專題02平行線的判定（六大題型）

題型歸納

【題型1平面內(nèi)兩直線的位置關系】

【題型2用直尺、三角板畫平行】

【題型3平行線公理及推論】

【題型4平行線判定-同位角相等，兩直線平行】

【題型5平行線判定-內(nèi)錯角相等，兩直線平行】

【題型6平行線判定-同旁內(nèi)角互補，兩直線平行】

部題型專練

【題型1平面內(nèi)兩直線的位置關系】

1.如圖，同一平面內(nèi)，直線加和直線”的位置關系是（）

m-------------------

A.相交B.垂直C.平行D.重合

【答案】A

【分析】本題考查了同一平面內(nèi)兩條直線的位置關系，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

將直線加，〃分別延長之后，會交于一點，即可判斷.

【詳解】解：由圖可得：同一平面內(nèi)，直線機和直線〃的位置關系是相交，

故選：A.

2.下面說法中正確的個數(shù)為（）

①過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；

②過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；

③兩條直線沒有公共點就平行；

④同一平面內(nèi)不平行的兩條直線一定相交.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題考查了平行線公理，垂線的性質(zhì)，兩條直線的位置關系，根據(jù)平行線公理、

垂線的性質(zhì)及兩條直線的位置關系逐一判斷即可求解，掌握平行線公理、垂線的性質(zhì)及

兩條直線的位置是解題的關鍵.

【詳解】解：①過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，該說法正確，符合題

思；

②在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，原說法錯誤，不合題意；

③在同一平面內(nèi)，兩條直線沒有公共點就平行，原說法錯誤，不合題意；

④同一平面內(nèi)不平行的兩條直線一定相交，該說法正確，符合題意；

???說法正確的有2個，

故選：B.

3.如圖，四條線段a,b,c,d中的一條與擋板另一側(cè)的線段加平行，請借助直尺，判斷該

線段是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線，叫做平行線，即可判斷,

本題考查了平行的定義，解題的關鍵是：熟練掌握平行線的定義.

【詳解】解：用直尺分別作a,b,c,d,巾的延長線，

其中只有c的延長線不與ni相交,

故選：C.

4.如圖，若將一張長方形紙片沿圖示方向?qū)φ蹆纱危瑒t產(chǎn)生的折痕與折痕間的位置關系是

)

A.平行B.垂直C.平行或垂直D.相交但不垂直

【答案】A

【分析】本題考查平行線的知識，解題的關鍵是掌握平行線的性質(zhì)，即可.

【詳解】???長方形對折兩次，產(chǎn)生的折痕與折痕間的位置如下

1]1

111

111

111

___1____1___1___

產(chǎn)生的折痕與折痕間的位置關系是平行，

故先：A.

【題型2用直尺、三角板畫平行】

5.如圖，已知N82C,過點B畫BEII4C,畫NB4C的平分線4尸，AF,BE交于點D,量一量乙4nB

的度數(shù)，約為（）

/

AL--------C

A.30°B.34°C.38°D.42°

【答案】B

【分析】本題考查作平行線，角平分線，根據(jù)題意作出圖形,再利用量角器即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意作圖如下：

B/E

A^—......C

再利用量角器量一量乙的度數(shù)，約為34。，

故選：B.

6.(1)過點4畫直線的平行線;

(2)過點5畫直線的垂線.

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【分析】本題考查了畫過一點畫已知直線的平行線和垂線，掌握作圖方法是解題關鍵.

(1)過點/畫直線的平行線即可；

(2)過點3畫直線的垂線即可.

【詳解】解：(1)如圖，直線4M即為所求；

(2)如圖，直線BN即為所求.

7.如圖，M是直線48外一點，過點M的直線MN與48交于點N,過點M畫直線CD,使得CD||

AB.

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了畫平行線，用直尺和三角形板結(jié)合畫平行線的方法作圖即可.

【詳解】解：如圖所示，直線CD即為所求.

8.如圖，NAOB內(nèi)部有一點P,過點P畫PCII0B交。4于點C,畫PD104交。4于點D.

【答案】畫圖見解析

【分析】本題考查了作垂線和過直線外一點作平行線，掌握基本畫圖方法是解答本題的

關鍵.按照要求過點P畫PCIIOB交。a于點c,畫PD1。4交0a于點。即可.

【詳解】解：如圖，PC,PD即為所求，

【題型3平行線公理及推論】

9.已知a||b,c||d,若由此得出6||d,則直線0和c應滿足的位置關系是（）

A.在同一個平面內(nèi)B.不相交C.平行或重合

D.不在同一平面內(nèi)

【答案】C

【分析】根據(jù)“平行線的傳遞性”即可求解.

【詳解】解：①若allc,

a\\b,c\\d,

a\\b\\c\\d,

可得blld；

②若直線。和c重合，

則由a||6,c||d得：a\\b,a\\d,

可得b||d,

綜上：直線。和c平行或重合，

故選：C.

【點睛】本題考查"平行線的傳遞性熟記相關結(jié)論是解題關鍵.

10.下列說法正確的有（）

①任意兩條直線的位置關系不是相交就是平行;

②過一點有且只有一條直線和已知直線平行；

③若直線al也b\\c,則c||a.

A.①②B.③C.①②③D.②

【答案】B

【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)，任意兩條直線的位置關系是相交、平行；過直線外一點有且

只有一條直線和已知直線平行；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也

互相平行進行分析即可.

【詳解】解：①任意兩條直線的位置關系不是相交就是平行，說法錯誤，應為根據(jù)同一

平面內(nèi)，任意兩條直線的位置關系不是相交就是平行；

②過一點有且只有一條直線和已知直線平行，說法錯誤，應為過直線外一點有且只有一

條直線和已知直線平行；

③若直線almbile,則c||a,說法正確;

綜上分析可知，正確的有③，故B正確.

故選：B.

【點睛】此題主要考查了平行線，關鍵是掌握平行公理：過直線外一點有且只有一條直

線和已知直線平行；推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相

平行.

11.在同一平面內(nèi)，已知直線a及直線外一點M,過點M作3條直線，則這3條直線中與。

平行的直線最多有（）

A.0條B.1條C.2條D.3條

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可知：過直線外一點可以畫一條已知直線的平行線；據(jù)此解

答.

【詳解】解：在同一平面內(nèi)，過直線外一點，能作一條直線與已知直線平行，

所以這3條直線中與a平行的直線最多有1條，

故答案為：一.

【點睛】此題考查了平行線的含義和性質(zhì)，應注意基礎知識的識記和理解.

12.如圖是一個可折疊的衣架，2B是地平線，當41=42時，PMWAB；43=44時，PN\\

AB,就可確定點N、P、M在同一條直線上的依據(jù)是

【答案】過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行

【分析】本題考查平行線的判定，平行公理，根據(jù)平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只

有一條直線與已知直線平行進行判斷即可，掌握經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與

已知直線平行是解題關鍵.

【詳解】解：?.Z1=N2,

.-.PM||AB,

,??z3=z.4,

.-.PN\\AB,

???過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，

:點N,P,河在同一條直線上，

故答案為：過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.

13.已知直線EF及其外一點8,過8點作4BIIEF,過8點作BC||EF,點/,C分別為直線

AB,BC上任意一點，那么B,C三點一定在同一條直線上，依據(jù)是.

【答案】過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行

【分析】本題考查了平行公理及推論，牢記"過直線外一點，有且只有一條直線與已知

直線平行"是解題的關鍵.由“8為直線EF外的一點，且ZBIIEF,BC||EF",利用"過直線

外一點，有且只有一條直線與已知直線平行”，即可得出4B,C三點一定在同一條直

線上.

【詳解】解：???點B為直線EF外的一點，且4BIIEF,BCIIEF,（已知）

??.4B,C三點一定在同一條直線上.（過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線

平行）

故答案為：過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行

【題型4平行線判定-同位角相等，兩直線平行】

14.如圖，直線4B,CD被直線EF所截，41=55。，下列條件中能判定48||CD的是（）

A.Z2=35°B.Z2=45°C.Z2=55°D.Z2=125°

【答案】C

【分析】本題考查平行線的判定，根據(jù)平行線的判定定理求解即可.根據(jù)同位角相等,

兩直線平行求解即可.

【詳解】解：如圖，

■.-Z.1=55°,

.?23=55°,

.?.當N2=Z3=55°時，AB||CD.

故選C.

15.如圖所示，己知41=42,試說明AB與CD的位置關系.

解：ABWCD.

理由：因為N1=42(),

并且N2=z3(),

所以zl=(),

所以力BIICD().

【答案】已知；對頂角相等；N3；等量代換；同位角相等，兩直線平行

【分析】本題主要考查了平行線的判定，對頂角相等，解題的關鍵是熟練掌握平行線的

判定方法，根據(jù)平行線的判定和對頂角性質(zhì)進行解答即可.

【詳解】解：ABWCD.

理由：因為N1=N2（已知），

又因為N2=N3（對頂角相等），

所以N1=N3（等量代換），

所以2BIICD（同位角相等，兩直線平行）.

16.如圖，在直線AB上有C,。兩點，過點C作CE1CF,過點。作DG1已知

乙BCF=4BDH,求證：CEWDG.

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了平行線的判定，解題的關鍵是熟練掌握平行線的判定方法，先

證明=根據(jù)同位角相等，兩直線平行，說明CEIIDG即可.

【詳解】證明:1??CE1CF.DG1DH,

：.乙FCE=4HDG,

又?：乙BCF=4BDH,

???乙BCF—4FCE=/-BDH-/.HDG,

即NECD=NGDB,

???CE||DG.

17.如圖所示，直線AB,CD相交于點。，。。平分NEOB,OF平分NAOE,GH1CD,垂足

為H,GH與F0平行嗎？說明理由.

【答案】GHWFO,理由見解析

【分析】本題考查了角平分線，平行線的判定.解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈

活運用.

由。。平分NEOB,OF平分NAOE,可得NEOD=NEOB,AEOF=^AOE,由

NAOE+NEOB=180?？傻肗E。。+NEOF=90°,即FO1CD,由GH1CD可得G”||FO.

【詳解】解:GHWFO,理由如下：

???。。平分NEOB,OF平分NAOE,

i1

:/EOD=2EOB,乙EOF=jzXOF,

■：/.AOE+乙EOB=180°,

+NEOF=90。，即NDOF=90。，

GHLCD,

■.AGHD=90°,

:ZDOF=乙GHD

■.GHWFO.

18.如圖，點4在射線DE上，點C在射線BF上，Z-B+^BAD=180°,Z1=Z2.求證：AB\\

CD.（要求每步寫出推理依據(jù)）

【答案】見解析

【分析】此題考查的是平行線的判定方法，關鍵是熟悉同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯

角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.根據(jù)同角的補角相等，以及等量關

系，結(jié)合同位角相等，兩直線平行即可求解.

【詳解】證明：???AB+NB2D=180。（已知），

zl+Z-BAD=180°（平角定義），

.??41=48（同角的補角相等）,

,?1Z.1=Z2（已知），

；.N2=NB（等量代換）.

.■.ABWCD（同位角相等，兩條直線平行）.

【題型5平行線判定-內(nèi)錯角相等，兩直線平行】

19.如圖所示，己知乙4ED=62。，N2=31。，EF平分N4ED,可以判斷BD||EF嗎？為什

么？

【答案】BD||EF,理由見解析

【分析】本題主要考查了平行線的判定方法，也考查了角平分線定義.先由角平分線定

義得出41=31。，那么41=42=31。，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可證明

BD||EF.

【詳解】解：可以判斷BDIIEF,理由如下：

?.2ED=62。，EF平分N2ED,

??.zl=|zXF￡>=31°.

??-Z2=31°,

/.Zl=Z2,

'.BD||EF.

20.如圖，8。14。于點。，4EBC+乙4CD=90。，求證：BE||CD

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了平行線的判定，垂線的定義，先由垂線的定義得到

ABCD+^DCA=90°,再由已知條件推出NEBC=NBCD,據(jù)此可證明BE||CD.

【詳解】證明："BC1AC,

:.乙BCD+ADCA=90°,

■■■/.EBC+Z.ACD=90°,

Z.EBC=/.BCD,

..BE||CD.

21.如圖，已知4?EB=100。，ABAC=80°.判斷DF與4C的位置關系，并證明.

DA

【答案】DFWAC,證明見解析

【分析】本題考查平行線的判定，先求出NDE4根據(jù)內(nèi)錯角相等、兩直線平行，可證

DFWAC.

【詳解】解：DFWAC,證明如下：

???^LDEB=100°,

???^DEA=18O°-ZDEB=180°-100°=80°,

???Z^C=80°,

???Z-DEA=Z.BAC,

???DFWAC.

22.如圖，已知EM平分乙4EF,FN平分乙EFD,Zl=z2,試說明：ABIICD.

【答案】見解析

【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的判定，掌握內(nèi)錯角相等，兩直線平行是

解題關鍵.由角平分線的性質(zhì)，得到“EF=2乙1,乙EFD=2/2,進而得出4EF=4EFD,

即可證明平行.

【詳解】證明：平分乙4EF,FN平分NEFD,

Z-AEF=2zl,Z.EFD=2Z.2,

???zl=z2,

???Z-AEF=Z-EFD,

???ABWCD.

23.證明填空題

如圖，---AC1AB,BD1AB(已知),

；ZC4B=90。，z_=90°(垂直定義),

.■.Z.CAB=z._(),

.:乙CAE=LDBF(已知)，

:./-BAE=Z_,

II_().

【答案】ABD-,ABD-等量代換；ABF-AE-BF；內(nèi)錯角相等，兩直線平行

【分析】本題考查了垂直、平行線的判定等知識，熟練掌握平行線的判定是解題關

鍵.先根據(jù)垂直的定義可得乙乙48=乙48。=90。，從而可得NB4E=N2BF,再根據(jù)平

行線的判定即可得證.

【詳解】證明：如圖，-.-ACLAB,BD1AB（已知），

.?ZCAB=90。，AABD=90°（垂直定義），

=/.ABD（等量代換），

.；4CAE=4DBF（已知），

■?■/-BAE=/.ABF,

■■AE||BF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

故答案為：ABD-,ABD；等量代換；ABF-,AE；BF；內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

【題型6平行線判定-同旁內(nèi)角互補，兩直線平行】

24.完成下面的證明.

己知：如圖，Zl+Z2=180°,Z3+Z4=180°.

求證：ABWEF.

■■.ABWEF().

【答案】AB-,CD-,同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；EF；CD；同平行于一條直線的兩條

直線互相平行

【分析】本題考查平行線的判定，熟記并靈活運用這兩條定理是解本題的關鍵.

先由41+42=180。,得到A8||CD,再由N3+N4=180。，得到CD||EF,最后得到

AB||EF.

【詳解】證明：???Nl+N2=180。，

AB||CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）.

乙3+N4=180°,

???EF||CD.

.■.ABWEF（同平行于一條直線的兩條直線互相平行）.

25.如圖，直線4B、EF被直線BD所截，EF與BD交于點C,CG平分NDCF,ZB=50°,

ZDCG=65°,試說明：ABWEF.

【答案】見解析

【分析】此題考查了平行線的判定.根據(jù)角平分線定義及對頂角性質(zhì)

ABCE=ADCF=130°,則NB+NBCE=180。，再根據(jù)“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”即

可得解.

【詳解】證明：rCG平分ADCF,NDCG=65°,

???4DCF=2乙DCG=130°,

；.LBCE=乙DCF=130°,

乙B=50°,

??.NB+NBCE=180。，

：.ABWEF.

26.已知BE,CE分另平分"BC,乙BCD,且N1與N2互余，試說明4B||CD.

【答案】證明見解析.

【分析】本題考查的是角平分線的定義，平行線的判定，掌握平行線的判定方法是解本

題的關鍵；先證明乙4BE=N1,乙DCE=乙2,結(jié)合41+42=90。，可得

^ABC+乙DCB=180°,從而可得結(jié)論.

【詳解】證明：--BE,CE分另I］平分NABC,乙BCD

.,.Z-ABE=zl,Z-DCE=z2,

?21與42互余，

.'.zl+Z2=90°,

.-.AABC+乙DCB=AABE+zl+乙DCE+42=2zl+2z2=180°,

：.AB\\CD.

27.如圖，已知N1=N2,N3+N4=180。，試探究AB與EF的位置關系，并說明理由.

【答案】48||EF,理由見解析

【分析】本題主要考查了平行線的判定，先根據(jù)同位角相等，兩直線平行，同旁內(nèi)角互

補，兩直線平行得到48||CD,CD||EF,再根據(jù)平行于同一直線的兩直線平行可得

AB||EF.

【詳解】解:AB||EF,理由如下：

?.21=42,z3+Z4=180°,

.-.AB||CD,CD||EF,

：.AB||EF.

28.如圖，點。為直線ZB上一點，。尸1OE,乙DOE=55。，OF平分乙4。。，ZD=110°.證

明：CDII4B.

D

c■E

【答案】見解析

【分析】本題考查了平行線的判定定理，角平分線與垂直的定義，熟練掌握平行線的判

定定理是解題的關鍵.

利用角平分線的定義與垂直的定義求出=70。，從而得出乙4。。+/。=180。，即

可由平行線的判定定理得出結(jié)論.

【詳解】證明：-??OFLOE,

??2FOE=90°,

■：/-DOE=55°,

.-.ZDOF=35°,

?.?。尸平分41。。，

-.^AOD=4DOF=2x35°=70°,

：.^AOD+ND=70°+110°=180°,

：.CD\\AB.

29.如圖，臺球運動中母球尸擊中桌邊的點N,經(jīng)桌邊反彈后擊中相鄰的另一桌邊的點8,

再次反彈經(jīng)過點C（提示：/-PAD=ABAE,4ABE=MBF）.

⑴若NPHD=32。，求NP4B的度數(shù)；

(2)已知NB4E+N4BE=90。，母球P經(jīng)過的路線BC與P4一定平行嗎？請說明理由.

【答案】⑴116。

(2)平行，見解析

【分析】(1)由平角定義，知乙巴4。+NPZ8+NB4E=180°,結(jié)合已知條件計算求解;

(2)由平角為180°可求得NP4B=180°-2NB4E,ZXBC=180°-2ZX5E,由直角三角

形性質(zhì)，^/.BAE+LAB