授課內容第八章λ－矩陣第一講λ－矩陣教學時數(shù)2學時授課類型講授法與練習法教學目標使學生了解-矩陣的概念，以及-矩陣和數(shù)字矩陣的關系，基本掌握-矩陣秩的判斷，可逆的條件，以及求逆矩陣。教學重點-矩陣秩的判斷，可逆的條件，以及求逆矩陣。教學難點求-矩陣的逆矩陣教學方法與手段啟發(fā)式講授，討論，練習教學過程階矩陣與對角陣相似的充要條件是有個線性無關的特征向量.那么當只有個線性無關的特征向量時,與對角陣是不相似的.對這種情況,我們“退而求其次”,尋找“幾乎對角的”矩陣來與相似.這就引出了矩陣在相似下的各種標準型問題.Jordan標準型是最接近對角的矩陣并且其有關的理論包含先前有關與對角陣相似的理論作為特例.此外,Jordan標準型的廣泛應用涉及到Hamilton-Cayley定理的證明,矩陣分解,線性微分方程組的求解等等.由于Jordan標準型的求解與特征多項式有關,而從函數(shù)的角度看,特征多項式實際上是特殊的函數(shù)矩陣（元素是函數(shù)的矩陣）,這就引出對-矩陣的研究.一、-矩陣及其標準型定義1稱矩陣為-矩陣,其中元素為數(shù)域上關于的多項式.定義2稱階-矩陣是可逆的,如果有并稱為的逆矩陣.反之亦然.定理1矩陣可逆的充要條件是其行列式為非零的常數(shù),即.證明：（1）充分性設是一個非零的數(shù).表示的伴隨矩陣,則也是一個-矩陣,且有因此,是可逆的.(2)必要性設有可逆矩陣,則兩邊取行列式有由于與都是多項式,而它們的乘積為1,所以它們都是零次多項式,即都是非零常數(shù).證畢.例題1判斷-矩陣是否可逆.解雖然是滿秩的,但不是非零常數(shù),因而是不可逆的.注意與數(shù)字矩陣不同的是滿秩矩陣未必是可逆的.這么定義可逆是有必要的,可逆的本質就是要保證變換的矩陣可以通過非零常數(shù)的倒數(shù)逆回去.定義3如果矩陣經過有限次的初等變換化成矩陣，則稱矩陣與等價,記為定理2矩陣與等價的充要與條件是存在可逆矩陣,使得證明因為,所以可以經過有限次初等變換變成,即存在初等矩陣與初等矩陣使得令,就是所要求的-矩陣.它們都是初等矩陣的乘積,從而使可逆的.證畢.定義4矩陣的所有非零k階子式的首一（最高次項系數(shù)為1）最大公因式稱為的k階行列式因子.定理2等價矩陣具有相同的秩和相同的各級行列式因子.證明設-矩陣經過一次行初等變換化為了，與分別是與的階行列式因子.需要證明.分3種情況討論：（1）,此時,的每個階子式或者等于的某個階子式,或者與的某個階子式反號,所以,是的階子式的公因子,從而.（2）,此時,的每個階子式或者等于的某個階子式,或者等于的某個階子式的倍.所以,是的階子式的公因式,從而.（3）,此時,中那些包含行與行的階子式和那些不包含行的階子式都等于中對應的階子式；中那些包含行但不包含行的階子式,按行分成兩個部分,而等于的一個階子式與另一個階子式的倍的和,,也就是的兩個階子式的線性組合,所以,是的階子式公因式,從而.對于列變換,可以一樣地討論.總之,經過一系列的初等變換變成，那么.又由于初等變換的可逆性,經過一系列的初等變換可以變成,從而也有.當所有的階子式為零時,所有的階子式也就等于零；反之亦然.故與又相同的各階行列式因子,從而有相同的秩.證畢.既然初等變換不改變行列式因子,所以,每個-矩陣與它的標準型有完全相同的行列式因子.而求標準型的矩陣是較為簡單的,因而,在求一個-矩陣的行列式因子時,只要求出它的標準型的行列式因子即可.討論、練習與作業(yè)課后反思授課內容第二將λ－矩陣在初等變換下的標準型教學時數(shù)2授課類型講授課教學目標了解-矩陣的初等變換，掌握求標準型的方法，掌握最小多項式的概念和求最小多項式的方法。教學重點求標準型的方法和最小多項式的求法教學難點求-矩陣標準型的方法教學方法與手段課堂講授，輔以提問、練習教學過程一、-矩陣的初等變換。定義1下面的三種變換叫做-矩陣的初等變換：（1）矩陣的兩行（列）互換位置；（2）矩陣的某一行（列）乘以非零的常數(shù)；（3）矩陣的某一行（列）加另一行（列）的倍，是一個多項式。初等變換都是可逆的，并且有。為了寫起來方便起見，我們采用以下的記號：代表行（列）互換位置；代表用非零的數(shù)去乘行（列）；代表把行（列）的倍加到行（列）。定義2-矩陣稱為與等價，如果可以經過一系列初等變換將化為。等價是-矩陣之間的一種關系，這個關系，顯然具有下列三個性質：反身性：每一個-矩陣與自己等價。對稱性：若與等價，則與等價。這是由于初等變換具有可逆性的緣故。傳遞性：若與等價，與等價，則與等價，引理設-矩陣的左上角，并且中至少有一個元素不能被它除盡，那么一定可以找到一個與等價的矩陣，它的左上角元素也不為零，但是次數(shù)比的次數(shù)低。定理2任意一個非零的的-矩陣都等價與下列形式的矩陣最后化成的這個矩陣稱為的標準形。例求-矩陣的標準型.解即為所求的標準型.二、矩陣最小多項式定義3：設是一個矩陣，如果多項式使得：則稱是A的零化多項式。A的次數(shù)最小的首一零化多項式稱為A的極小多項式（minimalpolymial）,記為。引理2：整除A的任意零化多項式。特別的。證明設是A的任一零花多項式，則。由帶余除法定理可知，或。由及的最小性知引理3：的根必是的根。證明若A有特征根不是的根，則。存在使得，取行列式知與是A的特征根矛盾。由引理1、2知與有相同的根。引理4相似矩陣有相同的最小多項式，反之不真。例1設，但A、B不相似。引理5設A為n階方陣且A相似于其中、為方陣，則特別的由引理3知當時。定理3設則，其中由引理1、2即得結論。例2設，求解，只能是下兩個多項式之一，即，將A帶入得，故。定理4為的n-1階行列式因子?？筛鶕?jù)如下方法求出。因為記故，分別以與A代和得得（表示A的伴隨矩陣。而恰為的所有元素的首一最大公因式故用上述方法可求出A的最小多項式）。例4設求。解顯然中所有元素首一最大公因式討論、練習與作業(yè)課后反思授課內容第三講不變因子教學時數(shù)2授課類型講授、互動教學目標通過2學時的講授，使學生基本掌握線性變換的矩陣表示方法和來源，了解矩陣和線性變換的這種等價關系，掌握不變因子的求法。教學重點λ－矩陣的標準型和不變因子教學難點λ－矩陣不變因子的求法教學方法與手段課堂講授、練習教學過程一、矩陣表示設V和W都是數(shù)域F上的有限維向量空間，dimV=n，dimW=m，σ∈Hom(V，W)．σ完全被它在V的一個基上的作用所決定．因此在V中取一個基；同時，在W中取一個基，則由線性表示為．(1)將此寫成矩陣形式，并令σ()=()，則得，(2)其中矩陣A=，叫做線性映射σ在V的基{}和W的基{i}下的矩陣．在V、W中分別取定一個基{}、{i}以后，對于V到W的每一個線性映射σ，有唯一確定的m×n矩陣A與它對應．因此，這個對應給出了Hom(V，W)到的一個映射．設∈Hom(V，W)，則()=B是在基{}和基{i}下的矩陣．若B=A，則，．由命題7.1.1，有=．這表明是單射．任給C∈，W中以C的第j列作為在基{i}下的坐標的向量記作，．存在V到W的一個線性映射，使得()=，．從而()=()=()C．于是，C是在基{}和基{i}下的矩陣．因此()=C．這表明是滿射．故是Hom(V,W)到的一個雙射．進一步，我們來證明定理1設V和W都是數(shù)域F上有限維向量空間,其中dimV=n,dimW=m．在V中取一個基，在W中取一個基．則V到W的每一個線性映射與它在基{}和基{i}下的矩陣的對應是向量空間Hom(V，W)到的同構映射，記作Hom(V，W)．證前面已證是到Hom(V，W)到的雙射．現(xiàn)在來證明保持加法與純量乘法運算．任取,∈Hom(V，W)，設()=A,()=B，即，，則這表明+在基{}和基{i}下的矩陣是A＋B．因此(+)=A＋B=()+()．類似可證，其中k∈F．因此，是Hom(V，W)到的同構映射．再注意到定理7.1.2，則有推論設dimV=n，dimW=m，則Hom(V，W)是有限維的，并且dimHom(V，W)=dimV·dimW．(4)當知道V到W的線性映射在基{}和基{i}下的矩陣A之后，V中任一向量α在下的象很容易求出，即有命題設是V的一個基，是W的一個基，∈Hom(V，W)，且在基{}和基{i}下的矩陣為A．又α∈V，設α在基{}下的坐標為，則在基{bi}下的坐標為A．證我們有．因此，A是在基下的坐標．推論設V到W的線性映射在基{}和基{bi}下的矩陣為A，V中任一向量α在基{}下的坐標為X=，W中向量在基{bi}下的坐標為Y=，則．現(xiàn)在我們來討論n維向量空間V上的線性變換與矩陣的關系．設∈EndV，我們把上面關于線性映射與矩陣的關系運用到V上的線性變換中．這時，只需在V中取定一個基，把基向量在下的象()仍然用這個基線性表出，即，(5)右端的n階矩陣A=叫做線性變換在基下的矩陣．定理2設V是數(shù)域F上n維向量空間，在V中取定一個基，則V上的每一個線性變換與它在基下的矩陣的對應是向量空間EndV到Mn(F)的同構映射，也是環(huán)EndV到Mn(F)的同構映射．證后半部分中是雙射，保持加法也已證明，剩下只要證保持乘法．設線性變換，在基下的矩陣分別是A，B，則，．因為所以在基下的矩陣是AB．于是．從而也是環(huán)EndV到Mn(F)的同構映射．由此進一步得到推論設數(shù)域F上n維向量空間V的一個線性變換在V的一個取定的基下的矩陣是A．則可逆的充分且必要條件是A可逆，并且其逆變換在這個基下的矩陣就是．證設可逆．令關于所取定的基的矩陣是B，則．同理BA=In．所以B=A－1．反過來，設，而A可逆，則有EndV使．于是，從而易見．同理可證．所以可逆，且．命題設V是數(shù)域F上n維向量空間，∈EndV．若在V的基下的矩陣為A，α∈V在基下的坐標為X，則在基下的坐標為AX．二、不變因子現(xiàn)在來證明，-矩陣的標準形是唯一的。為此，我們引入定義2設-矩陣的秩為，對于正整數(shù)，，中必有非零的級子式。中全部級子式的首項系數(shù)為1的最大公因式稱為的級行列式因子。由定義可知，對于秩為的-矩陣，行列式因子一共有個。行列式因子的意義就在于，它在初等變換下是不變的。定理3等價的-矩陣具有相同的秩與相同的各級行列式因子現(xiàn)在來計算標準形矩陣的行列式因子。設標準形為其中，，，是首項系數(shù)為1的多項式，且。不難證明，在這種形式的矩陣中，如果一個級子式包含的行與列的標號不完全相同，那么這個級子式一定為零。因此，為了計算級行列式因子，只要看由列組成的級子式就行了，而這個級子式等于顯然，這種級子式的最大公因式就是。定理4-矩陣的標準形是唯一的。定義3標準形的主對角線上非零元素稱為-矩陣的不變因子。定理5兩個-矩陣等價的充分必要條件是它們有相同的行列式因子，或者，它們有相同的不變因子。由(3)可以看出，在-矩陣的行列式之間，有關系。（4）在計算-矩陣的行列式因子時，常常是先計算高級的行列式因子。這樣，由（4）我們就大致有了低級行列式因子的范圍了。作為一個例子，我們來看可逆矩陣的標準形。設為一個可逆矩陣，由定理1知其中是一非零常數(shù)。這就是說，。于是由（4）可知，。因此，可逆矩陣的標準形是單位矩陣。反過來，與單位矩陣等價的矩陣一定是可逆的，因為它的行列式是一個非零的數(shù)。這就是說，矩陣可逆的充分必要條件是它與單位矩陣等價。又矩陣與等價的充分必要條件是有一系列初等矩陣，，，，，，使得=。特別地，當=時，就得到定理6矩陣是可逆的充分必要條件是它可以表成一些初等矩陣的乘積。由此又得到矩陣等價的另一條件推論兩個的-矩陣與等價的充分必要條件為，有一個可逆矩陣與一個可逆矩陣，使=。討論、練習與作業(yè)課后反思授課內容第四講矩陣相似的條件教學時數(shù)2授課類型講授法與練習法教學目標使學生了解矩陣相似的幾種條件，在不同情況下如何求證明矩陣相似，尤其是矩陣相似與不變因子的關系教學重點矩陣相似的充要條件教學難點矩陣相似的充要條件教學方法與手段啟發(fā)式講授，討論，練習教學過程一個線性變換在取定基下的矩陣依賴于這個基的選擇．同一個線性變換在不同的基下的矩陣自然不一定相同．我們來考察一個線性變換在兩個基下的矩陣有什么關系．設V是數(shù)域F上的一個n維向量空間，∈EndV．假設在V的兩個基{}與{}下的矩陣分別是A與B，即,.令T是由基{}到基{}的過渡矩陣，即()=()T．則()B=()=(()T)=()T=()AT=()T－1AT．因此．(6)等式(6)說明一個線性變換在兩個基下的矩陣的關系．于是引進定義1設A，B∈Mn(F)．若存在F上一個n階可逆矩陣T使等式(6)成立，則稱B與A相似，記作A~B．n階矩陣的相似關系具有下列性質：1)反身性A~A．因為A=．2)對稱性若A~B，則B~A．因為由得．3)傳遞性若A~B且B~C，則A~C．事實上，由和得=．等式(6)表明，n維向量空間的一個線性變換在兩個基下的矩陣是相似的．反過來，設A和B是數(shù)域F上兩個相似的n階矩陣，則由定理7.3.2，存在F上n維向量空間V的一個線性變換，它在V的一個基{}下的矩陣就是A．于是()=()A．因為B與A相似，所以存在一個可逆矩陣T，使得．令()=()T，則由定理1，{}也是V的一個基．容易看出，在這個基下的矩陣就是B．因此，相似的矩陣可以看成一個線性變換在不同基下的矩陣．最后，容易證明以下等式成立：．因此，尋找彼此相似的矩陣的簡單形式，往往可以化簡矩陣計算．在求一個數(shù)字矩陣的特征值和特征向量時曾出現(xiàn)過-矩陣，我們稱它為的特征矩陣。這一節(jié)的主要結果是證明兩個數(shù)字矩陣和相似的充分必要條件是它們的特征矩陣和等價。引理1如果數(shù)字矩陣，使=（）（1）則與相似。引理2對于任何不為零的數(shù)字矩陣和-矩陣與，一定存在-矩陣與以及數(shù)字矩陣和使 =（）+，（2）=（）+。（3）定理1設，是數(shù)域上兩個矩陣。與相似的充分必要條件是它們的特征矩陣和等價。矩陣的特征值的不變因子以后就簡稱為的不變因子。因為兩個-矩陣等價的充分必要條件是它們有相同的不變因子，所以定理1即得推論矩陣與相似的充分必要條件是它們有相同的不變因子。應該指出，矩陣的特征矩陣的秩一定是。因此，矩陣的不變因子總是有個，并且，它們的乘積就等于這個矩陣的特征多項式。以上結果說明，不變因子是矩陣的相似不變量，因此我們可以把一個線性變換的任一矩陣的不變因子（它們與該矩陣的選取無關）定義為此線性變換的不變因子。例3用初等變換方法求的不變因子。 解不變因子。討論、練習與作業(yè)課后反思授課內容第五講λ－矩陣的初等因子教學時數(shù)2授課類型講授課教學目標了解-矩陣的初等因子的定義，初等因子與不變因子的關系，掌握初等因子的求法。教學重點初等因子與不變因子的關系，掌握初等因子的求法教學難點初等因子的求法教學方法與手段課堂講授，輔以提問、練習教學過程這一節(jié)與下一節(jié)中我們假定討論中的數(shù)域是復數(shù)域。上面已經看到，不變因子是矩陣的相似不變量。為了得到若當標準形，再引入定義1把矩陣（或線性變換）的每個次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式方冪（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計算）稱為矩陣（或線性變換）的初等因子。例1設12級矩陣的不變因子是1，1（9個），，。按定義，它的初等因子有7個，即，，，，，。其中出現(xiàn)三次，出現(xiàn)二次?，F(xiàn)在進一步來說明不變因子和初等因子的關系。首先，假設級矩陣的不變因子，，，為已知。將分解成互不相同的一次因式方冪的乘積：=，=，=，則其中對應于的那些方冪就是的全部初等因子。我們注意不變因子有一個除盡一個的性質，即，從而。因此，在，，，的分解式中，屬于同一個一次因式的方冪的指數(shù)有遞升的性質，即。這說明，同一個一次因式的方冪作成的初等因子中，方次最高的必定出現(xiàn)在的分解中，方次次高的必定出現(xiàn)在的分解中。如此順推下去，可知屬于同一個一次因式的方冪的初等因子在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是唯一確定的。上面的分析給了我們一個如何從初等因子和矩陣的級數(shù)唯一地作出不變因子的方法。設一個級矩陣的全部初等因子為已知，在全部初等因子中將同一個一次因式的方冪的那些初等因子按降冪排列，而且當這些初等因子的個數(shù)不足時，就在后面補上適當個數(shù)的1，使得湊成個。設所得排列為，，，。于是令則，，，就是的不變因子。這也說明了這樣一個事實：如果兩個同級的數(shù)字矩陣有相同的初等因子，則它們就有相同的不變因子，因而它們相似。反之，如果兩個矩陣相似，則它們有相同的不變因子，因而它們有相同的初等因子。綜上所述，即得定理1兩個同級矩陣相似的充分必要條件是它們有相同的初等因子。引理設 = =如果多項式，都與，互素，則與等價。下面的定理給了我們一個求初等因子的方法，它不必事先知道不變因子。定理2首先用初等變換化特征矩陣為對角形式，然后將主對角線上的元素分解成互不相同的一次因式的乘積，則所有這些一次因式的方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計算）就是的全部初等因子。例2，求的初等因子。解方法1：，，，，則不變因子 ，，，初等因子為。 方法2：初等因子為。例3，求的初等因子。 解所以初等因子為。討論、練習與作業(yè)課后反思授課內容第六講若當標準形式理論簡介教學時數(shù)2授課