第八章

多元函數(shù)微積分一、二元函數(shù)的定義

定義1設(shè)有三個(gè)變量x、y、z,

如果當(dāng)自變量

x和y,在一定范圍內(nèi)任意取定一組數(shù)值

、

時(shí),按照一定的對(duì)應(yīng)法則

,變量z總有唯一確定的數(shù)值

與之對(duì)應(yīng),那么就稱變量z是變量x,y的二元函數(shù).記作:

.

其中,稱

x,y為自變量,稱z為因變量,z在

處的函數(shù)值

也可以記為

.

定義2

類(lèi)似地,可以定義三元函數(shù),四元函數(shù)及n元函數(shù),它們和二元函數(shù)一起統(tǒng)稱為多元函數(shù).第一節(jié)

二元函數(shù)的基本概念二、二元函數(shù)的定義域

定義3使二元函數(shù)的解析式

有意義的點(diǎn)

作成的集合稱為二元函數(shù)

的定義域,即:

有意義

。NOTE：ⅰ一般地,二元函數(shù)的定義域是坐標(biāo)平面上的一個(gè)區(qū)域.ⅱ二元函數(shù)的定義域一般都是用含有x和y的不等式或不等式組表示的.例1求下列函數(shù)的定義域并作出圖形.(1)

解：(1)(2)(2)yx0a-ayx0二元函數(shù)的圖像是空間的一張曲面，其定義域是該曲面在xoy坐標(biāo)平面上的投影。三、二元函數(shù)的極限

定義4設(shè)函數(shù)

在平面區(qū)域D內(nèi)點(diǎn)

的鄰域有定義(在點(diǎn)

可以無(wú)定義).如果當(dāng)點(diǎn)

無(wú)限接近點(diǎn)

(但不達(dá)到)時(shí),函數(shù)值

無(wú)限接近于某一常數(shù)A,那么就稱常數(shù)A為函數(shù)

當(dāng)

時(shí)的極限,記作:

或

.例2求下列二元函數(shù)的極限.(1)(2)

解：(1)

(2)設(shè)

，則

例3討論函數(shù)

當(dāng)

的極限的存在性

.解：

(1)當(dāng)沿曲線趨向于時(shí),

結(jié)果會(huì)隨著k的取值不同而改變，因此極限不存在！

例4求.

解：

四、二元函數(shù)的連續(xù)性

定義

設(shè)

在點(diǎn)

的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，若則稱

在點(diǎn)

處連續(xù)的.1.一元函數(shù)的連續(xù)性

2.二元函數(shù)的連續(xù)性

定義5設(shè)

在點(diǎn)

的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，若則稱

在點(diǎn)

處連續(xù)的.定義6如果函數(shù)

在平面區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù),

那么就稱函數(shù)

是平面區(qū)域D內(nèi)的連續(xù)函數(shù).定義7如果函數(shù)

在點(diǎn)

處是不連續(xù)的,則稱點(diǎn)

為函數(shù)

的一個(gè)間斷點(diǎn).例5求.

解：因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)(1,2)處是連續(xù)的,所以

NOTE：一切二元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的,其極限值就等于該點(diǎn)出的函數(shù)值,即謝謝各位第九章行列式第三節(jié)行列式的性質(zhì)

例1計(jì)算行列式。

解：一、行列式的性質(zhì)定義1記行列式，稱為的轉(zhuǎn)置行列式。性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即。性質(zhì)2互換行列式的兩行(列),行列式的值變號(hào)。性質(zhì)3行列式的某一行(列)的元素都乘以常數(shù),等于用乘以此行列式。性質(zhì)4如果行列式的某一行(列)元素都能表示成兩個(gè)數(shù)的和，那么該行列式可以表示成兩個(gè)行列式之和。性質(zhì)5把行列式的某一行(列)元素都乘以同一常數(shù)，加到另外任意一行(列)的相應(yīng)元素上去,行列式的值不變。例2計(jì)算行列式。

解：例3計(jì)算行列式。

解：

謝謝各位第十章矩陣和線性方程組第一節(jié)矩陣的有關(guān)概念及初等運(yùn)算一、矩陣的概念由個(gè)數(shù)按一定順序排列成一個(gè)行列的矩形數(shù)表：稱為一個(gè)型矩陣，記為。其中,是該矩陣的第行的第個(gè)元素,表示該元素的行指標(biāo)，表示該元素的列指標(biāo)。二、矩陣的運(yùn)算1.矩陣的相等（1）同型矩陣——若兩個(gè)矩陣的行數(shù)與列數(shù)分別相等，則稱它們?yōu)橥途仃嚕唬?）矩陣相等——兩個(gè)同型矩陣的對(duì)應(yīng)位置上元素分別相等。例1設(shè),，且

，求

。

定義2

設(shè)

與

為同型矩陣，則

為矩陣

與

的和與差，記作

。例22.矩陣的加減法3.矩陣的數(shù)乘定義3設(shè)

為常數(shù)，則矩陣

稱為

與矩陣

的數(shù)乘，簡(jiǎn)稱數(shù)乘矩陣，記作

，即：

。例3然而，什么樣的兩個(gè)矩陣可以相乘？?jī)蓚€(gè)矩陣怎么相乘？乘出來(lái)的結(jié)果是什么樣的？例4已知，,,求。2.矩陣的加減法5.矩陣的轉(zhuǎn)置例5

已知

，

，求

。特別地，若方陣

滿足

，即

，則稱

為對(duì)稱陣。方陣

的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等。

例如：6.階方陣的行列式定義4

把方陣

的元素按原來(lái)的次序排列的行列式，稱為方陣

的行列式，

記作

或

。

(n為A的階數(shù)）例6

已知

是一個(gè)三階方陣，且

，則

。謝謝各位第十一章概率論的基本概念§1隨機(jī)試驗(yàn)及其概率確定性現(xiàn)象：結(jié)果確定不確定性現(xiàn)象：結(jié)果不確定——確定——不確定——不確定自然界與社會(huì)生活中的兩類(lèi)現(xiàn)象向上拋出的物體會(huì)掉落到地上買(mǎi)了彩票會(huì)中獎(jiǎng)明天的天氣情況統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察、記錄、試驗(yàn)統(tǒng)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。它具有以下特性：可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行（可重復(fù)性）事先知道可能出現(xiàn)的結(jié)果（可觀察性）進(jìn)行試驗(yàn)前并不知道哪一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果會(huì)發(fā)生（隨機(jī)性）拋一枚硬幣，觀察試驗(yàn)結(jié)果；對(duì)某路公交車(chē)某?？空镜怯浵萝?chē)人數(shù)；對(duì)某批電子產(chǎn)品測(cè)試其輸入電壓；對(duì)聽(tīng)課人數(shù)進(jìn)行一次登記；一、樣本空間1.樣本空間——隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合，記為

?。2.樣本點(diǎn)——樣本空間的元素，即?的每個(gè)結(jié)果。?={正面，反面}；一枚硬幣拋一次記錄一城市一日中發(fā)生交通事故次數(shù)?={0,1,2,…}；記錄某地一晝夜最高溫度x，最低溫度y?={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；記錄一批產(chǎn)品的壽命x?={x|a≤x≤b}二、隨機(jī)事件1.隨機(jī)事件——試驗(yàn)?

的樣本空間S的子集，簡(jiǎn)稱事件（常用A、B、C表示）;2.事件A發(fā)生——在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)，則稱事件A發(fā)生；3.基本事件——由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集。S＝{0,1,2,…}；例1觀察89路公交車(chē)浙大站候車(chē)人數(shù)，

記A＝{至少有10人候車(chē)}＝{10,11,12,…},

A為隨機(jī)事件，A可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。

每次試驗(yàn)一定發(fā)生的事件稱為必然事件，每次試驗(yàn)一定不發(fā)生的事件稱為不可能事件，例2投擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，其樣本空間為S，其有6個(gè)基本事件，其中

A：“出現(xiàn)3點(diǎn)”，則B：“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，則

C：“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3

”，則

這些都是隨機(jī)事件。A={3}B={1,3,5}C={1,2}例如：今天周五，明天周六；例如：在裝有紅、黑兩種顏色球的袋子中摸出白球。三、事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算1.事件的關(guān)系（包含、相等）SAB

記A={明天天晴}，B={明天無(wú)雨}記A={至少有10人候車(chē)}，B={至少有5人候車(chē)}一枚硬幣拋兩次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}

2.事件的運(yùn)算A與B的和事件，記為ABSABS

A與B的積事件，記為ABEABE

上述內(nèi)容可以作如下推廣：

A與B的差事件，記作AB?AB?

互不相容（互斥）事件

對(duì)立事件（逆事件）*事件A、B中必有一個(gè)發(fā)生，且僅有一個(gè)發(fā)生，A的對(duì)立事件記為。*兩個(gè)互相對(duì)立的事件一定是互不相容的事件，反之不成立。*。謝謝各位第十二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量*

常見(jiàn)的兩類(lèi)試驗(yàn)結(jié)果：

示數(shù)的：降雨量；候車(chē)人數(shù)；發(fā)生交通事故的數(shù)量…

示性的：明天的天氣（晴、小雨…）；化驗(yàn)結(jié)果（陰性、陽(yáng)性…）

為了進(jìn)行定量的數(shù)學(xué)處理，必須把隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果數(shù)理化，這就是引進(jìn)隨機(jī)變量的原因。隨機(jī)變量概念的引進(jìn)使得對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的處理更簡(jiǎn)單與直接，也更統(tǒng)一而有力。隨機(jī)試驗(yàn)一：

檢查1件產(chǎn)品是否合格，則其樣本空間為S={合格品，不合格品}，

可設(shè)置一個(gè)隨機(jī)變量X如下樣本點(diǎn)X的取值合格品0不合格品1隨機(jī)試驗(yàn)二：

檢查3件產(chǎn)品是否合格，則樣本空間里有8個(gè)樣本點(diǎn)，分別是(000)(001)(010)(011)(100)(101)(110)(111)

可設(shè)置一個(gè)隨機(jī)變量X表示“3件產(chǎn)品中不合格品的數(shù)量”，于是有每一個(gè)樣本點(diǎn)e,都有唯一一個(gè)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則X是定義在樣本空間?上的一個(gè)實(shí)值單值函數(shù)，定義域是樣本空間?，值域是{0,1,2,3}。隨機(jī)變量——設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間S={e}，X=X(e)

是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)，稱X=X(e)為隨機(jī)變量。NOTE：1.隨機(jī)變量用大寫(xiě)字母X,Y,Z,W…；2.隨機(jī)變量的取值隨試驗(yàn)的結(jié)果而定，而試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果出現(xiàn)有一定的概率，因而隨機(jī)變量的取值有一定的概率；記{X=2}表示X取值為2，則其對(duì)應(yīng)樣本點(diǎn)有3個(gè)，因此P{X=2}=3/8;3.隨機(jī)變量的引入，使我們能用隨機(jī)變量來(lái)描述各種隨機(jī)現(xiàn)象，并能利用數(shù)學(xué)分析的方法對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行深入廣泛的研究和討論。§2離散型隨機(jī)變量及其分布研究隨機(jī)變量，只需要知道兩件事：a.可能取值

b.取到每一個(gè)可能值得概率一般用如下形式表達(dá)其中，表示所有可能的取值，而由概率的定義可知，滿足以下兩個(gè)條件：可以想象成：概率1以一定的規(guī)律分布在各個(gè)可能值上，這就是表格稱為分布律的原因。三個(gè)主要的離散型隨機(jī)變量（一）0—1分布設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值，分布律為事實(shí)上，當(dāng)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間只有兩個(gè)元素，我們總可以在樣本空間S上定義一個(gè)服從（0—1）分布的隨機(jī)變量。例如：對(duì)新生兒性別進(jìn)行登記，拋硬幣一次出現(xiàn)正反面。

例1設(shè)有批量N=50的一批產(chǎn)品，內(nèi)有2件不合格產(chǎn)品，現(xiàn)采?。?—1）抽檢方法來(lái)驗(yàn)收這批產(chǎn)品，以X

表示是否抽取到不合格產(chǎn)品，求

X的分布律。（不合格記為1）解：由題意知?jiǎng)t其分布律為（二）伯努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布伯努利試驗(yàn)——試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果：，則稱E為伯努利試驗(yàn)。n重伯努利試驗(yàn)——將試驗(yàn)E重復(fù)獨(dú)立地進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)。n重伯努利試驗(yàn)是一種重要的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用廣泛，是研究最多的模型之一。以X表示n

重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則在n此試驗(yàn)中，A發(fā)生k次的概率為記q=1-p,則顯然因?yàn)闉槎?xiàng)式的展開(kāi)式中出現(xiàn)的那一項(xiàng)，我們稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記為。二項(xiàng)分布是一種常用的離散分布，譬如：檢查10件產(chǎn)品，10件產(chǎn)品中不合格品的數(shù)量X服從二項(xiàng)分布b(10,p)，其中p為不合格品率；調(diào)查50個(gè)人，50個(gè)人中患色盲的人數(shù)Y服從二項(xiàng)分布b(50,p)，其中p為色盲率；射擊5次，5次中命中次數(shù)Z服從二項(xiàng)分布b(5,p)，其中p為射手的命中率。例2某特效藥的臨床有效率為0.95，今有10人同時(shí)服用，問(wèn)至少有8人治愈的概率是多少？例3設(shè)隨機(jī)變量X~b(2，p)，Y~b(3，p).若P{X>=1}=5/9，試求P{Y>=1}.

例4設(shè)有80臺(tái)同類(lèi)型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理，考慮2種配備維修工人的方法，其一是4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)；其二是由3人共同維護(hù)80臺(tái)。試比較這兩種方法再設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率大小。設(shè)隨機(jī)變量X

所有可能取的值為0,1,2，…,

而取各個(gè)值的概率為（三）泊松分布其中

是常數(shù)，則稱服從參數(shù)為

的泊松分布，記為

。NOTE:1.泊松分布的參數(shù)λ是單位時(shí)間(或單位面積)內(nèi)隨機(jī)事件的平均發(fā)生率;2.在歷史上泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于1837年由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松引入的。近數(shù)十年來(lái)，泊松分布日益顯示其重要性，成了概率論中最重要的幾個(gè)分布之一.泊松定理設(shè)

是一個(gè)常數(shù)，

n

是任意正整數(shù)，設(shè)，則對(duì)于任一固定的非負(fù)整數(shù)

k，有上述定理表明當(dāng)n很大，p

很小的時(shí)候有以下近似式例5保險(xiǎn)事業(yè)是最早使用概率論的部門(mén)之一。保險(xiǎn)公司為了估計(jì)企業(yè)的利潤(rùn)，需要計(jì)算各種各樣的概率，下面是典型問(wèn)題之一。若一年中某類(lèi)保險(xiǎn)者里面每個(gè)人死亡的概率等于0.005，現(xiàn)有10000個(gè)這類(lèi)人參加人壽保險(xiǎn)，試求在未來(lái)一年中在這些保險(xiǎn)者里面：⑴有40個(gè)人死亡的概率；⑵死亡人數(shù)不超過(guò)70個(gè)的概率。解：以X

表示未來(lái)一年中這些人里面死亡的人數(shù)，則X~b(10000,0.005)

于是有謝謝各位第十三章概率統(tǒng)計(jì)初步第一節(jié)統(tǒng)計(jì)量的基本概念數(shù)據(jù)預(yù)處理，以問(wèn)卷調(diào)查為例：1.對(duì)于用數(shù)學(xué)方法對(duì)觀察值、試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，第一步要解

決的問(wèn)題就是將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化2.問(wèn)卷的可靠性分析（信度分析、效度分析）3.其他的數(shù)據(jù)處理定義1總體——試驗(yàn)的全部可能的觀察值（研究對(duì)象的全體）

個(gè)體——每一個(gè)可能觀察值（構(gòu)成總體的每個(gè)成員）容量——總體重所包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)有限總體——容量是有限的

無(wú)限總體——容量是無(wú)限的例1研究某大學(xué)的學(xué)生身高情況。則“所有身高值全體”就是總體，“每個(gè)學(xué)生的身高”就是個(gè)體。一共20000個(gè)學(xué)生，則容量就是20000，是有限總體。定義2從總體抽取一個(gè)個(gè)體，就是對(duì)總體進(jìn)行一次觀察并記錄結(jié)果。于是獨(dú)立、重復(fù)的觀察次，按次序就有，這是一組相互獨(dú)立、都與具有相同分布的隨機(jī)變量。稱“”為來(lái)自總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，稱為樣本容量。書(shū)中所提到的樣本都是指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。定義3設(shè)

是具有分布函數(shù)的隨機(jī)變量，若

是具有同一分布函數(shù)的、相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則稱

為從分布函數(shù)

（或總體

、或總體

）得到的容量為

的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱樣本，它們的觀察值

稱為樣本值，又稱為

的

個(gè)獨(dú)立的觀察值。二、常用統(tǒng)計(jì)量定義4設(shè)

是來(lái)自總體

的一個(gè)樣本，

是

的函數(shù)，若

中不含未知參數(shù)，則稱

是一統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量的函數(shù)，也是一個(gè)隨機(jī)變量。設(shè)

是相應(yīng)于樣本的樣本值，則稱是

的觀察值.1.樣本平均值定義5設(shè)

是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，

是這一樣本的觀察值，定義如下統(tǒng)計(jì)量：2.樣本方差3.樣本標(biāo)準(zhǔn)差謝謝各位第四篇離散數(shù)學(xué)第十四章二元關(guān)系與數(shù)理邏輯第十四章二元關(guān)系與數(shù)理邏輯第一節(jié)集合及其基本運(yùn)算一、集合及相關(guān)性質(zhì)1.集合的概念定義1集合是一些可確定的，可分辨的事物組成的整體。組成這個(gè)集合的事物，稱為集合的元素。一般地，集合用A、B、C…表示，元素用a、b、c…表示。NOTE:若是集合A的一個(gè)元素，則記為，讀作“屬于A”．反之，記作，讀作“不屬于A”。2.集合的特征確定性互異性無(wú)序性3.集合的表示列舉法——列舉出集合所有的元素或表達(dá)出元素的規(guī)律描述法——刻畫(huà)出元素的共同屬性{x/x具有的特征}二、集合間的關(guān)系NOTE：注意：“”表示元素與集合間的從屬關(guān)系，“”表示集合與集合間的從屬關(guān)系．三、集合的運(yùn)算1.設(shè)有全集E，A和B是其上任意兩個(gè)集合。(1)并集——(2)交集——(3)差集——(4)補(bǔ)集——2.集合的運(yùn)算規(guī)律設(shè)A、B、C為任意集合，則有恒等式如下：交換律：，結(jié)合律：，分配律：，等冪律：，同一律：，零一律：，設(shè)A、B、C為任意集合，則有恒等式如下：互補(bǔ)律：，吸收律：，摩根律：，對(duì)合律：另外有例7證明。證:左

右例8化簡(jiǎn)。解:原式謝謝各位第十五章

圖論基礎(chǔ)第一節(jié)圖的基本概念第一節(jié)圖的基本概念一、圖的定義和表示1.圖的定義

二、圖和邊的分類(lèi)1.有向圖——2.無(wú)向圖——3.混合圖

——

4.環(huán)——5.帶環(huán)圖——6.平行邊——每條邊均有方向的圖，一般用D表示

。每條邊均是無(wú)向邊的圖，一般用G表示

。既含有有向邊又含有無(wú)向邊的圖

。若一條邊連接同一個(gè)點(diǎn)，則稱該邊為環(huán)。允許有環(huán)的圖稱為帶環(huán)圖。在無(wú)向圖中，若兩條或兩條以上的邊都與同一對(duì)結(jié)點(diǎn)相連，稱這些邊為平行邊；而在有向圖中，若兩條或兩條以上方向相同的有向邊連接著同一對(duì)結(jié)點(diǎn)，也稱這些邊為平行邊

。7.多重圖——8.線圖

——

9.簡(jiǎn)單圖——

10.權(quán)——允許有平行邊的圖稱為多重圖。不含平行邊的圖稱為線圖

。即不包含環(huán)，又不包含平行邊的圖稱為簡(jiǎn)單圖

。一個(gè)圖中，結(jié)點(diǎn)或邊上還帶有一些數(shù)字信息，這樣的圖叫帶權(quán)圖。其中邊上的數(shù)字叫邊的權(quán)，結(jié)點(diǎn)上的數(shù)字叫點(diǎn)的權(quán)。三、圖的相關(guān)概念及定理1.

鄰接

——

同類(lèi)元素的關(guān)系2.

關(guān)聯(lián)

——

異類(lèi)元素的關(guān)系3.

孤立點(diǎn)

——

不與任何邊關(guān)聯(lián)的點(diǎn)

。4.

零圖

——

只有點(diǎn)，沒(méi)有邊的圖

。5.

平凡圖

——

最簡(jiǎn)單的零圖。（只有一個(gè)點(diǎn)）6.

無(wú)向完全圖

——

任意兩點(diǎn)間都有邊關(guān)聯(lián)的無(wú)向圖，簡(jiǎn)稱完全圖，記為

，其

中

為結(jié)點(diǎn)數(shù)。7.

有向完全圖

——

任意兩點(diǎn)間都有兩條相向的邊連接的有向圖。8.無(wú)向圖的度

——

無(wú)向圖中，結(jié)點(diǎn)

的度數(shù)就是與

相關(guān)聯(lián)的邊的條數(shù)，記為