1/1第十章計數(shù)原理與概率10.1兩個計數(shù)原理、排列與組合課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢1.通過實例,了解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義.2.通過實例，理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.必備知識溫故知新【教材梳理】1.分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（1）分類加法計數(shù)原理.①定義：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m+n②拓展：完成一件事，如果有n類方案,且：第1類方案中有m1種不同的方法，第2類方案中有m2種不同的方法,?,第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=（2）分步乘法計數(shù)原理.①定義：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n②拓展：完成一件事，如果需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法,?,做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=2.排列與組合（1）排列：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從（2）排列數(shù).定義及表示從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出全排列的概念n個不同的元素全部取出的一個排列階乘的概念正整數(shù)1到n的連乘積，用n！表示.A排列數(shù)公式(nAnm=階乘式An（3）組合：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組，叫做從n（4）組合數(shù).定義及表示從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m組合數(shù)公式乘積式Cnm=階乘式Cnm=兩個性質(zhì)性質(zhì)1Cnm=性質(zhì)2Cn+1常用結(jié)論1.解排列組合問題基本策略（1）相鄰問題捆綁策略,不相鄰問題插空策略.（2）多排問題單排策略,定位問題優(yōu)先策略.（3）定序問題消序策略,有序分配分步策略.（4）多元問題分類策略,交叉問題集合策略.（5）至少（至多）問題間接策略,選排問題先取后排.2.重要恒等式（1）An（2）(n（3）kC（4）Cn自主評價牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”，錯誤的畫“×”.（1）在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.（）（2）在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事.（）（3）所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.（）（4）若Cnx=Cnm,（5）Anm=n【答案】（1）√（2）×（3）×（4）×（5）×2．某校在藝術(shù)節(jié)期間需要舉辦一場文娛演出晚會，現(xiàn)要從3名教師、4名男學(xué)生和5名女學(xué)生中選出若干人來主持這場晚會（任一人都可主持）.若需要教師、學(xué)生各一人共同主持，則不同的選法有（）A.12種 B.15種 C.27種 D.30種【答案】C【解】先選出一名教師，有3種選法；再選出一名學(xué)生，有4+5=9（種）選法.所以共有3×9=27（3．【多選題】已知n，m為正整數(shù)，且n≥m，則（A.A63C.Cnm【答案】ABD【解】對于A，A63=6×5對于B，因為C127=A127A77對于C，因為Cnm+Cnm-1=對于D，Cnm=Cnn-m，故4．（教材題改編）用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中比4000大的偶數(shù)共有個.【答案】18【解】由題意，知符合條件的四位數(shù)的首位數(shù)字為4，5其中一個，末位數(shù)字為2，4其中一個.①當(dāng)首位數(shù)字為5時，末位數(shù)字有2種情況，在剩余的3個數(shù)中任取2個，放在剩余的2個位置上，有3×2=6（種）情況，此時有2②當(dāng)首位數(shù)字為4時，末位數(shù)字有1種情況，在剩余的3個數(shù)中任取2個，放在剩余的2個位置上，有3×2=6（種）情況，此時有1綜上，共有12+6=18（個核心考點精準(zhǔn)突破考點一分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理例1（1）滿足a，b∈{-1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax（2）某旅游景區(qū)有如圖所示的A至F共6個停車位，現(xiàn)有2輛不同的白色車和2輛不同的黑色車，要求相同顏色的車不停在同一行也不停在同一列，則不同的停車方法有（）ABCDEFA.48種 B.72種 C.96種 D.192種【點撥】解答計數(shù)應(yīng)用問題的總體思路是先分類再分步,注意以下計數(shù)方法的應(yīng)用.①枚舉法,將各種情況一一列舉出來.②轉(zhuǎn)換法,轉(zhuǎn)換問題的角度或轉(zhuǎn)換成其他已知問題.③間接法,先計算其反面情形，再用總數(shù)減去即可.【答案】（1）13（2）B【解析】（1）【解】當(dāng)a=0時，b的值可以是-1，0，1，2，故(a,b)的個數(shù)為4.當(dāng)a≠0時，要使方程ax2+2x+b=0有實數(shù)解，需使Δ=4-4ab≥0，即ab≤1.若a=-1，則b的值可以是-1，0，1，2，(a,b)的個數(shù)為4；若a=1，則b的值可以是-（2）【解】第一步,排白車.第一行選一個位置,則第二行有兩個位置可選,故白車的停法有3×2×2=12（種）.第二步,排黑車.若白車選AE,則黑車有BD,BF,CD共3種選擇,故黑車的停法有3×2=6（種）.故共有變式1．（1）五一小長假前夕，甲、乙、丙三人分別從A，B，C，D四個旅游景點中任選一個前去游玩，其中甲到過景點A，所以甲不選景點A，則不同的選法有（）A.64種 B.48種 C.36種 D.24種（2）用3種不同顏色給如圖所示的4塊區(qū)域A，B，C，D涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，有公共邊的區(qū)域使用不同顏色，則不同的涂色方法有（）A.14種 B.16種 C.20種 D.18種【答案】（1）B（2）D【解析】（1）【解】第一步，先考慮甲在B,C,D三個景點中任選一個，有3種選法；第二步，再考慮乙和丙，從A,B,C,D中分別任選一個景點，有4×4=16（種）選法.由分步乘法計數(shù)原理，得不同的選法有3×16=48（2）【解】先涂A，有3種涂法，再涂B有2種涂法.當(dāng)C與A同色時，有1種涂法，此時D有2種涂法；當(dāng)C與A不同色時，有1種涂法，此時D有1種涂法.所以共有3×2×(1×2+1×考點二排列、組合的基本問題例2【多選題】某學(xué)院學(xué)生會的3名男生和2名女生在社區(qū)參加志愿者活動，結(jié)束后這5名同學(xué)排成一排合影留念.下列說法正確的是（）A.若讓其中的男生甲排在兩端，則這5名同學(xué)共有24種不同的排法B.若要求其中的2名女生相鄰，則這5名同學(xué)共有48種不同的排法C.若要求其中的2名女生不相鄰，則這5名同學(xué)共有72種不同的排法D.若要求其中的1名男生排在中間，則這5名同學(xué)共有72種不同的排法【解】對于A，男生甲排在兩端，共有2A44=48（種）不同的排法，對于B，2名女生相鄰，共有A22A44=48（種）對于C，2名女生不相鄰，共有A33A42=72（種）對于D，要求1名男生排在中間，則這5名同學(xué)共有3A44=72（種）不同的排法，故D正確【答案】BCD【點撥】有約束條件的排列問題，一般有以下幾種基本類型與方法：①特殊元素優(yōu)先考慮；②對于相鄰問題采用“捆綁法”，整體參與排序后，再考慮“捆綁”部分的排序；③對于不相鄰問題，采用“插空”法，先排其他元素，再將不相鄰元素插入空檔.組合問題的兩種基本題型及解法.題型解法“含有”或“不含有”某些元素的組合“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取“至少”或“至多”含有幾個元素的組合解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法分類復(fù)雜時，通?？紤]逆向思維，用間接法處理變式2．【多選題】為響應(yīng)政府部門號召，某紅十字會安排甲、乙、丙、丁四名志愿者奔赴A，B，C三地參加健康教育工作.下列說法正確的是（）A.不同的安排方法共有64種B.若恰有一地?zé)o人去，則不同的安排方法共有42種C.若甲必須去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法共有12種D.若甲、乙兩人都不能去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法共有14種【答案】BCD【解】四人到三地去，一人只能去一地，方法數(shù)為34=81，故A若恰有一地?zé)o人去，則不同的安排方法數(shù)是C31(C41若甲必須去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法數(shù)為A33+C31若甲、乙兩人都不能去A地，且每地均有人去，分甲、乙去同一個地方和不去同一個地方，則不同的安排方法數(shù)為2A22+2×5=14，考點三排列、組合的綜合問題命題角度1定序問題例3公元5世紀(jì)，數(shù)學(xué)家祖沖之估計圓周率π的值的范圍是3.1415926<π<3.1415927，為紀(jì)念祖沖之在圓周率的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學(xué)的偉大成就.某小學(xué)教師為幫助同學(xué)們了解“祖率”，讓同學(xué)們把小數(shù)點后的7位數(shù)字1，4，1，5，9，2，6進行隨機排列，整數(shù)部分3不變，那么可以得到大于3.14的不同數(shù)字有（A.2280個 B.2120個 C.1440個 D.720個【解】由于1，4，1，5，9，2，6這7位數(shù)字中有2個相同的數(shù)字1，故進行隨機排列，可以得到的數(shù)字有A77A22個.小于3.14的數(shù)字有2A55個.故得到的大于3.14的數(shù)字有A【答案】A【點撥】定序問題消序（倍縮）處理,n個元素中有k個元素順序一定,則總排列數(shù)為An變式3．某班10名同學(xué)一起參加數(shù)學(xué)競賽，賽后老師為這10名同學(xué)拍合影留念，前排站4人后排站6人，后來老師決定從后排6人中抽出兩名同學(xué)站到前排，其他同學(xué)的相對順序不變，則調(diào)整方法有（）A.150種 B.300種 C.450種 D.225種【答案】C【解】先從后排6人中抽出兩名同學(xué)，有C62種方法.然后與前排4人排列，有A66種排法.因為其他同學(xué)的相對順序不變，所以前排4人不再排，共有C62?A6命題角度2分組分配問題例4【多選題】下列說法正確的有（）A.將6本不同的書分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有60種不同的分法B.將6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人兩本，有90種不同的分法C.將6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有360種不同的分法D.將6本相同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10種不同的分法【解】對于A，將6本不同的書，分成1本、2本、3本，再將3組分給甲、乙、丙三人，共有C61C52C33A3對于B，6本不同的書中，先取2本給甲，再從剩余的4本中取2本給乙，最后2本給丙，共有C62C42C22=90對于C，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，分3種情況討論：①一人4本，其他兩人各1本，共有C64A33=90（種）分法；②一人1本，一人2本，一人3本，共有C61C52C33A33=360（種）分法；③每人2本對于D，6本相同的書分給甲、乙、丙三人，共有C52=10（種）分法，故D正確.【答案】BD【點撥】平均分配給不同人的分法,等于平均分堆的分法乘堆數(shù)的全排列.分堆到位相當(dāng)于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法數(shù)為：平均分堆到指定位置堆數(shù)的階乘.對于分堆與分配問題應(yīng)注意：①處理分配問題要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的（如“名額”等則是相同元素，不適用），位置也應(yīng)是不同的（如不同的“盒子”）；③分堆時要注意是否均勻，如6分成(2,2,2變式4．【多選題】下列說法正確的有（）A.將6個不同的小球放入2個不同的盒子中，有64種不同的放法B.將6個不同的小球放入3個相同的盒子中，每盒2個，有90種不同的放法C.將6個不同的小球放入3個不同的盒子中，每盒至少1個，有360種不同的放法D.將6個相同的小球分給甲、乙、丙三人，每人至少一球，有10種不同的分法【答案】AD【解】對于A，有26=64（種）放法，故A對于B，有C62C42C22A3對于C，分3種情況討論：①一盒4個，其他兩盒各1個，有C64A33=90（種）放法；②一盒1個，一盒2個，一盒3個，有C61C52C33A33=360（種）放法；③每盒2個對于D，有C52=10（種）分法，故D正確.命題角度3有條件限制的選派問題例5【多選題】某班有60名學(xué)生，其中正、副班長各1人，現(xiàn)要選派5人參加一項社區(qū)活動，要求正、副班長至少有1人參加，則不同的選派方法有（）A.C21C59C.(C21C【解】先從60人中選5人，排除沒有正、副班長的情況，有(C605-C585)先在正、副班長中選1人，從余下的59人選4人，有C21C594種情況，再排除正、副班長都參加的重復(fù)情況，有C22C583種情況，共有(C當(dāng)僅正班長或副班長參加時，有C21C584種情況，當(dāng)正、副班長都參加時，有C22C583種情況，共有(C2【答案】BCD【點撥】常見的“在”與“不在”有限制條件的排列問題,就是典型的特殊元素或特殊位置問題，解題原則是誰“特殊”誰優(yōu)先.一是以元素為主解題，二是以位置為主解題，三是用間接法解題.變式5．[2023年全國甲卷]現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）A.120種 B.60種 C.30種 D.20種【答案】B【解】記5名志愿者為a,b,c,d,e.假設(shè)a連續(xù)參加了兩天公益活動，則再從剩余的4人中抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有A42=12（種）方法.同樣b,c,d,e連續(xù)參加了兩天公益活動，也各有12種方法.故所求為5×12=60課外閱讀·計數(shù)原理中的創(chuàng)新探究問題計數(shù)原理中的創(chuàng)新探究問題，是近年高考中的熱點問題.這類問題情境新穎，著重考查學(xué)生的運算求解能力、邏輯推理能力和創(chuàng)新應(yīng)用能力.解決這類問題，除了推理嚴(yán)謹(jǐn)、計算準(zhǔn)確外，還要注意利用題目可能具備的開放性，從不同角度分析問題、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這常常能減少一些不必要的討論.例題[2024年新課標(biāo)Ⅱ卷]在如圖所示的4×4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有1個方格被選中，則共有種選法；在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是__11213140122233421322334315243444【答案】24；112【解】由題意，知選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中.第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選.所以共有4×3×2×要找出這24種選法中，4個數(shù)之和最大的，若一一列舉，則費時且易出錯.觀察表格，發(fā)現(xiàn)每列兩位數(shù)中十位上的數(shù)字依次是1,2,3,4，因此，無論是哪種選法，僅需比較個位數(shù)字.此時，表格簡化如下.1110223232335444進一步觀察發(fā)現(xiàn)，每行數(shù)的個位數(shù)字，都有3個數(shù)字相同.因此，還可以進一步簡化表格，如下.000-100100-1001000觀察上表，易知所求為(10+20變式．已知a1,a2,a3,a4∈{1,2,3,4},N(a1,a2,a3,a4)為a1,a2,a3,a4中不同數(shù)字的種類，如N(1,1,4,3)=3,N(【答案】256；175【解】(a1,a2,aN(a1,N(a1,a2,a3,a4綜上，所有的256個(a1,a2,a3,a4)課時作業(yè)知能提升【鞏固強化】1．A55C4A.120 B.160 C.180 D.240【答案】A【解】A55C422．[2020年上海春季高考卷]已知A={-3，-2，-1，0，1，2，3}，a，bA.6種 B.16種 C.18種 D.20種【答案】C【解】當(dāng)a=±3時，有0種;當(dāng)a=±2時，有2×2種;當(dāng)a=±1時，有4×2種；當(dāng)a=0時，有63．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，如果B，C必須相鄰，那么不同的排法有（）A.240種 B.120種 C.96種 D.60種【答案】A【解】將B,C捆綁在一起，然后進行全排列，共有A55A22=240（種4．[2023年全國乙卷]甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）A.30種 B.60種 C.120種 D.240種【答案】C【解】首先確定相同讀物，共有C61種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有A5共有C61×A52=120（5．現(xiàn)有4名同學(xué)站成一排，將甲、乙2名同學(xué)加入排列,若保持原來4名同學(xué)的順序不變，則不同的排法共有（）A.10種 B.20種 C.30種 D.60種【答案】C【解】4名同學(xué)站成一排有5個空，甲加入排列，有5種情況，隊列變成5個人，有6個空.乙再加入排列，有6種情況.由分步計數(shù)原理,得共有5×6=30（種）不同的方法.6．【多選題】亞運會期間,小明、小紅、小兵3名志愿者被安排到甲、乙、丙、丁四個場館進行服務(wù).每名志愿者只能選擇一個場館，且允許多人選擇同一個場館.下列說法正確的有（）A.所有可能的安排方法有34B.若場館甲必須有志愿者去，則不同的安排方法有37種C.若志愿者小明必須去場館甲，則不同的安排方法有16種D.若3名志愿者所選場館各不相同，則不同的安排方法有24種【答案】BCD【解】對于A，所有可能的安排方法有43種，故A錯誤對于B，若場館甲沒有志愿者去，則有33種安排方法，故所求有43-33=37（種）對于C，若小明必須去甲場館，則另2名志愿者共有4×4=16（種）安排方法，故對于D，共有A43=24（種）安排方法，故故選BCD.7．已知3個人坐在有8個座位的一排椅子上.若每個人的左右兩邊都要有空位，則不同的坐法有種.【答案】24【解】由題意，知有5個座位是空的，可以把3個人往5個空座位形成的4個空插.共有A43=24（種）8．[2023年新課標(biāo)Ⅰ卷]某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種.（用數(shù)字作答）【答案】64【解】①從8門課中選修2門，不同的選課方案共有C41C4②從8門課中選修3門，若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有C41C42=24（種）；若體育類選修課2門綜上，不同的選課方案共有16+24+24故填64.9．某小組共有6名學(xué)生，其中女生2名，男生4名.（1）將這6名學(xué)生排成一排，則女生不相鄰的排法有多少種？（2）從這6名學(xué)生中選3人參加某公益活動.①共有多少種不同的選派方法？②若至少有1位女生入選，則有多少種不同的選派方法？【解】（1）先排男生，有A44種排法，女生插空有A52種排法.（2）①從6人中選3人，共有C63②從6名學(xué)生中選出3名男生，有C43=4（種）方法.若至少有1【綜合運用】10．從集合{1，2，3，?，10}中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列有（A.3個 B.4個 C.6個 D.8個【答案】D【解】以1為首項的等比數(shù)列為1，2，4；1，3，9；以2為首項的等比數(shù)列為2，4，8；以4為首項的等比數(shù)列為4，6，9.把這4個數(shù)列的順序顛倒，又得到另外的4個數(shù)列.所以所求的數(shù)列共有8個.故選D.11．如圖，某小區(qū)有7條南北向街道，5條東西向街道,則從點A走向點B最短的走法有（）A.150種 B.180種 C.210種 D.240種【答案】C【解】每條東西向的街道被分成6段，每條南北向的街道被分成4段.從點A到點B最短的走法包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同.每種走法，即是從10段中選出6段，這6段是走東西方向的（剩下4段即是走南北方向的），共有C106C44=210（種12．【多選題】用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)和五位數(shù).下列說法正確的是（）A.可組成360個四位數(shù)B.可組成216個是5的倍數(shù)的五位數(shù)C.可組成270個比1325大的四位數(shù)D.若將組成的四位數(shù)按從小到大的順序排列，則第85個數(shù)為2301【答案】BCD【解】對于A，先排千位數(shù)字，有5種情況，再從剩下的5個數(shù)字中排其余3個數(shù)位，共有5A53=300（個）四位數(shù)，對于B，末位為0的數(shù)有A54=120（個），末位為5的數(shù)有C41A43=96（個）.所以共有對于C，首位為2，3，4，5的數(shù)有4A53=240（個）；千位、百位為14，15的數(shù)有2A42=24（個）；千位、百位、十位為134，135的數(shù)有2A31=6（對于D，首位為1的數(shù)有A53=60（個），千位、百位為20，21的數(shù)有2A42=24（個）.所以2301是從小到大排列的第85個數(shù)，13．給如圖所示的5塊區(qū)域A，B，C，D，E涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，有公共邊的區(qū)域使用不同的顏色.現(xiàn)有5種顏色可供選擇，則不同的涂色方法有__種.【答案】960【解】A有5種顏色可選，B有4種顏色可選，D有3種顏色可選，C，E均可涂除D的顏色外的其他顏色，均有4種可選.故共有5×4×3×4×14．將編號為1，2，3，4的4個不同小球全部放入編號為1，2，3，4的4個不同盒子中.（1）若每個盒子至少1個小球，則有多少種不同的放法？（2）若恰好有1個空盒子，則有多少種不同的放法？（3）若每個盒子放1個小球，且恰好有1個小球的編號與盒子的編號相同，則有多少種不同的放法？（4）將已知中4個不同的小球換成4個完全相同的小球（無編號），其余條件不變.若恰有1個空盒子，則有多少種不同的放法？【解】（1）根據(jù)題意，知每個盒子中有且只有1個小球，所求放法有A44（2）先將4個小球分為3組，各組的小球個數(shù)分別為2，1，1，然后分配給4個盒子中的3個盒子.由分步乘法計數(shù)原理，可知所求的放法有C42（3）若編號為1的小球放入編號為1的盒子中，則其余3個小球均未放入相應(yīng)編號的盒子中.那么編號為2，3，4的盒子中放入的小球編號可以依次為3，4，2或4，2，3.因此，所求放法有2×4（4）按兩步進行.先給空盒編號，有4種情況.再將4個完全相同的小球放入其余3個盒子中，且沒有空盒子，則只需在4個完全相同的小球所形成的3個空（不包括兩端）中插入2塊板，有C32由分步乘法計數(shù)原理，可知所求的放法有4×3【拓廣探索】15．[2024年上海卷]設(shè)集合A中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，則集合中元素個數(shù)的最大值為__．【答案】329【解】由題意，知集合中至多只有1個奇數(shù)，其余均是偶數(shù)．討論三位數(shù)中的偶數(shù)．①當(dāng)個位為0時，百位和十位在剩余的9個數(shù)字中選擇兩個進行排列，則這樣的偶數(shù)有A92=72②當(dāng)個位不為0時，個位有C41個數(shù)字可選，百位有C81個數(shù)字可選，十位有根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，知這樣的偶數(shù)共有C41C綜上，集合中元素個數(shù)的最大值為72+256+110.2二項式定理課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢1.能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理.2.會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.必備知識溫故知新【教材梳理】1.二項式定理概念(a+b)n二項式系數(shù)各項中的系數(shù)Cnk通項Cnkan-k二項展開式Cn0a2.二項式系數(shù)的性質(zhì)（1）對稱性：在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等.（2）增減性與最大值：當(dāng)k<n+12時，Cnk隨k的增加而增大；當(dāng)k>n+12時，Cnk隨k的增加而減少.如果n是偶數(shù)，那么其展開式中間一項，即T（3）各二項式系數(shù)的和：Cn0+Cn1+自主評價牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”，錯誤的畫“×”.（1）Cnkan-kbk是（2）在二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項.（）（3）(a+b)n的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a，b（4）(a+b)n（5）(a+b)n的二項展開式與(【答案】（1）×（2）×（3）√（4）√（5）√2．（教材題改編）(1x-x)10的展開式中A.45 B.20 C.-30 D.【答案】A【解】展開式的通項Tk+1=(-1)kC10kx-10+32k3．在(2x+1)n的展開式中，第3項和第A.7 B.6 C.5 D.4【答案】C【解】由題意，得Cn2=Cn3，所以4．（教材題改編）若(x+1x【答案】20【解】因為二項式系數(shù)之和為2n=64，所以n=6.故展開式的通項Tk+1=C6k核心考點精準(zhǔn)突破考點一二項展開式的特定項例1（1）[2024年北京卷]在(x-x)4A.6 B.-6 C.12 D.（2）[2022年新課標(biāo)Ⅰ卷](1-yx)(x+y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為___【點撥】①求二項展開式中的特定項，可依據(jù)條件寫出第(r+1)項，再由特定項的特點求出r值.②已知展開式的某項，求特定項的系數(shù)，可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第(r+1【答案】（1）A（2）-【解析】（1）【解】(x-Tr令4-r2=3，解得r=2.（2）【解】因為(1-yx)(x+y)8=(x+y)8-yx(變式1．（1）在二項式(2x-1x)6的展開式中，常數(shù)項是，有理項有___（2）[2020年全國Ⅰ卷](x+y2xA.5 B.10 C.15 D.20（3）在(2x-y+z)A.1680 B.210 C.-210 D.【答案】（1）60；4（2）C（3）A【解析】（1）【解】Tr+1=C6r(2x)6-r(-1)r(1x)r=(-1（2）【解】(x+y)5的展開式的通項為Tr+1=C5rx5-ryr.在xTr+1=C5rx6-ryr中，令r=3（3）【解】相當(dāng)于在7個因式中有3個因式選2x，有C73種選法，余下的4個因式中有2個因式選-y，有C42種選法，最后余下2個因式中選z，把所選式子相乘即可得x3y2z2項.而考點二二項式系數(shù)的性質(zhì)命題角度1二項式系數(shù)和與系數(shù)和例2在(2（1）第三項的二項式系數(shù)與第三項的系數(shù)；（2）二項式系數(shù)的和；（3）各項系數(shù)的和；（4）奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；（5）奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和（6）x的奇次項系數(shù)和與x的偶次項系數(shù)和.【解】（1）(2x-3y)第三項的二項式系數(shù)為C102=（2）二項式系數(shù)的和為C10（3）令x=y=（4）奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為C100+（5）令x=y=令x=1，y=-1（或a0①+②,得2(所以奇數(shù)項系數(shù)和為1+①-②,得2(所以偶數(shù)項系數(shù)和為1-（6）x的奇次項系數(shù)和為a1+a3+【點撥】①“賦值法”普遍運用于恒等式，是一種處理二項式相關(guān)問題比較常用的方法.對形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b,c變式2．（1）[2022年北京卷]若(2x-1)A.40 B.41 C.-40 D.（2）【多選題】已知(1-2A.展開式中各項的系數(shù)之和為-B.展開式中二項式系數(shù)最大項為第1013項C.aD.|【答案】（1）B（2）ACD【解析】（1）【解】令x=1，得a4+a3+a2+a1+a（2）【解】令x=1，得展開式中各項的系數(shù)之和為(1-2)2025=-1，故A正確.因為n=2025，所以展開式中二項式系數(shù)最大項為C20251012=C20251013,即第1013項與第1014項，故B錯誤.令x=0，得a0=1.令x=12，得a0+a12+a命題角度2系數(shù)的最值問題例3（1）已知(x23+3x2)n的展開式中第3項與第4項的二項式系數(shù)相等，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為____________________（2）[2024年全國甲卷](13+x)10的展開式中，各項系數(shù)中的最大值為___【點撥】①求二項式系數(shù)最大項，如果n是偶數(shù)，那么中間一項[第(n2+1)項]的二項式系數(shù)最大；如果n是奇數(shù)，那么中間兩項[第n+12項與第(n+12+1)項]的二項式系數(shù)相等并最大.【答案】（1）90x6（2）5【解析】（1）【解】易知n=5，故展開式共有6項，其中二項式系數(shù)最大的項為第3項、第4項.所以T3=C52(x（2）【解】展開式的通項為Tr+1=C10r(13)10-rxr，0≤r≤10,且r∈Z.設(shè)展開式中第r+1變式3．（1）已知m為正整數(shù)，(x+y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x+y)A.5 B.6 C.7 D.8（2）在(x-y)n的展開式中，第3A.第6項 B.第5項 C.第5，6項 D.第4，5項【答案】（1）B（2）B【解析】（1）【解】由題意，可知a=C2mm，所以13?(2m)！m！m!=（2）【解】由題意，知Cn2=Cn7，則n=9.所以(x-y)n的展開式中，二項式系數(shù)最大為第5項和第6項，即C9考點三二項式定理的綜合應(yīng)用例4（1）求證：1+2+2（2）利用二項式定理計算1.056，則其結(jié)果精確到0.01的近似值是（A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34【點撥】①在證明整除問題或求余數(shù)問題時要進行合理的變形，使被除式（數(shù)）展開后的絕大部分項（一兩項除外）都含有除式的因式.②二項式定理的另一個重要用途是近似計算,當(dāng)n不是很大，|x|比較小時，【答案】（1）【證明】1+顯然Cn0所以1+2+22（2）D【解析】（2）【解】1.056=(1+0.05變式4．（1）如果今天是星期四，那么4849天后是星期（2）0.996的計算結(jié)果精確到0.001的近似值是（A.0.940 B.0.941 C.0.942 D.0.943【答案】（1）三（2）B【解析】（1）【解】4849=(49-1)49=C（2）【解】0.996=(1-0.01考教銜接·楊輝三角【教材溯源】人教A版選擇性必修第三冊第39頁數(shù)學(xué)探究.【總結(jié)延伸】楊輝三角是我國數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就，它是二項式系數(shù)組成的三角形數(shù)表（如下圖），它將二項式系數(shù)圖形化，把組合數(shù)內(nèi)在的一些代數(shù)性質(zhì)直觀地從圖形中體現(xiàn)出來，是一種離散的數(shù)與形的結(jié)合.楊輝三角的常用性質(zhì)如下表：序號語言描述公式表示1對稱性：每行中與首末兩端“等距離”之?dāng)?shù)相等Cn2遞歸性：除1以外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)之和Cn3第n行奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和相等Cn4第n行數(shù)的和為2Cn5第n行各數(shù)平方和等于第2n(C6自腰上的某個1開始平行于左腰的一條線上的連續(xù)n個數(shù)的和等于最后一個數(shù)斜右下方的那個數(shù)Cr例題【多選題】下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（）A.CB.記第n行的第i個數(shù)為ai，則C.第2025行中從左往右第1012個數(shù)與第1013個數(shù)相等D.第30行中第12個數(shù)與第13個數(shù)之比為12【答案】BD【解】對于A，由Cnm-1=C=C=?=C123-1=對于B，∑n+1i=1對于C，第2025行中從左往右第1012，1013個數(shù)分別為C20251011,C20251012,易知兩者不相等,故對于D，第30行中第12個數(shù)與第13個數(shù)之比為C3011:C3012=30!(變式．如圖，將三角形數(shù)表中第p行第q個數(shù)記為ap,q(p,q∈N*)，并從左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行的斜線，記第n條斜線上所有數(shù)字之和為Sn(【答案】2025；34【解】由題意，得ap,q=S1=S2=1，S3=歸納,可得Sn+2-所以S6=S5+S9=S8+課時作業(yè)知能提升【鞏固強化】1．(a+b)9A.106a7b2 B.96【答案】C【解】(a+b)9的展開式中第7項為C2．[2023年北京卷](2x-1xA.-80 B.-40【答案】D【解】展開式的通項為Tr+1=C5r(2x)5-r?(-13．在(3+2x)n的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則A.8 B.7 C.6 D.5【答案】C【解】因為只有一項二項式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù).故n2+1=4，解得n4．[2024年天津卷]在(3x3+xA.10 B.20 C.30 D.60【答案】B【解】通項為Tr+1=36-2rC6rx6(r-3)5．(x+2y)(A.30 B.10 C.-30 D.【答案】B【解】(x+2y)(x-y)5=令r=2，得所以x3y3的系數(shù)為C536．【多選題】已知(x+ax)n(a>A.展開式中各偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為512B.展開式中第5項和第6項的系數(shù)最大C.展開式中存在常數(shù)項D.展開式中含x4的項的系數(shù)為【答案】AD【解】由題意,知Cn2=C令x=1，得(1+對于A，展開式中各偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為12×210=512對于B，因為n=10，所以展開式中共有11項，中間項為第6項，該項的二項式系數(shù)最大，該項的系數(shù)也是其二項式系數(shù)，故B對于C，展開式的通項為Tr+1=C10rx10-r?x-對于D，令10-32r=4，得r=4.故展開式中含x4的項的系數(shù)為C107．(x2-2y-3)5的展開式中x4y項的系數(shù)為_____【答案】-540【解】展開式中含x4y的項為C52(x2)2?C8．（教材題改編）已知Cn0+2Cn1+22Cn2+2【答案】5【解】逆用二項式定理，得Cn0+2Cn1+29．（1）已知n∈N*，證明：(n（2）求0.9986的近似值.（精確到0.001【解】（1）證明：因為(n=n=n顯然nn-2+Cn1nn-3（2）0.998C(-0.002【綜合運用】10．已知(ax+1)(2x-1)A.1 B.-1 C.2 D.【答案】A【解】二項式(2x-1(ax+1)(2x(-1)=15×16a-3211．已知(1+x)n的展開式中第4項與第8A.212 B.211 C.2【答案】D【解】因為(1+x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，所以所以二項式(1+x)10中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為112．【多選題】已知(2x-A.aB.aC.aD.|【答案】CD【解】令x=1，得a0=-1，展開式的通項Tr令7-r=2，得r=5.所以a令x=0,得a0-a1由Tr+1，知a0,a2,a4,a6均為負(fù)數(shù)，a1,a3,a5,a7均為正數(shù).所以13．[2021年浙江卷]已知多項式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1【答案】5；10【解】a1即為展開式中x3的系數(shù)，所以a1=C30(-1)故填5；10.14．在二項式(3x（1）若第4項與第6項的系數(shù)比為5:6（2）若展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，求展開式中系數(shù)最大的項.【解】（1）展開式的通項為Tk+1=Cnk?(3x)由題意,得(2所以6Cn3=20Cn5，即n所以Tk+1=2kC6（2）由題意，知只有Cn4最大，所以設(shè)展開式中第(r+C8r?2所以展開式中系數(shù)最大的項為T6=C【拓廣探索】15．【多選題】若二項式(x-12)n展開式中所有項的系數(shù)之和為anA.aB.bC.對任意n∈N,nD.存在n∈N,n≥【答案】ABC【解】由題意，令x=1，可得an=(12)n.求所有項的系數(shù)絕對值之和，等價于求(x+12對于A，因為(12)n<(32)n對于B，bnan+anbn=3n+13n，因為3n≥3，且g(n對于C，D，h(n)=an所以ancn+bncn=(14)n+(3410.3隨機事件與概率課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢1.結(jié)合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關(guān)系.了解隨機事件的并、交與互斥的含義，能結(jié)合實例進行隨機事件的并、交運算.2.結(jié)合具體實例，理解古典概型，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率.3.通過實例，理解概率的性質(zhì)，掌握隨機事件概率的運算法則.4.結(jié)合具體事例，會用頻率估計概率.必備知識溫故知新【教材梳理】1.有限樣本空間與隨機事件概念定義樣本點把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點.一般用ω表示樣本空間全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，一般用Ω表示有限樣本空間Ω為有限集時的樣本空間稱為有限樣本空間隨機事件樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)事件A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.稱Ω為必然事件，?為不可能事件2.事件的關(guān)系和運算概念含義符號表示包含若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生B?A（或相等事件B包含事件A，事件A也包含事件BA=并事件（和事件）事件A與事件B至少有一個發(fā)生A∪B（或交事件（積事件）事件A與事件B同時發(fā)生A∩B（或互斥（互不相容）事件A與事件B不能同時發(fā)生A∩互為對立事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生A∪B3.古典概型（1）古典概型：我們將具有以下兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.有限性：樣本空間的樣本點只有有限個;等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.（2）古典概型的概率計算：一般地，試驗E是古典概型，樣本空間包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)=kn=n(A)n(Ω)4.概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1：對任意的事件A,都有P(A)≥性質(zhì)2：必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪推廣：如果事件A1,A2,?,A性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)=1-P(性質(zhì)5：如果A?B,那么P(特別地，對任意事件A,因為??A?Ω,性質(zhì)6：設(shè)A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪顯然，性質(zhì)3是性質(zhì)6的特殊情況.5.頻率與概率（1）頻率的穩(wěn)定性：一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定（2）用頻率估計概率：fn(A)=（3）隨機模擬：用計算器或計算機軟件產(chǎn)生隨機數(shù)模擬試驗，這類隨機數(shù)是依照確定的算法產(chǎn)生，具有周期性（周期很長），故稱為偽隨機數(shù).常用結(jié)論從集合的角度理解互斥事件和對立事件（1）幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集.（2）事件A的對立事件A所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集.自主評價牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”，錯誤的畫“×”.（1）事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.（）（2）兩個事件的和事件發(fā)生,是指這兩個事件至少有一個發(fā)生.（）（3）若A∪B是必然事件，則A與B是對立事件.（（4）P(A∪B（5）若A，B為互斥事件，則P(A)+P【答案】（1）×（2）√（3）×（4）×（5）×2．（教材題改編）一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是（）A.至少有一次中靶 B.兩次都中靶C.只有一次中靶 D.兩次都不中靶【答案】B【解】射擊兩次中“至多有一次中靶”，即“有一次中靶”或“兩次都不中靶”，與該事件不能同時發(fā)生的是“兩次都中靶”.故選B.3．【多選題】關(guān)于頻率和概率，下列說法正確的是（）A.某同學(xué)在罰球線投籃三次，命中兩次，則該同學(xué)每次投籃的命中率為2B.數(shù)學(xué)家皮爾遜曾經(jīng)做過兩次試驗，拋擲12000次硬幣，得到正面向上的頻率為0.5016；拋擲24000次硬幣，得到正面向上的頻率為0.5005.如果他拋擲36000次硬幣，正面向上的頻率可能大于0.5005C.某類種子發(fā)芽的概率為0.903，當(dāng)我們抽取2000粒種子試種，一定會有1806粒種子發(fā)芽D.將一個均勻的骰子拋擲6000次，則出現(xiàn)點數(shù)大于2的次數(shù)大約為4000【答案】BD【解】由頻率與概率的關(guān)系，知A,C錯誤，B,D正確.故選BD.4．[2022年全國乙卷]從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為______.【答案】310【解】甲、乙都入選的概率P=C31C核心考點精準(zhǔn)突破考點一隨機事件與樣本空間例1（1）袋子中有6個除顏色外無其他差異的球，其中紅球有2個，編號分別為1，2；白球有4個，編號分別為3,4,5,6.不放回地隨機摸出2個球.①寫出試驗的樣本空間；②記事件A為“摸出的2個球中有紅球”，求事件A發(fā)生的概率；③記事件M為“摸出的2個球全是白球”，事件N為“摸出的2個球的編號之和為偶數(shù)”，求P(M),P（2）【多選題】有甲、乙兩種報紙供市民訂閱，記事件E為“只訂甲報紙”，事件F為“至少訂一種報紙”，事件G為“至多訂一種報紙”，事件H為“不訂甲報紙”，事件I為“一種報紙也不訂”，則（）A.E與G是互斥事件B.F與I是互斥事件，且是對立事件C.F與G不是互斥事件D.H與I是互斥事件【點撥】①樣本空間指所有基本事件的集合，是全集的概念.②互斥未必對立，但對立一定互斥.③概率是頻率的穩(wěn)定值,當(dāng)試驗次數(shù)越來越多時,頻率一般越趨近于概率.【答案】（1）【解】①摸出編號為x,y的2個球的基本事件記為xy，則試驗的樣本空間Ω={②由①，知n(Ω)=15，事件所以P(③由①，知事件M={34,35,事件N={13,15,事件MN={35,46}（2）BC【解析】（2）【解】對于A，E與G有可能同時發(fā)生，不是互斥事件.故A錯誤.對于B，F(xiàn)與I不可能同時發(fā)生，且發(fā)生的概率之和為1，是互斥事件，且是對立事件.故B正確.對于C，F(xiàn)與G可以同時發(fā)生，不是互斥事件.故C正確.對于D，H與I也可以同時發(fā)生，不是互斥事件.故D錯誤.故選BC.變式1．（1）拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，事件A為“朝上的點數(shù)為2，4，6”，事件B為“朝上的點數(shù)為1，2，3，4”，事件C為“朝上的點數(shù)為2，5，6”，則（）A.B?A B.A與C.A與B互斥 D.(（2）【多選題】下列結(jié)論正確的是（）A.若A，B互為對立事件，P(AB.若事件A，B，C兩兩互斥，則事件A與B∪C.若事件A與B對立，則PD.若事件A與B互斥，則它們的對立事件也互斥（3）（教材題改編）在一次奧運會男子羽毛球單打比賽中，運動員甲和乙進入了決賽.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4.現(xiàn)利用計算機模擬試驗，估計比賽的結(jié)果:用計算機產(chǎn)生1～5之間的隨機數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)1，2，3時，表示一局比賽甲獲勝；當(dāng)出現(xiàn)4，5時，表示一局比賽乙獲勝.由于要比賽3局，所以每3個隨機數(shù)為一組，現(xiàn)產(chǎn)生20423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354若比賽結(jié)束后，獲勝次數(shù)多者為冠軍，則估計在本次比賽中甲獲得冠軍的概率是（）A.0.35 B.0.55 C.0.6 D.0.65【答案】（1）D（2）ABC（3）D【解析】（1）【解】事件A與B沒有包含關(guān)系，故A錯誤.事件AB={2,4}≠?，所以A與B既不互斥也不對立，故B，C錯誤.因為B∩C={2}，A={2,（2）【解】易知A,C正確.若事件A，B，C兩兩互斥，則事件A，B，C不能同時發(fā)生，則事件A與B∪C也不可能同時發(fā)生，則事件A與B∪C互斥，故B正確.若事件A，B互斥但不對立，則它們的對立事件不互斥，故D錯誤.（3）【解】表示甲獲得冠軍的數(shù)有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314共13組數(shù)，故估計該場比賽甲獲得冠軍的概率為1320=0.65.故選考點二概率的基本性質(zhì)例2某醫(yī)院要派醫(yī)生下鄉(xiāng)義診，派出醫(yī)生的人數(shù)及其概率如下表所示.人數(shù)012345人及以上概率0.10.160.30.20.20.04（1）求派出醫(yī)生至多2人的概率；（2）求派出醫(yī)生至少2人的概率.【解】（1）設(shè)事件A=“不派出醫(yī)生”，事件B=“派出1名醫(yī)生”，事件C=“派出2名醫(yī)生”，事件D=“派出3名醫(yī)生”，事件E=“派出4名醫(yī)生”，事件F=“派出5名或5名以上醫(yī)生”，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥.P(A)=0.1，“派出醫(yī)生至多2人”的概率為P(（2）（方法一）“派出醫(yī)生至少2人”的概率為P(（方法二）“派出醫(yī)生至少2人”的概率為1-【點撥】求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法.①直接法.②間接法（正難則反，特別是“至多”“至少”型問題，一般用間接法求解較簡單）.變式2．（1）【多選題】甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是12，甲獲勝的概率是15，則（A.甲不輸?shù)母怕适?5 B.乙不輸?shù)母怕适荂.乙獲勝的概率是310 D.乙輸?shù)母怕适牵?）【多選題】已知事件A，B，且P(A)=0.4,P(A.如果B?AB.如果B?AC.如果A與B相互獨立，那么PD.如果A與B相互獨立，那么P【答案】（1）BCD（2）AB【解析】（1）【解】由題意，知甲不輸?shù)母怕适?2+15=710，故A錯誤.乙不輸?shù)母怕适?-15=45，故B正確.乙獲勝的概率是1-15-12=（2）【解】由B?A，得P(AB)=P(B)=0.3，P(A∪B)=P(A)=0.4，故A,B正確.由A與B考點三古典概型例3有兩批種子，甲批種子15粒，能發(fā)芽的占80%，乙批種子10粒，能發(fā)芽的占70（1）若從甲批種子中任取兩粒，求兩粒都能發(fā)芽的概率；（2）若從乙批種子中任取兩粒，求至多一粒能發(fā)芽的概率；（3）若從甲、乙兩批種子中各任取一粒，求至少一粒能發(fā)芽的概率.【解】（1）由題意，得甲批種子有15×80%=12所以從甲批種子中任取兩粒，兩粒都能發(fā)芽的概率為C12（2）從乙批種子中任取兩粒，至多一粒能發(fā)芽的概率為C3另解：至多一粒能發(fā)芽的概率為1-（3）從甲、乙兩批種子中各取一粒，至少一粒能發(fā)芽的概率為1-【點撥】求古典概型的概率的關(guān)鍵,是求試驗樣本點的總數(shù)和事件A包含的樣本點的個數(shù)，這就需要正確列出樣本點，樣本點的表示方法有列舉法（列表法、樹狀圖法）以及排列、組合法.變式3．（1）從集合{3,4,6}中隨機取一個數(shù)記為a，從集合{0,1A.112 B.16 C.1（2）[2024年全國甲卷]某獨唱比賽的決賽階段共有甲、乙、丙、丁四人參加，每人出場一次，出場次序由隨機抽簽確定，則丙不是第一個出場，且甲或乙最后出場的概率是（）A.16 B.14 C.1（3）[2023年全國乙卷]某學(xué)校舉辦作文比賽,共6個主題,每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題準(zhǔn)備作文,則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的概率為（）A.56 B.23 C.1【答案】（1）B（2）C（3）A【解析】（1）【解】基本事件有n=3×4=12（個）．因為向量m=(a,b)與向量n=(1,-2)垂直，所以a=（2）【解】基本事件總數(shù)是A44=24.丙不是第一個出場，且甲或乙最后出場包含的基本事件有A21C21A2（3）【解】甲、乙兩位同學(xué)各抽取1個主題,結(jié)果有6×6=36（種），其中抽到的主題不同的結(jié)果有6×5=30（種）.所以所求概率為3036=56課時作業(yè)知能提升【鞏固強化】1．關(guān)于樣本點、樣本空間，下列說法錯誤的是（）A.樣本點是構(gòu)成樣本空間的元素B.樣本點是構(gòu)成隨機事件的元素C.隨機事件是樣本空間的子集D.隨機事件中樣本點的個數(shù)可能比樣本空間中的多【答案】D【解】因為隨機事件是樣本空間的子集，所以由子集的定義可知D錯誤.故選D.2．拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，記事件A為“向上的點數(shù)為1或4”，事件B為“向上的點數(shù)為奇數(shù)”,則（）A.A與B互斥 B.A與B對立C.P(A【答案】C【解】易知事件A與事件B能同時發(fā)生，故不互斥，也不對立.A+B包含的基本事件個數(shù)為4，而基本事件總數(shù)為6，所以P(A+3．某籃球運動員在最近幾次參加的比賽中,投籃情況如下表.投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)1005518記“該籃球運動員在一次投籃中，投中兩分球”為事件A，“投中三分球”為事件B，“沒投中”為事件C，用頻率估計概率的方法，得到的下述結(jié)論中，不正確的是（）A.P(AC.P(C【答案】D【解】P(B+C)=P(B)+P4．[2023年全國甲卷]某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名.從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（）A.16 B.13 C.1【答案】D【解】基本事件總數(shù)n=C42=6.這2名學(xué)生來自不同年級包含的基本事件個數(shù)m=C5．有5個形狀大小相同的球，其中3個紅球、2個藍球，從中一次性隨機取2個球，則下列說法正確的是（）A.“恰好取到1個紅球”與“至少取到1個藍球”是互斥事件B.“恰好沒取到紅球”與“至多取到1個藍球”是互斥事件但不對立事件C.“至少取到1個紅球”的概率大于“至少取到1個藍球”的概率D.“同時取到兩個紅球”的概率為310，即重復(fù)進行10次這樣的取球試驗，一定會有3【答案】C【解】易知A,B,D錯誤.對于C，“至少取到1個紅球”的概率P1=C32+C31C21C52=0.9，6．【多選題】一個袋子中裝有除顏色外無其他差異的4個球，其中有2個紅球（標(biāo)號為1和2），2個綠球（標(biāo)號為3和4）.從袋子中不放回地依次隨機摸出2個球，每次摸出1個球.設(shè)事件R1=“第一次摸出紅球”，R=“兩次都摸出紅球”，G=“兩次都摸出綠球”，M=“兩球顏色相同”，N=A.R1?R B.R∩【答案】BCD【解】由題意，知R?R1，R與G互斥，即R∩G=?.R∪G=M.M與N對立，即M7．【多選題】設(shè)A，B為兩個互斥事件，且P(A)>0,A.P(ABC.P(A【答案】ACD【解】因為事件A，B為兩個互斥事件，所以A∩B=?.所以P(AB)=因為事件A，B為兩個互斥事件，所以A?B.所以P(AB)=P(A∪B)=1P(A∪B)=P(A)+P8．已知a是2,3,4,5,6,7,8,9的第70百分位數(shù)，在2,3,4,5,6,7,8,9中隨機取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)一個比a大，另一個比a小的概率為______.【答案】514【解】8×70%=5.6，所以第70百分位數(shù)為第6個數(shù)，即7.隨機取兩個不同的數(shù)共有C82種結(jié)果.一個小于7、一個大于7,共有C51C29．某保險公司用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下.賠付金額/元01000200030004000車輛數(shù)/輛500130100150120（1）若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；（2）在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000【解】（1）設(shè)事件A表示“賠付金額為3000元”，事件B表示“賠付金額為4000元”.以頻率估計概率，得P(A)=1501000=0.15，P(B)=1201000=0.12.（2）設(shè)事件C表示“投保車輛中新司機獲賠4000元”.由已知，樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1000=100（輛）.而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機的有0.2×120=24（輛）,所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000【綜合運用】10．[2022年全國甲卷]從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）A.15 B.13 C.2【答案】C【解】從6張卡片中無放回抽取2張，共有C62=15（種）情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有(1,4),(2,4),(2,6),(11．[2022年新課標(biāo)Ⅰ卷]從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（）A.16 B.13 C.1【答案】D【解】從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有C72=21（種）不同的取法.若兩數(shù)不互質(zhì)，則不同的取法有(2,4),(2,6),(2,8),(3,12．【多選題】小張上班開車從家到公司有兩條線路，所需時間（單位：min）隨交通堵塞狀況有所變化，其概率分布如下表所示.所需時間/min30405060線路一0.50.20.20.1線路二0.30.50.10.1下列說法正確的是（）A.任選一條線路，“所需時間小于50min”與“所需時間為60minB.線路一所需的平均時間比線路二少C.若要求用不超過40minD.若小張上、下班走不同線路，不同線路所需時間相互獨立，則所需時間之和大于100min的概率為【答案】BD【解】“所需時間小于50min”與“所需時間為60min”是互斥但不對立事件，故A線路一所需的平均時間為30×0.5+40×0.2+50×0.2+線路一所需時間不超過40min的概率為0.7，線路二所需時間不超過40min的概率為0.8，故小張應(yīng)選線路二，故C所需時間之和大于100min，則線路一、線路二的時間可以為(50,60)，(60,50)和(60,60)三種情況13．[2022年全國甲卷]從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為______.【答案】635【解】從正方體的8個頂點中任取4個，有n=C84=70（個）結(jié)果，這4個點在同一個平面有m=6+6=1214．某盒中裝有產(chǎn)品10個，其中有7個正品，3個次品.（1）從中不放回地依次抽取3個產(chǎn)品，求取到的次品數(shù)比正品數(shù)多的概率；（2）從中任取一個產(chǎn)品，若取出的是次品，則不放回，再取一個產(chǎn)品，直到取得正品為止，求在取得正品之前已取出的次品數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解】（1）取到3個次品的概率P1=C33C103=1120（2）由題意,可得X的所有可能取值為0，1，2，3.P(X=P(X=X的分布列為X0123P71073071201120故E(【拓廣探索】15．[2024年全國甲卷]有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回地隨機抽取3次，每次取1個球.記m為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，n為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則m與n之差的絕對值不大于12的概率是______【答案】715【解】從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有A63=120（設(shè)前兩個球的號碼為a，b，第三個球的號碼為c，則|a+b+c3-當(dāng)c=1時，a+b≤5，則(a,b)當(dāng)c=2時，1≤a+b≤7，則(a,b)為(1,3)，(1,4)，當(dāng)c=3時，3≤a+b≤9，則(a,b)為(1,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，當(dāng)c=4時，5≤a+b≤當(dāng)c=5時，7≤a+b≤當(dāng)c=6時，9≤a+b≤故|m-n|≤12時，故所求概率為56120=715.10.4事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢1.結(jié)合有限樣本空間，了解兩個隨機事件獨立性的含義.結(jié)合古典概型，利用獨立性計算概率.2.結(jié)合古典概型，了解條件概率，能計算簡單隨機事件的條件概率.3.結(jié)合古典概型，了解條件概率與獨立性的關(guān)系.4.結(jié)合古典概型，會利用乘法公式和全概率公式計算概率.必備知識溫故知新【教材梳理】1.事件的相互獨立性（1）兩個事件相互獨立的定義：對任意兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立（2）相互獨立的性質(zhì)：如果事件A與B相互獨立，那么A與B，A與B，A與B也都相互獨立.2.條件概率（1）條件概率.①定義：一般地，設(shè)A,B為兩個隨機事件，且P(A)>0,我們稱P(B|A)=P(AB②概率的乘法公式：由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B，若P(A)>0,則（2）條件概率的性質(zhì)：設(shè)P(①P②如果B和C是兩個互斥事件，則P((B∪③設(shè)B和B互為對立事件，則P(B|3.全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，?，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪?∪An=Ω，且P(Ai)>0常用結(jié)論1.如果事件A1,A2,?,An相互獨立，那么這n2.P(B|A)=n(AB)n3.全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復(fù)雜事件A的概率的求解問題，轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題．可借助下圖來理解．自主評價牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.（1）對于任意兩個事件，公式P(AB)=P(（2）P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，P(AB)表示事件（3）若事件A，B相互獨立，且P(A)>0,則P（4）拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)“第1枚正面朝上”為事件A，“第2枚正面朝上”為事件B，則A，B相互獨立.（）（5）若事件A1與A2是對立事件，且P(A1)>0,P(A2【答案】（1）×（2）√（3）√（4）√（5）√2．（教材題改編）甲、乙兩人獨立地破解同一個謎題，破解出謎題的概率分別為12，23，則謎題沒被破解出的概率為（A.16 B.13 C.【答案】A【解】12×13=16，3．（教材題改編）袋子中有10個除顏色外無其他差異的小球，其中7個是白球、3個是黑球.每次從袋子中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的條件下，第2次摸到白球的概率為______.【答案】23【解】在第1次摸到白球的條件下，袋子里還剩6個白球、3個黑球，共9個球，所以第2次摸到白球的概率為69=23.4．（教材題改編）某社區(qū)有智能食堂A，人工食堂B，居民甲第一天隨機選擇一個食堂用餐.如果第一天去食堂A，那么第二天去食堂A的概率為0.6；如果第一天去食堂B，那么第二天去食堂A的概率為0.5.那么居民甲第二天去食堂A用餐的概率為__.【答案】0.55【解】由題意，得居民甲第二天去食堂A用餐的概率P=0.5×核心考點精準(zhǔn)突破考點一相互獨立事件的概率例1（1）[2021年新課標(biāo)Ⅰ卷]有6個相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取兩次,每次取1個球,甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則（）A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立（2）以人工智能、量子信息等顛覆性技術(shù)為引領(lǐng)的前沿趨勢，將重塑世界工程的發(fā)展模式，對人類生產(chǎn)力的創(chuàng)新提升意義重大.某公司抓住機遇，成立了甲、乙、丙三個科研小組針對某技術(shù)難題同時進行科研攻關(guān)，攻克技術(shù)難題的小組會受到獎勵.已知甲、乙、丙三個小組攻克該技術(shù)難題的概率分別為12,12,23，且三個小組各自獨立進行科研攻關(guān)①甲、乙、丙三個小組均受到獎勵的概率;②只有甲小組受到獎勵的概率;③受到獎勵的小組數(shù)是2的概率.【點撥】判斷事件相互獨立，一般用定義判斷.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的主要方法：①利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解；②正面計算較繁（如求用“至少”表達的事件的概率）或難以入手時，可從其對立事件入手計算.【答案】（1）B（2）【解】設(shè)甲、乙、丙三個小組攻克該技術(shù)難題分別為事件A，B，C，即P(A)=12,P(B)=12①甲、乙、丙三個小組均受到獎勵的概率為P(②只有甲小組受到獎勵的概率為P(③設(shè)受到獎勵的小組數(shù)為X，則P(所以受到獎勵的小組數(shù)是2的概率為512【解析】（1）【解】P（甲）=16,P（乙）=16,P（丙）=536,P（?。?16.因為P（甲丙）=0≠P（甲）P（丙）,所以甲與丙不獨立,故A錯誤.P（甲?。?136=P（甲）P（?。?所以甲與丁相互獨立,故B正確.P（乙丙）=136≠P（乙）P（丙）,所以乙與丙不獨立,故C錯誤.P（丙丁）=變式1．（1）【多選題】一個裝有6個小球的口袋中，有編號為1，3的兩個紅球，編號為2，4的兩個藍球，編號為5，6的兩個黑球．現(xiàn)從中任意取出兩個球，設(shè)事件A=“取出的兩球顏色相同”，B=“取出的兩球編號之差的絕對值為1”，C=“取出的兩球編號之和為6或7”，D=“取出的兩球編號乘積為5A.事件A與事件B相互獨立 B.事件A與事件C相互獨立C.事件B與事件C相互獨立 D.事件B與事件D互斥（2）【多選題】甲、乙兩隊進行排球比賽，采取五局三勝制（當(dāng)一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，比賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績,可知在每一局比賽中，甲隊獲勝的概率為23，乙隊獲勝的概率為13.若前兩局中乙隊以2:A.甲隊獲勝的概率為827 B.乙隊以3:C.乙隊以3:1獲勝的概率為29 D.乙隊以【答案】（1）ABD（2）ABC【解析】（1）【解】樣本空間Ω={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，n(Ω)=15.事件A={(1,3)，(2,4)，(5,6)}，所以P(A)=315=15.事件B={(1,2)，(2,3)，（2）【解】對于A，在乙隊以2:0領(lǐng)先的前提下，若甲隊獲勝，則第三、四、五局均為甲隊取勝.所以甲隊獲勝的概率為P1=(23)3=827，故A正確.對于B，乙隊以3:0獲勝，即第三局乙隊獲勝，概率為13，故B正確.對于C，乙隊以3:1獲勝，即第三局甲隊獲勝，第四局乙隊獲勝，概率為23×13=29，故C正確.對于D，若乙隊以3:考點二條件概率例2從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A為“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B為“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)=_____【解】（方法一）P(A)=C3（方法二）事件A包含的樣本點有(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)，共4個.【答案】14【點撥】解決條件概率問題的步驟：第一步，判斷是否為條件概率;第二步，利用公式P(A|B變式2．（1）[2023年全國甲卷]某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰，50%的同學(xué)愛好滑雪，70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4（2）[2024年天津卷]某校組織學(xué)生參加農(nóng)業(yè)實踐活動，期間安排了勞動技能比賽，比賽共5個項目，分別為整地作畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個項目.假設(shè)每人參加每個項目的可能性相同，則甲同學(xué)參加“整地作畦”項目的概率為______；已知乙同學(xué)參加的3個項目中有“整地作畦”，則他還參加“田間灌溉”項目的概率為______.（3）【多選題】設(shè)A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，且P(A)=13,PA.P(AC.P(B【答案】（1）A（2）35；（3）ACD【解析】（1）【解】同時愛好兩項的概率為0.5+0.6-0.7=0.4.記“該同學(xué)愛好滑雪”為事件A,“該同學(xué)愛好滑冰”為事件B，則P(A)=0.5（2）【解】將這5個項目分別編號為A,B,C,D,E.設(shè)“甲（乙）參加項目A”為事件M，“乙參加項目D”為事件N，則甲參加項目A的概率為P(M)=C42C53=（3）【解】對于A，P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=13+15-715=115,故A正確.對于B，P(AB)=P(A)-P(AB)=13-115=4考點三全概率公式例3（1）[2024年上海卷]某校舉辦科學(xué)競技比賽，有A，B，C3種題庫，A題庫有5000道題，B題庫有4000道題，C題庫有3000道題．小申已完成所有題，他A題庫的正確率是0.92，B題庫的正確率是0.86，C題庫的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機選一題，正確率是__（2）為了解學(xué)生對高中數(shù)學(xué)知識的掌握程度，老師準(zhǔn)備了甲、乙兩個不透明紙箱.甲箱中有2道概念敘述題、2道計算題；乙箱中有2道概念敘述題、3道計算題（所有題目均不相同）.現(xiàn)有A，B兩個同學(xué)來抽題回答.每個同學(xué)在甲或乙紙箱中依次隨機抽取2道題，然后先選擇其中1道題作答，答完后題目不放回，再作答剩下的題（不在題目上作答）.2道題均答題結(jié)束后，再將這2道題目放回原紙箱.①如果A同學(xué)從甲箱中抽取2道題，求第二題抽到的是概念敘述題的概率.②如果A同學(xué)從甲箱中抽取2道題，解答完后，誤把題目放到了乙箱中.B同學(xué)接著抽取題目回答，若他從乙箱中抽取2道題目，求第一題抽到概念敘述題的概率.【點撥】利用全概率公式解題的思路如下.①按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個復(fù)雜事件分解為若干個互斥事件Ai(i=1,2,?,n).②求P【答案】（1）0.85（2）【解】①設(shè)事件Ai表示“第i次從甲箱中抽到概念敘述題”，i=P(A1)=1所以第二題抽到的是概念敘述題的概率P(②設(shè)事件B1表示“A同學(xué)從甲箱中取出的2道題都是概念敘述題”，事件B2表示“A同學(xué)從甲箱中取出的2道題都是計算題”，事件B3表示“A同學(xué)從甲箱中取出1道概念敘述題和1道計算題”，事件C表示“B同學(xué)從乙箱中抽取2道題目，第一題抽到概念敘述題P(B1)=CP(C|B1所以P(【解析】（1）【解】由題意，知A,B,C題庫的比例為5:4:3，占比分別為512,13,14.根據(jù)全概率公式變式3．（1）（教材題改編）在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知當(dāng)發(fā)送信號0時，被接收為