專題五數(shù)列典例分析考查方式數(shù)列是每年高考的必考內(nèi)容，考查重點(diǎn)是等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算，數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列求和.新高考數(shù)學(xué)比起把數(shù)列內(nèi)容作為獨(dú)立知識(shí)板塊考查，更呈現(xiàn)出將其融入函數(shù)主線的趨勢(shì)，重視函數(shù)內(nèi)容與數(shù)列內(nèi)容的融合應(yīng)用和數(shù)列模型的實(shí)際應(yīng)用，體現(xiàn)了高考命題的基礎(chǔ)性、創(chuàng)新性與綜合性.由此，在復(fù)習(xí)過(guò)程中學(xué)生必須深刻理解基礎(chǔ)知識(shí)，掌握基本方法，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解題，更要注重函數(shù)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想在解題時(shí)的應(yīng)用.高考真題1．[2023年新課標(biāo)Ⅱ卷]記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則()A.120 B.85 C.-85 D.-1202．[2023年新課標(biāo)Ⅰ卷]記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則()A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件3．[2024年新課標(biāo)Ⅱ卷]記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則__________.4．[2023年新課標(biāo)Ⅱ卷]已知為等差數(shù)列，.記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，若，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.5．[2023年新課標(biāo)Ⅰ卷]設(shè)等差數(shù)列的公差為d，且，令，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和.（1）若，，求的通項(xiàng)公式；（2）若為等差數(shù)列，且，求d.6.[2024年新課標(biāo)Ⅰ卷]設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列，，…，是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列，，…，是可分?jǐn)?shù)列.（1）寫出所有的，，使得數(shù)列，，…，是可分?jǐn)?shù)列；（2）當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列，，…，是可分?jǐn)?shù)列；（3）從1，2，…，中一次任取兩個(gè)數(shù)i和，記數(shù)列，，…，是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：.參考答案1．答案：C解析：解法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意易知，則，化簡(jiǎn)整理得.所以.故選C.解法二：易知，，，，……為等比數(shù)列，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，結(jié)合得，化簡(jiǎn)可得，不成立，舍去.所以，故選C.2．答案：C解析：若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則，所以，所以，所以，為常數(shù)，所以為等差數(shù)列，即甲乙；若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為t，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以，所以，為常數(shù)，所以為等差數(shù)列，即甲乙，所以甲是乙的充要條件，故選C.3．答案：95解析：法一：設(shè)的公差為d，由，，解得，，則.法二：設(shè)的公差為d，由，，得，，故，，則.4．答案：（1）（2）證明見(jiàn)解析解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d.因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，，所以，整理得，解得，所以的通?xiàng)公式為.（2）由（1）知，所以.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以.綜上可知，當(dāng)時(shí)，.5．答案：（1）（2）解析：（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，所?因?yàn)?，所以，所以?因?yàn)椋?，解得或，因?yàn)?，所?所以的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)椋覟榈炔顢?shù)列，所以，即，所以，所以，解得或.①當(dāng)時(shí)，，所以，，.因?yàn)?，所以，即，解得或（舍去?②當(dāng)時(shí)，，所以，，.因?yàn)?，所以，即，解得（舍去）或（舍去?綜上，.6.答案：（1），，（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析解析：（2）證明：當(dāng)時(shí)，刪去，，其余項(xiàng)可分為以下3組：，，，為第1組，，，，為第2組，，，，為第3組，當(dāng)時(shí)，刪去，，其余項(xiàng)可分為以下m組：，，，為第1組，，，，為第2組，，，，為第3組，，，，為第4組，，，，為第5組，……，，，，為第m組，可知每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，故數(shù)列，，…，是可分?jǐn)?shù)列.（3）證明：易知，，…，是可分?jǐn)?shù)列是可分?jǐn)?shù)列，其中.當(dāng)時(shí)，刪去，，其余項(xiàng)從小到大，每4項(xiàng)分為1組，可知每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，故數(shù)列1，2，…，是可分?jǐn)?shù)列，可分為，…，，…，，…，.p，q的可能取值方法數(shù)為.易知，，…，是可分?jǐn)?shù)列是可分?jǐn)?shù)列，其中.當(dāng)時(shí)，刪去，，將與從小到大，每4項(xiàng)分為1組，可知每組的4個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.考慮，，，…，，是否可分，等同于考慮1，3，4，…，，是否可分，其中，可分為，，，…，，，每組4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列.故數(shù)列1，2，…，是可分?jǐn)?shù)列，p，q且的可能取值方法數(shù)為.從而.重難突破1.已知在等比數(shù)列中，，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則()A.60 B.54 C.42 D.362.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則()A.2 B.3 C.4 D.53.已知數(shù)列滿足，，則()A.-1 B. C.2 D.34.在等比數(shù)列中，，，則()A.64 B.128 C. D.5.某單位組織全體黨員在報(bào)告廳集體收看黨的二十大開幕式.已知該報(bào)告廳共有15排座位，共有390個(gè)座位數(shù)，并且從第二排起，每排比前一排多2個(gè)座位數(shù)，則最后一排的座位數(shù)為()A.12 B.26 C.40 D.506.已知數(shù)列為有窮整數(shù)數(shù)列，具有性質(zhì)p：若對(duì)任意的，中存在，，，…，（，，），使得，則稱為4-連續(xù)可表數(shù)列.下面數(shù)列為4-連續(xù)可表數(shù)列的是()A.1，1，1 B.1，1，2 C.1，3，1 D.2，3，67.已知數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，且，則()A.216 B.260 C.290 D.3168.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則()A.51 B.34 C.17 D.19.記為正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則()A.6 B.9 C.12 D.1510.假設(shè)在某種細(xì)菌培養(yǎng)過(guò)程中，正常細(xì)菌每小時(shí)分裂1次（1個(gè)正常細(xì)菌分裂成2個(gè)正常細(xì)菌和1個(gè)非正常細(xì)菌），非正常細(xì)菌每小時(shí)分裂1次（1個(gè)非正常細(xì)菌分裂成2個(gè)非正常細(xì)菌）.若1個(gè)正常細(xì)菌經(jīng)過(guò)14小時(shí)的培養(yǎng)，則可分裂成的細(xì)菌的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.11.若函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則()A. B. C. D.12.已知在無(wú)窮數(shù)列中，，，…，是首項(xiàng)為10，公差為-2的等差數(shù)列，，，…，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列（，），對(duì)任意，均有成立.若，則m的所有可能取值的個(gè)數(shù)為()A.4 B.5 C.6 D.713.（多選）已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，成等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.14.（多選）已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論正確的有()A.為等比數(shù)列 B.的通項(xiàng)公式為C.為遞增數(shù)列 D.的前n項(xiàng)和15.（多選）對(duì)于數(shù)列，定義：，，，則下列說(shuō)法正確的是()A.若，則B.若，則C.若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則D.若，，則16.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則_________.17.已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則_________.18.對(duì)于數(shù)列，定義數(shù)列為數(shù)列的“和數(shù)列”，若，數(shù)列的“和數(shù)列”的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的前21項(xiàng)和______.（結(jié)果保留指數(shù)形式）19.設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)積，若，其中常數(shù)，數(shù)列為等差數(shù)列，則_____.20.定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“數(shù)列”.已知數(shù)列（）的前項(xiàng)和為，且滿足，.設(shè)為正整數(shù).若存在“數(shù)列”（），對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有成立，則的最大值為________.21.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22.已知是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.23.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，且有，數(shù)列滿足，且，前11項(xiàng)和為220.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.24.已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.25.給定數(shù)列，若對(duì)任意m，且，是中的項(xiàng)，則稱為“H數(shù)列”；若對(duì)任意m，且，是中的項(xiàng)，則稱為“J數(shù)列”.(1)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，試判斷數(shù)列是否為“J數(shù)列”，并說(shuō)明理由；(2)設(shè)數(shù)列既是等比數(shù)列又是“J數(shù)列”，且，，求公比q的所有可能值；(3)設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意，是數(shù)列中的項(xiàng)，求證：數(shù)列是“H數(shù)列”.

答案以及解析1.答案：C解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，因?yàn)椋?，，所?故選：C.2.答案：C解析：因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，且，所以，所以.故選：C3.答案：B解析：因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以，所以，，，，所以是周期為3的周期數(shù)列，又，所以.故選：B.4.答案：B解析：由題意得，得，則.由，得.所以.故選：B.5.答案：C解析：根據(jù)題意，把各排座位數(shù)看作等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列通項(xiàng)為，首項(xiàng)為，公差為d，前n項(xiàng)和為，則，，所以，即得，故選：6.答案：B解析：選項(xiàng)A中，，和不可能為4，A不是4-連續(xù)可表數(shù)列；選項(xiàng)B中，，，，，B是4-連續(xù)可表數(shù)列；選項(xiàng)C中，沒(méi)有連續(xù)項(xiàng)的和為2，C不是4-連續(xù)可表數(shù)列；選項(xiàng)D中，沒(méi)有連續(xù)項(xiàng)的和為1，D不是4-連續(xù)可表數(shù)列．故選：B．7.答案：A解析：令，得，.當(dāng)時(shí)，.與已知式相減，得.，又時(shí)，滿足上式，.，.故選：A8.答案：C解析：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，所以由，可得：，解得：，所以.故選：C.9.答案：B解析：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q，由題意知，，所以，，成等比數(shù)列，所以，即，解得（舍負(fù)）.故選：B.10.答案：C解析：設(shè)經(jīng)過(guò)n小時(shí)，有個(gè)正常細(xì)菌，個(gè)非正常細(xì)菌，則，.又，，所以，，則，，所以，所以.11.答案：C解析：由，可得，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，首項(xiàng)為，所以，所以，所以.故選：C.12.答案：A解析：因?yàn)?，，…，是首?xiàng)為10，公差為的等差數(shù)列，所以，.，，…，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，.因?yàn)椋抑豢赡苁堑缺葦?shù)列中的項(xiàng)，所以，所以，所以，且.因?yàn)閷?duì)任意，均有成立，所以數(shù)列是以2m為周期的數(shù)列，所以，即.當(dāng)時(shí)，，即m的所有可能取值有4個(gè).故選A.13.答案：AB解析：若公比有，，，此時(shí)，故公比，由題意，化簡(jiǎn)有，兩邊同時(shí)乘以，可得：；兩邊同時(shí)乘以，可得：故有或，選選：AB.14.答案：ABD解析：因?yàn)?，，所以，所以，又，所以?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；，即，故B正確；，因?yàn)?，所以，，，所以，所以為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；，則，故D正確.15.答案：ABD解析：A.，；B.，，；C.，，又時(shí)，，D.，，，…，，，，，，，，.又時(shí)也成立，，.又，，綜上，故選：ABD.16.答案：9解析：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和，所以，所以.故答案為：917.答案：145解析：由，及，，可得：，，所以，即，所以，所以，故答案為：14518.答案：.解析：因?yàn)椋瑪?shù)列的“和數(shù)列”的通項(xiàng)公式為，所以數(shù)列，，故答案為：.19.答案：1或2解析：當(dāng)時(shí)，，，所以.由數(shù)列為等差數(shù)列，則為常數(shù)d，①若，則恒成立，即恒成立，；②若，則，解得綜上所述，或.20.答案：5解析：由，，得，，則，則，當(dāng)時(shí)，由，得，整理得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，則，因?yàn)閿?shù)列為“數(shù)列”，設(shè)公比為q，所以，，因?yàn)?，所以，其中，?dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有，設(shè)，則，當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，取，?dāng)時(shí)，，即，經(jīng)檢驗(yàn)知也成立，因此所求m的最大值不小于5，若，分別取，得，且，從而且，所以q不存在，所以，綜上，所求m的最大值為5.故答案為：521.答案：(1)，(2)，解析：(1)由，得，兩式相減得，即.因?yàn)?，所以，得，滿足.所以是首項(xiàng)為8，公比為4的等比數(shù)列，，.(2)因?yàn)?，所?所以.故數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.22.答案：（1）；（2）解析：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)可得，解得.又，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)?，所以，則，①，，②①-②得，所以.23.答案：(1)，(2)證明見(jiàn)解析解析：(1)，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以，.又，，數(shù)列為等差數(shù)列，令其前n項(xiàng)和為，則，，公差，，.(2)由(1)知：，故，；.24.答案：（1），；（2）或解析：（1）對(duì)：由，且，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.所以.對(duì)：前n項(xiàng)和為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，上式亦成立.所以.（2）因?yàn)?所以.由已知或.