龍華中學(xué)2024-2025第二學(xué)期第一次階段考試試卷

高二數(shù)學(xué)

滿(mǎn)分150分考試時(shí)間120分鐘

注意事項(xiàng)

1.答題前，務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.

2.答題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干

凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).

3.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇一

個(gè)符合題目要求的選項(xiàng)涂在答題卷相應(yīng)的位置.）

1.過(guò)點(diǎn)（°，°）和點(diǎn)（°，°的直線(xiàn)傾斜角為（）

A.45°B.90°C.135°D.0°

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)得到直線(xiàn)為x=0,即可得傾斜角.

【詳解】由過(guò)點(diǎn)（0,0）和點(diǎn)（0,1）的直線(xiàn)為尤=0,即其傾斜角為90°.

故選：B

2.已知非零向量￡=（2,3,-1）和石=（4,4-2）互相垂直，則彳的值是（）

，，1010

A—6B.6C.------D.—

33

【答案】C

【解析】

【分析】利用萬(wàn)Z=0代入坐標(biāo)計(jì)算即得.

【詳解】由日工石可得￡%=2義4+34+2=0，

解得4=—竺.

3

故選：C.

3.若直線(xiàn)/]：ax+3y_6=0與直線(xiàn)4：x+(a_2)y_2=0平行，則4=()

A.1B.-1C.3D.-3

【答案】B

【解析】

【分析】本題可以通過(guò)直線(xiàn)4與直線(xiàn)12得直線(xiàn)方程以及兩直線(xiàn)平行的相關(guān)性質(zhì)列出等式，然后通過(guò)計(jì)算即可

得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)樗浴?。―2)—3=4—2a—3=(a—3)(a+l)=0,所以a=3或a=—1.

當(dāng)a=3時(shí)，A：3x+3y—6=0,/2x+y—2—0,11,12重合；

當(dāng)a=-l時(shí)，/i：—x+3y—6=0,/2：為一3丁一2=0,符合題意.

綜上a=-l.

故選：B.

4.已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,1),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PC|=2夜，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，貝“。尸|的最大值為()

A.472B.372C.2夜D.72

【答案】B

【解析】

【分析】求出P點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)C為圓心，廠(chǎng)=2應(yīng)為半徑的圓，從而|。升的最大值為|。。|+乙得到答

案.

【詳解】點(diǎn)c的坐標(biāo)為(U),動(dòng)點(diǎn)p滿(mǎn)足1Pq=2及,

故尸點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)C為圓心，廠(chǎng)=2行為半徑的圓，

圓的方程為(％—丁+(y—葉=8,

圓心C(l,l)與原點(diǎn)。的距離為=#+12=J5，

則|。升的最大值為|CO|+r=友+2Ji=3底.

故選：B

5.記等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5“，若4+/=16,則兀=()

A.13B.45C.104D.130

【答案】C

【解析】

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得q+%3=a6+%=16,結(jié)合前〃項(xiàng)和公式求解.

【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且4+例=16,

則X="Si+仆)=13(4+/)=8*]3=]04.

1322

故選：C.

6.曲線(xiàn)/(x)=d+x2_2在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為()

A.曠=無(wú)一1B.^=尤+1

C.y=x+3D.y=-x-l

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)方程即可.

【詳解】由/'(x)=3f+2x,則/'(—1)=1,而/(_1)=—2,

所以點(diǎn)(―L/(—l))處的切線(xiàn)方程為y+2=x+l,即y=x-L

故選：A

7.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

A.B.(cos3x)=-sin3x

c.D.(xlnx)=l+lnx

A/X-1

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)計(jì)算判斷A,B,C,應(yīng)用乘法求導(dǎo)運(yùn)算判斷D.

【詳解】因?yàn)閺V。所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)?cos3x)=-3sin3x,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)?4%一1)=(x-1)2-,，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

因?yàn)?xlnx)=lnx+l,所以D選項(xiàng)正確.

故選：D.

8.用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）

A.48個(gè)B.60個(gè)C.72個(gè)D.120個(gè)

【答案】B

【解析】

【分析】利用特殊元素優(yōu)先法，結(jié)合計(jì)數(shù)原理以及排列數(shù)，可得答案.

【詳解】若五位數(shù)的個(gè)位為零，其余數(shù)位隨意安排，其情況數(shù)為A：=24,

若五位數(shù)的個(gè)位不為零，而個(gè)位僅有2,4兩種選擇，萬(wàn)位有3種選擇，其情況數(shù)為2x3xA；=36,

所以五位數(shù)為偶數(shù)的情況數(shù)為24+36=60.

故選：B

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分）

22

9.己知雙曲線(xiàn)C：工—己==1（?！?）左、右焦點(diǎn)分別為耳，尸2,若IFtF2\=2e（e為C的離心率），則

a3a

（）

A.a=lB.C的虛軸長(zhǎng)為2g

C.e=42D.C的一條漸近線(xiàn)的斜率為g

【答案】AB

【解析】

【分析】由雙曲線(xiàn)方程可求焦點(diǎn)可，工的坐標(biāo)，結(jié)合離心率定義求離心率e,根據(jù)I片與l=2e求再求

虛軸長(zhǎng)，由此判斷ABC,再由漸近線(xiàn)方程的定義求漸近線(xiàn)，由此確定漸近線(xiàn)的斜率判斷D.

22Q

【詳解】由C:，—二=l（a〉0）,知耳（―2a,o）,F2（2a,0）,e=—=2,

a3aa

由寓國(guó)=2e,得4a=4,即a=l,3tz2=3.

所以C的虛軸長(zhǎng)為2招，故A,B正確，C錯(cuò)誤；

由C的漸近線(xiàn)方程為y=得兩條漸近線(xiàn)的斜率分別為道，-百，故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

10.函數(shù)/（x）=（x-l）（x2+%+?）（?eR）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)a=—2時(shí)，/(x)的極小值為/(-1)

B.y=/(x)+a為奇函數(shù)

C.當(dāng)—2<a<0時(shí)，/(%)一定有三個(gè)零點(diǎn)

D.若直線(xiàn)y=x-a與/(%)有三個(gè)交點(diǎn)%15%25%3,貝U斗+%+/=0

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)確定極值判斷A；利用奇函數(shù)的定義判斷B；由極大值、極小值的正負(fù)判斷C；利用中心

對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)判斷D.

【詳解】對(duì)于A(yíng),當(dāng)。=—2時(shí)，/(X)=(X-1)2(%+2),求導(dǎo)得f(X)=3(X—1)(X+1),

當(dāng)龍<—1時(shí)，/，(%)>0,當(dāng)—1<X<1時(shí)，/'(x)<0,/(-1)為/(%)極大值，A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,4'g(x)=f(x)+a=x3+(a-l)x,則g(—x)=(-x?+(q_])(_x)=_g(x),

函數(shù)y=/(x)+a是奇函數(shù)，B正確；

對(duì)于C,f'(x)=3x2+a-l,當(dāng)—2<a<0時(shí)，令/'(x)=0的二根％=(0/)，

Xi=-(-1,0),當(dāng)x<X]或尤>馬時(shí)，>0；當(dāng)x1Vx時(shí)，f'{x)<0,

函數(shù)/(x)在(-8,%),(無(wú)2，+到上遞增，在(須，/)上遞減，/(%)>/(。)=一。>0,/5)</(1)=0,

由三次函數(shù)的圖象特征知，函數(shù)y=/(x)的圖象與X軸有3個(gè)交點(diǎn)，c正確；

對(duì)于D,由選項(xiàng)B知，函數(shù)y=/(光)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,-。)對(duì)稱(chēng)，而直線(xiàn)y=x—。關(guān)于點(diǎn)(0,-。)對(duì)稱(chēng)，

因此函數(shù)y=y(x)的圖象與直線(xiàn)y=x-a的3個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(0,-a)對(duì)稱(chēng)，

其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)西,々，彳3滿(mǎn)足%+工2+/=0，D正確.

故選：BCD

(1?丫

11.在二項(xiàng)式-j=+—的展開(kāi)式中，前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是()

21

A.n=8

B.展開(kāi)式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128

C.常數(shù)項(xiàng)為々

16

D.展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng)和第4項(xiàng)

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，根據(jù)題意可得XCC即可判斷A；根據(jù)二項(xiàng)式定理的性質(zhì)即

2L2；=C：+L?：*?,

可判斷B；令x的指數(shù)等于零，即可判斷C；理由不等式法即可判斷D.

nn-k(I-

1Vx7x1H

【詳解】展開(kāi)式通項(xiàng)為4+1

7

則前3項(xiàng)的系數(shù)分別為c：,gc；,（c3

對(duì)于A(yíng),由題意可得2x,C；=C：+^C；,

2〃〃4〃

―5,解得〃=8或〃=1（舍去）,

即〃=1+

8

所以〃=8,故A正確;

\8

28

對(duì)于B,展開(kāi)式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為二=128,故B正確;

、622

7

y

對(duì)于C,展開(kāi)式的通項(xiàng)為￡+i

7

令左一4=0,則左=4,

14xV135

所以+展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為王?c；=w，故C錯(cuò)誤;

忑不7

對(duì)于D,設(shè)展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大項(xiàng),

J_，cr21

r\r〃—/>r-l〃

則有j:1,解得〃=2或丁=3,

_，Cr>1.Cr+1

2rn-n

所以展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng)和第4項(xiàng)，故D正確.

故選：ABD.

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12.已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)積為北，若"=32,貝!]/=.

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】由題意得，4=4a5，

??_2_2

?^^5^^3，^^2^^4^^3'

??〃]〃2。3。4。5二。3二32,

??CZ3=2.

故答案為：2.

13.設(shè)函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)為'=/'(%)，若/'(%)=—2,貝—__

io2k~

【答案】1##0.5

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義變形求解即可.

[詳解】lim^——3-------=--lim^——Y---------*。)4

女.o2k4攵.o1

故答案為：

14.某環(huán)保局派遣包括張三，李四，王五在內(nèi)的12名工作人員到A,B,C三個(gè)鎮(zhèn)開(kāi)展環(huán)境保護(hù)的宣傳工

作，每個(gè)鎮(zhèn)至少派遣3人，因工作需要，張三，李四，王五3人要派遣到同一個(gè)鎮(zhèn)，則不同的派遣方案共

有種.（結(jié)果用數(shù)字表示）

【答案】18774

【解析】

【分析】分類(lèi)討論人員的分組情況并依次求出對(duì)應(yīng)的不同分組方法數(shù)，再將各組安排到三個(gè)鎮(zhèn)，結(jié)合排列組

合數(shù)及分類(lèi)分步計(jì)數(shù)求不同的派遣方案數(shù).

【詳解】先分類(lèi)討論人員分組情況：

當(dāng)張三、李四、王五所在組恰有3人時(shí)，余下9人分成2組，有Cj+C；=210種方法；

當(dāng)張三、李四、王五所在組恰有4人時(shí)，先從其他9人中選1人到這組，再將余下8人分成2組，有

（「4、

c*C；+Q=819種方法;

當(dāng)張三、李四、王五所在組恰有5人時(shí)，先從其他9人中選2人到這組，余下7人分成2組，有C：C；=1260

種方法；

當(dāng)張三、李四、王五所在組恰有6人時(shí)，先從其他9人中選3人到這組，余下6人分成2組，有C〉W=840

A?

種方法.

再將三組人員分配到三個(gè)鎮(zhèn)：

因?yàn)檫@三組分配到三個(gè)地區(qū)有A；=6種方法，

所以安排方法總數(shù)（210+819+1260+840）x6=18774.

故答案為：18774

四、解答題（本大題共5小題，共77分）

15.如圖，在三棱錐P—A3C中，Q4,平面ABC,ZBAC=90°,。，石，尸分別是棱AB，BC,CP的

中點(diǎn)，AB=AC=1,PA=2.

（1）求直線(xiàn)上4與平面DE尸所成角的正弦值；

（2）求點(diǎn)尸到平面DEF的距離.

【答案】（1）好

5

⑵在

5

【解析】

【分析】（1）依題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線(xiàn)的方向向量及面OE產(chǎn)的法向量，利用向量的夾角

公式，即可求出直線(xiàn)E4與平面￡＞石尸所成角的正弦值；

（2）利用向量法可求出點(diǎn)P到平面￡＞石尸的距離.

【小問(wèn)1詳解】

依題意：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC,AP所在直線(xiàn)分別為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

又。，及尸分別是棱AB，BC,CP的中點(diǎn)，AB=AC=1,PA=2.

11

所以A（0,0,0）,5（1,0,0）,C（0,1,0）,P（0,0,2）,。io,ohy,oUo,|」，

22

所以有：AP=（O,O,2）,DF=l=44

設(shè)平面DEF的法向量為n=（x,y,z）,則有五，而，萬(wàn)，庇.

—?11

n?DF=——x+—y+z=0

_22=x2z/、

所以《0，令z=l，有為=（2,0,1）,

n-DE=一y=0y

2

V5

設(shè)直線(xiàn)與平面DEF所成角為凡貝Ijsin6=V

所以直線(xiàn)Q4與平面DEF所成角的正弦值為好

5

1

因?yàn)榍?--,0,2,由（1）有平面DEF的一個(gè)法向量為而=（2,0,1）,

2

\n-DP\|-i+2|__75

所以點(diǎn)P到平面DE尸的距離為：d=

\n\5

22

16.己知橢圓C：二+二=l（a〉6〉0）的下焦點(diǎn)為F（0,-2）,其離心率為當(dāng).

a-b-

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）過(guò)尸的直線(xiàn)與橢圓C交于P,。兩點(diǎn)（直線(xiàn)PQ與坐標(biāo)軸不垂直），過(guò)作y軸的垂線(xiàn)，垂足分別

為M,N,若直線(xiàn)PN與交于點(diǎn)”，證明：點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為定值.

22

【答案】（1）2L+A_=1

84

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（D根據(jù)題意，列出瓦。的方程求解；

⑵設(shè)出直線(xiàn)PQ的方程V=履—2（左/0）與橢圓方程聯(lián)立，可得玉+/=^^，平2=一一r-'求

￡十ZK乙

出直線(xiàn)尸N與。河方程，求出交點(diǎn)H的縱坐標(biāo)，得證.

【小問(wèn)1詳解】

a2-b2=4

由題意可知，＜2、歷，

、a2

解得/=8,"=4,

22

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為^+―=1.

84

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)直線(xiàn)也的方程為丁=區(qū)-2化W0）,

P（%，X），。（9，%），則M（0,%）,N（0,y2）,

（22

工+土=]

由|84一，得（左2+2*一4日—4=。，且A=16k2+16（/+2）＞。，

y=kx-2

e4k4

則X,+X=—z------,X,X=——z,

1?-k2+217k-+2

易知直線(xiàn)PN與QM的斜率均存在,

y,-y,

則直線(xiàn)PN的方程為y=一x+%①,

X]

y-y

直線(xiàn)QM的方程為'二且9』1+%②,

%

聯(lián)立①②消去X得，=.(如—2)+z(g—2)

%+%2%

8k

=_2+?=—2+^p=—4,

再+九24k

―k2+2

故點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為定值-4.

17.已知數(shù)列｛?！埃凉M(mǎn)足囚=3,4+1=24+1,

（1）請(qǐng)證明｛?！?1｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式4；

（2）令優(yōu)=（2八+1）（%+1）,求數(shù)列出｝前〃項(xiàng)的和T”.

+1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析，an=2"-1

（2）<=（2〃-1）.*+4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條件得到。“+1+1=2（%+1）,利用等比數(shù)列的定義即可求解，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公

式，即可求解；

（2）由（1）得2=（2〃+1）2"1,再由錯(cuò)位相減法，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?。?1=2d"+1,則見(jiàn)+]+1=+2=2（。“+1）,

又％+1=4,因此｛4+1｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)歹！J,

n+1

由4+1=4?2"T=2"+i,得到an=2-1.

【小問(wèn)2詳解】

n+1

由⑴知，bn=(2?+l)(a?+l)=(2?+l)2,

所以雹=3-22+5?23+7?24+...+(2〃+l>2"i①，

則2式=3-23+5"+7?25+…+(2〃—1>2計(jì)1+(2〃+1>2”+2②，

由①—②得到—Z,=3?2?+2?Q3+24+…+2"+2向)-(2n+l)-2n+2

=2.(22+23+—+2"+2"M)+4—(2“+l)2+2,

所以_1=2-,；)+4_(2"+1)2"+2=(1_2"”"+2_4,

故(=(2〃_1)-2"+2+4.

18.3名男生與4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法總數(shù)，按要求列出式子，再計(jì)算結(jié)

果，用數(shù)字作答.

(1)從中選出2名男生和2名女生排成一列；

(2)全體站成一排，男生互不相鄰；

(3)全體站成一排，甲不站排頭，也不站排尾；

(4)全體站成一排，甲、乙必須站在一起；

【答案】⑴432

(2)1440

⑶3600

(4)1440

【解析】

【分析】(1)根據(jù)條件，利用組合與排列先選后排，即可求解；

(2)根據(jù)條件，利用不相鄰問(wèn)題插入法，即可求解；

(3)利用特殊元素優(yōu)先考慮，結(jié)合條件，即可求解；

(4)利用相鄰問(wèn)題捆綁法，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

從3名男生中任選2名有C；種選法，從4名女生中任選2名有C：種選法，

再將選取的4人排列有A：種排法，由乘法原理共有C；C；A；=432種排法，

【小問(wèn)2詳解】

先將女生全排有A：種，再?gòu)?個(gè)空隙中選出3個(gè)將3個(gè)男生插入到3個(gè)空隙中有A；種，

由乘法原理共有A：A；=1440種排法.

【小問(wèn)3詳解】

先排甲，有5種方法，其余6人有A：種排列方法，共有5xA*=3600種，

【小問(wèn)4詳解】

甲乙必須相鄰，先將甲乙捆綁有A；種，再與剩下的5個(gè)人排列有A：種，共有人；仄，=1440種.

19.設(shè)函數(shù)〃x)=lnx+a(x-l)(x-2),aeR.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，判斷函數(shù)“力的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(%)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑶設(shè)“X)的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)為七,%,證明：/(x1)+/(x2)>-+ln—.

916

【答案】(1)/(%)在和(L