專題18.3勾股定理的應(yīng)用【十二大題型】

【滬科版】

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【題型1應(yīng)用勾股定理解決梯子滑動問題】

【題型2應(yīng)用勾股定理解決航海問題】

【題型3應(yīng)用勾股定理解決超速問題】

【題型4應(yīng)用勾股定理解決臺風(fēng)影響問題】

【題型5應(yīng)用勾股定理解決杯中筷子問題】

【題型6應(yīng)用勾股定理解決選址問題】

【題型7應(yīng)用勾股定理解決旗桿高度問題】

【題型8應(yīng)用勾股定理解決小鳥飛行問題】

【題型9應(yīng)用勾股定理解決大樹折斷前高度問題】

【題型10應(yīng)用勾股定理解決河寬問題】

【題型11應(yīng)用勾股定理解決地毯長度問題】

【題型12應(yīng)用勾股定理解決最短路徑問題】

A舉一反三

【題型1應(yīng)用勾股定理解決梯子滑動問題】

【例1】

（23-24八年級?陜西西安?期末）

1.如圖，學(xué)校高17.6m的教學(xué)樓N3上有一塊高5m的校訓(xùn)宣傳牌/C,為美化環(huán)境，對校

訓(xùn)牌NC進(jìn)行維護(hù).一輛高2.6m的工程車在教學(xué)樓前點(diǎn)M處，伸長25m的云梯（云梯最長

25m）剛好接觸到/C的底部點(diǎn)A處.問工程車向教學(xué)樓方向行駛多少米，長25m的云梯剛

好接觸到NC的頂部點(diǎn)C處？

試卷第1頁，共20頁

【變式1-1]

（23-24八年級?陜西安康?期末）

2.2023年8月18日，腔C世界機(jī)器人大會在北京亦莊召開.某科技公司展示了首款人形

通用機(jī)器人區(qū).樂樂爸爸是機(jī)器人研發(fā)工程師，其中一次機(jī)器人凡的跑步測試方案如下:

在滑梯上的樂樂從滑梯頂端。處沿著。臺方向滑下，同時機(jī)器人X從樂樂對面的/處向8

處跑去，恰好在點(diǎn)3處與樂樂相遇，并且機(jī)器人生的跑步速度與樂樂的下滑速度相同.已

知滑梯的高度8=3米，滑梯底部與機(jī)器人口的出發(fā)點(diǎn)之間的距離NC=9米.請問，機(jī)器

人生跑步多少米與樂樂相遇？

【變式1-2】

（23-24八年級?安徽合肥?期中）

3.如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的高度相等的墻，一根竹竿斜靠在左墻時，竹竿底端。到左

墻角的距離OC為2米，頂端2距墻頂?shù)木嚯xN8為1米，若保持竹竿底端位置不動，將竹

竿斜靠在右墻時，竹竿底端到右墻角的距離。尸為3米，頂端E距墻頂D的距離DE為2米,

點(diǎn)4B、C在一條直線上，點(diǎn)。、E、尸在一條直線上，AC1CF,DF1CF.求：

⑴墻的高度；

（2）竹竿的長度.

試卷第2頁，共20頁

【變式1-3】

（23-24八年級?河北廊坊?階段練習(xí)）

4.如圖，風(fēng)等在點(diǎn)C處，在4,8兩處各用一根引線固定著這個風(fēng)箏，其中引線8c與水

平地面垂直，引線ZC的長度為10米，A,3兩處的水平距離為8米（風(fēng)箏本身的長寬忽略

（1）求此時風(fēng)箏離地面的高度8C；

（2）現(xiàn)要使風(fēng)箏沿豎直方向上升9米至M處，若8位置不變，引線NC的長度應(yīng)加長多少

米？

【題型2應(yīng)用勾股定理解決航海問題】

【例2】

（23-24八年級?陜西寶雞?期中）

5.如圖，我軍巡邏艇正在A處巡邏，突然發(fā)現(xiàn)在南偏東60。方向距離15海里的B處有一艘

走私船，以16海里/小時的速度沿南偏西30。方向行駛，我軍巡邏艇立刻沿直線追趕，半小

時后在點(diǎn)C處將其追上.求我軍巡邏艇的航行速度是多少？

【變式2-1]

（23-24八年級?江蘇泰州?期中）

6.一輛轎車從。地以100km/h的速度向正東方向行駛，同時一輛貨車以75km/h速度從。

地向正北方向行駛，2小時后兩車同時到達(dá)A/N走向公路上的42兩地.

試卷第3頁，共20頁

⑴求48兩地的距離；

（2）若要從。地修建一條最短新路OC到達(dá)公路"N,求OC的距離.

【變式2-2]

（23-24八年級?福建漳州?期中）

7.漳州某港口停著輪船/和輪船8.兩艘輪船同時從該港口出發(fā)，輪船/以每小時航行16

海里的速度沿北偏東25。的方向航行，輪船5以每小時航行12海里的速度沿南偏東65。的方

向航行，半個小時之后，兩艘輪船相距多少海里？

【變式2-3]

（23-24八年級?河南漠河?階段練習(xí)）

8.我國在防控新冠疫情上取得重大成績，但新冠疫情在國外開始蔓延，為了防止境外輸入

病例的增加，我國暫時停止了一切國際航班、水運(yùn).如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪

船進(jìn)入我國海域，我國海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的/、2兩個基地前去攔

截，6分鐘后同時到達(dá)C地將其攔截.已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時

航行50海里，乙巡航艇的航向?yàn)楸逼鳌ā?

（1）求甲巡邏艇的航行方向（用含〃的式子表示）

（2）成功攔截后，甲、乙兩艘巡邏艇同時沿原方向返回且速度不變，3分鐘后甲、乙兩艘

巡邏艇相距多少海里？

【題型3應(yīng)用勾股定理解決超速問題】

【例3】

（23-24八年級?山東濟(jì)南?期末）

試卷第4頁，共20頁

9.如圖，/中學(xué)位于南北向公路/的一側(cè)，門前有兩條長度均為100米的小路通往公路/,

與公路/交于2,C兩點(diǎn)，且2,C相距120米.

《T北

八\

C/

⑴現(xiàn)在想修一條從公路/到/中學(xué)的新路4D（點(diǎn)。在/上），使得學(xué)生從公路/走到學(xué)校

路程最短，應(yīng)該如何修路（請在圖中畫出）？新路長度是多少？

（2）為了行車安全，在公路/上的點(diǎn)8和點(diǎn)E處設(shè)置了一組區(qū)間測速裝置，其中點(diǎn)E在點(diǎn)8

的北側(cè)，且距/中學(xué)170米.一輛車經(jīng)過BE區(qū)間用時5秒，若公路/限速為60km/h（約

16.7m/s）,請判斷該車是否超速，并說明理由.

【變式3-1]

⑵-24八年級?寧夏銀川?期中）

10.“中華人民共和國道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70千

米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面對車速

檢測儀A正前方60米B處，過了5秒后，測得小汽車C與車速檢測儀A間距離為100米，

這輛小汽車超速了嗎？

小W小汽乍

c'r'；......3

【變式3-2】

⑵-24八年級?山西朔州?期末）

11.限速安全駕，文明靠大家，根據(jù)道路管理?xiàng)l例規(guī)定，在某段筆直的公路工上行駛的車輛,

限速60千米/時，一觀測點(diǎn)”到公路Z的距離龍W為30米，現(xiàn)測得一輛汽車從/點(diǎn)到8

點(diǎn)所用時間為5秒，己知觀測點(diǎn)M到42兩點(diǎn)的距離分別為50米、34米，通過計算判斷

此車是否超速.

試卷第5頁，共20頁

【變式3-3】

（23-24八年級?河南周口?期中）

12.交通安全是社會關(guān)注的熱點(diǎn)問題，安全隱患主要是超速、超載、不按規(guī)定行駛.某中學(xué)

八年級數(shù)學(xué)活動小組的同學(xué)進(jìn)行了測試汽車速度的實(shí)驗(yàn).如圖，先在筆直的公路/旁選取一

點(diǎn)、P,在公路/上確定點(diǎn)。、B,使得尸OJJ,尸。=100米，NPBO=45。.這時，一輛轎車

在公路/上由2向/勻速駛來，測得此車從2處行駛到/處所用的時間為3秒，并測得

N4PO=60。.此路段限速每小時80千米，試判斷此車是否超速？請說明理由（參考數(shù)據(jù):

V2?1.4,A/3?1.7）.

【題型4應(yīng)用勾股定理解決臺風(fēng)影響問題】

【例4】

（23-24八年級?重慶秀山?期末）

13.第五號臺風(fēng)“杜蘇芮”的中心于2023年7月27日下午位于福建省廈門市境內(nèi)，最大風(fēng)力

有15級（50米/秒），中心最低氣壓為940百帕，臺風(fēng)中心沿北偏西（BC）方向以15km/h

的速度向。移動，A地在距離8地130km的正北方，已知A地到8c的距離NO=50km.

⑴臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從B點(diǎn)移到。點(diǎn)？

（2）如果在距臺風(fēng)中心45km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風(fēng)破壞的危險，正在。點(diǎn)休閑的游客

在接到臺風(fēng)警報后的幾小時內(nèi)撤離才可脫離危險？

【變式4-1]

試卷第6頁，共20頁

(23-24八年級?四川成都?階段練習(xí))

14.新冠疫情期間，為了提高人民群眾防疫意識，很多地方的宣講車開起來了，大喇叭響起

來了，宣傳橫幅掛起來了，電子屏亮起來了，電視、廣播、微信、短信齊上陣，防疫標(biāo)語、

宣傳金句頻出，這傳遞著打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的堅定決心.如圖，在一條筆直公路龍W的一

側(cè)點(diǎn)/處有一村莊，村莊N到公路"N的距離為800米，若宣講車周圍1700米以內(nèi)能

聽到廣播宣傳，宣講車在公路"N上沿方向行駛.

(1)請問村莊人能否聽到宣傳？請說明理由；

(2)如果能聽到，已知宣講車的速度是200米/分鐘，那么村莊/總共能聽到多長時間的宣

傳？

【變式4-2】

(23-24八年級?云南文山?期末)

15.如圖，經(jīng)過A村和3村的筆直公路/旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)需要在C處進(jìn)行爆

破.已知。處與A村的距離為900米，C處與3村的距離為1200米，且15c.

(1)求42兩村的距離；

⑵為了安全起見，爆破點(diǎn)C周圍半徑750米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，在進(jìn)行爆破時，公路43段

是否有危險而需要封鎖？請說明理由.

【變式4-3]

(23-24八年級?遼寧沈陽?階段練習(xí))

16.如圖，有一輛環(huán)衛(wèi)車沿公路由點(diǎn)N向點(diǎn)8行駛，已知點(diǎn)C為一所學(xué)校，且點(diǎn)C與

直線上兩點(diǎn)4,3的距離分別為200m和150m,"=250m,環(huán)衛(wèi)車周圍130m以內(nèi)為受

噪聲影響區(qū)域.

試卷第7頁，共20頁

C

B

A\

⑴學(xué)校。會受噪聲影響嗎？為什么？

（2）若環(huán)衛(wèi)車噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時間有2min,求環(huán)衛(wèi)車的行駛速度為多少？

【題型5應(yīng)用勾股定理解決杯中筷子問題】

【例5】

（23-24八年級?福建三明?期中）

17.《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去鬧（門檻）一尺，不合四

寸，問門廣幾何？其大意：如圖，推開雙門（大小相同），雙門間隙。=4寸，點(diǎn)C、點(diǎn)。

與門檻48的距離尸=1尺（1尺=10寸），。是EF的中點(diǎn)，連接CO.

（2）求門檻的長.

【變式5-1]

（23-24八年級?天津河西?期中）

18.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題.有一個水池，水面是一個邊長為10

尺（/8=10尺）的正方形，在水池正中央有一根蘆葦（點(diǎn)P是的中點(diǎn)），它高出水面1

尺（“尸=1尺）.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面

試卷第8頁，共20頁

【變式5-2]

（23-24八年級?福建龍巖?期末）

19.如圖，有一個長方形水池，它的長是4米，池中央長了一棵蘆葦，露出水面1米，將蘆

葦拽至池邊，它的頂端剛好與水面一樣平，求水有多深？蘆葦有多長？

【變式5-3]

（23-24八年級?陜西西安?期末）

20.如圖，一個直徑為12czM（即8C=12CT?）的圓柱形杯子，在杯子底面的正中間點(diǎn)￡處

豎直放一根筷子，筷子露出杯子外2c加（即FG=2"?）,當(dāng)筷子GE倒向杯壁時（筷子底端

不動），筷子頂端正好觸到杯。，求筷子GE的長度.

【題型6應(yīng)用勾股定理解決選址問題】

[例6]

（23-24八年級?山東煙臺?期末）

21.如圖，某工廠A到直線公路1的距離AB為3千米，與該公路上車站D的距離為5千

米，現(xiàn)要在公路邊上建一個物品中轉(zhuǎn)站C,使CA=CD,求物品中轉(zhuǎn)站與車站之間的距離.

【變式6-1]

試卷第9頁，共20頁

（23-24八年級?河南安陽?階段練習(xí)）

22.如圖鐵路上4,5兩點(diǎn)相距40千米，C,。為兩村莊，DA1AB,CBA.AB,垂足分別為/

和8,。/=24千米，CB=16千米.現(xiàn)在要在鐵路旁修建一個煤棧E,使得C,。兩村到煤

棧的距離相等，那么煤棧E應(yīng)距/點(diǎn)（）

D

L______________

E、、、

、、

、、

、、

、、

、、

C

A.20千米B.16千米C.12千米D.無法確定

【變式6-2]

（23-24八年級,全國?單元測試）

23.為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖中的所在的直線上建一圖書室，本

社區(qū)有兩所學(xué)校所在的位置在點(diǎn)C和點(diǎn)。處，C/8于/,DBLAB型.己知AB=2.5km,

C4=1.5km,OBul.Okm,試問：圖書室E應(yīng)該建在距點(diǎn)/多少km處，才能使它到兩所學(xué)

校的距離相等？

【變式6-3]

（23-24八年級?四川達(dá)州?階段練習(xí)）

24.如圖所示，/、8兩塊試驗(yàn)田相距200m,C為水源地，AC^160m,BC=120m,為了方

便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠.

試卷第10頁，共20頁

水源池

甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到/、B；

乙方案；過點(diǎn)C作的垂線，垂足為先從水源地C修筑一條水渠到42所在直線上的

〃處，再從H分別向/、8進(jìn)行修筑.

（1）請判斷A43C的形狀（要求寫出推理過程）；

（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計算說明.

【題型7應(yīng)用勾股定理解決旗桿高度問題】

【例7】

（23-24八年級?四川巴中?期末）

25.如圖，數(shù)學(xué)興趣小組要測量旗桿43的高度，發(fā)現(xiàn)將繩子拉直，繩子末端落在點(diǎn)。處,

此時點(diǎn)C到旗桿底部3的距離為6米，小明拉緊繩子的末端，將繩子的末端放在2米高

的觀賽臺上的點(diǎn)E處，測得此時點(diǎn)E到旗桿的水平距離￡戶為8米，求旗桿43的高度為多

少米？

小明不完整的求解過程如下：

（1）設(shè)N3=x米，則/必=_（用含x的代數(shù)式表示）

⑵請幫小明求出x的值.

【變式7-1]

（23-24八年級?廣東廣州?期末）

26.學(xué)校操場邊有一根垂直于地面/的旗桿一根無彈力、不能伸縮的繩子加緊系于旗

試卷第11頁，共20頁

桿頂端A處（打結(jié)處忽略不計），小杰同學(xué)通過操作、測量發(fā)現(xiàn)：如圖1,當(dāng)繩子加緊靠在

旗桿上拉緊到底端8后，還多出2米，即3c=2米；如圖2,當(dāng)離開旗桿底端B處6米后，

繩子恰好拉直且繩子末端。處恰好接觸地面，即AD=6米，求旗桿的高度.

圖I圖2

【變式7-2]

（23-24八年級?山東濟(jì)南?期末）

27.太原的五一廣場視野開闊，是一處設(shè)計別致，造型美麗的廣場園林，成為不少市民放風(fēng)

箏的最佳場所，某校八年級（1）班的小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得圖

中風(fēng)箏的高度CE,他們進(jìn)行了如下操作：

①測得的長為15米（注：BD工CE）；

②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線的長為25米；

③牽線放風(fēng)箏的小明身高1.7米.

（1）求風(fēng)箏的高度CE.

⑵過點(diǎn)。作。垂足為“，求8H的長度.

試卷第12頁，共20頁

【變式7-3]

（23-24八年級?陜西漢中?期末）

28.如圖，一棵大樹兩側(cè)各有一條斜拉的繩子，大致如圖所示，李明想用所學(xué)知識測量

大樹的高度，他從工作人員處了解到繩子的長為13米，AC的長為20米，然后用

米尺測得8、C之間的距離為21米，已知8、C、。在一條直線上，AD1BC,求大樹的高

AD.

【題型8應(yīng)用勾股定理解決小鳥飛行問題】

[例8]

（23-24八年級?新疆喀什?期中）

29.如圖，一只小鳥旋停在空中A點(diǎn)，A點(diǎn)到地面的高度48=8米，A點(diǎn)到地面C點(diǎn)（8,

C兩點(diǎn)處于同一水平面）的距離/C=10米.

（1）求出2C的長度；

（2）若小鳥豎直下降到達(dá)。點(diǎn)（。點(diǎn)在線段N3上），此時小鳥到地面C點(diǎn)的距離與下降的距

離相同，求小鳥下降的距離.

【變式8-1]

（23-24八年級?全國?課后作業(yè)）

30.如圖，飛機(jī)在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一男孩子頭頂上方4000米處，過了20

秒，飛機(jī)距離這個男孩頭頂5000米.飛機(jī)每小時飛行多少千米？

試卷第13頁，共20頁

H-4-

【變式8-2]

（23-24八年級?河南周口?期中）

31.如圖，在校園內(nèi)有兩棵樹相距12米，一棵樹高14米，另一棵樹高9米，一只小鳥從一

棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛多少米？

【變式8-31

（23-24八年級?江蘇泰州?期中）

32.11世紀(jì)的一位阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾提出一個“鳥兒捉魚”問題:小溪邊長著兩棵棕桐樹，恰好

隔岸相望一棵棕楣樹高是30肘尺（肘尺是古代的長度單位），另外一棵高20肘尺;兩棵棕桐樹

的樹干間的距離是50肘尺.每棵樹的樹頂上都停著一只鳥.忽然，兩只鳥同時看見棕桐樹間的

水面上游出一條魚，它們立刻以相同的速度飛去抓魚，并且同時到達(dá)目標(biāo).問:這條魚出現(xiàn)的

地方離比較高的棕桐樹的樹根有多遠(yuǎn)？

【題型9應(yīng)用勾股定理解決大樹折斷前高度問題】

[例9]

（23-24八年級?四川資陽?期末）

33.如圖，在傾斜角為45。（即NM吩=45。）的山坡兒W上有一棵樹48,由于大風(fēng)，該樹

從點(diǎn)E處折斷，其樹頂2恰好落在另一棵樹的根部C處，已知4E=lm,AC=V18m.

試卷第14頁，共20頁

（1）求這兩棵樹的水平距離CF；

（2）求樹A8的高度.

【變式9-1]

（23-24八年級?吉林長春?期末）

34.如圖，一木桿原來垂直于地面，在離地某處斷裂，木桿頂部落在離木桿底部5米（即

AC=5）處，已知木桿原長為25米.

（1）求木桿斷裂處離地面（即AB的長）多少米？

（2）求4ABC的面積.

【變式9-2]

（23-24八年級?陜西渭南?期末）

35.如圖，車高NC=4m,貨車卸貨時后面擋板彎折落在地面出處，已知點(diǎn)48、C在

一條直線上，AC1A/C,經(jīng)過測量出。=2加，求2C的長.

【變式9-3]

（23-24八年級?遼寧沈陽?期末）

試卷第15頁，共20頁

36.如圖，一根直立的旗桿高8m,因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部

（1）求旗桿距地面多高處折斷；

（2）工人在修復(fù)的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點(diǎn)C的下方1.25m的點(diǎn)D處，有一明顯裂痕，若下

次大風(fēng)將旗桿從點(diǎn)D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的危險？

【題型10應(yīng)用勾股定理解決河寬問題】

【例10】

（23-24八年級?甘肅武威?期中）

37.如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)A偏離欲到達(dá)地點(diǎn)B相距

50米，結(jié)果他在水中實(shí)際游的路程比河的寬度多10米，求該河的寬度BC為多少米？

BA

WW\XWWWWWW

c

【變式10-11

（23-24八年級?廣東中山?期末）

38.如圖，A,C之間隔有一湖，在與NC方向成90。角的C3方向上的點(diǎn)3處測得

AB=500m,BC=400m,則/C的長為（）

R

A.300mB.400mC.500mD.600m

【變式10-21

（23-24八年級?陜西咸陽?期末）

試卷第16頁，共20頁

39.如圖，是一段筆直的公路，由于某些原因限制，公路上的NC段行人可直接到達(dá)，BC

段行人無法直接到達(dá)，王瑩想測量這段公路的總長度，于是她在公路一側(cè)的地面上取點(diǎn)

經(jīng)測量得知，DdB于點(diǎn)C,/C=30米，。=50米，00=130米，請你求出這段公路

【變式10-3]

（23-24八年級?江蘇鹽城?期中）

40.愛思考的明明同學(xué)用下面的方法測量出家門前池塘兩端/、8兩點(diǎn)的距離.他是這樣做

的：選定一個點(diǎn)尸，連接尸4PB,在尸N上取一點(diǎn)C,恰好有尸/=14m,PB=\3m,

尸C=5m,5C=12m,他立即確定池塘兩端/、8兩點(diǎn)的距離為15m.明明同學(xué)測量的結(jié)果

正確嗎？為什么？

【題型11應(yīng)用勾股定理解決地毯長度問題】

【例11】

（23-24八年級?山東濟(jì)寧?階段練習(xí)）

41.如圖，要為一段高為5米，長為13米的樓梯鋪上紅地毯，則紅地毯的長度至少為

【變式11-11

（23-24八年級?浙江杭州?階段練習(xí)）

試卷第17頁，共20頁

42.地面上鋪設(shè)了長為20cm,寬為10c加的地磚，長方形地毯的位置如圖所示.那么地毯

的長度最接近多少？（）

I110cm

A.50cmB.100cmC.150cmD.200cm

【變式11-2]

（23-24八年級?安徽安慶?期末）

43.如圖是樓梯的一部分，若40=2,BE=\,AE=3,一只螞蟻在/處發(fā)現(xiàn)C處有一塊

糖，則這只螞蟻吃到糖所走的最短路程為（）

A.V5B.3C.V13D.2亞

【變式11-3]

（23-24八年級?廣東梅州?階段練習(xí)）

44.如圖，要修建一個育苗棚，棚高〃=3m,棚寬。=4m,棚的長為12m,現(xiàn)要在棚頂上

覆蓋塑料薄膜，試求需要多少平方米塑料薄膜?

【題型12應(yīng)用勾股定理解決最短路徑問題】

【例12】

（23-24八年級?云南昆明?期中）

45.如圖，教室墻面/DEF與地面48co垂直，點(diǎn)尸在墻面上，若=米，A8=2米,

點(diǎn)尸到4尸的距離是4米，一只螞蟻要從點(diǎn)P爬到點(diǎn)8,它的最短行程是（）米

試卷第18頁，共20頁

E

D.V26

【變式12-1】

（23-24八年級?安徽合肥?期中）

46.如圖，高速公路的同一側(cè)有8兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線的距離分別為

/C=2km,BD=4km,CD=8km.要在高速公路上C,。之間建一個出口P,使4,3兩

城鎮(zhèn)到P的距離之和最小，則這個最短距離為（）

A.8kmB.10kmC.12kmD.100km

【變式12-21

（23-24八年級?四川宜賓?期末）

47.如圖，在一個長方形草坪48c￡）上，放著一根長方體的木塊.已知40=6米，43=4

米，該木塊的較長邊與平行，橫截面是邊長為2米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A爬過木塊

到達(dá)C處需要走的最短路程是（）

DJ/LC

A.8mB.10mC.2而mD.2V34m

【變式12-3]

（23-24八年級?甘肅隴南?期中）

48.一只螞蟻從圓柱體的下底面A點(diǎn)沿著側(cè)面爬到上底面B點(diǎn)，已知圓柱的底面半徑為

試卷第19頁，共20頁

4cm,高為5cm（兀取3）,則螞蟻所走過的最短路徑是（）

C.12cmD.10cm

試卷第20頁，共20頁

1.工程車再向教學(xué)樓方向行駛5米

【分析】本題主要考查了根據(jù)勾股定理解決實(shí)際問題.

過點(diǎn)。作。交于點(diǎn)E,在RtZX/磯）根據(jù)勾股定理求出ED的長，設(shè)。。=xm,

則?！?（20-x）m,在Rt^CED中根據(jù)勾股定理列方程求出x即可.

【詳解】過點(diǎn)。作。交于點(diǎn)E,

由題意得NE=-BE=17.6-2.6=15m,CE=AS+NC-=17.6+5-2.6=20m,

□

□

□

n

在RtAAED中ED2=AD2-AE2=252-15z=400，

ED=20,

設(shè)Z>Z/=xm,則。，E=（20-x）m,

在Rt^CED'中，

D'E2+CE2=CD'2,

??.（20-X）2+202=252,

解得x=5,

，工程車再向教學(xué)樓方向行駛5米，云梯剛好接觸到/C的頂部點(diǎn)C處.

2.5米

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，設(shè)機(jī)器人口跑步x米與樂樂相遇，在RtABCD中,

利用勾股定理構(gòu)建關(guān)于x的方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)機(jī)器人又跑步x米與樂樂相遇，則N8=x米，BC=（9-x）米，

???機(jī)器人區(qū)的跑步速度與樂樂的下滑速度相同，

；.DB=4B=x米,

在RSCD中，ZC=90°,

■■BD2=BC2+CD2,

.-.x2=（9-X）2+32,

答案第1頁，共26頁

解得x=5,

???機(jī)器人凡跑步5米與樂樂相遇.

3.(1)4米

⑵而米

【分析】本題主要考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩種不同狀態(tài)竹竿長不變列

等式及正確計算.

(1)設(shè)墻高x米，則8C=(x-l)米，斯=(x-2)米，在RtABCO和RtAEFO中，根據(jù)勾

股定理可列出關(guān)于x的方程，再求解即可；

(2)把(1)中的x代入勾股定理即可得到答案.

【詳解】(1)解：設(shè)墻高x米，則3C=(x-l)米，跖=(x-2)米，

在Rt^BCO中，BO2=BC2+CO2=(x-l)2+22,

在RLEFO中，EO2=EF2+FO2=(x-2)2+32,

由題意可知8。=E。，

.?.(X-1)2+22=(X-2)2+32,

解得：x=4,

答：墻的高度為4米；

(2)解：80=J(4-l)2+22=而米.

答：竹竿的長度為瓦米.

4.(1)6米

⑵5米

【分析】本題主要考查了勾股定理：

(1)在中利用勾股定理求解即可；

(2)在RtA/BM中利用勾股定理求出4W的長即可得到答案.

【詳解】(1)解:由題意得，在中，AC=10m,AB=8m,AB=90°,

???BC=y)AC2-AB2=6m，

??.此時風(fēng)箏離地面的高度BC的長為6米；

答案第2頁，共26頁

（2）解：在Rt"8M中，由勾股定理=」AB?+BM?=+（6+9<=17m,

.-.17-12=5m,

???引線NC的長度應(yīng)加長5米.

5.我軍巡邏艇的航行速度是34海里/小時

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用；根據(jù)方向角的定義得到=60。，ZJW=30°,

得出乙48c=90。，在中，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖所示，由題意得，

ZHAB=90°-60°=30°,ZMBC=90°-ZEBC=60°,

???AH//BM,

/ABM=ZBAH=30°,

/ABC=ZABM+ZMBC=90°,

???巡邏艇沿直線追趕，半小時后在點(diǎn)C處追上走私船，

8c=16x0.5=8海里，

在RtZ\/3C中，ZABC=90°,48=15海里，8C=8海里，

AC=」AB2+BC。=7152+82=17海里，

17

，我軍巡邏艇的航行速度是於=34海里/小時.

答：我軍巡邏艇的航行速度是34海里/小時.

6.(1)250km；

(2)120km.

【分析】本題考查了方位角、勾股定理的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是：

(1)直接利用勾股定理求解即可；

(2)根據(jù)等面積法求解即可.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意，得。4=2xl00=200km,O5=2x75=150km,ZAOB=90°,

■■■AB=^OA2+OB2=A/2002+1502=250km,

答案第3頁，共26頁

即48兩地的距離為250km；

（2）解:根據(jù)等面積法知：^OAOB=^ABOC,

gp|x200xl50=1x2500C,

.■.OC=120,

即0c的距離為120km

7.半個小時之后，兩艘輪船相距10海里

【分析】設(shè)點(diǎn)O為港口所在位置，點(diǎn)A為半個小時之后輪船/所在的位置，點(diǎn)B為半個小

時之后輪船2所在的位置，分別求出的長，再求出的度數(shù)，在RtA/02中

利用勾股定理求出AB的長即可.

【詳解】解：如圖所示，設(shè)點(diǎn)。為港口所在位置，點(diǎn)/為半個小時之后輪船/所在的位置,

點(diǎn)B為半個小時之后輪船B所在的位置.

由題可知CM=16X；=8,O8=12xg=6,乙408=180°-（25°+65°）=90°.

在RtA/02中，ZAOB=90°,根據(jù)勾股定理得4B=+。爐=48?+6?=10

???半個小時之后，兩艘輪船相距10海里.

【點(diǎn)睛】問題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意得到乙408=90。是解題的關(guān)

鍵.

8.（1）（90。-〃°）；（2）6.5海里

【分析】（1）先用路程等于速度乘以時間計算出NC,8c的長，利用勾股定理的逆定理得

出三角形43c為直角三角形，再利用在直角三角形中兩銳角互余求解；

（2）分別求得甲、乙航行3分鐘的路程，然后由勾股定理來求甲乙的距離.

答案第4頁，共26頁

【詳解】解：（1）AC=120x^-=12（海里），

60

5C=50x—=5（海里），

60

又/8=13海里

所以3+802=//，

所以△4BC是直角三角形，

所以//CB=90。

由已知得/CA4=90。-〃。，所以NB4C=〃。，

所以甲的航向?yàn)楸逼珫|（90°-〃°）,

3

（2）甲巡邏船航行3分鐘的路程為120x二=6（海里）

60

3

乙甲巡邏船航行3分鐘的路程為50x二=2.5（海里）

60

所以3分鐘后甲、乙兩艘巡邏船相距為：762+2.52=6.5（海里）.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及運(yùn)用，難度適

中.利用勾股定理的逆定理得出三角形/8C為直角三角形是解題的關(guān)鍵.

9.⑴見解析,80米

（2）超速，見解析

【分析】（1）根據(jù)垂線段最短可畫出圖形，根據(jù)三線合一可求出8。=60,然后利用勾股定

理可求出新路長度；

（2）先根據(jù)勾股定理求出的長，再求出BE的長，然后計算出速度判斷即可.

【詳解】（1）過點(diǎn)力作/。，/,交/于點(diǎn)D.

《t北

\\

\\

B，、、\AB^AC,AD11,BC=120

、、、\

、、、\

DJ——'-^A

cp"

.-.5Z）=-BC=-xl20=60,ZADB=90°

22

在耳△48。中，ZADB=90°,

答案第5頁，共26頁

由勾股定理得AD2+BD2=AB1

???=100,8。=60,

ND=80

；?新路長度是80米.

(2)該車超速

在RM4DE中，ZADE=90°,

由勾股定理得必+9=N￡2

?.?/E=170,4D=80,

:.DE="70?-80。=150

:.BE=DE-DB=90

,?,該車經(jīng)過BE區(qū)間用時5s

90

?,?該車的速度為M=18m/s

,/18m/s>16.7m/s

,該車超速.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，勾股定理揭示了直角三角形三邊長之間的數(shù)量關(guān)系:

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.當(dāng)題目中出現(xiàn)直角三角形，且該直角三角形

的一邊為待求量時，常使用勾股定理進(jìn)行求解.

10.這輛小汽車沒有超速

【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求出8。的長，直接求出小汽車的

時速，進(jìn)而比較得出答案.

【詳解】解：在中，

???/8=60米，/C=100米，且/C為斜邊，

BC=y]AC2-AB2=A/1002-602=80米，

?.?80+5=16(米/秒)

16米/秒=57.6千米/小時，

?.-57.6<70,

這輛小汽車沒有超速.

11.此車沒有超速

【分析】在RtAAMN中根據(jù)勾股定理求出AN,在RtABMN中根據(jù)勾股定理求出BN,由

答案第6頁，共26頁

AN+NB求出AB的長，根據(jù)路程除以時間得到速度，即可做出判斷.

【詳解】解：：在比中，AM=50,MN=30,

AN=^AM2-MN2=V502-302=40米，

?.?在RMWS中，8M=34,MN=30,

BN=ylBM2-MN2=,342-3（）2=16米，

.-./8=3+9=40+16=56（米），

汽車從N到8的平均速度為56+5=11.2（米/秒），

?.?11.2米/秒=40.32千米/時＜60千米/時,

,此車沒有超速.

【點(diǎn)睛】本題考核知識點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用.解題關(guān)鍵點(diǎn)：把問題轉(zhuǎn)化為在直角三角形中的

問題.

12.此車超速，理由見解析.

【分析】本題主要考查勾股定理與實(shí)際問題；根據(jù)尸尸。=100米，NPBO=45°,可

知8。的長，ZAPO=60°,在Rt^O/尸中，可求出0/的長，從而確定的長度，根據(jù)速

度等于路程除以時間可以算出汽車的速度，再與此路段限速每小時80千米比較，由此即可

求解.

【詳解】此車超速.

理由：VZPOB=90°,ZPBO=45°,

.?.△PO2是等腰直角三角形.

.?.O8=OP=100米.

在中，ZAPO=60°,

:.ZOAP=30°.

/尸=2。尸=200米.

由勾股定理得OA=yjAP2-OP2=V40000-10000=10073r170米，

4B=O4-OB=7Q米.

汽車的速度=70+3a23（米/秒）*83千米/小時＞80千米/小時.

答：此車超速.

答案第7頁，共26頁

13.（1）8小時

（2）5小時

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，路程、速度、時間之間的關(guān)系等知識，解答本題的關(guān)

鍵是利用勾股定理求出BD的長度.

（1）根據(jù)勾股定理計算2。的長，再根據(jù)時間=路程+速度進(jìn)行計算；

（2）根據(jù)在45km范圍內(nèi)都要受到影響，先求出從點(diǎn)3到受影響的距離與結(jié)束影響的距離,

再根據(jù)時間=路程+速度計算，然后求出時間段即可.

【詳解】（1）在中，根據(jù)勾股定理，

得BD=y）AB2-AD2=A/1302-502=120（km）,

.?.120+15=8（小時），

則臺風(fēng)中心經(jīng)過8小時從8移動到。點(diǎn)；

（2）如圖，設(shè)。E=45km

???距臺風(fēng)中心45km的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到臺風(fēng)破壞的危險，

.??人們要在臺風(fēng)中心到達(dá)E點(diǎn)之前撤離，

?.?8E=8O-OE=120-45=75（km）,

.?.75+15=5（小時），

答：游人在5小時內(nèi)撤離才可脫離危險.

14.（1）村莊/能聽到宣傳，理由見解析；

⑵村莊/總共能聽到15分鐘的宣傳.

【分析】（1）直接比較村莊/到公路龍W的距離和尸廣播宣傳距離即可；

（2）過點(diǎn)/作于點(diǎn)8,利用勾股定理運(yùn)算出廣播影響村莊的路程，再除以速度即

答案第8頁，共26頁

可得到時間.

【詳解】（1）解：村莊能聽到宣傳，

理由：???村莊N到公路MN的距離為800米＜1700米,

???村莊/能聽到宣傳;

（2）解：如圖：過點(diǎn)/作九W于點(diǎn)8,

假設(shè)當(dāng)宣講車行駛到尸點(diǎn)開始影響村莊，行駛。點(diǎn)結(jié)束對村莊的影響，

則NP=/0=17OO米，N8=800米，

BP=BQ=A/17002-8002=1500（米），

.?.尸。=3000米，

二影響村莊的時間為：3000^200=15（分鐘），

???村莊/總共能聽到15分鐘的宣傳.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線的性質(zhì)，勾股定理，仔細(xì)審題獲取相關(guān)信息合理作出圖形是解

題的關(guān)鍵.

15.（1）1500米

（2）沒有危險不需要封鎖，理由見解析

【分析】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用、等面積法求線段長，根據(jù)題意，數(shù)形結(jié)合，利用勾

股定理及等面積法求出線段長即可得到答案，熟練掌握勾股定理及等面積法是解決問題的關(guān)

鍵.

（1）根據(jù)題意，數(shù)形結(jié)合，利用勾股定理求解即可得到答案；

（2）過點(diǎn)C作如圖所示，利用等面積法求出CD=720,根據(jù)題意比較即可得到

答案.

【詳解】（1）解：；C處與A村的距離為900米，C處與8村的距離為1200米，且

AC1SC,

AB=y/AC2+BC2=A/9002+12002=1500-

答案第9頁，共26頁

答：48兩村的距離為1500米;

（2）解：沒有危險不需要封鎖,

理由如下:

-ABCD,即900x1200=1500。，解得

2

3端?。,

???爆破點(diǎn)C周圍半徑750米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，720<750,

二在進(jìn)行爆破時，公路段沒有危險不需要封鎖.

16.（1）學(xué)校C會受噪聲影響，理由見解析

（2）50m/min

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出A/18C是直角三角形，進(jìn)而利用三角形面積得出CD

的長，即可得出結(jié)論；

（2）利用勾股定理得出即以及斯的長，即可解決問題.

【詳解】（1）解：學(xué)校C會受噪聲影響，理由如下：

如圖，過點(diǎn)C作。于。，

???AC=200m,5C=150m,AB=250m,

AC2+BC2=AB2.

.,.AA8C是直角三角形，NACB=90°.

：.SMBC=^ACBC=^CDAB,

:.ACBC=CDAB,

即200x150=250xCD,

答案第10頁，共26頁

「八200x150

CzJ------------=120m,

250

1??環(huán)衛(wèi)車周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域,

學(xué)校C會受噪聲影響.

(2)解：如圖，當(dāng)EC=130m,FC=130m時，正好影響C學(xué)校,

ED=siEC2-CD2=V1302-1202=50(m)，

EF=2ED=100(m),

???環(huán)衛(wèi)車噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時間有2min,

.?.環(huán)衛(wèi)車的行駛速度為：100^2=50(m/min),

答：環(huán)衛(wèi)車的行駛速度為50m/min.

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形

面積等知識，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答.

17.(1)2>/26

⑵52

【分析】(1)根據(jù)題意得到在=。尸=；跖=；。=2,然后根據(jù)勾股定理求解即可；

(2)由題意可得/C=/。，設(shè)/￡=無，貝|/C=2O=x+2,利用勾股定理即可求解.

【詳解】(1)解：：。是E尸的中點(diǎn)

...OE=OF=-EF=-CD=2

22

■：CE1OE

■■CO=ylCE2+OE2=A/102+22=2726；

(2)設(shè)NE=x,貝iUC=/0=x+2.

■■AE2+CE2=AC2,尸=1尺=10寸

.-.x2+102=(x+2)2

解得：x=24

.?./8=24+24+4=52.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，弄清題意，構(gòu)建直角三角形是解題關(guān)鍵.

18.12尺

【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成勾股定理的問題是解題的關(guān)鍵.

答案第11頁，共26頁

根據(jù)題意可得1+PN=BN,然后Rt^BPN中運(yùn)用勾股定理列方程求解即可.

【詳解】解：點(diǎn)尸是AB的中點(diǎn)，

BP=5.

■：MP=\,MP+PN=BN,

:.\+PN=BN.

在RtABPN中，根據(jù)勾股定理可得：BN2=52+PN2.

(1+PN)2=52+PN2,解得PN=12.

答：水的深度PN為12尺.

19.水深1.5米，蘆葦?shù)拈L度是2.5米

【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x米，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可.

【詳解】解：設(shè)水深X米，則蘆葦有(X+1)米，

由勾股定理得：X2+22=(^+1)2,

解得：x=1.5,

貝I」：x+l=2.5(米)，

答：水深1.5米，蘆葦?shù)拈L度是2.5米.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用.善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

20.筷子GE的長度是10cm.

【分析】根據(jù)題意可得〃￡=G￡,EF=GE-2,在RfADFE中,根據(jù)勾股定理列出方程，解方

程即可求解.

【詳解】解：設(shè)筷子GE的長度是xc加，那么杯子的高度即是(x-2)cm,

?.?杯子的直徑為12cm,

?'?杯子半徑DF為6cm,

在RtADFE中,(x-2)2+62=x2,

即x2-4x+4+36=x2,

解得：x=10,

答：筷子GE的長度是10cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決

問題.

答案第12頁，共26頁

21.325千米

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【分析】根據(jù)題意利用勾股定理易得BD長，設(shè)AC=CD=x,根據(jù)勾股定理列方程求解.

【詳解】解：由題意可得：AB=3,AD=5

.?.在RtAABD中，BD=ylAD2-AB2=752-32=4

設(shè)AC=CD=x,則BC=4-x

25

在Rt^ABC中，32+(4-X)2=X2,解得：x=—

8