/計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)猜押考點(diǎn)3年真題考情分析押題依據(jù)計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)2024全國(guó)新高考I卷9、14、2024全國(guó)新高考Ⅱ卷4、14、182023全國(guó)新高考I卷9、10、13、212023全國(guó)新高考Ⅱ卷3、12、192022全國(guó)新高考I卷13、202022全國(guó)新高考Ⅱ卷5、19關(guān)于排列、組合與二項(xiàng)式定理的考查，往往以客觀題形式考查.1.基本原理的應(yīng)用；2.基本原理與排列的綜合問(wèn)題；3.基本原理與組合的綜合問(wèn)題；4.基本原理、排列、組合綜合問(wèn)題；5.二項(xiàng)展開(kāi)式指定項(xiàng)（系數(shù)）；6.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；7.數(shù)學(xué)文化與楊輝三角.8.概率的計(jì)算問(wèn)題：古典概型是基礎(chǔ)，條件概率、乘法公式與全概率公式的應(yīng)用，獨(dú)立性與條件概率綜合問(wèn)題；9.隨機(jī)抽樣、統(tǒng)計(jì)圖表及其應(yīng)用、數(shù)據(jù)數(shù)字特征的計(jì)算及其應(yīng)用等，其中頻率分布表、頻率分布直方圖是重點(diǎn)；10.線性回歸問(wèn)題也許會(huì)成為“黑馬”、獨(dú)立性檢驗(yàn)；11.兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布及其數(shù)字特征，考查方式可能分別以客觀題、主觀題兩種.統(tǒng)計(jì)案例以及數(shù)字特征類(lèi)的運(yùn)算子近年的考查頻率非常高，容易與實(shí)際情景以及頻率分布直方圖相結(jié)合，從而考查統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，將是高考的一個(gè)方向。古典概型是高考數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要考查點(diǎn)，難度小。排列組合在近年的高考中考查的不是很多，一般是排隊(duì)性問(wèn)題，插空類(lèi)，以及分類(lèi)討論性問(wèn)題離散型分布是高考的一個(gè)?？碱}型，主要是賽制類(lèi)問(wèn)題，二項(xiàng)分布，超幾何分布類(lèi)問(wèn)題條件概率與全概率的應(yīng)用是高考在概率方面的一個(gè)重要方向，在新高考中將是一個(gè)非常重要的方向題型一統(tǒng)計(jì)案例與數(shù)據(jù)分析1．（24-25高三下·河南周口·階段練習(xí)）某校高三年級(jí)共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考試結(jié)束后，學(xué)校采用按性別分層隨機(jī)抽樣的方法抽取容量為的樣本，已知樣本中男生比女生人數(shù)多8人，則（

）A．20 B．30 C．40 D．482．（24-25高二下·上?！ら_(kāi)學(xué)考試）某公司利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的900支新冠疫苗進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將疫苗按000，001，…，899進(jìn)行編號(hào)，從中抽取90個(gè)樣本，若選定從第4行第4列的數(shù)開(kāi)始向右讀數(shù)，（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表中的第3行至第5行），根據(jù)下圖，讀出的第5個(gè)數(shù)的編號(hào)是．1676622766

5650267107

3290797853

1355385859

88975414101256859926

9682731099

1696729315

5712101421

88264981765559563564

3854824622

3162430990

0618443253

23830130303．（22-23高一下·云南昭通·期末）高一（1）班有學(xué)生45人，高一（2）班有學(xué)生27人，高一（3）班有學(xué)生36人，用分層抽樣的方法從這三個(gè)班中抽出一部分人組成的方隊(duì)，進(jìn)行體操比賽，則高一（1）班、高一（2）班、高一（3）班分別被抽取的人數(shù)是（

）A．15，9，12 B．9，15，12 C．12，9，15 D．15，12，94．（2025·河南·一模）（多選）已知，樣本數(shù)據(jù)，，則（

）A．的平均數(shù)一定等于的平均數(shù) B．的中位數(shù)一定小于的中位數(shù)C．的極差一定大于的極差 D．的方差一定小于的方差5．（24-25高一下·廣東廣州·期中）（多選）某興趣小組9名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)（單位：分）分別為：，，，，，，，，，則（

）A．中位數(shù)是88.5 B．上四分位數(shù)是91C．下四分位數(shù)是80 D．極差是306．（24-25高一下·廣東廣州·期中）（多選）某項(xiàng)比賽共有10個(gè)評(píng)委評(píng)分，若去掉一個(gè)最高分與一個(gè)最低分，則與原始數(shù)據(jù)相比，一定不變的是（

）A．極差 B．45百分位數(shù) C．中位數(shù)不變 D．眾數(shù)7．（24-25高二下·上海青浦·期中）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)平均數(shù)為.8．（2025·遼寧鞍山·二模）已知互不相等的數(shù)據(jù)，，，，，，的平均數(shù)為，方差為，數(shù)據(jù)，，，，，的方差為，則（

）A． B．C． D．與的大小關(guān)系無(wú)法判斷題型二古典概型與排列組合1．（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）畢業(yè)是青春的里程碑，更是奔赴星海的啟航．希望中學(xué)高三（8）班的九名身高互不相同的摯友想拍一張畢業(yè)照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，其中小郅與小豪兩位好朋友在這九人中身高由高到低分別位居第1位與第4位，他們要求要站在同一行相鄰的位置，則不同的排列方式共有（

）種．A．200 B．300 C．400 D．6002．（24-25高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）用0、2、4、6、8這5個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.（用數(shù)字作答）3．（24-25高二下·福建泉州·階段練習(xí)）有3位高三學(xué)生參加4所重點(diǎn)院校的自主招生考試，每人參加且只能參加一所學(xué)校的考試，則不同的考試方法種數(shù)為（

）A．9 B．12 C．64 D．814．（24-25高二下·陜西榆林·階段練習(xí)）寒假期間，南京有4個(gè)家庭分別選擇吉林、白山、四平三個(gè)城市中的一個(gè)避暑旅游，則這4個(gè)家庭不同的選擇方法共有（

）A．6種 B．24種 C．64種 D．81種5．（2025·陜西漢中·二模）從正四棱臺(tái)的12條棱中任取2條，則這2條棱互相平行的概率為（

）A． B． C． D．6．（24-25高二下·安徽安慶·階段練習(xí)）已知，，，則關(guān)于，，的方程共有（

）組不同的解.A．36 B．45 C．50 D．247．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想.多用于哲學(xué)、中醫(yī)學(xué)和占卜方面.五行學(xué)說(shuō)是華夏文明重要組成部分.古代先民認(rèn)為，天下萬(wàn)物皆由五類(lèi)元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.五行是指木、火、土、金、水五種物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)變化.所以，在中國(guó)，“五行”有悠久的歷史淵源.下圖是五行圖，現(xiàn)有種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（

）

A． B． C． D．8．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）將5個(gè)大小相同，顏色不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)盒子中，恰好有2個(gè)空盒的放法共有（

）A．1500種 B．1800種 C．2340種 D．2400種9．（19-20高二上·四川成都·期中）如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有（

）A．192 B．336 C．600 D．以上答案均不對(duì)10．（24-25高二下·廣東汕頭·期中）年春節(jié)檔共有部影片定檔，某影城根據(jù)第一周的觀影情況，決定第二周只播放其中的《哪吒之魔童鬧?！?、《唐探》、《熊出沒(méi)·重啟未來(lái)》及《蛟龍行動(dòng)》．為了家庭中的大人和孩子觀影便利，該影城對(duì)第、周影片播放順序做出如下要求：《哪吒之魔童鬧?！凡慌诺谝粓?chǎng)，《熊出沒(méi)·重啟未來(lái)》不排最后一場(chǎng)，《蛟龍行動(dòng)》和《熊出沒(méi)·重啟未來(lái)》必須連續(xù)安排，則不同的安排方式有（

）A．種 B．種 C．10種 D．種11．（24-25高二下·江西·階段練習(xí)）要讓如圖所示的電路在只合上兩個(gè)開(kāi)關(guān)的情況下正常工作，不同方法種數(shù)為（

）A．10 B．8 C．6 D．5題型三二項(xiàng)式定理1．（2025·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知展開(kāi)式的第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）2．（24-25高三下·江蘇·階段練習(xí)）已知（為常數(shù)）的展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)的和與二項(xiàng)式系數(shù)的和相等，則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為3．（2025·山東聊城·模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則．4．（24-25高二下·河北滄州·階段練習(xí)）已知的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（

）A． B． C． D．5．（2025·廣西桂林·一模）（多選）已知的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則（

）A．B．常數(shù)項(xiàng)是第3項(xiàng)C．二項(xiàng)式系數(shù)最大值為20D．所有項(xiàng)系數(shù)之和等于16．（24-25高三下·廣東梅州·階段練習(xí)）的末三位數(shù)是．7．（24-25高二下·湖北省直轄縣級(jí)單位·期中）的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（結(jié)果用數(shù)字作答）8．（24-25高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）的值是（

）A． B．1 C．0 D．220249．（24-25高二下·河北邢臺(tái)·期中）已知，則為（

）A．180 B．150 C．120 D．200題型四離散型隨機(jī)變量及其分布列、二項(xiàng)分布，超幾何分布、正態(tài)分布1．（24-25高二下·陜西榆林·階段練習(xí)）（多選）已知隨機(jī)變量X的分布列為X13579P0.20.1m0.30.1則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．2．（24-25高二下·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示.若隨機(jī)變量，則（

）X012P0.10.40.20.3A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.63．（24-25高二下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）（多選）已知隨機(jī)變量X的分布列為，，，則（

）A． B． C． D．4．（24-25高二下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量，則（

）A． B． C． D．5．（湖北省第十屆（2025屆）高三下學(xué)期4月調(diào)研模擬考試數(shù)學(xué)試題）（多選）下列命題正確的是（

）A．是一組樣本數(shù)據(jù)，去掉其中的最大數(shù)和最小數(shù)后，剩下10個(gè)數(shù)的中位數(shù)小于原樣本的中位數(shù)B．若事件A，B相互獨(dú)立，且，，則事件A，B不互斥C．若隨機(jī)變量，，則D．若隨機(jī)變量的方差，期望，則隨機(jī)變量的期望6．（2025·湖南郴州·三模）已知編號(hào)為甲、乙、丙的三個(gè)袋子中裝有除標(biāo)號(hào)外完全相同的小球，其中甲袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；乙袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；丙袋內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球.(1)從甲袋中一次性摸出2個(gè)小球，記隨機(jī)變量為1號(hào)球的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)現(xiàn)按照如下規(guī)則摸球：連續(xù)摸球兩次，第一次先從甲袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，若摸出的是1號(hào)球放入甲袋，摸出的是2號(hào)球放入乙袋，摸出的是3號(hào)球放入丙袋；第二次從放入球的袋子中再隨機(jī)摸出1個(gè)球.求第二次摸到的是3號(hào)球的概率.7．（24-25高三下·山東·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．8．（2025·山東濟(jì)南·一模）某公司升級(jí)了智能客服系統(tǒng)，在測(cè)試時(shí)，當(dāng)輸入的問(wèn)題表達(dá)清晰時(shí)，智能客服的回答被采納的概率為，當(dāng)輸入的問(wèn)題表達(dá)不清晰時(shí)，智能客服的回答被采納的概率為.已知輸入的問(wèn)題表達(dá)不清晰的概率為.(1)求智能客服的回答被采納的概率；(2)在某次測(cè)試中輸入了3個(gè)問(wèn)題（3個(gè)問(wèn)題相互獨(dú)立），設(shè)表示智能客服的回答被采納的次數(shù).求的分布列、期望及方差.9．（2025·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）一只貓和一只老鼠在兩個(gè)房間內(nèi)游走.每經(jīng)過(guò)1分鐘，貓和老鼠都可以選擇進(jìn)行一次移動(dòng).貓從當(dāng)前房間移動(dòng)到另一房間的概率為0.6，留在該房間的概率為0.4；若上一分鐘貓和老鼠都在一個(gè)房間，那么下一分鐘老鼠必定移動(dòng)到另一個(gè)房間，否則老鼠從當(dāng)前房間移動(dòng)到另一房間或留在當(dāng)前房間的概率均為0.5.已知在第0分鐘時(shí)，貓?jiān)?號(hào)房間，老鼠在1號(hào)房間.設(shè)在第分鐘時(shí)，貓和老鼠在0號(hào)房間的概率分別為，.(1)求第1分鐘時(shí)，貓和老鼠所在房間號(hào)之和為1的概率；(2)求證：，均為等比數(shù)列并求它們的通項(xiàng)公式.題型五事件的獨(dú)立，條件概率與全概率公式應(yīng)用，獨(dú)立性檢驗(yàn)1．（2025·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知，，，則（

）A．0.2 B．0.375 C．0.75 D．0.82．（24-25高三下·江蘇常州·階段練習(xí)）將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，記事件：兩次的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，：兩次的點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)，：第一次的點(diǎn)數(shù)小于，則（）A． B． C．與相互獨(dú)立 D．與互斥3．（2025·安徽安慶·二模）設(shè)事件為兩個(gè)隨機(jī)事件，，且，則（

）A． B．C． D．4．（2025·江蘇蘇州·一模）（多選）表示三個(gè)隨機(jī)事件，判斷下列選項(xiàng)正確的是（

）A．已知是事件與事件相互獨(dú)立的充要條件B．已知，則C．已知是事件與事件互斥的充要條件D．已知，則5．（18-19高三上·江蘇無(wú)錫·開(kāi)學(xué)考試）一個(gè)布袋中，有大小、質(zhì)地相同的4個(gè)小球，其中2個(gè)是紅球，2個(gè)是白球，若從中隨機(jī)抽取2個(gè)球，則所抽取的球中至少有一個(gè)紅球的概率是.6．（12-13高二上·湖北黃岡·期中）甲、乙兩位同學(xué)玩游戲，對(duì)于給定的實(shí)數(shù)，按下列方法操作一次產(chǎn)生一個(gè)新的實(shí)數(shù)：由甲、乙同時(shí)各擲一枚均勻的硬幣，如果出現(xiàn)兩個(gè)正面朝上或兩個(gè)反面朝上，則把乘以2后再減去12,；如果出現(xiàn)一個(gè)正面朝上，一個(gè)反面朝上，則把除以2后再加上12，這樣就得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)仍按上述方法進(jìn)行一次操作，又得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，若甲獲勝的概率為，則的取值范圍是7．（18-19高一上·山西陽(yáng)泉·期末）在2019迎新年聯(lián)歡會(huì)上,為了活躍大家氣氛,設(shè)置了“摸球中獎(jiǎng)”游戲,桌子上放置一個(gè)不透明的箱子,箱子中有3個(gè)黃色、3個(gè)白色的乒乓球(其體積、質(zhì)地完全相同)游戲規(guī)則：從箱子中隨機(jī)摸出3個(gè)球,若摸得同一顏色的3個(gè)球,摸球者中獎(jiǎng)價(jià)值50元獎(jiǎng)品;若摸得非同一顏色的3個(gè)球,摸球者中獎(jiǎng)價(jià)值20元獎(jiǎng)品.(1)摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌?(2)假定有10人次參與游戲,試從概率的角度估算一下需要準(zhǔn)備多少元錢(qián)購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品?8．（2021·廣東·二模）城市大氣中總懸浮顆粒物(簡(jiǎn)稱(chēng)TSP)是影響城市空氣質(zhì)量的首要污染物，我國(guó)的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定，TSP日平均濃度(單位：)在時(shí)為一級(jí)水平，在時(shí)為二級(jí)水平.為打贏藍(lán)天保衛(wèi)戰(zhàn)，有效管控和治理那些會(huì)加重TSP日平均濃度的揚(yáng)塵污染刻不容緩.揚(yáng)塵監(jiān)測(cè)儀與智能霧化噴淋降塵系統(tǒng)為城市建筑工地的有效抑塵提供了技術(shù)支持.某建筑工地現(xiàn)新配置了智能霧化噴淋降塵系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了依據(jù)揚(yáng)塵監(jiān)測(cè)儀的TSP日平均濃度進(jìn)行自動(dòng)霧化噴淋，其噴霧頭的智能啟用對(duì)應(yīng)如下表：TSP日平均濃度噴霧頭個(gè)數(shù)個(gè)根據(jù)以往揚(yáng)塵監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)可知，該工地施工期間TSP日平均濃度不高于，，，的概率分別為，，，.（1）若單個(gè)噴霧頭能實(shí)現(xiàn)有效降塵，求施工期間工地能平均有效降塵的立方米數(shù).（2）若實(shí)現(xiàn)智能霧化噴淋降塵之后，該工地施工期間TSP日平均濃度不高于，，，的概率均相應(yīng)提升了，求：①該工地在未來(lái)天中至少有天TSP日平均濃度能達(dá)到一級(jí)水平的概率；(，結(jié)果精確到)②設(shè)單個(gè)噴霧頭出水量一樣，如果TSP日平均濃度達(dá)到一級(jí)水平時(shí)，無(wú)需實(shí)施霧化噴淋，二級(jí)及以上水平時(shí)啟用所有噴霧頭個(gè)，這樣設(shè)置能否實(shí)現(xiàn)節(jié)水節(jié)能的目的？說(shuō)明理由.9．（2025·河北石家莊·一模）在一個(gè)溫馨的周末，甲同學(xué)一家人齊聚在寬敞明亮的客廳里進(jìn)行擲游戲幣活動(dòng)，假設(shè)每次擲游戲幣出現(xiàn)正面的概率為，且，每次擲游戲幣的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)當(dāng)時(shí)，若甲連續(xù)投擲了兩次，求至少出現(xiàn)一次正面向上的概率；(2)若規(guī)定每輪游戲只要連續(xù)不斷的出現(xiàn)三次正面向上，則游戲結(jié)束，每輪最多連續(xù)投擲6次.①甲在一輪游戲中恰好投擲了5次游戲結(jié)束的概率為，求的表達(dá)式；②設(shè)甲在一輪游戲中投擲次數(shù)為，求的最大值.

計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)猜押考點(diǎn)3年真題考情分析押題依據(jù)計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)2024全國(guó)新高考I卷9、14、2024全國(guó)新高考Ⅱ卷4、14、182023全國(guó)新高考I卷9、10、13、212023全國(guó)新高考Ⅱ卷3、12、192022全國(guó)新高考I卷13、202022全國(guó)新高考Ⅱ卷5、19關(guān)于排列、組合與二項(xiàng)式定理的考查，往往以客觀題形式考查.1.基本原理的應(yīng)用；2.基本原理與排列的綜合問(wèn)題；3.基本原理與組合的綜合問(wèn)題；4.基本原理、排列、組合綜合問(wèn)題；5.二項(xiàng)展開(kāi)式指定項(xiàng)（系數(shù)）；6.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；7.數(shù)學(xué)文化與楊輝三角.8.概率的計(jì)算問(wèn)題：古典概型是基礎(chǔ)，條件概率、乘法公式與全概率公式的應(yīng)用，獨(dú)立性與條件概率綜合問(wèn)題；9.隨機(jī)抽樣、統(tǒng)計(jì)圖表及其應(yīng)用、數(shù)據(jù)數(shù)字特征的計(jì)算及其應(yīng)用等，其中頻率分布表、頻率分布直方圖是重點(diǎn)；10.線性回歸問(wèn)題也許會(huì)成為“黑馬”、獨(dú)立性檢驗(yàn)；11.兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布及其數(shù)字特征，考查方式可能分別以客觀題、主觀題兩種.統(tǒng)計(jì)案例以及數(shù)字特征類(lèi)的運(yùn)算子近年的考查頻率非常高，容易與實(shí)際情景以及頻率分布直方圖相結(jié)合，從而考查統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，將是高考的一個(gè)方向。古典概型是高考數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要考查點(diǎn)，難度小。排列組合在近年的高考中考查的不是很多，一般是排隊(duì)性問(wèn)題，插空類(lèi)，以及分類(lèi)討論性問(wèn)題離散型分布是高考的一個(gè)常考題型，主要是賽制類(lèi)問(wèn)題，二項(xiàng)分布，超幾何分布類(lèi)問(wèn)題條件概率與全概率的應(yīng)用是高考在概率方面的一個(gè)重要方向，在新高考中將是一個(gè)非常重要的方向題型一統(tǒng)計(jì)案例與數(shù)據(jù)分析1．（24-25高三下·河南周口·階段練習(xí)）某校高三年級(jí)共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考試結(jié)束后，學(xué)校采用按性別分層隨機(jī)抽樣的方法抽取容量為的樣本，已知樣本中男生比女生人數(shù)多8人，則（

）A．20 B．30 C．40 D．48【答案】C【分析】利用分層抽樣的性質(zhì)直接求解.【詳解】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知，樣本中男生人數(shù)為：，樣本中女生人數(shù)為：，由題意，所以，所以.故選：C2．（24-25高二下·上?！ら_(kāi)學(xué)考試）某公司利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的900支新冠疫苗進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將疫苗按000，001，…，899進(jìn)行編號(hào)，從中抽取90個(gè)樣本，若選定從第4行第4列的數(shù)開(kāi)始向右讀數(shù)，（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表中的第3行至第5行），根據(jù)下圖，讀出的第5個(gè)數(shù)的編號(hào)是．1676622766

5650267107

3290797853

1355385859

88975414101256859926

9682731099

1696729315

5712101421

88264981765559563564

3854824622

3162430990

0618443253

2383013030【答案】729【分析】找到第4行第4列的數(shù)開(kāi)始向右數(shù)，三個(gè)數(shù)字為一組，如果數(shù)據(jù)超過(guò)899則跳過(guò)，數(shù)到第5個(gè)899以?xún)?nèi)的數(shù)字即可.【詳解】從685開(kāi)始向右數(shù)，即685，992，696，827，310，991，696，729，跳過(guò)992，991，696重復(fù)，跳過(guò)，所以第5個(gè)數(shù)字為729.故答案為：729.3．（22-23高一下·云南昭通·期末）高一（1）班有學(xué)生45人，高一（2）班有學(xué)生27人，高一（3）班有學(xué)生36人，用分層抽樣的方法從這三個(gè)班中抽出一部分人組成的方隊(duì)，進(jìn)行體操比賽，則高一（1）班、高一（2）班、高一（3）班分別被抽取的人數(shù)是（

）A．15，9，12 B．9，15，12 C．12，9，15 D．15，12，9【答案】A【分析】由分層抽樣的方法結(jié)合題意計(jì)算即可.【詳解】利用分層抽樣的方法得，高一（1）班應(yīng)抽出（人），高一（2）班應(yīng)抽出（人），高一（3）班應(yīng)抽出（人），則高一（1）班，高一（2）班，高一（3）班分別被抽取的人數(shù)是15，9，12，故選：A.4．（2025·河南·一模）（多選）已知，樣本數(shù)據(jù)，，則（

）A．的平均數(shù)一定等于的平均數(shù) B．的中位數(shù)一定小于的中位數(shù)C．的極差一定大于的極差 D．的方差一定小于的方差【答案】AC【分析】利用平均數(shù)、極差的定義計(jì)算判斷AC；利用中位數(shù)的定義舉例判斷B；利用方差的意義分析判斷D.【詳解】對(duì)分別求平均數(shù)，均為，故A正確；的中位數(shù)為，的中位數(shù)為，大小關(guān)系不確定，不妨設(shè)原數(shù)據(jù)為：，中位數(shù)為，則新數(shù)據(jù)為：，中位數(shù)為2，故B錯(cuò)誤；的極差為，的極差為，故C正確；由，且和的平均數(shù)相等，從而，故D錯(cuò)誤．故選：AC．5．（24-25高一下·廣東廣州·期中）（多選）某興趣小組9名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)（單位：分）分別為：，，，，，，，，，則（

）A．中位數(shù)是88.5 B．上四分位數(shù)是91C．下四分位數(shù)是80 D．極差是30【答案】BCD【分析】由中位數(shù)，下四分位數(shù)，上四分位數(shù)，極差概念結(jié)合題目數(shù)據(jù)可得答案.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排列，有，，，，，，，，.對(duì)于A，因數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為9，則中位數(shù)為第5個(gè)數(shù)據(jù)，即89，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，上四分位數(shù)為分位數(shù)，因，則上四分位數(shù)為第7個(gè)數(shù)據(jù)，即91，故B正確；對(duì)于C，下四分位數(shù)為分位數(shù)，因，則下四分位數(shù)為第3個(gè)數(shù)據(jù)，即80，故C正確；對(duì)于D，極差為，故D正確.故選：BCD6．（24-25高一下·廣東廣州·期中）（多選）某項(xiàng)比賽共有10個(gè)評(píng)委評(píng)分，若去掉一個(gè)最高分與一個(gè)最低分，則與原始數(shù)據(jù)相比，一定不變的是（

）A．極差 B．45百分位數(shù) C．中位數(shù)不變 D．眾數(shù)【答案】BC【分析】根據(jù)題意將10個(gè)數(shù)據(jù)去掉最高分和最低分后分別分析極差、45百分位數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的變化即可得結(jié)論．【詳解】某項(xiàng)比賽共有10個(gè)評(píng)委評(píng)分，若去掉一個(gè)最高分與一個(gè)最低分，則與原始數(shù)據(jù)相比，對(duì)于A選項(xiàng)，若每個(gè)數(shù)據(jù)都不相同，則極差一定變化，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由，所以將10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，45百分位數(shù)為第5個(gè)數(shù)據(jù)，從10個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到8個(gè)有效評(píng)分，，所以45百分位數(shù)為8個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后第4個(gè)數(shù)據(jù)，即為原來(lái)的第5個(gè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)沒(méi)變，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由，所以將10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，中位數(shù)為第5個(gè)和第6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從10個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到8個(gè)有效評(píng)分，，中位數(shù)為第4個(gè)和第5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為原來(lái)的第5個(gè)和第6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，數(shù)據(jù)沒(méi)變，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，去掉一個(gè)最高分一個(gè)最低分，眾數(shù)可能變化，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BC.7．（24-25高二下·上海青浦·期中）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)平均數(shù)為.【答案】6【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義求解即可【詳解】因?yàn)榈钠骄鶖?shù)為，所以，所以.故答案為：.8．（2025·遼寧鞍山·二模）已知互不相等的數(shù)據(jù)，，，，，，的平均數(shù)為，方差為，數(shù)據(jù)，，，，，的方差為，則（

）A． B．C． D．與的大小關(guān)系無(wú)法判斷【答案】C【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)分別計(jì)算、比較大小即可求解.【詳解】根據(jù)已知條件第一組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為個(gè)，且，所以，，第二組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為個(gè)，且平均數(shù)，，因?yàn)?，所?故選：C題型二古典概型與排列組合1．（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）畢業(yè)是青春的里程碑，更是奔赴星海的啟航．希望中學(xué)高三（8）班的九名身高互不相同的摯友想拍一張畢業(yè)照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，其中小郅與小豪兩位好朋友在這九人中身高由高到低分別位居第1位與第4位，他們要求要站在同一行相鄰的位置，則不同的排列方式共有（

）種．A．200 B．300 C．400 D．600【答案】C【分析】先確定特殊元素的位置，再利用排列、組合安排其他人的位置，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】不妨將這9名摯友的身高從矮到高排序?yàn)?，2，3，4，5，6，7，8，9，小郅同學(xué)最高，只能排在最后一行，小豪同學(xué)與之相鄰，將其看作一個(gè)整體，共有種排法，又由于小豪同學(xué)身高排第4，即從矮到高排第6，所以其前方只能站序號(hào)為1，2，3，4，5的同學(xué)，從中選兩名同學(xué)有種選法，選完之后讓同學(xué)們由高到矮站位就行；剩下的位置中任選兩人站在小郅同學(xué)前面，剩余3人在最后一列按高矮順序站位即可，所以有種選法，故共有種選法．故選：C.2．（24-25高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）用0、2、4、6、8這5個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】由三位數(shù)的首位不為零，利用分步乘法原理，可得答案.【詳解】三位數(shù)的百位不能選零，則有種選擇，而十位與個(gè)位分別有種與種選擇，所以三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故答案為：.3．（24-25高二下·福建泉州·階段練習(xí)）有3位高三學(xué)生參加4所重點(diǎn)院校的自主招生考試，每人參加且只能參加一所學(xué)校的考試，則不同的考試方法種數(shù)為（

）A．9 B．12 C．64 D．81【答案】C【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理可直接求得答案.【詳解】每位學(xué)生可以有種參加重點(diǎn)院校的自主招生考試，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的考試方法種數(shù)為種.故答案為：C.4．（24-25高二下·陜西榆林·階段練習(xí)）寒假期間，南京有4個(gè)家庭分別選擇吉林、白山、四平三個(gè)城市中的一個(gè)避暑旅游，則這4個(gè)家庭不同的選擇方法共有（

）A．6種 B．24種 C．64種 D．81種【答案】D【分析】每個(gè)家庭都有三種選擇方式，由分步乘法計(jì)數(shù)乘法原理可知共有種選擇方案.【詳解】由題意可知四個(gè)家庭中，每個(gè)家庭都有三種選擇方式，由分步乘法計(jì)數(shù)乘法原理，所以共有種選擇方案.故選：D．5．（2025·陜西漢中·二模）從正四棱臺(tái)的12條棱中任取2條，則這2條棱互相平行的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先確定出正四棱臺(tái)中的平行直線，再應(yīng)用古典概型及組合數(shù)計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)?，，所以這2條棱互相平行的概率為．故選：D.6．（24-25高二下·安徽安慶·階段練習(xí)）已知，，，則關(guān)于，，的方程共有（

）組不同的解.A．36 B．45 C．50 D．24【答案】A【分析】根據(jù)題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為把10個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放入1個(gè)小球的不同放法，由擋板分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意，對(duì)于方程將10看成10個(gè)相同的小球，將其分成3組，每組至少1個(gè)，第一組有個(gè)，第二組有個(gè)，第三組有個(gè)，即可得一個(gè)方程的解，所以10個(gè)相同的小球形成9個(gè)空，從中選2個(gè)，插入隔板即可，所以共有組不同的解.故選：A7．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想.多用于哲學(xué)、中醫(yī)學(xué)和占卜方面.五行學(xué)說(shuō)是華夏文明重要組成部分.古代先民認(rèn)為，天下萬(wàn)物皆由五類(lèi)元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.五行是指木、火、土、金、水五種物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)變化.所以，在中國(guó)，“五行”有悠久的歷史淵源.下圖是五行圖，現(xiàn)有種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】依次填涂“火”、“土”、“金”、“水”、“木”，分別確定每個(gè)區(qū)域的涂色方法種數(shù)，結(jié)合分類(lèi)加法分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），不妨設(shè)四種顏色分別為、、、，先填涂區(qū)域“火”，有種選擇，不妨設(shè)區(qū)域“火”填涂的顏色為，接下來(lái)填涂區(qū)域“土”，有種選擇，分別為、、，若區(qū)域“土”填涂的顏色為，則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為、、；若區(qū)域“土”填涂的顏色為，則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為、、；若區(qū)域“土”填涂的顏色為，則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為、、.綜上所述，區(qū)域“金”填涂、、、的方案種數(shù)分別為、、、種，接下來(lái)考慮區(qū)域“水”的填涂方案：若區(qū)域“金”填涂的顏色為，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為、、；若區(qū)域“金”填涂的顏色為，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為、、；若區(qū)域“金”填涂的顏色為，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為、、；若區(qū)域“金”填涂的顏色為，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為、、.則區(qū)域“水”填涂的方案種數(shù)為種，填涂的方案種數(shù)為種，填涂的方案種數(shù)為種，填涂的方案種數(shù)為種.從區(qū)域“火”、“土”、“金”填涂至區(qū)域“水”，填涂區(qū)域“水”的方案還和填涂區(qū)域“木”有關(guān)，當(dāng)區(qū)域“水”填涂的顏色為時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為、、；若區(qū)域“水”填涂的顏色為時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為、；若區(qū)域“水”填涂的顏色為時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為、；若區(qū)域“水”填涂的顏色為時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為、.所以，當(dāng)區(qū)域“火”填涂顏色時(shí)，填涂方案種數(shù)為種.因此，不同的涂色方法種數(shù)有種.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解涂色（種植）問(wèn)題一般直接利用兩個(gè)計(jì)算原理求解：（1）按區(qū)域的不同以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析；（2）以顏色（種植作物）為主分類(lèi)討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問(wèn)題，用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分析；（3）對(duì)于涂色問(wèn)題將空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域涂色問(wèn)題.8．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）將5個(gè)大小相同，顏色不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)盒子中，恰好有2個(gè)空盒的放法共有（

）A．1500種 B．1800種 C．2340種 D．2400種【答案】A【分析】先將5個(gè)小球分成三份有3，1，1，和1，2，2兩種情況，按照分步計(jì)數(shù)原理分別有和分組方法（注意部分平均分組導(dǎo)致重復(fù)的情況），分組后再?gòu)木幪?hào)不同的5個(gè)盒子選3個(gè)盒子按照不同的順序分別放入有種排列方法，兩式相乘即可得解.【詳解】依題意，可以先將5個(gè)大小相同，顏色不同的小球分成三份，有，3，1，1，和1，2，2兩種情況，于是恰好有2個(gè)空盒的放法有（種），故選：A．9．（19-20高二上·四川成都·期中）如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有（

）A．192 B．336 C．600 D．以上答案均不對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合計(jì)數(shù)原理，先排E，F(xiàn)，G，然后根據(jù)A，B，C，D的情況討論．【詳解】解：E，F(xiàn)，G分別有4，3，2種方法，當(dāng)A與F相同時(shí)，A有1種方法，此時(shí)B有2種，若與F相同有C有1種方法，同時(shí)D有3種方法，若C與F不同，則此時(shí)D有2種方法，故此時(shí)共有：種方法；當(dāng)A與G相同時(shí)，A有1種方法，此時(shí)B有3種方法，若C與F相同，C有1種方法，同時(shí)D有2種方法，若C與F不同，則D有1種方法，故此時(shí)共有：種方法；當(dāng)A既不同于F又不同于G時(shí)，A有1種方法，若B與F相同，則C必須與A相同，同時(shí)D有2種方法；若B不同于F，則B有1種方法，Ⅰ若C與F相同則C有1種方法同時(shí)D有2種方法；Ⅱ若C與F不同則必與A相同，C有1種方法，同時(shí)D有2種方法；故此時(shí)共有：種方法；綜上共有種方法．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了計(jì)數(shù)原理，考查了分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，分類(lèi)時(shí)要做到不重不漏．本題屬于難題．10．（24-25高二下·廣東汕頭·期中）年春節(jié)檔共有部影片定檔，某影城根據(jù)第一周的觀影情況，決定第二周只播放其中的《哪吒之魔童鬧海》、《唐探》、《熊出沒(méi)·重啟未來(lái)》及《蛟龍行動(dòng)》．為了家庭中的大人和孩子觀影便利，該影城對(duì)第、周影片播放順序做出如下要求：《哪吒之魔童鬧?！凡慌诺谝粓?chǎng)，《熊出沒(méi)·重啟未來(lái)》不排最后一場(chǎng)，《蛟龍行動(dòng)》和《熊出沒(méi)·重啟未來(lái)》必須連續(xù)安排，則不同的安排方式有（

）A．種 B．種 C．10種 D．種【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，分《哪吒之魔童鬧?！放抛詈笠粓?chǎng)、《哪吒之魔童鬧?！放诺诙?chǎng)、《哪吒之魔童鬧?！放诺谌龍?chǎng)三種情況分別計(jì)算安排方法數(shù)，最后分類(lèi)加法公式計(jì)算總數(shù)即可.【詳解】分三種情況：第一種：《哪吒之魔童鬧?！放抛詈笠粓?chǎng)，因?yàn)椤厄札埿袆?dòng)》和《熊出沒(méi)·重啟未來(lái)》必須連續(xù)安排，所以用捆綁法有種可能，并看成一個(gè)元素，剩下元素有種排法，所以共有種排法；第二種：《哪吒之魔童鬧?！放诺诙?chǎng)，因?yàn)椤厄札埿袆?dòng)》和《熊出沒(méi)·重啟未來(lái)》必須連續(xù)安排，而且《熊出沒(méi)·重啟未來(lái)》不排最后一場(chǎng)，所以《蛟龍行動(dòng)》和《熊出沒(méi)·重啟未來(lái)》只能排在第四、第三兩場(chǎng)，《唐探》排第一場(chǎng)，這種情況共種排法；第三種：《哪吒之魔童鬧海》排第三場(chǎng)，因?yàn)椤厄札埿袆?dòng)》和《熊出沒(méi)·重啟未來(lái)》必須連續(xù)安排，而且《熊出沒(méi)·重啟未來(lái)》不排最后一場(chǎng)，所以《蛟龍行動(dòng)》和《熊出沒(méi)·重啟未來(lái)》排在前兩場(chǎng)有種排法，《唐探》排最后一場(chǎng)，這種情況共有種排法.綜上符合條件的電影安排方法總數(shù)為種.故選：A.11．（24-25高二下·江西·階段練習(xí)）要讓如圖所示的電路在只合上兩個(gè)開(kāi)關(guān)的情況下正常工作，不同方法種數(shù)為（

）A．10 B．8 C．6 D．5【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算得解.【詳解】依題意，在左邊并聯(lián)的兩個(gè)開(kāi)關(guān)中任取1個(gè)合上，再在右邊并聯(lián)的三個(gè)開(kāi)關(guān)中任取1個(gè)合上，電路正常工作，所以不同方法種數(shù)為.故選：C題型三二項(xiàng)式定理1．（2025·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知展開(kāi)式的第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和可得，結(jié)合展開(kāi)式的通項(xiàng)運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可知得，所以，則的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.2．（24-25高三下·江蘇·階段練習(xí)）已知（為常數(shù)）的展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)的和與二項(xiàng)式系數(shù)的和相等，則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為【答案】【分析】利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)公式來(lái)求解即可.【詳解】由題意知，展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，令得，展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，由題意知它們相等得，，再根據(jù)展開(kāi)式通項(xiàng)公式：，當(dāng)時(shí)，解得，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：.3．（2025·山東聊城·模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則．【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)，得到，求得的值，即可得到答案.【詳解】由多項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為，可得，即，解得.故答案為：．4．（24-25高二下·河北滄州·階段練習(xí)）已知的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等建立關(guān)于的方程，求出；再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式中第5項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，解得：.所以奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.故選：A.5．（2025·廣西桂林·一模）（多選）已知的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則（

）A．B．常數(shù)項(xiàng)是第3項(xiàng)C．二項(xiàng)式系數(shù)最大值為20D．所有項(xiàng)系數(shù)之和等于1【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出，再根據(jù)二項(xiàng)式及展開(kāi)式通項(xiàng)、組合數(shù)、賦值法逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由題意，二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則，解得，故A正確；對(duì)于B，通項(xiàng)公式為，令，得，則第四項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為中間項(xiàng)第四項(xiàng)，所以為，故C正確；對(duì)于D，令則系數(shù)和為，故D正確.故選：ACD.6．（24-25高三下·廣東梅州·階段練習(xí)）的末三位數(shù)是．【答案】481【分析】將拆解成，利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)后，被1000除，其余數(shù)即為的末三位數(shù).【詳解】因，因是正整數(shù)，故被1000除之后得到的余數(shù)為，即的末三位數(shù)是481.故答案為：481.7．（24-25高二下·湖北省直轄縣級(jí)單位·期中）的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（結(jié)果用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理結(jié)合條件求解即可.【詳解】由題意可知：含的為，所以的系數(shù)為.故答案為：.8．（24-25高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）的值是（

）A． B．1 C．0 D．22024【答案】A【分析】利用二項(xiàng)式定理即可求解.【詳解】由二項(xiàng)式定理得.故選：A.9．（24-25高二下·河北邢臺(tái)·期中）已知，則為（

）A．180 B．150 C．120 D．200【答案】A【分析】由，結(jié)合通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】因，其通項(xiàng)公式為：，令，可得：.故選：A題型四離散型隨機(jī)變量及其分布列、二項(xiàng)分布，超幾何分布、正態(tài)分布1．（24-25高二下·陜西榆林·階段練習(xí)）（多選）已知隨機(jī)變量X的分布列為X13579P0.20.1m0.30.1則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可得，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，知，解得，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確．故選：AD．2．（24-25高二下·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示.若隨機(jī)變量，則（

）X012P0.10.40.20.3A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.6【答案】B【分析】根據(jù)給定的條件，利用分布列的性質(zhì)求解.【詳解】依題意，.故選：B3．（24-25高二下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）（多選）已知隨機(jī)變量X的分布列為，，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求，結(jié)合期望和方差的定義求，，再由期望的性質(zhì)求，方差的性質(zhì)求，，由此可判斷結(jié)論.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量的分布列為，，，所以，所以，故A正確；所以，故B正確；，故C錯(cuò)誤；由方差的定義可得所以，故D正確.故選：ABD.4．（24-25高二下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從超幾何分布，所以.故選：A5．（湖北省第十屆（2025屆）高三下學(xué)期4月調(diào)研模擬考試數(shù)學(xué)試題）（多選）下列命題正確的是（

）A．是一組樣本數(shù)據(jù)，去掉其中的最大數(shù)和最小數(shù)后，剩下10個(gè)數(shù)的中位數(shù)小于原樣本的中位數(shù)B．若事件A，B相互獨(dú)立，且，，則事件A，B不互斥C．若隨機(jī)變量，，則D．若隨機(jī)變量的方差，期望，則隨機(jī)變量的期望【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，利用中位數(shù)的定義判斷出A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，計(jì)算出，故，B正確；C選項(xiàng)，利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行判斷；D選項(xiàng)，利用得到，D正確.【詳解】A選項(xiàng)，從小到大排序，去掉其中的最大數(shù)和最小數(shù)后，剩下10個(gè)數(shù)大小順序不變，故剩下10個(gè)數(shù)的中位數(shù)和原來(lái)的中位數(shù)一樣，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，事件A，B相互獨(dú)立，且，，，所以，故事件A，B不互斥，B正確；C選項(xiàng)，隨機(jī)變量，，設(shè)，，則，，根據(jù)原則，可知，C正確；D選項(xiàng)，隨機(jī)變量的方差，期望，其中，故，，故隨機(jī)變量的期望，D正確.故選：BCD6．（2025·湖南郴州·三模）已知編號(hào)為甲、乙、丙的三個(gè)袋子中裝有除標(biāo)號(hào)外完全相同的小球，其中甲袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；乙袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；丙袋內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球.(1)從甲袋中一次性摸出2個(gè)小球，記隨機(jī)變量為1號(hào)球的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)現(xiàn)按照如下規(guī)則摸球：連續(xù)摸球兩次，第一次先從甲袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，若摸出的是1號(hào)球放入甲袋，摸出的是2號(hào)球放入乙袋，摸出的是3號(hào)球放入丙袋；第二次從放入球的袋子中再隨機(jī)摸出1個(gè)球.求第二次摸到的是3號(hào)球的概率.【答案】(1)分布列見(jiàn)詳解；(2)【分析】（1）分析可知隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望；（2）設(shè)相應(yīng)事件，根據(jù)題意可得相應(yīng)概率，利用全概率公式圓求解.【詳解】（1）由題意可知：隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，則有：，可得隨機(jī)變量的分布列為012所以隨機(jī)變量的期望.（2）記第一次從甲袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的是1、2、3號(hào)球分別為事件，第二次摸到的是3號(hào)球?yàn)槭录﨎，則，所以.7．（24-25高三下·山東·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．【答案】B【分析】由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求得，再結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】由題意正態(tài)分布均值，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性可知：，可得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．所以最小值為8.故選：B8．（2025·山東濟(jì)南·一模）某公司升級(jí)了智能客服系統(tǒng)，在測(cè)試時(shí)，當(dāng)輸入的問(wèn)題表達(dá)清晰時(shí)，智能客服的回答被采納的概率為，當(dāng)輸入的問(wèn)題表達(dá)不清晰時(shí)，智能客服的回答被采納的概率為.已知輸入的問(wèn)題表達(dá)不清晰的概率為.(1)求智能客服的回答被采納的概率；(2)在某次測(cè)試中輸入了3個(gè)問(wèn)題（3個(gè)問(wèn)題相互獨(dú)立），設(shè)表示智能客服的回答被采納的次數(shù).求的分布列、期望及方差.【答案】(1)；(2)分布列見(jiàn)解析，期望為，方差為.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用全概率公式求解.（2）求出的可能值及對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望的方差.【詳解】（1）設(shè)“智能客服的回答被采納”，“輸入的問(wèn)題表達(dá)不清晰”，依題意，，，因此，所以智能客服的回答被采納的概率為.（2）依題意，的所有可能取值為0，1，2，3，，，，所以的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望；.9．（2025·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）一只貓和一只老鼠在兩個(gè)房間內(nèi)游走.每經(jīng)過(guò)1分鐘，貓和老鼠都可以選擇進(jìn)行一次移動(dòng).貓從當(dāng)前房間移動(dòng)到另一房間的概率為0.6，留在該房間的概率為0.4；若上一分鐘貓和老鼠都在一個(gè)房間，那么下一分鐘老鼠必定移動(dòng)到另一個(gè)房間，否則老鼠從當(dāng)前房間移動(dòng)到另一房間或留在當(dāng)前房間的概率均為0.5.已知在第0分鐘時(shí)，貓?jiān)?號(hào)房間，老鼠在1號(hào)房間.設(shè)在第分鐘時(shí)，貓和老鼠在0號(hào)房間的概率分別為，.(1)求第1分鐘時(shí)，貓和老鼠所在房間號(hào)之和為1的概率；(2)求證：，均為等比數(shù)列并求它們的通項(xiàng)公式.【答案】(1)0.5;(2)證明見(jiàn)解析，，.【分析】（1）求出貓和老鼠分別在0與0、0與1、1與0、1與1號(hào)房間的概率，再利用全概率公式計(jì)算得解；（2）根據(jù)給定條件，求出、的遞推關(guān)系，再利用等比數(shù)列的定義推理得證.【詳解】（1）在第0分鐘時(shí)，貓?jiān)?號(hào)房間，老鼠在1號(hào)房間，設(shè)為第1分鐘時(shí)，貓?jiān)谔?hào)房間，老鼠在號(hào)房間，則設(shè)第1分鐘時(shí)，貓和老鼠所在房間號(hào)之和為，則，所以第1分鐘時(shí)，貓和老鼠所在房間號(hào)之和為1的概率0.5.（2）由題意，，當(dāng)時(shí)，貓?jiān)诘诜昼姇r(shí)位于0號(hào)房間包含兩種情況：上一分鐘在0號(hào)房間，繼續(xù)保持在0號(hào)房間的概率為；上一分鐘在1號(hào)房間，轉(zhuǎn)移到0號(hào)房間的概率為，所以，則，又因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，滿足上式也滿足題意，則.老鼠第分鐘在0號(hào)房間包含3種情況：上一分鐘貓和老鼠都在1號(hào)房間，老鼠轉(zhuǎn)移到0號(hào)房間的概率為；上一分鐘貓?jiān)?號(hào)房間，老鼠在1號(hào)房間，老鼠轉(zhuǎn)移到0號(hào)房間的概率為；上一分鐘貓?jiān)?號(hào)房間，老鼠在0號(hào)房間，老鼠仍在0號(hào)房間的概率為.所以，整理可得，因?yàn)椋?，即，又因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，滿足上式也滿足題意，則，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為.題型五事件的獨(dú)立，條件概率與全概率公式應(yīng)用，獨(dú)立性檢驗(yàn)1．（2025·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知，，，則（

）A．0.2 B．0.375 C．0.75 D．0.8【答案】A【分析】根據(jù)全概率公式和對(duì)立事件的概率公式求值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故選：A.2．（24-25高三下·江蘇常州·階段練習(xí)）將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，記事件：兩次的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，：兩次的點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)，：第一次的點(diǎn)數(shù)小于，則（）A． B． C．與相互獨(dú)立 D．與互斥【答案】C【分析】利用古典概率公式計(jì)算各事件的概率，再根據(jù)事件的獨(dú)立和互斥的定義判斷事件間的關(guān)系.【詳解】拋擲2次，兩次的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，則兩次點(diǎn)數(shù)都為奇數(shù)或偶數(shù)，所以，兩次的點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)，則兩次點(diǎn)數(shù)都為奇數(shù)，所以，第一次的點(diǎn)數(shù)小于的情況有4種，所以，第一次的點(diǎn)數(shù)小于且為奇數(shù)有2種情況，第二次為奇數(shù)的情況有3種，同理第一次的點(diǎn)數(shù)小于且為偶數(shù)有2種情況，第二次為偶數(shù)的情況有3種，所以，所以與相互獨(dú)立.故正確；事件與事件能同時(shí)發(fā)生，所以不互斥，故錯(cuò)誤.故選：.3．（2025·安徽安慶·二模）設(shè)事件為兩個(gè)隨機(jī)事件，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用條件概率公式得出，然后利用公式化簡(jiǎn)得出結(jié)論.【詳解】由可得，又，所以，所以，即，即，于是.故選：B.4．（2025·江蘇蘇州·一模）（多選）表示三個(gè)隨機(jī)事件，判斷下列選項(xiàng)正確的是（

）A．已知是事件與事件相互獨(dú)立的充要條件B．已知，則C．已知是事件與事件互斥的充要條件D．已知，則【答案】ACD【分析】對(duì)于A，利用條件概率和相互獨(dú)立事件的判斷方法，即可判斷；對(duì)于B，由，即可判斷；對(duì)于C，利用互斥事件的定義和概率公式即可判斷；對(duì)于D，利用條件概率公式即可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，得到，故事件與相互獨(dú)立，即充分性成立；若事件與相互獨(dú)立，則，于是，即必要性成立，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，因表示事件發(fā)生而不發(fā)生的概率，而則表示事件都不發(fā)生的概率，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?，又，故事件與互斥，即充分性成立；若事件與互斥，則，，即必要性成立，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋蔇正確.故選：ACD.5．（18-19高三上·江蘇無(wú)錫·開(kāi)學(xué)考試）一個(gè)布袋中，有大小、質(zhì)地相同的4個(gè)小球，其中2個(gè)是紅球，2個(gè)是白球，若從中隨機(jī)抽取2個(gè)球，則所抽取的球中至少有一個(gè)紅球的概率是.【答案】【分析】先求出“所抽取的球中至少有一個(gè)紅球”的對(duì)立事件的概率，再用1減去此概率的值，即得所求．【詳解】從中隨機(jī)抽取2個(gè)球，所有的抽法共有種，事件“所抽取的球中至少有一個(gè)紅球”的對(duì)立事件為“所抽取的球中沒(méi)有紅球”，而事件：“所抽取的球中沒(méi)有紅球”的概率為，故事件“所抽取的球中至少有一個(gè)紅球”的概率等于，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查等可能事件的概率，“至多”、“至少”問(wèn)題的概率通常求其的對(duì)立事件的概率，再用1減去此概率的值，屬于簡(jiǎn)單題.6．（12-13高二上·湖北黃岡·期中）甲、乙兩位同學(xué)玩游戲，對(duì)于給定的實(shí)數(shù)，按下列方法操作一次產(chǎn)生一個(gè)新的實(shí)數(shù)：由甲、乙同時(shí)各擲一枚均勻的硬幣，如果出現(xiàn)兩個(gè)正面朝上或兩個(gè)反面朝上，則把乘以2后再減去12,；如果出現(xiàn)一個(gè)正面朝上，一個(gè)反面朝上，則把除以2后再加上12，這樣就得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)仍按上述方法進(jìn)行一次操作，又得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，若甲獲勝的概率為，則的取值范圍是【答案】【分析】按要求操作一次產(chǎn)生一個(gè)新的實(shí)數(shù)，列舉得到新的實(shí)數(shù)的途徑，列出不等式，根據(jù)所給的甲獲勝的概率為，解出a1的結(jié)果．【詳解】a3的結(jié)果有四種，每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率都是，1．a(chǎn)1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12＝4a1﹣36＝a3，2．a(chǎn)1→2a1﹣12→12＝a1+6＝a3，3．a(chǎn)1→12→+1218＝a3，4．a(chǎn)1→12→2（12）﹣12＝a1+12＝a3，∵a1+6＞a1，a1+12＞a1，∴要使甲獲勝的概率為，即a3＞a1的概率為，∴4a1﹣36＞a1，18≤a1，或4a1﹣36≤a1，18＞a1，解得a1≤12或a1≥24．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查新定義問(wèn)題，考查概率綜合，意在考查學(xué)生的讀題審題能力，考查轉(zhuǎn)化能力，是中檔題7．（18-19高一上·山西陽(yáng)泉·期末）在2019迎新年聯(lián)歡會(huì)上,為了活躍大家氣氛,設(shè)置了“摸球中獎(jiǎng)”游戲,桌子