專題4.5探究三角形全等的條件（ASA和AAS）（2大知識

點3大考點7類題型）（知識梳理與題型分類講解）

第一部分【知識點歸納與題型目錄】

【知識點1】“角邊角”

角邊角：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.

【要點提示】如圖，如果乙AB=A'B',4=4夕，則△4BC三

—

【知識點2】“角角邊”

1.角角邊：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”

或“AAS”）

【要點提示】由三角形的內角和等于180。可得兩個三角形的第三對角對應相等.這樣就可

由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前

者的推論.

2.三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.

如圖，在△ABC和△4DE中，如果。EII2C,那么乙10￡=48,乙4ED=〃J,又乙4=乙4,但A1BC

和△/￡）￡不全等.這說明，三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.

考點與題型目錄

【考點一】三角形全等的條件-“ASA（AAS）”

【題型1】用ASA（AAS）證明三角形全等

【題型2】全等的性質和ASA（AAS）綜合

【考點二】綜合運用“SSS”“SAS”和“ASA（AAS）”證明三角形全等

試卷第1頁，共8頁

【題型3】全等的性質和三角形全等判定方法綜合

【題型4】全等的性質和ASA（AAS）+輔助線綜合

【題型5】尺規(guī)作圖為背景的全等三角形綜合

【考點三】鏈接中考與拓展延伸

【題型6】直通中考

【題型7】拓展延伸

第二部分【題型展示與方法點撥】

【題型1）用ASA（AAS）證明三角形全等

[例1]

（24-25八年級上?河北秦皇島?期末）

1.如圖，4D是△/8C的中線，E,尸分別是4D和40延長線上的點，S.CE//BF.AECD

與AFBD全等嗎?請說明你的理由；

【變式1】

（24-25八年級上?河北保定?期末）

2.王師傅不小心將一塊瓷磚摔碎了，摔成如圖所示的三塊，現要去瓷磚生產廠切割一塊完

全一樣的瓷磚，下列攜帶方式可行的是（

A.只攜帶①去B.只攜帶②去

C.只攜帶③去D.攜帶②和③去

【變式2】

（24-25七年級下?全國?課后作業(yè)）

試卷第2頁，共8頁

3.如圖，4W是一段斜坡，是水平線.歡歡為了測量斜坡上一點C的豎直高度CN,

他在點C處立上一根竹竿CF,竹竿CF與斜坡垂直，在。處垂下一根繩子。E,與斜

坡4W的交點是E,繩子DE可以在竹竿CF尸上自由滑動.當。E=/C時，測得CE=2m,

則CN=m.其中，運用到的判定三角形全等的依據是.

Z7

【題型2】全等的性質和ASA(AAS)綜合

【例2】

(24-25七年級下?全國?課后作業(yè))

4.如圖，己知△NBC和ACDE均為直角三角形，ZACB=ZCED=90°,AC=CE,ABLCD

于點尸.

(1)試說明：△48C四△CDE；

(2)連接NE,若EA平分NCED,/。=60。，求/E4B的度數.

【變式1】

(24-25七年級下?全國?課后作業(yè))

5.如圖，△4BC的高AD,相交于點尸，若BF=AC,BC=7,DC=2,則/月的長為

()

C.4D.5

試卷第3頁，共8頁

【變式2】

（24-25九年級下?重慶?開學考試）

6.如圖，在四邊形中，對角線NC,AD交于點尸，在48邊上有一點連接DE,

CE,A2C￡是以CE為底的等腰三角形，且/BED=/AFB=/CBE,若BC=2,DE=5,

則AE=.

【題型3】全等的性質和三角形全等判定方法綜合

【例3】

（24-25八年級上?云南曲靖?期中）

7.某數學實踐活動小組為測量一池塘兩端A,8的距離，甲、乙、丙三位同學分別設計出

如圖所示的三種方案.

甲：如圖1,先在平地上取一個可直接到達A,3的點。，再連接/。，BO,并分別延長工。

到點。，2。到點C,使得OD=O2,OC=OA,最后測出CD的長即為A,B的距離；

乙：如圖2,先過點A作射線再在/￡上取0,。兩點，使得,接著過點。

悍DC〃AB,交80的延長線于點C,則測出CD的長即為A,B的距離；

丙：如圖3,先過點A作/48,再由點C觀測，在3/的延長線上取一點。，使得

（1）請你分別補全乙、丙兩位同學所設計的方案中空缺的部分;

乙：;丙：;

（2）請你選擇其中一種方案進行說明理由.

【變式1】

（24-25八年級上?重慶渝北?期末）

試卷第4頁，共8頁

8.如圖，在△ABC中，AD1BC,CE1AB,垂足分別為。，E,AD,CE交于點、H,

已知，EH=EB=4,S“EH=\2,則C77的長為（）

【變式2】

（24-25八年級上?福建南平?期中）

9.如圖，△94C和AEBC均是等邊三角形，AE、BD分別與CD、CE交于點、M、N,有如

下結論：?LACE^DCB-@CM=CN-③NC=DV其中，正確結論的是.

【題型4】全等的性質和ASA（AAS）+輔助線綜合

【例4】

（24-25七年級下?全國?課后作業(yè)）

10.如圖，在△/8C中，/BCA=90°,AC=BC,AE平分/B4C,BELAE.試說明:

BE=-AD.

2

C

（24-25八年級上?河北保定?期末）

11.如圖，4ABC的面積為8,/P與ZABC的平分線BP垂直,垂足為P,連接PC,則APBC

的面積為（）

試卷第5頁，共8頁

A

C.3D.4.5

【變式2】

（24-25八年級上?四川?期中）

12.如圖，在Rt448C中，目0°,AC=BC=6,D為BC上一點,連接過點/

作/E_L4D,取/E=4D,連接班交4c于足當△/￡尸為等腰三角形時，CD=.

【題型5】尺規(guī)作圖為背景的全等三角形綜合

【例5】

（24-25八年級上?貴州銅仁?期末）

13.如圖，AD//BC,2840=90。，以點8為圓心，8C長為半徑畫弧，與射線4D相交

于點E,連接BE,過C點作。尸，BE,垂足為「不添加輔助線找出圖中與叱相等的線段,

然后再加以證明.

（1）結論：BF=.

⑵證明過程：

【變式1】

（21-22八年級上?浙江湖州?階段練習）

14.如圖，ZUBC的面積是30cm2,以頂點/為圓心，適當長為半徑畫弧，分另1J交/C、48

于點M、N,再分別以點M、N為圓心，大于［MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點尸，作射

線/P,過點C作。1_/尸于點。，連接8。，貝的面積是（）

試卷第6頁，共8頁

D

B

A.15cm2B.14cm2C.13cm2D.12cm2

【變式2】

（24-25八年級上?山東聊城?階段練習）

15.如圖，點8在直線/上，分別以線段切的端點為圓心，以（小于線段胡）長為半

徑畫弧，分別交直線/、線段區(qū)4于點CAE,再以點￡為圓心，以CD長為半徑畫弧交前

面的弧于點F,畫射線AF.若NBAF的平分線AH交直線/于點H,/ABC=70°，則ZAHB

第二部分【鏈接中考與拓展延伸】

【題型6】鏈接中考

【例1】

（2020?四川內江?中考真題）

16.如圖，點C,E,F,8在同一直線上，點/,。在異側，AB//CD,

AE=DF,NA=ND.

⑴求證：AB=CD；

⑵若AB=CF,48=40。，求/。的度數.

【例2】

試卷第7頁，共8頁

（2020?湖北黃石?中考真題）

17.如圖，AB=AE,AB/IDE,ADAB=70°,ZE=40°.

（1）求/D4E的度數；

（2）若NB=30°,求證：AD=BC.

【題型71拓展延伸

【例1】

（23-24八年級上?湖北武漢?階段練習）

18.如圖所示，△4BC中，AC=BC,M、N分別為8C、/C上動點，且BM=CN,連

AM.CN,當NM+8N最小時，—=（）.

D.1

【例2】

（24-25八年級上?遼寧撫順?期中）

19.如圖，AB//CD,BE平分/ABC,BEICE,下列結論：①CE平分/BCD；②

AB+CD=AD;③C￡1E=S四邊網B”；?AE=DE,其中正確的是（）

//\

A.①③B.②④C.①③④D.②③④

試卷第8頁，共8頁

1.4ECD與AFBD全等,理由見解析

【分析】本題考查了三角形全等的判定、平行線的性質、三角形的中線，熟練掌握三角形全

等的判定是解題關鍵.先根據三角形的中線可得CD=8。，再根據平行線的性質可得

NCED=NF,ZDCE=ZDBF,然后根據AAS定理即可得證.

【詳解】解：AECD與AFBD全等,理由如下：

???N。是△4BC的中線，

CD=BD,

???CE//BF,

：,4CED=/F,ZDCE=ZDBF,

在和AFBD中,

ZCED=ZF

<ZDCE=/DBF,

CD=BD

???AECDmAFBD(AAS).

2.A

【分析】本題考查三角形全等的判定，要求學生能對常用的判定方法熟練掌握并能進行靈活

運用.解決本題主要看這3塊玻璃中哪個包含的條件符合某個判定即選哪塊.根據已知及全

等三角形的判定方法進行分析，從而得到答案.

【詳解】解：只第①塊玻璃中包含兩角及這兩角的夾邊，符合ASA.

故選A.

3.244S##角角邊

【分析】本題考查了全等三角形的應用，解決本題的關鍵是掌握全等三角形的判定和性質定

理.

利用AAS證明ADECNA/CN,得CN=CE=2m.

【詳解】解：由題意得DE〃CN,

ZDEC=ZACN.

DC1AM,CN1AB,

ZDCE=ZANC=90°.

在ADEC和中，

答案第1頁，共15頁

ZDCE=ZANC

<ZDEC=ZACN,

DE=AC

ADEC%ACN(MS),

.-.CN=CE=2m.

故答案為：2；AAS.

4.(1)見解析

(2)15°

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質和判定，角平分線的性質和角的運算，熟練掌握

全等三角形的性質和判定是解題得關鍵.

(1)先求出/E4c=/DCB,再根據ASA判定三角形全等即可；

(2)由得乙4BC=ND=60。,可求得/A4c=30。，由區(qū)4平分NCED,

求得NE/C=45。，根據角的和差計算即可求解.

【詳解】(1)解：(1)因為48，。，

所以ZFAC+NACF=90°.

因為N/C8=90。，

所以ZDCB+NACF=90°,

所以NE4c=NOC8,

ABAC=ADCE

在ZUBC和ACDE中，\AC=CE,

NACB=ZCED

所以A/BC咨ACDE(ASA).

(2)解:因為△48Cg△(?￡>￡,

所以//8C=ZD=60。，

所以/區(qū)4C=30。，

因為E4平分NCED,所以N4EC=工/CED=45。,

2

所以NEAC=90°-NAEC=45°,

所以ZEAB=ZEAC-ZBAC=45°-30°=15°.

5.B

答案第2頁，共15頁

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，證明也A/DC(AAS),得出

CD=DF=2,AD=BD=BC—CD=5,即可得解，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解

此題的關鍵.

【詳解】解：???△4BC的高ND8E相交于點尸，

?-?ZBDF=ZADC=ZAEF=90°,

:"DBF+NBFD=NAFE+ZEAF=90°,

?：NBFD=NAFE,

???/DBF=ZEAF,

,:BF=AC,

ABDF2AADC(AAS),

■■CD=DF=2,AD=BD-BC—CD-5,

■.AF=AD-DF=3,

故選：B.

6.3

【分析】此題考查了等腰三角形的定義和全等三角形的判定和性質、三角形外角的性質.由

等腰三角形的定義得到5￡=8C=2,證明△BED會△CB4(ASA),得到AS=DE=5,即

可得到答案.

【詳解】解：???△BCE是以CE為底的等腰三角形，

BE=BC=2,

???ZAFB=/BCD+ZCBD,NCBE=ZDBE+ZCBD,ZAFB=ZCBE

???/BCD=NDBE,

XvABED=/CBE,

...ABEDm4CBA(ASA),

AB=DE=5,

??.AE=AB—BE=5—2=3,

故答案為：3

7.[\}DO=AO,ZACD=ZACB

(2)見解析

答案第3頁，共15頁

【分析】本題考查了全等三角形的應用，熟練掌握全等三角形的證明方法是解題的關鍵.

(1)結合甲同學的“邊角邊”，乙同學的“角邊角”，丙同學的“角邊角”證明全等三角形，填

空即可；

(2)甲同學利用的是“邊角邊”，乙同學利用的是“角邊角”，丙同學利用的是“角邊角''證明

兩三角形全等，分別證明即可.

【詳解】(1)解：乙：如圖2,先過點A作射線NE,再在/￡上取。，。兩點，使得

DO=AO,接著過點。作DC〃/8,交80的延長線于點C,則測出的長即為A,8的

距離，

故答案為：DO=AO；

丙：如圖3,先過點A作再由點C觀測，在切的延長線上取一點。，使得

NACD=NACB,這時只要測出40的長即為A,8的距離，

故答案為：ZACD=ZACB；

(2)解：答案不唯一，

選擇甲：OD=OB,ZA0B=ZCOD,OC=OA,

.?.△/03^AC0D(SAS),

；.CD=AB；

選擇乙：:DC〃/8,

.-.ZBAO=ZCDO,

?：AO=OD,ZAOB=ZDOC,

AAOB^ADOC(ASA)

：.CD=AB；

選擇丙：?.?/CJL/B,

ZCAB=ACAD=90°,

■：AC=AC,ZACB=ZACD,

；"CB知4CD(ASA),

AB=AD.

8.D

【分析】本題考查了垂直的應用，對頂角的性質，三角形全等的判定和性的應用，熟練掌握

全等是解題的關鍵.

答案第4頁，共15頁

根據EN=E8=4,S△.=12,得gAE.EH=12,得至!J4E=6,結合

ZAEH=ZCDH=90°,ZAHE=ZDHC,得/BCE=/E4H,設C〃=x,利用三角形全等證

明計算即可.

【詳解】解：?:EH=EB=4,S&AEH=12,

：.-AE-EH=U,

2

AE-6,

vZAEH=ZCDH=90°,ZAHE=ZDHC,

??./BCE=ZEAH,

^CH=x,則C￡=x+4

ZBCE=ZHAE

v</BEC=AHEA,

EB=EH

.“BCE均HAE(AAS),

:.EC=AE=6=x+4

解得x=2,

即C"=2

故選：D.

9.①②##②①

【分析】本題考查了等邊三角形的性質，三角形全等的判定和性質，熟練掌握等邊三角形的

性質，三角形全等的判定和性質是解題的關鍵.

利用等邊三角形的性質，三角形全等的判定和性質，證明即可.

【詳解】???△D4C和AEBC均是等邊三角形，

：.CA=CD,CE=CB,ZDCA=ZECB=60°,

ZDCA+ZDCE=ZECB+ZDCE,

ZDCB=NACE,

'DC=AC

■.■<ZDCB=ZACE,

CB=CE

△ACE知DCB(SAS),故①正確；

答案第5頁，共15頁

???"CE-DCB,

???/CEM=/CBN,

'/CEM=々CBN

CE=CB

4MCE=ZNCB=60°

???0△CBN（ASA）,

：,CM=CN,故②正確；

vZDNC>ZBCN=/DCN=60°,

??.DC>DN,

：.AC>DN,

故③錯誤；

故答案為：①②.

10.詳見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的定義，通過作輔助線構造全

等三角形是解題的關鍵.分別延長4C、BE交于點F,由平分/R4C,BELAE,

△ABEaAFE,從而得到BF=2B￡,再證△4CZ）名△BC方，得出40=瓦L進一步即可

求解.

【詳解】解：分別延長BE交于點、F,如圖：

NEAB=ZEAF,

??,BELAE,

ZAEB=ZAEF=90°,

在AABE與AAFE中，

ZEAB=ZEAF

<AE=AE,

ZAEB=ZAEF

答案第6頁，共15頁

:.AABE%4FE(ASA),

BE=FE,

，BF=2BE,

vZACB=ZAEB=90°,ZADC=ZEDB,

1.ACAD=/CBF,

在與aBC歹中，

ACAD=ZCBF

<AC=AB,

ZACD=ZBCF

「?公ACDaBCF(ASA),

-e-AD=BF,

.-.BE=-AD.

2

11.A

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，三角形的面積，延長月尸交8c于￡,利用全等

三角形的性質證明*=砂即可解決問題.

【詳解】解：解：如圖，延長4尸交8c于￡,

???AP與//BC的平分線8尸垂直，垂足為尸，

C

ZABP=ZEBP,ZAPB=ZEPB=90°,

在尸與中，

ZABP=ZEBP

<BP=BP

ZAPB=ZEPB

△ABP咨AEBP(ASA),

?'S”ABP=，、EBP，AP—EP,

:.“PC和△CPE等底同高,

?q_q

…°AAPC-Q^CPE，

答案第7頁，共15頁

-C—CIC__C_A

…。APBC—O&EBP丁u^CPE—2^ABC—"，

故選：A.

12.2或6

【分析】本題考查等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質等知識，分兩種情形:

如圖1中，過點E作于證明==W=可得結論，如圖2中，當

4尸=斯時，點。與3重合，此時CO=5C=6.

【詳解】解：???4Fv4D=ZE,

???分以下兩種情況：

當及4=斯時，如圖1中，過點E作硒_L/C于H,

-EA=EF,EHVAF,

AH=FH,

-EALAD,

ZEAD=NEHA=ZC=90°,

ZEAH+ZCAD=90°,/CAD+/ADC=90。,

??.ZEAH=ZADC,

在和4CD,

ZEAH=NADC

<ZEHA=ZC,

AE=DA

???^EHA^ACD(AAS),

AH=CDfEH=AC=CB,

在△￡HF和ASC/中，

ZEFH=ZBFC

</EHF=ZC,

EH=BC

答案第8頁，共15頁

.“EHF為BCF(AAS),

：.FH=CF,

AH=FH=CF=CD,

.-.CD=-AC=2,

3

如圖2中，當/尸=所時，止匕時CD=8C=6.

綜上所述，滿足條件的。的長度為2或6.

故答案為：2或6.

13.(1)/E

(2)見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、平行線的性質等知識；

(1)根據題意結合圖形得2尸=/￡；

(2)根據垂直的定義和平行線的性質，可得=,NAEB=NFBC,即可證得

△ABEmZXFCB,據此即可證明.

【詳解】(1)解：根據題意得8尸=/￡,

故答案為：AE；

(2)解：???以點2為圓心，2c長為半徑畫弧，與射線相交于點E,

BE=BC,

???NBAD=9Q°,CF1BE,

；.NB4D=NCFB=90°,

■■AD//BC,

NAEB=ZFBC,

在和中，

答案第9頁，共15頁

ABAE=ZCFB

<AAEB=ZFBC,

BE=BC

:sABE咨△FCB〈AA^,

???AE=BF.

14.A

【分析】由題意得4P平分乙&4C,延長CD交于點貝!J易得八4。。三人4?！?則有

CD=ED,S/\ADC=S4ADE,由CD=￡?？傻?黑3助，最后可得='S“6C，從而求

得結果.

【詳解】由題意得/P平分N氏4C,

^Z.CAD=Z.EAD

延長CD交AB于點E

-CDLAP

.'.^ADC=^ADE=90°

^AD=AD

??.△ADC三AADE(ASA)

,4,CD=ED,S“DC=S—DE

:?BD是△5￡C的邊CE上的中線

S/\BDC~S^BED

A^/\ADC+S4BDC=S/^ADE+SABED~^^DAB

112

S-BD=5^AABC=_x30=15(cm)

故選：A.

【點睛】本題考查了用尺規(guī)作角平分線，全等三角形的判定與性質，三角形中線平分三角形

答案第10頁，共15頁

面積的性質等知識；關鍵和難點是作輔助線.

15.35°##35度

【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質、平行線的判定及性質、角平

分線的性質等知識，能看懂尺規(guī)作圖，熟練掌握全等三角形的性質及判定和平行線的性質及

判定是解題的關鍵.連接EF,結合尺規(guī)作圖，利用“SSS”證明由全

等三角形的性質可得乙48C=/E4F=70。，進而證明//〃C8,可知NFAH=,然

后根據角平分線的定義，即可獲得答案.

【詳解】解：連接CD,EF,

由作圖可知，BD=BC=AE=AF,CD=EF,

在△C8D和△E4F中，

BC=AE

■BD=AF,

CD=EF

ACBD^AEAF(SSS),

；./ABC=ZEAF=70°,

?-.AF//CB,

???ZFAH=NAHB,

?-?AH平分NBAF,

ZFAH=ZBAH=-ZBAF=35°,

2

：.NAHB=ZFAH=35°.

故答案為：35°.

16.⑴見解析

(2)70°

【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，熟練掌握各性質是解題的關

鍵：

答案第11頁，共15頁

(1)根據兩直線平行內錯角相等推出/8=/C,由此根據AAS證明即可

證得/8=CD；

(2)根據全等三角形的性質得到CP=CD,再根據等邊對等角及三角形的內角和求出一。

的度數.

【詳解】(1)證明：???48〃CD,

NB=NC,

在和△CD尸中，

Z=ND

<4B=NC,

AE=DF

.?.AABEQACDF(AAS)

AB=CD；

(2)解：?；Z\ABE安ACDF,

AB=CD,BE=CF,NB=NC,

???ZB=40°,

ZC=40°

???AB=CF,

CF=CD,

:"D=ZCFE=70°

17.(1)zDAE=30°；(2)見詳解.

【分析】(1)根據ABIIDE,得出ZE=NCAB=40。，再根據NDAB=70。，即可求出NDAE；

(2)證明4DAEmaCBA,即可證明AD=BC.

【詳解】(1)vABIIDE,

.?.ZE=ZCAB=4O°,

???ZDAB=7O°,

.?.zDAE=zDAB-zCAB=30°；

(2)由(1)可得NDAE=/B=30。，

又；AE=AB,ZE=ZCAB=4O°,

??.△DAE三MBA(ASA),

???AD=BC.