且.故選：C10．(23-24高一下·湖南三湘名校教育聯(lián)盟聯(lián)考·期中)用斜二測畫法得到一個水平放置的四邊形的直觀圖為如圖所示的直角梯形，已知，四邊形的面積為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【來源】湖南省三湘名校教育聯(lián)盟聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則還原四邊形，然后根據(jù)各邊關(guān)系列方程，解方程即可.【詳解】如圖所示，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，得到原四邊形，設(shè)，則，則，，且為原圖形中梯形的高，故，解得，故.故選：D.11．(23-24高一下·湖南岳陽縣第一中學(xué)、汨羅第一中學(xué)·期中)如圖，表示水平放置的根據(jù)斜二測畫法得到的直觀圖，在x′軸上，與x′軸垂直，且，則的面積為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【來源】湖南省岳陽縣第一中學(xué)、汨羅市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期五月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【分析】利用斜二測畫法的定義通過的長確定OA，OB的長，再求出的面積.【詳解】∵在軸上，在軸上，∴在x軸上，在y軸上，，，如圖，∴.故選：B.12．(23-24高一下·湖南邵陽縣第二高級中學(xué)·期中)如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是個底角為的等腰梯形，已知直觀圖中，，，則該平面圖形的面積為．【答案】【來源】湖南省邵陽縣第二高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)直觀圖與原平面圖形的關(guān)系作出原平面圖形，求出相應(yīng)邊長后計算面積．【詳解】由直觀圖可得平面圖形如下圖所示：則，，在題設(shè)等腰梯形中，，因此，所以．故答案為：．13．(23-24高一下·湖南名校聯(lián)考聯(lián)合體·期中)如圖，表示水平放置的的直觀圖，在軸上，與軸垂直，且，則的邊上的高為.【答案】【來源】湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)斜二測畫法，，表示其面積，求出答案.【詳解】設(shè)的邊上的高為，由斜二測畫法原理可得，所以，又，所以.故答案為：.14．(23-24高一下·湖南耒陽第一中學(xué)等多校聯(lián)考·期中)用斜二測畫法畫梯形的直觀圖，如圖所示．已知，，則梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【來源】湖南省耒陽市第一中學(xué)等多校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)題意，在直觀圖中，由梯形的性質(zhì)可得的長，將直觀圖還原為原圖，利用圓臺的側(cè)面積公式計算即可得答案.【詳解】畫出梯形的原圖，如圖所示．在直觀圖中，，，得，則在原圖中，，，四邊形是直角梯形，則四邊形OABC繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間幾何體是一個圓臺，該圓臺的上底面半徑為2，下底面半徑為4，高為，故該圓臺的母線長為，側(cè)面積為．故選：A題型03體積、表面積的計算題型0315．(23-24高一下·湖南長沙雅禮中學(xué)·期中)若一個圓臺的兩個底面半徑分別為1和2，側(cè)面積為，則它的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【來源】湖南省長沙市雅禮中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】由側(cè)面積求得母線長，再求出圓臺的高，然后由體積公式計算．【詳解】記母線長為，高為，由側(cè)面積為，，則高為，所以體積為，故選：B．16．(23-24高一下·湖南部分學(xué)?！て谥?已知某圓臺的上、下底面直徑分別為4，10，高為4，則該圓臺的側(cè)面積為．【答案】【來源】湖南省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【分析】畫出圖形，求出母線長，結(jié)合側(cè)面積公式求解即可.【詳解】如圖，圓臺的上、下底面直徑分別為4，10，高為4，則.則，根據(jù)側(cè)面積公式，知道圓臺側(cè)面積為．故答案為：．17．(23-24高一下·湖南常德德善高級中學(xué)·期中)圓臺的上、下底半徑和高的比為1：4：4，母線長為10，則圓臺的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【來源】湖南省常德市德善高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】該圓臺的軸截面如圖所示，設(shè)圓臺的上底面半徑為r，則，得到，再計算表面積得到答案.【詳解】該圓臺的軸截面如圖所示.設(shè)圓臺的上底面半徑為r，則下底面半徑，高則它的母線長∴，.∴，.故選：D．18．(23-24高一下·湖南邵陽縣第二高級中學(xué)·期中)已知圓錐母線長為5，底面圓半徑長為3．(1)求圓錐的體積；(2)求圓錐的表面積．【答案】(1)(2)【來源】湖南省邵陽縣第二高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】（1）根據(jù)題意，求得圓錐的高為，結(jié)合圓錐的體積公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用圓錐的側(cè)面積公式和圓的面積公式，即可求解.【詳解】（1）解：由題意知，圓錐母線長為，底面圓半徑長為，可得圓錐的高為，所以圓錐的體積為.（2）解：由題意，可得圓錐的側(cè)面積為，圓錐的底面面積為，所以圓錐的表面積為.19．(23-24高一下·湖南株洲淥口區(qū)第三中學(xué)·期中)已知邊長為2，各面均為等邊三角形的四面體如圖所示，求它的表面積.【答案】【來源】湖南省株洲市淥口區(qū)第三中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】易知四面體為正四面體，求出一個三角形面積即可得四面體的表面積.【詳解】因為四面體的四個面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個面的面積的4倍，不妨求的面積，取的中點為，連接；因為是邊長為2的正三角形，易知，所以.可得四面體的表面積為.20．(23-24高一下·湖南邵陽邵東創(chuàng)新高級中學(xué)·期中)已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，高為，則該正四棱臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【來源】湖南省邵陽市邵東市創(chuàng)新高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)給定條件，利用正棱臺的體積公式計算即可.【詳解】依題意，該正四棱臺的體積.故選：C21．(23-24高一下·湖南岳陽縣第一中學(xué)、汨羅第一中學(xué)·期中)（多選）在高為3的正三棱臺中，，且上底面的面積為，則（

）A．直線與異面B．直線與異面C．正三棱臺的體積為D．正三棱臺的體積為【答案】BC【來源】湖南省岳陽縣第一中學(xué)、汨羅市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期五月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【分析】由異面直線的定義可判斷A，B；求出正三棱臺的體積可判斷C，D.【詳解】對于A，直線與相交，A錯誤；對于B，因為平面，平面，平面，所以平面直線與異面，B正確；對于C、D，因為正三棱臺下底面的面積為，所以正三棱臺的體積，C正確，D錯誤．故選：BC.22．(23-24高一下·湖南常德沅澧共同體·期中)某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由棱長為的正四面體沿棱的三等分點，截去四個一樣的正四面體得到.

(1)求石凳的體積與原正四面體的體積之比；(2)為了美觀工人準(zhǔn)備將石凳的表面進(jìn)行粉刷，已知每平方米造價50元，請問粉刷一個石凳需要多少錢？（）【答案】(1)(2)【來源】湖南省常德市沅澧共同體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】（1）首先得到棱長為的正四面體的體積公式，再根據(jù)體積比計算可得；（2）求出石凳的表面積，即可估計出費用.【詳解】（1）因為棱長為的正四面體的體積，如圖補(bǔ)全正四面體，依題意正四面體的棱長為正四面體的，所以，所以截去部分的體積為，剩下部分的體積為，所以石凳的體積與原正四面體的體積之比為.

（2）因為正四面體的棱長為，所以，則，所以，所以石凳的表面積，即石凳的表面積約為，所以粉刷一個石凳約需要元.23．(23-24高一下·湖南耒陽第一中學(xué)等多校聯(lián)考·期中)如圖，在正四棱臺中，M，N，P，Q分別為棱AB，BC，，上的點．已知，，，，正四棱臺的高為6．

(1)證明：直線MQ，，NP相交于同一點．(2)求正四棱臺挖去三棱臺后所得幾何體的體積．【答案】(1)證明見解析；(2)105.【來源】湖南省耒陽市第一中學(xué)等多校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】（1）作出輔助線，設(shè)MQ的延長線與的延長線交于點E，NP的延長線與的延長線交于點F．根據(jù)棱臺性質(zhì)得到，點E，F(xiàn)重合，從而證明出結(jié)論；（2）求出正四棱臺的體積和三棱臺的體積，相減后得到答案.【詳解】（1）證明：在正四棱臺中，因為，，，，所以四邊形，均為梯形，則直線MQ與必相交，NP與必相交．延長MQ，，NP，設(shè)MQ的延長線與的延長線交于點E，NP的延長線與的延長線交于點F．在正四棱臺中，，，

則，，得，所以點E，F(xiàn)重合，即直線MQ，，NP相交于同一點．（2）正四棱臺的體積為．由題意可得三棱臺的高為6，則三棱臺的體積為．故所求幾何體的體積為．24．(23-24高一下·湖南常德德善高級中學(xué)·期中)如圖所示正方體中的棱長為，連得到三棱錐(1)求三棱錐表面積與正方體表面積之比(2)求三棱錐的體積【答案】(1)(2)【來源】湖南省常德市德善高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】（1）根據(jù)正三棱錐、正方體表面積公式計算即可求解；（2）正三棱錐體積等于正方體體積減去四個全等的三棱錐體積，根據(jù)正方體、三棱錐體積計算公式計算即可.【詳解】（1）在正方體中，，設(shè)三棱錐表面積為，則，設(shè)正方體表面積為，則所以（2）.題型04球體的綜合計算題型0425．(23-24高一下·湖南邵陽縣第二高級中學(xué)·期中)直徑為的球的表面積為．【答案】【來源】湖南省邵陽縣第二高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】求出球的半徑，由球的表面積公式求出答案.【詳解】由題意得，球的半徑為，故表面積為.故答案為：26．(23-24高一下·湖南株洲淥口區(qū)第三中學(xué)·期中)直徑為2的球的體積是.【答案】【來源】湖南省株洲市淥口區(qū)第三中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】利用球的體積公式計算即可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，球的半徑為，所以該球的體積為.故答案為：27．(23-24高一下·湖南株洲南方中學(xué)·期中)已知正三棱錐，各棱長均為，則其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【來源】湖南省株洲市南方中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】由正三棱錐的性質(zhì)可知頂點的投影在底面正三角形的重心上，在中結(jié)合勾股定理可求得外接球半徑，進(jìn)而可求得外接球表面積.【詳解】由是正三棱錐，底面是正三角形，邊長為，則頂點的投影在底面正三角形的重心上，則外接球的球心在高線上，且到各個頂點的距離相等，如圖，取的中點，連接，過作平面，且垂足為，則，由，則在中，有，所以，則在中，有，設(shè)外接球的半徑為，則，即，解得，故外接球的表面積為.故選：A.28．(23-24高一下·湖南長沙雅禮中學(xué)·期中)在三棱錐中，平面，，為邊長等于的正三角形，則三棱錐的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【來源】湖南省長沙市雅禮中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】將三棱錐補(bǔ)形為一個直三棱柱,分別是上下底的外心，則的中點是外接球的球心，求出球半徑后可得表面積．【詳解】易知的外接圓的半徑為1，將三棱錐補(bǔ)形為一個直三棱柱，如圖，分別是上下底的外心，則的中點是外接球的球心，由題設(shè)，易得底面外接圓半徑，，則，即外接球的半徑為，其外接球的表面積是，故選：D．29．(23-24高一下·湖南長沙明德中學(xué)·期中)在直三棱柱中，為等邊三角形，，則三棱柱的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【來源】湖南省長沙市明德中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷【分析】分別是正三棱柱上、下底面中心，則的中點是該三棱柱外接球的球心，求出球半徑后可得體積．【詳解】如圖，分別是正三棱柱上、下底面中心，是棱柱的高，則的中點是該三棱柱外接球的球心，外接球半徑．其中點為外接圓圓心，為外接圓半徑，為正三角形，（是邊中點）．所以外接球半徑．從而外接球體積為．故選：D．30．(23-24高一下·湖南邵陽邵東創(chuàng)新高級中學(xué)·期中)（多選）在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝校?996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄．現(xiàn)測量一個的屋頂，得到圓錐（其中為頂點，為底面圓心），母線的長為10m，底面半徑OA長為6m．下面說法正確的是（

）A．圓錐SO的高為8m B．圓錐SO的側(cè)面積為C．圓錐SO的外接球的表面積為 D．圓錐SO外接球的表面積為【答案】ABD【來源】湖南省邵陽市邵東市創(chuàng)新高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】由母線長和底面半徑利用勾股定理求出圓錐的高判斷選項A；公式法求圓錐側(cè)面積判斷選項B；構(gòu)造直角三角形求出外接球半徑，計算表面積判斷選項CD.【詳解】對A,母線的長為10m，底面半徑OA長為6m，圓錐SO的高為，A選項正確；對B,圓錐SO的側(cè)面積，B選項正確；對CD,設(shè)圓錐SO的外接球半徑為，則，解得，所以圓錐SO外接球的表面積為，C選項錯誤，D選項正確.故選：ABD.31．(23-24高一下·湖南名校聯(lián)考聯(lián)合體·期中)（多選）如圖，在三棱柱中，，下列結(jié)論中正確的有（

）A．平面平面B．直線與所成的角的正切值是C．三棱錐的外接球的表面積是D．該三棱柱各側(cè)面的所有面對角線長的平方和等于它所有棱長的平方和的3倍【答案】ABC【來源】湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)題意，證得平面，可判定A正確；由，得到直線與所成的角即為直線與所成的角，設(shè)，在中，求得，可判定B正確；將三棱錐補(bǔ)成一個棱長為2的正方體，求得外接球的半徑，可判定C正確；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可判定D錯誤.【詳解】對于A中，因為，且，所以平面，又因為平面，則平面平面，所以A正確；對于B中，因為，則直線與所成的角即為直線與所成的角，設(shè)，在平行四邊形中，與相交于點，等腰直角三角形，，所以，可得，所以，又由，解得，所以B正確；對于C中，由于兩兩垂直且相等，故可將三棱錐補(bǔ)成一個棱長為2的正方體，正方體的外接球就是三棱錐的外接球，半徑是，所以外接球的表面積是，所以C正確；對于D中，在平行四邊形中，可得，可得，所以，同理可得：，，相加得，所以該三棱柱各側(cè)面的所有面對角線長的平方和等于它所有棱長的平方和的2倍，所以D錯誤；故選：ABC.32．(23-24高一下·湖南耒陽第一中學(xué)等多校聯(lián)考·期中)（多選）正方體的棱長為4，P，Q分別為棱，的中點，F(xiàn)為棱上的動點．設(shè)過點P，Q，F(xiàn)的平面截該正方體所得的截面為，則下列命題是真命題的是（

）A．當(dāng)時，為四邊形 B．當(dāng)F與D重合時，為五邊形C．當(dāng)時，的面積為 D．當(dāng)時，為六邊形【答案】AB【來源】湖南省耒陽市第一中學(xué)等多校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】通過作圖，找出截面，根據(jù)截面形狀可判定選項.【詳解】當(dāng)時，F(xiàn)與重合，如圖①所示，延長交的延長線于M，連接PM交于N，連接QN，則為四邊形，A正確．當(dāng)F與D重合時，如圖②所示，延長DP交的延長線于G，連接GQ交于H，延長GQ交的延長線于T，連接DT交于I，連接QI，PH，則為五邊形PHQID，B正確．當(dāng)時，F(xiàn)為的中點，如圖③所示，連接，，易得為矩形，，則的面積為，C錯誤．當(dāng)時，如圖④所示，延長PF交的延長線于R，連接RQ交于V，延長RQ交的延長線于S，連接PS交于K，連接QK，F(xiàn)V，則為五邊形PFVQK，D錯誤．故選：AB題型05題型0532．(23-24高一下·湖南耒陽第一中學(xué)等多校聯(lián)考·期中)（多選）正方體的棱長為4，P，Q分別為棱，的中點，F(xiàn)為棱上的動點．設(shè)過點P，Q，F(xiàn)的平面截該正方體所得的截面為，則下列命題是真命題的是（

）A．當(dāng)時，為四邊形 B．當(dāng)F與D重合時，為五邊形C．當(dāng)時，的面積為 D．當(dāng)時，為六邊形【答案】AB【來源】湖南省耒陽市第一中學(xué)等多校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】通過作圖，找出截面，根據(jù)截面形狀可判定選項.【詳解】當(dāng)時，F(xiàn)與重合，如圖①所示，延長交的延長線于M，連接PM交于N，連接QN，則為四邊形，A正確．當(dāng)F與D重合時，如圖②所示，延長DP交的延長線于G，連接GQ交于H，延長GQ交的延長線于T，連接DT交于I，連接QI，PH，則為五邊形PHQID，B正確．當(dāng)時，F(xiàn)為的中點，如圖③所示，連接，，易得為矩形，，則的面積為，C錯誤．當(dāng)時，如圖④所示，延長PF交的延長線于R，連接RQ交于V，延長RQ交的延長線于S，連接PS交于K，連接QK，F(xiàn)V，則為五邊形PFVQK，D錯誤．故選：AB題型06題型0633．(23-24高一下·湖南耒陽第一中學(xué)等多校聯(lián)考·期中)如圖，在正四棱錐中，，，一小蟲從頂點A出發(fā)，沿該棱錐的側(cè)面爬一圈回到點A，則小蟲走過的最短路線的長為．【答案】2【來源】湖南省耒陽市第一中學(xué)等多校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】畫出正四棱錐的側(cè)面展開圖，得到A，M，N，E共線時，小蟲走過的路線最短，最長最短距離.【詳解】畫出正四棱錐的側(cè)面展開圖，如圖所示．當(dāng)A，M，N，E共線時，小蟲走過的路線最短，最短為的長．因為，，所以，則是邊長為2的等邊三角形，則，即小蟲走過的最短路線的長為2．故答案為：2.34．(23-24高一下·湖南名校聯(lián)考聯(lián)合體·期中)如圖，已知正方體的棱長為3，點分別在棱上，滿足，點在正方體的面內(nèi)，且平面，則線段長度的最小值為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【來源】湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】在上取點，使得，證得平面平面，得到點的軌跡為線段，在等腰三角形中，求得底邊上的高，即可求解.【詳解】在上取點，使得，分別連結(jié)，因為，可得，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，由且，可得，又由且，所以，在正方體中，可得，所以因為平面，且平面，所以平面，同理可證平面，又因為，且平面，所以平面平面，因此點的軌跡為線段，在等腰三角形中，，可得底邊上的高為，此即為長度的最小值.故選：D.35．(23-24高一下·湖南長沙雅禮中學(xué)·期中)在棱長為1的正方體中，點是該正方體表面及其內(nèi)部的一個動點，且平面，則線段的長的取值范圍是．【答案】【來源】湖南省長沙市雅禮中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】證明平面平面，得點的軌跡，由此可得的最大值為的長，最小值為到平面的距離，求出距離后可得．【詳解】連接，正方體中由與平行且相等得是平行四邊形，從而，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，平面，則平面，所以動點的軌跡形成的區(qū)域為的邊界及內(nèi)部，的最大值為即的長，的最小值為到平面的距離，連接交于點，連接交于點，，由平面，平面，得，又，，平面，所以平面，而平面，所以，同理，又因為，平面，所以平面，同理可證，所以，從而，故線段的長的取值范圍是．故答案為：．36．(23-24高一下·湖南長沙雅禮中學(xué)·期中)（多選）在矩形中，，，沿矩形對角線將折起形成四面體.則在這個過程中，下列結(jié)論中正確的是（）A．當(dāng)時，B．四面體的體積的最大值為C．與平面所成的角可能為D．四面體的外接球的體積為定值【答案】ABD【來源】湖南省長沙市雅禮中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】證明平面得線線垂直判斷A，當(dāng)平面平面時，四面體的體積最大，求出體積判斷B，此時與平面所成的角最大，求出角的范圍后判斷C，確定球心位置，求出外接球的體積判斷D.【詳解】對于A：當(dāng)時，又因為平面，所以平面，又平面，所以，故正確；對于：當(dāng)平面平面時，四面體的體積最大，在中根據(jù)等面積法可得到平面的距離滿足，所以，故B正確：對于C：當(dāng)平面平面時與平面所成的角最大，此時，即，故C錯誤；對于D：因為和都是直角三角形且共斜邊，所以斜邊中點到A，，，距離相等，所以四面體的外接球的半徑，所以四面體的外接球的體積為定值，D正確.故選：ABD.37．(23-24高一下·湖南長沙明德中學(xué)·期中)如圖，在正方體中，為的中點．

(1)求證：平面；(2)連接交于點，求三棱錐的體積；(3)已知點為中點，點為平面內(nèi)的一個動點，若平面，求長度的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【來源】湖南省長沙市明德中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷【分析】（1）如圖，利用中位線的性質(zhì)可得，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；（2）由（1）知點到平面的距離等于點到平面的距離，根據(jù)等體積法與棱錐的體積公式計算即可求解；（3）如圖，由（1），根據(jù)線面平行的判定定理可得面，利用面面平行的判定定理可得面面，則點軌跡為線段，進(jìn)而求解.【詳解】（1）如圖，連接交于，連接．因為為正方體，底面為正方形，對角線交于點，所以為的中點，又因為為的中點，所以在中，是的中位線，所以，又平面平面，所以平面．

（2）由（1）知，平面，點為中點，則點到平面的距離等于點到平面的距離，所以三棱錐的體積等于三棱錐的體積．正方體的棱長是1，是的中點，所以，則的面積，所以三棱錐的體積．

（3）連接，因為和平行且相等，故四邊形為平行四邊形，所以．又面面，故面．又由（1）知，面，而面，故面面．因此滿足題意的點軌跡為線段．要求最小值，即求到最小值．在中，，故為等腰三角形，求最小值即求底邊上的高，求得．

題型07題型0738．(23-24高一下·湖南長沙雅禮中學(xué)·期中)如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點是的中點，于點．(1)求證：平面平面；(2)求二面角的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)【來源】湖南省長沙市雅禮中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】（1）利用線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可證明出平面平面；（2）先根據(jù)條件作出二面角的平面角，假設(shè)邊長后利用即可求出結(jié)果.【詳解】（1）證明：由條件有，且平面，，平面，又平面，；又，是的中點，；又平面，，平面，平面，．由已知，且平面，，平面．又平面，平面平面．（2）取中點，則，作于，連結(jié)．底面，底面．為在平面內(nèi)的射影，，，為二面角的平面角．設(shè)，在中，，，；二面角的正切值為．.39．(23-24高一下·湖南名校聯(lián)考聯(lián)合體·期中)如圖，在四棱錐中，底面，，點為棱的中點.(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積；(3)求直線與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【來源】湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】（1）取中點，連接，由已知可證四邊形為平行四邊形，可得，可證結(jié)論；（2）利用，可求三棱錐的體積；（3）易證平面，可得，進(jìn)而可證平面，可得為直線與平面所成的角，求解即可.【詳解】（1）如圖，取中點，連接，由于分別為的中點，故，且，又，可得，且，故四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面平面，所以平面.（2）因為為的中點，所以，因為底面，所以，即.（3）因為底面底面，又平面，平面.又平面.為的中點，，又平面，平面，直線在平面內(nèi)的射影為直線，故為直線與平面所成的角，由底面底面可得，，為等腰直角三角形，且平分，，所以直線與平面所成的角為.40．(23-24高一下·湖南慈利縣第一中學(xué)·期中)在如圖所示的多面體中，平面(1)在上求作點使平面請寫出作法并說明理由；(2)求三棱錐的高．【答案】(1)答案見解析；(2).【來源】湖南省慈利縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【分析】（1）取BC的中點G，連接DG，交AC于點P，再利用線面平行、面面平行的判定、性質(zhì)推理即得.（2）根據(jù)給定條件，利用等體積法求出三棱錐的高.【詳解】（1）取BC的中點G，連接DG，交AC于點P，連接EG，EP，則P為所求作的點，如圖：由，G為BC的中點，得，而，則四邊形是平行四邊形，，即，又平面，平面，則平面，而，平面，平面，則平面，又平面，平面，，因此平面平面，而平面，所以平面.（2）在等腰梯形中，由，，得梯形的高等于，從而的面積為，由平面，得DE是三棱錐的高，設(shè)三棱錐的高為h，由，得，即，解得，所以三棱錐的高為.41．(23-24高一下·湖南邵陽第二中學(xué)·期中)知正方體中，、分別為對角線、上的點，且(1)求證：平面；(2)若是上的點，的值為多少時，能使平面平面？請給出證明.【答案】(1)證明見解析(2)當(dāng)?shù)闹禐闀r，能使平面平面，證明見解析【來源】湖南省邵陽市第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題【分析】（1）連結(jié)并延長與的延長線交于點，可得，結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；（2）根據(jù)題意先證平面，結(jié)合（1）平面，分析證明.【詳解】（1）連結(jié)并延長與的延長線交于點，因為四邊形為正方形，所以，故，所以，又因為，所以，所以.又平面，平面，故平面.（2）當(dāng)?shù)闹禐闀r，能使平面平面.證明：因為，即有，故.所以.又平面，平面，所以平面，又平面，，平面，所以平面平面.1．(23-24高一下·湖南長沙明德中學(xué)·期中)球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高球體被平面截下的一部分幾何體叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體．如圖1，一個球面的半徑為，球冠的高是，球冠的表面積公式是，與之對應(yīng)的球缺的體積公式是．如圖2，已知是以為直徑的圓上的兩點，，則扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為，體積為．【答案】【來源】湖南省長沙市明德中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷【分析】將扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為一個半徑的球中上下截去兩個球缺所剩余部