第三章函數(shù)

第12講二次函數(shù)圖像與性質(zhì)（6~12分）

命題點(diǎn)三二次函數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

A題型01根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子符號

02知識導(dǎo)圖?思維引航A題型02二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號

A題型03二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象綜

03考點(diǎn)突破?考法探究

合

考點(diǎn)一二次函數(shù)的相關(guān)概念

命題點(diǎn)四二次函數(shù)與方程、不等式

考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)A題型01求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)

A題型02拋物線與x軸交點(diǎn)問題

考點(diǎn)三二次函數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系A(chǔ)題型03根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況

A題型04圖象法解一元二次不等式

考點(diǎn)四二次函數(shù)與方程、不等式A題型05根據(jù)交點(diǎn)確定不等式的解集

05分層訓(xùn)練鞏固提升

04題型精研?考向洞悉基礎(chǔ)鞏固

命題點(diǎn)一二次函數(shù)的相關(guān)概念

能力提升

A題型01判斷二次函數(shù)

A題型02已知二次函數(shù)的概念求參數(shù)值

命題點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

A題型01根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)

A題型02將二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式

A題型03二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)

A題型04二次函數(shù)的對稱性

A題型05根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值

A題型06二次函數(shù)的平移變換問題

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求考直頻次命題預(yù)測

二次函數(shù)的相>通過對實(shí)際問題的分析，體會二10年6考

關(guān)概念次函數(shù)的意義.

二次函數(shù)作為初中三大函

>能畫二次函數(shù)的圖象，通過圖象數(shù)中考點(diǎn)最多，出題最多，

了解二次函數(shù)的性質(zhì)，知道二次難度最大的函數(shù)，一直都

函數(shù)系數(shù)與圖象形狀和對稱軸的是各地中考數(shù)學(xué)中最重要

二次函數(shù)的圖

關(guān)系.近10年連續(xù)考直的考點(diǎn)，年年都會考查，

象與性質(zhì)

>會求二次函數(shù)的最大值或最小總分值為15-20分，預(yù)計(jì)

值，并能確定相應(yīng)自變量的值，2024年各地中考還會考.

能解決相應(yīng)的實(shí)際問題.而對于二次函數(shù)圖象和性

10年8考質(zhì)的考察，也主要集中在

二次函數(shù)與各

>理解二次函數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系.二次函數(shù)的圖象、圖象與

項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系

系數(shù)的關(guān)系、與方程及不

10年考等式的關(guān)系、圖象上點(diǎn)的

坐標(biāo)特征等幾大方面.題

>知道二次函數(shù)和一元二次方程之

二次函數(shù)與方型變化較多，考生復(fù)習(xí)時

間的關(guān)系，會利用二次函數(shù)的圖

程、不等式需要熟練掌握相關(guān)知識，

象求一元二次方程的近似解.

熟悉相關(guān)題型，認(rèn)真對待

該考點(diǎn)的復(fù)習(xí).

知識導(dǎo)圖?思維引航

A壁01判斷二次函數(shù)

A摩02二^函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號

命題點(diǎn)三二次函數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系

A型03二^數(shù)一次函數(shù)反比例瞰圖等綜合

A皿01求二欠峻與坐標(biāo)車蛟點(diǎn)坐標(biāo)

A型02拋物稅與k軸交點(diǎn)可題

A峨03根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相JE呈根的情況

命題點(diǎn)四二次函數(shù)與方程、不等式

?壁04圖熨熱一元二次不等式

A型0S根據(jù)交點(diǎn)確定不會的育模

考點(diǎn)突破?考法探究

考點(diǎn)一二次函數(shù)的相關(guān)概念

?夯基?必備基礎(chǔ)知識帶理

二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，a，0）的函數(shù)叫做二次函數(shù).其中，x是自變量，a、

b、c分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：1）函數(shù)關(guān)系式是整式；

2）自變量的最高次數(shù)是2；

3）二次項(xiàng)系數(shù)存0,而b,c可以為零.

根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式的方法：

1）先找出題目中有關(guān)兩個變量之間的等量關(guān)系；

2）然后用題設(shè)的變量或數(shù)值表示這個等量關(guān)系；

3）列出相應(yīng)二次函數(shù)的關(guān)系式.

二次函數(shù)的常見表達(dá)式：

名稱解析式前提條件

一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a^O)當(dāng)已知拋物線上的無規(guī)律的三個點(diǎn)的坐標(biāo)時,常用一

般式求其表達(dá)式.

頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（或者是對稱軸）時，常用

a/)),頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k)頂點(diǎn)式求其表達(dá)式.

交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-xi)(x-x?)(a#0)其中Xl，X2是二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，若

題目已知拋物線與X軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)時，常用交點(diǎn)式

求其表達(dá)式.

相互聯(lián)系1）以上三種表達(dá)式是二次函數(shù)的常見表達(dá)式，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化.

2）一般式化為頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式，主要運(yùn)用配方法、因式分解等方法.

方技巧

求二次函數(shù)解析式的一般方法：

1）一般式y(tǒng)=ax2+bx+c.代入三個點(diǎn)的坐標(biāo)列出關(guān)于a,b,c的方程組，并求出a,b,c,就可以寫出二次函數(shù)的解析式.

2）頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k.根據(jù)頂坐標(biāo)點(diǎn)（h,k）,可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-hp+k,再將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入，即可求出a的值，從

而寫出二次函數(shù)的解析式.

3）交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-xi）（x-x2）.當(dāng)拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)為（xi,O）、（X2,O）時，可設(shè)y=a（x-xi）（x-x2）,再將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代

入即可求出a的值，從而寫出二次函數(shù)的解析式.

考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

f夯基?必備基礎(chǔ)知識梳理

一、三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對稱的曲線，這條曲線叫拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對

圖象特征

稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).

2

基本形式y(tǒng)=axy=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c

w/x

\l/h>0,k>0

a>0x

_______X-___A1/>-

h<o,k<o-

圖

象P

A

h<0,k>0

*-Z__Ju__

a<0'lAui>0,k<0

O---------?-------0----------------^>o

對稱軸y軸y軸x二hx=h

X二

頂點(diǎn)坐標(biāo)（。，0）(0,k)(h，0)(h，k)(T,4.)

a>0開口向上，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，此時y有最小值；

最a<0開口向下，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，此時y有最大值.

值

【小結(jié)】二次函數(shù)最小值（或最大值）為0（k或公）.

增a>0在對稱軸的左邊y隨x的增大而減小，在對稱軸的右邊y隨x的增大而增大.

減

a<0在對稱軸的左邊y隨x的增大而增大，在對稱軸的右邊y隨x的增大而減小.

性

二、二次函數(shù)的圖象變換

1）二次函數(shù)的平移變換

平移方式（n>0）一般式y(tǒng)=ax2+bx+c頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k平移口訣

向左平移n個單位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加

向右平移n個單位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右減

向上平移n個單位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加

向下平移n個單位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下減

2)二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)

變換前變換方式變換后口訣

繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x-h)2+ka變號，h>k均不變

2

y=a(x-h)+k繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x+h)2-ka、h、k均變號

沿X軸翻折y=-a(x-h)2-ka、k變號，h不變

沿y軸翻折y=a(x+h)2+ka>h不變，h變號

三、二次函數(shù)的對稱性問題

拋物線的對稱性的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在：

1)求一個點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；

2)已知拋物線上兩個點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，求其對稱軸.

解此類題的主要根據(jù)：若拋物線上兩個關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xl,y),(x2,y),則拋物線的對稱軸可

表示為直線x=U1.

解題技巧：

1.拋物線上兩點(diǎn)若關(guān)于直線，則這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)與x=-2的差的絕對值相等；

b

2若二次函數(shù)與x軸有兩個交點(diǎn)，則這兩個交點(diǎn)關(guān)于直線x=一三對稱；

3二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c的圖象關(guān)于y軸對稱；二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c的圖象于x

軸對稱.

四、二次函數(shù)的最值問題

自變量取值范圍圖象最大值最小值

當(dāng)x=一二時，二次函數(shù)

tar—

a>0取得最小值—

全體實(shí)數(shù)

當(dāng)x=二時，二次函數(shù)

a<0取得最大值^

當(dāng)X=X2時，二次函數(shù)取b

當(dāng)x=-五時，二次函數(shù)

得最大值y

2ifr

取得最小值M

X2

當(dāng)X=X1時，二次函數(shù)取(

當(dāng)X=F時，二次函數(shù)

得最大值yi

取得最小值」三一

X1<X<Xa>01

2

當(dāng)X=X2時，二次函數(shù)取當(dāng)X=X1時，二次函數(shù)取

得最大值y得最小值yi

Jlx2

-IrrP^2

備注：自變量的取值為XSXWX2時，且二次項(xiàng)系數(shù)a<0的最值情況請自行推導(dǎo).

考點(diǎn)三二次函數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系

.夯基-必備基礎(chǔ)電以攜理

一、二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a#0)的圖象與a,b,c的關(guān)系

符號圖象特征備注

aa>0開口向上a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開

口的大小(|a|越大，拋物線的開口小).

a<0開口向下

b=0坐標(biāo)軸是y軸

b

ab>O（a,b同號）對稱軸在y軸左側(cè)左同右異

ab<O（（a,b異號））對稱軸在y軸右側(cè)

c=0圖象過原點(diǎn)c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.

c

c>0與y軸正半軸相交

c<0與y軸負(fù)半軸相交

二、二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a#0)的常見結(jié)論

自變量X的值函數(shù)值圖象上對應(yīng)點(diǎn)的位置結(jié)論

X軸的上方4a-2b+c>0

-24a-2b+c

X軸上4a-2b+c=0

X軸的下方4a-2b+c<0

X軸的上方a-b+c>0

-1a-b+c

X軸上a-b+c=0

X軸的下方a-b+c<0

X軸的上方a+b+c>0

1a+b+c

X軸上a+b+c=0

X軸的下方a+b+c<0

X軸的上方4a+2b+c>0

24a+2b+c

X軸上4a+2b+c=0

X軸的下方4a+2b+c<0

考點(diǎn)四二次函數(shù)與方程、不等式

夯基?必備基礎(chǔ)知識梳理

一、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a#0),當(dāng)y=0時，得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a^O).一元二次方程的解就是二

次函數(shù)的圖象與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因此，二次函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況.

與X軸交點(diǎn)個數(shù)一元二次方程ax1+bx+c=0的根判別式A=/?2-4d!c

2個交點(diǎn)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac>0

1個交點(diǎn)有一個不相等的實(shí)數(shù)根廬44c=0

0個交點(diǎn)沒有實(shí)數(shù)根b2-4ac<0

二次函數(shù)與不等式的關(guān)系:

b2-4ac廬4〃。>0b2-4ac=0b2-4ac<0

圖象

‘Ji"

T/vx

o------------?-----------------

q%i（%2）

與X軸交點(diǎn)2個交點(diǎn)1個交點(diǎn)0個交點(diǎn)

ax2+bx+c>0X<X1或X>X2上取任意實(shí)數(shù)

X,一H

的解集情況

ax2+bx+c<0X1<X<X2無解無解

的解集情況

題型精研?考向洞悉

命題點(diǎn)一二次函數(shù)的相關(guān)概念

A題型01判斷二次函數(shù)

1.(2025?上海嘉定?一模)下列丫關(guān)于x的函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是()

A.y=ax2+bx+cB.j=5)2—x2

2

C.y=x9+1D.y-—z-

無

【答案】C

【分析】本題考查二次函數(shù)的識別，根據(jù)形如y=^+6x+c(a*0),這樣的函數(shù)叫做二次函數(shù)，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、當(dāng)a=。時，y=以2+bx+c不是二次函數(shù)，不符合題意；

B、y=(x-5)2-x2=-10x+25,不是二次函數(shù)，不符合題意；

C、y=x2+l,是二次函數(shù)，符合題意；

2

D、y,不是二次函數(shù)，不符合題意；

x

故選c.

2.（2025?上海普陀?一模）下列函數(shù)中，y關(guān)于尤的二次函數(shù)的是（）

A.y=-B.y=2x

x

C.y=（x+2）2D.y=ax2+bx+c

【答案】C

【分析】本題考查的是二次函數(shù)的定義，掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2

形如：y=aX+bx+c（a^Q）,則〉是彳的二次函數(shù)，根據(jù)定義逐一判斷各選項(xiàng)即可得到答案.

【詳解】解：y不是x的二次函數(shù)，故A錯誤；

X

y=2無,y不是x的二次函數(shù)，故B錯誤；

y=（x+2）2,即y=f+4x+4,y是x的二次函數(shù)，故C正確；

y=cuc2+bx+c,當(dāng)。=0時，＞不是x的二次函數(shù)，故D錯誤；

故選：C.

3.（2025?上海金山?一模）下列函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是（）

3

A.y=—x+rrr（其中正是常數(shù)）B.y=ax2+bx+c（其中b、c是常數(shù)）

C.y=（2x-l）xD.y=（尤+4）2-彳2

【答案】C

【分析】本題考查二次函數(shù)的判斷，根據(jù)形如〉=依2+法+0（。/0）,這樣的函數(shù)叫做二次函數(shù)，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、是一次函數(shù)，不符合題意；

B、當(dāng)。=0時，不是二次函數(shù)，不符合題意；

C、y=（2x-l）x=2x2-x,是二次函數(shù)，符合題意；

D、y=（x+4）2—d=8x+16,不含二次項(xiàng)，不是二次函數(shù)，不符合題意.

故選C.

4.（2024?上海寶山?三模）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（）

C..=&+2%-1D.y=x（x-l）

【答案】D

【分析】本題考查二次函數(shù)的概念和解析式的形式，知識點(diǎn)簡單，比較容易掌握.整理后根據(jù)二次函數(shù)的定義和條

件判斷即可.

【詳解】A.y==是反比例函數(shù)，不符合題意；

B.y=（x+3）2-尤2=6x+9,是一次函數(shù)，不符合題意；

C.y=&+2i，右邊不是整式，不是二次函數(shù)，不符合題意；

D.）；=%（3-1）=爐-%是二次函數(shù)，符合題意

故選：D.

A題型02已知二次函數(shù)的概念求參數(shù)值

5.（2024?山東荷澤?一模）若二次函數(shù)y=（機(jī)+2）f_7次+*一2〃2-8經(jīng)過原點(diǎn)，則機(jī)的值為（）

A.-2B.4C.一2或4D.無法確定

【答案】B

【分析】此題考查二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，注意二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0,這是容

易出錯的地方.

由題意二次函數(shù)的解析式為：y=（機(jī)+2*一陽+療—2機(jī)-8知機(jī)+2/0,則相力-2,再根據(jù)二次函數(shù)

>=（加+2）爐一儂一2加一8的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，把（0,0）代入二次函數(shù)，解出力的值.

【詳解】解：；二次函數(shù)的解析式為：y=（m+2）xi-mx+nr-2m-8,

m+2。0,

/.2,

二次函數(shù)y=（m+2）%2一儂:+）一2帆一8的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，

/.m2-2m-8=0,

.,.m=4或一2,

■:機(jī)w—2,

:.m=4.

故選：B.

6.（2023?廣東云浮?一模）關(guān)于x的函數(shù)y=（a-6）f+l是二次函數(shù)的條件是（）

A.awbB.a=bC.b=0D.a=0

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，直接求解即可得到答案；

【詳解】解：：尸⑺一6）f+1是二次函數(shù)，

a-b^O,

解得：a手b,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的條件，二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)不為0.

7.（2024?四川涼山?模擬預(yù)測）已知y=（a-l）x2-2x+4是關(guān)于尤的二次函數(shù)，其圖象經(jīng)過（0,1）,則。的值為（）

A.a=±1B.a=1C.a=-XD.無法確定

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)定義得出。-1工0,然后將點(diǎn)（?！梗┐?/p>

解析式，即可求解.

【詳解】解：依題意，1=片，a-1^0

解得：a=-l,

故選：C.

8.（2022?山東濟(jì)南?模擬預(yù)測）若y=（療+〃，尤是二次函數(shù)，則優(yōu)的值等于（）

A.-1B.0C.2D.-1或2

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可，形如>=辦2+/+°（。片0）的函數(shù)為二次函數(shù).

【詳解】解：、=（病+時一飛是二次函數(shù)，則療一%=2且療+機(jī)力。

由〃/一〃z=2可得〃z=2或m=—1,

由病+相片0可得〃7/0,m-1,

綜上加=2

故答案為：C

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的定義，涉及了一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義.

命題點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

A題型01根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)

9.（2025?上海寶山?一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果點(diǎn)［；,。）［|,，,（2?都在拋物線、=（^上，那么（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】A

【詳解】本題考查比較二次函數(shù)的函數(shù)值大小，根據(jù)二次函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可.

【分析】解：???拋物線的開口向上，對稱軸為y軸，

尤>0時，y隨X的增大而增大，

:點(diǎn)1'“仁小2，。）都在拋物線丁="上，且。<g<g<2，

J.a<b<c

故選：A.

10.（2024?云南怒江?一模）已知點(diǎn)2（2,%），C（-3,%）都在二次函數(shù)y=-2/+4的圖象上，貝|（）

A.%>%>%B.%>%>%

C.%H>%D.%>%>%

【答案】A

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，先求出外、當(dāng)、%的值，比較即可得解.

【詳解】解：???點(diǎn)41，乂），2（2,%），C（-3,%）都在二次函數(shù),=一2/+4的圖象上，

2-

；.%=-2x1?+4=2,y2=-2x2+4=-4,y3=—2x（—3）+4=-14,

:2>T>—14,

，%>%>為,

故選：A.

n.(2025?上海虹口?一模)已知(-3,%)、(0,%)和(1，必)都在拋物線丁=(%+2)2上，那么%、％和%的大小關(guān)系為

()

A.%<%<%B.

C.D.%>%>%

【答案】A

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，因?yàn)閽佄锞€y=(x+2『，則函數(shù)的開口方向向上，對稱軸是x=-2,越

靠近對稱軸的x所對應(yīng)的函數(shù)值越小，即可作答.

【詳解】解：???拋物線y=(x+2;

.?.函數(shù)的開口方向向上，對稱軸是x=-2,越靠近對稱軸的x所對應(yīng)的函數(shù)值越小，

???(-3,%)、(0,%)和(1,%)都在拋物線y=(X+2)2上，且卜3--2)1<|0-(-2)|<|1-(-2)|,

%<%<為，

故選：A.

12.(2024?云南曲靖?一模)設(shè)4(2,%),現(xiàn)3,%),C(-2,%)是拋物線y=2(x-l)2+左圖象上的三點(diǎn)，貝U%，%，%的

大小關(guān)系為()

A.B.%>%>則

C.%>為=%D.無法確定

【答案】A

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)，先求出拋物線的對稱軸和開口方向，根據(jù)二

次函數(shù)的性質(zhì)比較即可.

【詳解】解：：拋物線y=2(x-l『+上的開口向上，對稱軸是直線尤=1,

,當(dāng)尤>1時，y隨尤的增大而增大，

C(-2,%)關(guān)于稱軸是直線尤=1的對稱點(diǎn)是(4,%)，

,?2<3<4,

%>%>%，

故選：A.

A題型02將二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式

13.(2022?廣東湛江?一模)將二次函數(shù)y=d+4x-7化為y=q(x+〃)2+A的形式，正確的是()

A.丫=(尤+4)2—7B.，=(尤+2)2—11

C.y=(x+2p-7D.y=(x+2)2-15

【答案】B

【分析】用配方法將拋物線的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，即得答案.

【詳解】解：y=x2+4.x-7=x2+4.x+4-7-4

_y=x2+4.x+4-7-4

y=（尤+2）2-11

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的一般式y(tǒng)="2+/+c轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，需注意的是：第一，提取二次項(xiàng)系數(shù)而不是兩

邊同時除以二次項(xiàng)系數(shù)，第二，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)時，括號內(nèi)需注意符號的變化.

14.（2024?四川樂山?模擬預(yù)測）二次函數(shù)》=爐-4.》-4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）.

A.（2,8）B.（2,-8）

C.（-2,8）D.（-2,-8）

【答案】B

【分析】本題考查了將二次函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式，利用配方法將二次函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式，得出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可,

熟練掌握將二次函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：y=x2-4x-4=（%-2）2-8

.?.二次函數(shù)y=X2-4X-4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-8）.

故選：B.

15.（2024?山西?模擬預(yù)測）用配方法將二次函數(shù)>=爐-4尤-3化成y=a（x-4+上的形式為（）

A.y=（x-2）2-7B.y=（x-2）2-l

C.y=（x-2）2-3D.J=（X-2）2-4

【答案】A

【分析】本題考查了運(yùn)用配方法將二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)題意，將y=/-4x-3化為頂點(diǎn)式進(jìn)行比較即

可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，^=%2-4X-3=（X-2）2-7,

故選：A.

16.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）關(guān)于二次函數(shù)y=2f-8x+7的圖象，下列說法錯誤的是（）

A.對稱軸在>軸的右側(cè)

B.與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,7）

C.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-1）

D.是由拋物線y=2尤,向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到的

【答案】D

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和

二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項(xiàng)中的說法是否正確，從而可以解答本題.

【詳解】解：?.,二次函數(shù)y=2f-8x+7=2（x-2）2-l,。=2>0,

...該函數(shù)圖象開口向上，對稱軸是直線x=2,

對稱軸在〉軸的右側(cè)，故選項(xiàng)A說法正確，不符合題意；

當(dāng)x=0時，y=1,

...拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,7）,故選項(xiàng)B說法正確，不符合題意；

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-1）,故選項(xiàng)C說法正確，不符合題意；

拋物線y=2/向左平移2個單位，得y=2（x+2y,再向下平移1個單位得至!]y=2（》+2?-1=2/+8x+7,與原

函數(shù)解析式不同，故選項(xiàng)D說法錯誤，符合題意；

故選：D.

A題型03二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)

17.（2025?上海松江?一模）己知4（-1,乂）、3（3,%）是拋物線y=/-2x+c上兩點(diǎn)，那么％與當(dāng)?shù)拇笮￡P(guān)系是（）

A.%＞丫2B.C.%=%D.無法確定

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)判定函數(shù)值的大小，掌握二次函數(shù)圖象開口，對稱軸，增減性是解題的關(guān)

鍵.

根據(jù)二次函數(shù)解析式確定圖象開口向上，對稱軸直線為x=l,離對稱軸直線越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，再確定兩點(diǎn)與對稱

軸的距離，由此即可求解.

【詳解】解：拋物線y=Y-2x+c中，1＞0,

二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸直線為x=l,

.?.當(dāng)xWl時，＞隨％的增大而減小，當(dāng)時，,隨工的增大而增大，

離對稱軸直線越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，

V3-1=2,1-（-1）=2,

%=%，

故選：C.

18.（2024.貴州.模擬預(yù)測）己知二次函數(shù)丫=改2+法+《。片0）的圖象如圖所示，下列說法里誤的是（）

A.二次函數(shù)圖象關(guān)于直線x=l對稱

B.—1和3是方程依"+6x+c=0（。W0）的兩個根

c.當(dāng)》＜1時，y隨x的增大而增大

D.二次函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是-3

【答案】C

【分析】本題主要查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：觀察圖象得：二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線X=l,開口向上，故A選項(xiàng)正確，不符合題意;

觀察圖象得：二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)（-1,0）,

:二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線龍=1,

...二次函數(shù)圖象與X軸的另一個交點(diǎn)為（3,0）,

-1和3是方程依2+bx+c=0（aw0）的兩個根，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；

觀察圖象得：二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x=l,開口向上，

.?.當(dāng)x<l時，y隨元的增大而減小，故C選項(xiàng)錯誤，符合題意；

拋物線經(jīng)過點(diǎn)（一L。）,（3,0）,（1,T）,

〃一Z?+c=0

，<9。+38+c=0,

Q+6+c=—4

a—1

解得，匕=-2,

c=-3

y=x2-2x-3,

當(dāng)x=0時，y=-3,

???二次函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是-3,故D選項(xiàng)正確，不符合題意；

故選：C.

91

19.（2024?浙江寧波?二模）已知拋物線y=-（x+3）+-,下列說法正確的是（）

A.開口向上B.與y軸的交點(diǎn)（0,；）

C.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,g）D.當(dāng)x<-4時，y隨X的增大而增大

【答案】D

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).由二次函數(shù)解析式可得拋物線開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性，

進(jìn)而求解.

【詳解】A.二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，因此拋物線開口向下，不符題意；

B.與>軸的交點(diǎn)為［，-g］，不符題意；

C.頂點(diǎn)坐標(biāo)為,不符題意.

D.T在-3左邊，又因?yàn)殚_口向下，所以x<-4時，>隨x的增大而增大，符合題意.

故選D

20.（2024?安徽?模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y=a（x+ay+l—Y為常數(shù)，。*0）,當(dāng)0VxV6時，y>l,則。的取

值范圍是（）

A.。>0或〃（一3B.-3<a<0

C.a<0或。之3D.0<a<3

【答案】A

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)拋物線解析式得出對稱軸為直

線冗=一〃，分a〉0,avO兩種情況討論，根據(jù)當(dāng)時，,之1,得出〃的范圍即可求解.

【詳解】解：當(dāng)。＞0時，拋物線的對稱軸為直線x=-a,

此時拋物線開口向上，對稱軸在y軸左側(cè)，

當(dāng)x=o時，y=l,故拋物線與y軸交于（0,1）,

當(dāng)0VxW6時，y隨X增大而增大，對于任意。的取值均成立;

當(dāng)。＜o(jì)時，此時拋物線開口向下，對稱軸在y軸右側(cè)，

由于拋物線經(jīng)過（0,1）,故必經(jīng)過（-2凡1）,

要滿足當(dāng)0VxW6時，y＞l,貝|J—2。26,止匕時aV—3,

綜上所述，。＞0或“《-3,

故選：A.

A題型04二次函數(shù)的對稱性

21.（2023?廣東惠州?二模）已知拋物線〉=尤2+法+0經(jīng)過點(diǎn)（1,0）和點(diǎn)（-3,0）,則該拋物線的對稱軸為（）

A.y軸B.直線尸-1C.直線％=-2D.直線x=2

【答案】B

【分析】根據(jù)A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同可知A、B兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，據(jù)此即可求出答案.

【詳解】解：：拋物線y=/+6x+c經(jīng)過點(diǎn)（1,0）和點(diǎn)（-3,0）,

拋物線對稱軸為直線x==-1,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的對稱性，熟練掌握利用二次函數(shù)的對稱性求解函數(shù)的對稱軸是解題的關(guān)鍵.

22.（2023?四川自貢?中考真題）經(jīng)過42-36,?7）,3（46+。-1,加）兩點(diǎn)的拋物線y=-：尤2+法-/+2。（x為自變量）

與無軸有交點(diǎn)，則線段AB長為（）

A.10B.12C.13D.15

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，求得對稱軸，進(jìn)而得出c=6-1,求得拋物線解析式，根據(jù)拋物線與x軸有交點(diǎn)得出

A=b2-4ac＞0,進(jìn)而得出b=2,貝卜=1,求得AB的橫坐標(biāo)，即可求解.

bb.

【詳解】解：?..拋物線丫=一3/+公一/+2。的對稱軸為直線2a2x?

拋物線經(jīng)過A（2-3b,m）,B（4b+c-l,m）兩點(diǎn)

.2—3Z?+4Z?+c—17

..--------------二b,

2

即c=b—l,

y——%2+bx—〃+2c=—%2+bx—+2b—2,

22

??,拋物線與九軸有交點(diǎn),

**?△=〃-4ac>0,

即〃一4x「gjx（一〃+26-2）20,

即"一46+440,即（b-2）zV0,

:,b=2,c=Z?—1=2—1=1,

??.2—30=2—6=T,46+c—1=8+1—1=8,

AB=4b+c—l—（2-36）=8-（T=12,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱性，與x軸交點(diǎn)問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

23.（2023?廣東深圳?二模）已知點(diǎn)（冷珀，（々,%）（%＜%2）在＞=-尤2+2工+機(jī)的圖象上，下列說法錯誤的是（）

A.當(dāng)相＞0時，二次函數(shù)＞=-/+2苫+,”與x軸總有兩個