第65講雙曲線及其性質(zhì)（

拿知識(shí)梳理

知火點(diǎn)一:雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)及，鳥的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于困鳥|）的點(diǎn)的軌跡叫

做雙曲線（這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)）.用集合表示為

{M|||MFl|-|M^||=2a（0<2a<|Fl^|）}.

注意：（1）若定義式中去掉絕對(duì)值，則曲線僅為雙曲線中的一支.

⑵當(dāng)2a=|腿|時(shí),點(diǎn)的軌跡是以瓦和鳥為端點(diǎn)的兩條射揄當(dāng)2a=0時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段

強(qiáng)的垂直平分線.

（3）2a>|FlR|時(shí),點(diǎn)的軌跡不存在.

在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)：

①^件“瓜囿〉2a”是否成立;②M先定型（焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上）,再定景（確定d,/的值），注

意02+"=0?的應(yīng)用.

知識(shí)點(diǎn)二:雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)

雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方予2//予2

-2------=l(a>0,b>。)4一%=l(a>0,b>0)

程abab

b

圖形

a

隹占坐

F"—c,0),艮(c,0)FL(O,-C),B(O,C)

標(biāo)

對(duì)稱性關(guān)于c軸成軸對(duì)稱,關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

頂點(diǎn)坐

Ai(—a,0),A(a,0)AI(0,Q),A(0,—a)

標(biāo)22

范圍\x\\a\y\>a

實(shí)軸、虛

實(shí)軸長為2a,虛軸長為26

軸

e==i+(e>i)

離心率f7^

人為2寸b

漸近線令f—K=—±-x,令底=°="=土鏟'

a2b2a

方程

焦點(diǎn)到漸近線的距離為6焦點(diǎn)到漸近線的距離為b

第659頁共1043頁

點(diǎn)和雙

>1,點(diǎn)(g,%)在雙曲線內(nèi)>1,點(diǎn)(g，Uo)在雙曲線內(nèi)

曲線(含焦點(diǎn)部分)(含焦點(diǎn)部分)

22薪一至j=1,點(diǎn)(g,坊)在雙曲線上

的位置ab'=1,點(diǎn)(劣0，洗)在雙曲線上

VI,點(diǎn)(g,jo)在雙曲線外<1,點(diǎn)(小班)在雙曲線外

關(guān)系

共隹占

的雙曲言「占=卜滔9<泊Wm

線方程

共漸近

線的雙

a方―.

曲線方

程

切線方

等—黑=i,(%加為切點(diǎn)怨—答=i,(%加為切點(diǎn)

程a0ab

切線方

對(duì)于雙曲線上一點(diǎn)所在的切線方程，只需將雙曲線方程中，2換為&，，靖換成沙必便得.

程

答一爺=1,(而,珈)為雙

切點(diǎn)弦/華_x^x__],(%.)為雙曲線外一■點(diǎn)

a0

所在直曲線外一點(diǎn)

線方程點(diǎn)(熱,％)為雙曲線與兩漸近線之間的點(diǎn)

設(shè)直線與雙曲線兩交點(diǎn)為A(g,%),B(g,g2)，kAB=k.

2

則弦長AB=Vl+A;-\xx-x2\=Jl+表?%一統(tǒng)(kWO)，

弦長公

式|g—6|=J(g+Z2)2—42何2=咨，其中％”是消V后關(guān)于“z”的一元二次方程的“資，

系數(shù).

通通徑(過焦點(diǎn)且垂直于的弦)是同支中的最短弦,其長為T

徑

雙曲線上一點(diǎn)P(g,%)與兩焦點(diǎn)F1,E構(gòu)成的APFE成為焦點(diǎn)三角形，

9^2

設(shè)N-PB=P|P理=/1，|P理=72,則COS0=1一旦-,

焦點(diǎn)三

FpO|《彳

角形

?SAPF,F「2JQsin?！?_cqs0b--

tan彳

，c0ol，焦點(diǎn)在力軸上

lc|g|,焦點(diǎn)在g軸上'

焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是

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■||PF；|-|P^||=2a(2a>2c)

<SAPFF2=*PF」,|PF2|sinZF1PF2

」現(xiàn)時(shí)=FEF+F同2_2|PE”P琢cos/EPE

等軸雙等軸雙曲線滿足如下充要條件:雙曲線為等軸雙曲線Qa=bQ離心率e=2Q兩漸

曲線近線互相垂直?漸近線方程為y=±c?方程可設(shè)為/—靖=A(A豐0).

【解題方法總結(jié)】

(1)雙曲線的通徑

過雙曲線的焦點(diǎn)且與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線段得的線段,稱為雙曲線的通徑.

通徑長為岑.

(2)點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系

對(duì)于雙曲線W-名=l(a>b>0),點(diǎn)P(M㈤在雙曲線內(nèi)部，等價(jià)于軍一獸>1.

CL0CL0

點(diǎn)pg,而在雙曲線外部,等僑于4-4<i結(jié)合線性規(guī)劃的知織點(diǎn)來分析.

a0

(3)雙曲畿?？夹再|(zhì)

性順1:雙曲線的焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)如頂點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)冬；

性質(zhì)2：雙曲線上的任意點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)駕；

<r

(4)雙曲線焦點(diǎn)三角形面積為一%-(可以這樣理解，頂點(diǎn)越高，張角越小，分母越小，面

積越大)

(5)雙曲線的切線

點(diǎn)M3?,而在雙曲線名一名=l(a>0,b>0)上，過點(diǎn)M作雙曲線的切線方程為號(hào)一

aba

喈=1.著點(diǎn)MQb，物)在雙曲線W-g=l(Q>0,b>0)外，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)切點(diǎn)弦方程為

oao

整必考題型全歸納

1題型一:雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

(2024?全國?模擬預(yù)測)已知Fi，E分別是離心率為2的雙曲線E：名+y2

Mla￥

l(a>0,b>0)的左,右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)C,D,且

ICFil=|CD|,|DFJ=4,則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

2

(2024-山東臨沂?高二?？计谀?已知雙曲線E：號(hào)—t=l(a>0,b>0),矩形ABCD

a0

的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB,CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且21ABi=3|BC|=6,則雙曲線E

的標(biāo)準(zhǔn)方程是

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I旃I（2024?高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)橢圓Ci的離心率為磊，焦點(diǎn)在立軸上且長軸長為26,若曲線

J.O

C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8,則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為

2024?貴州貴陽.高二清華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）漸近線方程為y=±j-x且經(jīng)過點(diǎn)（4,1）

的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.

IM（2024?遼寧朝陽?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若雙曲線C與雙曲線言—告=1有相同的漸

近線，且經(jīng)過點(diǎn)（2V2,V15），則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

I旃I（2024?上海黃浦?高二上海市向明中學(xué)?？计谥校╇p曲線r經(jīng)過兩點(diǎn)A（-V2,-V3）,

B（平則雙曲線「的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

（2024?全國?模擬預(yù)測）已知Fi，F(xiàn)2分別是雙曲線C:a—會(huì)=l（a>0,fe>0）的左、右焦

點(diǎn)，M是雙曲線C的右支上一點(diǎn)，雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3,而與而司的夾

角為年，（遍—3ME,）±（M^+3而逋），則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

3538（2024?廣東?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線「:藍(lán)一至l(a>0,6>0),四點(diǎn)

、C（5,2）、D（—5,—2）中恰有三點(diǎn)在「上，則雙曲線「的標(biāo)準(zhǔn)方程

為.

I兩I（2024?高二課時(shí)練習(xí)）（1）若雙曲線過點(diǎn)（3,9四）,離心率e=千，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）若雙曲線過點(diǎn)P（2,-1），漸近線方程是9=±3必則其標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（3）若雙曲線與雙曲線￡—亨=1有共同的漸近線,且經(jīng)過點(diǎn)M（3,-2）,則其標(biāo)準(zhǔn)方程

為.

2題型二:雙曲線方程的充要條件

國（2024?全國?高三對(duì)口高考）若曲線端，+//=1表示雙曲線,那么實(shí)數(shù)k的取值范

圍是（）

A.(-3,2)B.(—00,—3)U(2,+8)

C.(-2,3)D.(—oo,—2)U(3,+8)

則|（2024?湖南岳陽?高三湖南省岳陽縣第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知keR,則“-2<k<3-

是“方程七一/=1表示雙曲線”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2/

（2°24.全國?高三專題練習(xí)）若方程大+谷7=1表示雙曲線,則小的取值范圍是

第662頁共1043頁

A.m<2或m>6B.2<m<6

C.mV—6或nz>—2D.—6<m<—2

（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知方程E:（nz—1）/2+（3—m）y*2=（zn-1）（3—館），則E

表示的曲線形狀是（）

A.若1<館<3,則E表示橢圓B.若E表示雙曲線，則nzVl或館>3

C.若E表示雙曲線,則焦距是定值D.若E的離心率為察，則巾=言

/O

（2024?四川南充?統(tǒng)考三模）設(shè)eG（0,2兀），則“方程-y+且歹=1表示雙曲線”的必要

不充分條件為（）

A.Oe（O,TT）B.ee（竽,2兀）C.3e（兀，*D.de（多明

3題型三:雙曲線中焦點(diǎn)三角形的周長與面積及其他問題

2

（2024?廣東揭陽?高三?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線C：%—多2=l（a>0,b>0）,0為坐標(biāo)

ab

原點(diǎn)，為雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若|PFJ=3IPF2I，|OP|=b,則

雙曲線C的方程可以為（

2292/1D式—靖=1

A.^T=1B.專一號(hào)=1C.fL

164

（2024?安徽六安?六安一中校考模擬預(yù)測）已知雙曲線C蓋'=1的左、右焦點(diǎn)分別

354?

為印、F2,直線9=皿與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn)，若|AB|=IFF2I，則/XABFi的面積等于

（）

A.18B.10C.9D.6

IM（2024?福建漳州?高三漳州三中校考階段練習(xí)）已知雙曲線「:彳-多=1的左右焦點(diǎn)分

別為E,Fz,過E的直線分別交雙曲線「的左右兩支于A,B兩點(diǎn)，且ZF2AB=ZRBA,則

|BF2|=（）

A.V5+4B.2V5+4C.275D.V5

（2024?湖北恩施?校考模擬預(yù)測）已知E，鳥分別為雙曲線C：彳一%=1（6>0）的左右

焦點(diǎn)，且E到漸近線的距離為1，過F2的直線I與C的左、右兩支曲線分別交于A.B兩點(diǎn),

且Z，AE,則下列說法正確的為

A.△AFE的面積為2B,雙曲線C的離心率為方

11

C.AFj?BFi=10+4^6D-w+w=^+2

S焦點(diǎn)三角形的作用

在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)

合起來.

第663頁共1043頁

例I（2024?全國?高三專題練習(xí)）雙曲線，■—，=1的左、右焦點(diǎn)分別是E、E，過B的弦

AB與其右支交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=m,則△ABF】的周長為（）

A.4aB.4a—mC.4a+2mD.4a+m

1麗1（2024?云南保山?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知RR2是離心率等于半的雙曲線C:/-壬=1

的左右焦點(diǎn),過焦點(diǎn)E的直線Z與雙曲線C的右支相交于A,B兩點(diǎn)，若△ABF1的周長

20,則|AB|等于（）

A.10B.8C.6D.4

I麗I（2024?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)K，耳分別是雙曲線*—%=1的左、右焦點(diǎn),P是該雙

曲線上的一點(diǎn)，且3|PFJ=5|PB|,則△PFE的面積等于（）

A.14V3B.7V15C.1573D.5V15

（?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線（的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)在雙曲

355320241—=1R,F2,P

線上，下列說法正確的是

A.若/XFiPF?為直角三角形,則△EP耳的周長是2/7+4

B.若△RPF2為直角三角形，則△FF耳的面積是6

C.若△EPF?為銳角三角形，則|PFJ+|PF2|的取值范圍是（277,8）

D.若△FFF?為鈍角三角形，則|PFJ+|PF2|的取值范圍是（8,+8）

3（2024?吉林四平?高三雙遼市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)雙曲線1-r=l（O>0,fe>0）

的左、右焦點(diǎn)分別E、E,點(diǎn)P（⑨妨為雙曲線右支上一點(diǎn)，△PR?的內(nèi)切圓圓心為

M（2,2）,則△PMR的面積與APME的面積之差為（

A.1B.2C.4D.6

1^1（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知雙曲線m-壬=1的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，若雙曲線

上一點(diǎn)P使得/F|PF2=60°,求△FFB的面積（）

A.早^B.玲$C.7V3D.14V3

OO

I麗I（2024?上海浦東新?統(tǒng)考三模）設(shè)P為雙曲線5?一方=l（a>0）的上一點(diǎn)，/EPF2=

等?，（及、耳為左、右焦點(diǎn)），則AFFE的面積等于（）

A.V3a2B.圣心C.坐D.等

OOO

4題型四:雙曲線上兩點(diǎn)距離的最值問題

（?全國?高三專題練習(xí)）已知雙曲線：亨2的左右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲

1355712024C~y=lFiF?,M

線C上任意一點(diǎn),則|ME|?的最小值為

A.1B.V2C.2D.3

第664頁共1043頁

（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知A（3,V2）是雙曲線卷—才=1上一點(diǎn)，用是左焦點(diǎn)，B

o

是右支上一點(diǎn)，AR與△ABE的內(nèi)切圓切于點(diǎn)P,則|FF|的最小值為

A.V3B.2V3C.3V3-V2D.6V3-272

（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)M（—5,0），點(diǎn)P在曲線卷—皆=1（①>0）上運(yùn)動(dòng),

3559

點(diǎn)Q在曲線（①—5）2+才=1上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是

1^1（2024?河北衡水?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線卷一條=1,其右焦點(diǎn)為F,P為其上一

點(diǎn)，點(diǎn)M滿足|而|=1,而?,=（）,則|奔|的最小值為（）

A.3B.V3C.2D.V2

母|（2024?高二課時(shí)練習(xí)）已知直線Z與雙曲線療—晉=1交于A,B兩點(diǎn)，且贏=4而

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若M是直線x-V2y-3=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則|MA|2+|MB|2的最小值

為（）

A.12B.6C.16D.8

（2024?廣東韶關(guān)?高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)Fi,F是雙曲線C:/—4=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)

,35^2

O

P是雙曲線C右支上一點(diǎn)，過點(diǎn)F2向/FFE的角平分線作垂線，垂足為點(diǎn)Q,則點(diǎn)A（

一遍,1）和點(diǎn)Q距離的最大值為（）

A.2B.V7C.3D.4

5題型五:雙曲線上兩線段的和差最值問題

3563（2024?江蘇徐州?高二統(tǒng)考期中）已知等軸雙曲線的焦距為8,左、右焦點(diǎn)用國在2軸上,

中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5,通），P為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，則|PFJ—|PA|的最

大值為

A.2V2+2B.4V2+2C.2V2+4D.4A/2+4

（2024?全國?高二專題練習(xí)）已知雙曲線C:軍—番=l（a>0,b>0）,其一條漸近線方程

13564

ab

為c+V^/=0,右頂點(diǎn)為A,左,右焦點(diǎn)分別為E，E，點(diǎn)P在其右支上，點(diǎn)B（3,l）,三角

形EAB的面積為1+彳，則當(dāng)|PFJ—|PB|取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

B43+乎,1+乎）

C卜+*1+端）n/6+5V7810+V78\

I22'22）

1^3（2024?全國?高二專題練習(xí)）已知F是雙曲線C：療—方=1的右焦點(diǎn)，P是C的左支上

一點(diǎn)，A（0,V7）,貝lj|PA|+|PF|的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

第665頁共1043頁

Ml（2024?寧夏銀川?校聯(lián)考二模）已知拋物線靖=16,上一點(diǎn)A（M,/I）到準(zhǔn)線的距離為5,F

是雙曲線苧—圣=1的左焦點(diǎn),P是雙曲線右支上的一動(dòng)點(diǎn),則|PF|+|PA|的最小值為

（）

A.12B.11C.10D.9

I旃I（2024?全國?高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)A（0,3，7）,雙曲線E：q—學(xué)=1的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)

P在雙曲線E的右支上運(yùn)動(dòng).當(dāng)4APF的周長最小時(shí)，|AP|+|PF|=（）

A.6V2B.7V2C.8V2D.9V2

I麗I（2024?福建寧德?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線C:言-g=1,點(diǎn)F是C的右焦點(diǎn)，若

點(diǎn)P為C左支上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P到C的一條漸近線的距離為d,則d+|PF|的最小值為

（）

A.2+4V3B.6V3C.8D.10

【麗I（2024?全國?高二專題練習(xí)）設(shè)Fi，F(xiàn)2為雙曲線C：4一娟=1的左、右焦點(diǎn)，Q為雙曲線

右支上一點(diǎn)，點(diǎn)P（0,2）.當(dāng)IQFJ+IPQI取最小值時(shí)，|QF?|的值為（）

A.A/3—A/2^B.A/3+C.A/6—2D.A/6+2

（2024?全國?高二專題練習(xí)）設(shè)P是雙曲線普一條=1上一點(diǎn)，M、N分別是兩圓（,一

5）2+*=4和（⑦+5）2+2/2=1上的點(diǎn),則區(qū)乂|—區(qū)用的最大值為（）

A.6B.9C.12D.14

22

I麗I（2024?全國?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)P是右焦點(diǎn)為F的雙曲線條-意=

l（z>V10）上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓（/—8）2+d=1上一點(diǎn),則|pF|+|PQ|的最小值是

W1I（2024?全國?高二專題練習(xí)）已知雙曲線C:。-號(hào)=1的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P是雙曲線C

右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是圓E:x2+（y-2V2）2=1上的一點(diǎn),則|PF|+|PM|的最小值為

（

A.5B.5+2V2C.7D.8

I礪I（2024?全國?高一專題練習(xí)）已知雙曲線C:蕓-嗎=1舊舊是其左右焦點(diǎn).圓E-.x2+y2

—4g+3=0,點(diǎn)P為雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓E上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|+|PF1|的最

小值是（）

A.5+2V5B.5+2A/2C.7D.8

（2024?四川眉山?高二四川省眉山第一中學(xué)校考期中）已知鳥是雙曲線C:^—￥=l

1^57411

yo

的右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)A在雙曲線左支上，點(diǎn)B為圓E:/+⑨+2）2=1上一點(diǎn),則|AB|+|AR|

的最小值為（

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A.9B.8C.5V3D.6V3

（2024?陜西咸陽?武功縣普集高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）過雙曲線1—右=1的右支上一

點(diǎn)P,分別向圓Cl：3+4）2+才=4和圓C2：3—4）2+方=1作切線，切點(diǎn)分別為M,N,

則|PM|2—|PN|2的最小值為

A.16B.15C.14D.13

6題型六:離心率的值及取值范圍

方向1:利用雙曲線定義去轉(zhuǎn)換

（2024?內(nèi)蒙古赤峰?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知E,F?分別為雙曲線E：，-，=

1.3576

l（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線I與E交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），延

長AR交E于點(diǎn)C,若|BE|=|AC|,/FIBE=9,則雙曲線E的離心率為（）

B.2D.V7

（2024?陜西西安?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知E,F2分別為雙曲線E：鳥一冬=l（a>0力

Mlab

>0）的左、右焦點(diǎn),過原點(diǎn)O的直線，與E交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），延長AB

交E于點(diǎn)C,若|BR|=|AC|,=則雙曲線E的離心率為（）

O

A.V3B.2D.1

1^73（2024?江西南昌?南昌市八一中學(xué)?？既＃┮阎p曲線C:-^一方=l（a>0,b>0）的

左、右焦點(diǎn)分別為E，E，若在c上存在點(diǎn)P（不是頂點(diǎn)）,使得/PF2K=3/PF1F，則C的

離心率的取值范圍為（）

A.（V2,2）B.（VS,+oo）C.（1,V3]D.（1,V2]

22

1^1（2024?陜西西安?西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線C:與一普=l（a>O,b

a0

>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線I與C相交于A,B兩點(diǎn)，

|FE|=2|AO|,四邊形AFBE的面積等于c?,則C的離心率等于（）

A.V2B.V3C.2D.V5

旗|（2024?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知雙曲線C:-J—%=

l（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別是FI，F(xiàn)2,點(diǎn)P在C上且位于第一象限，圓Oi與線段FF

的延長線，線段PR以及工軸均相切，△PKB的內(nèi)切圓為圓。2.若圓Oi與圓。2外切，且

圓Oi與圓。2的面積之比為4,則C的離心率為（

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C.2D.3

2024?四川成都?四川省成都列五中學(xué)校考三模）已知雙曲線C:[-去=l（a>0,6>

ab

0）的左、右焦點(diǎn)分別為F],F2,過點(diǎn)Fl的直線與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為A,若

（百益+嘉）?e1=0,|航+百可=|百宜|,則雙曲線0的離心率是（）

A.夸&B.V3+1C.V2+1D.夸&

I麗I（2024?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，E、F2是雙曲線E：3—點(diǎn)=l（a>0,b>0）的左、

右焦點(diǎn)，過E的直線交雙曲線的左、右兩支于A、B兩點(diǎn)，且回理=4|AFJ,|OB|=

衣諾，則雙曲線C的離心率為（）

______22

阿|（2024?貴州畢節(jié)??？寄M預(yù)測）己知F是雙曲線C:左—方=l（a>0,6>0）的一個(gè)焦

點(diǎn)，A為C的虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，2。點(diǎn)=OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線FB垂直于C的一條漸

近線，則C的離心率為（）

A.V2+1D.竽

同（2024?陜西商洛?鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線C，—，=l（b>a>0）的左焦

點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,一條漸近線與圓A：（c—a）?+y2=b2在第一象限交于點(diǎn)M,MF交沙

軸于點(diǎn)N,且/FNA=90°,則C的離心率為（）

A.V3B.2C.1+V2D.2+V2

（2024?福建福州?福州四中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線C：]—夫=l（a>0,fe>0）,F為

3585

ab

左焦點(diǎn)，A1;A2分別為左、左頂點(diǎn)，P為C右支上的點(diǎn)，且|OP|=|OF|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若

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直線PF與以線段AC2為直徑的圓相交，則C的離心率的取值范圍為（）

A.(1.V3)B.(V3,+OT)C.(V5,+c?)D.(1,V5)

22

演（2024?河南信陽?信陽高中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線C號(hào)一聲=l（a>0,b>0）的上

下焦點(diǎn)分別為K，E，點(diǎn)M在C的下支上,過點(diǎn)M作C的一條漸近線的垂線，垂足為D,

若|MFJ恒成立，則C的離心率的取值范圍為（）

A.（J）B.得,2）C.（1,2）D.舟+⑹

3（2024?海南省直轄縣級(jí)單位?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知F1,F2分別是雙曲線C:￡—力=

l（a>0,&>0）的左、右焦點(diǎn),斜率為2的直線％過耳，交C的右支于點(diǎn)B,交沙軸于點(diǎn)A,

且ZBAF2=ZABF2,則C的離心率為（）

A.B.C.V3D.V5

OO

3588（2024-四川巴中?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知雙曲線C:藍(lán)一至=l（a>0,6>0）的左、右焦

點(diǎn)分別為耳于2,過F］斜率為-1的直線與C的右支交于點(diǎn)P，若線段PR恰被y軸平分,則

C的離心率為

B.噌C.2D.3

圖］（2024?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)P是雙曲線C：$一*=l（a>0,6>0）右支上一

點(diǎn)，H（—C,0）,F2（C,0）分別是C的左、右焦點(diǎn)，若/FFE的角平分線與直線，=a交于點(diǎn)

1,SAIP^—SAIFJF,+S&PB，則C的禺心率為（）

A.2B.V2C.3D.V3

3（2024?北京?首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知E（—c,0）,B（c,0）分別是雙曲

線—點(diǎn)=1（0>°">°）的兩個(gè)焦點(diǎn)’「為雙曲線。上一點(diǎn)’「艮”尸2且

ZPF2FI=*,那么雙曲線c的離心率為（

O

A.與B.V3C.2D.V3+1

22

,'3591（2024?上海嘉定?校考三模）已知雙曲線「號(hào)—冬=l（a>0,6>0）的離心率為e,點(diǎn)B

ab

的坐標(biāo)為（0,6），若「上的任意一點(diǎn)P都滿足|PB|>6,則

A.1VeW——B.e>——

小1---1+A/5^c1+V5

C.1Ve&————

國|（2024?江西.江西師大附中?？既＃┮阎狥是雙曲線C：5—5=>0,b>0）的左

焦點(diǎn)，P（0,碗a）,直線PF與雙曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為

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A.V2B.V3C.2D.V6

,3593（2024?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？级＃﹫A0（0為原點(diǎn)）是半徑為Q的圓分別

22

與①軸負(fù)半軸、雙曲線C：4—七7/=l（a>0,6>0）的一條漸近線交于P,Q兩點(diǎn)（P在第

ab

一象限），若C的另一條漸近線與直線PQ垂直，則C的離心率為（

A.3B.2D.V2

（?寧夏吳忠?高三吳忠中學(xué)校考開學(xué)考試）已知分別是雙曲線

,35942024A,BC:q=

ab

l（a>0,fe>0）的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為C的右支上位于第一象限的點(diǎn)，且PF

，立軸.若直線PB與直線PA的斜率之比為3,則C的離心率為（）

B.V3C.2D.3

______22

I的I（2024?江西南昌?高三南昌市八一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知雙曲線C:-^一方=

l（a>0,6>0）的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P.Q分別在C的兩條漸近線上，且P在第一象限，O為坐

標(biāo)原點(diǎn)，若和=Q0,由，GF,則雙曲線C的離心率為（）

密|（2024?浙江溫州?樂清市知臨中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線與雙曲

線c：藍(lán).鏟=l（a>0,b>0）的左,右支分別交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，若三角形

ABF的面積大于聲諼由，則C的離心率的取值范圍是（）

A.(1,V7)B.(V2,7)C.(2,7)D.(2,V7)

（2024?河南鄭州?三模）已知E,鳥分別是雙曲線「另-￡=

l（a>0,6>0）的左、右焦

ab

點(diǎn)，過E的直線分別交雙曲線左、右兩支于人，：8兩點(diǎn),點(diǎn)。在立軸上，聞=5F^A,BE平

分/NBC,則雙曲線「的離心率為

空早

A.B.D

OO4

（2024?陜西安康?陜西省安康中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知雙曲線C：金■—卷=l（a>0,6

3598

ab

>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E，B，過E的直線％與c的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn)，若

崩=4A