2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之立體幾何初步（2025年4月）

選擇題（共8小題）

1.（2025?昌黎縣校級模擬）設(shè)根，w是兩條直線，a,P是兩個平面，已知MI〃W,”〃a,則“相_1_0”是

“卬”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

_1

2.（2025?臨汾二模）已知圓錐的底面半徑為迎，其側(cè)面展開圖為一個圓，則該圓錐的母線長為（）

4

A.4B.2V2C.4V2D.8企

3.（2025春?思明區(qū)校級月考）若圓錐的軸截面是一個頂角為答，腰長為3的等腰三角形，則過此圓錐頂

點(diǎn)的所有截面中，截面面積的最大值為（）

9gL9L

A.—B.2V3C.-D.3V3

42

4.（2025?晉中模擬）已知棱長為舊的正方體ABCD-AIBICLDI的中心為O,若球。的球面與該正方體的

棱有公共點(diǎn)，則球。的表面積的取值范圍是（）

A.[3it,6TT]B.[3K,9TT]C.[6n,9n]D.[6m12n]

5.（2025?邯鄲一模）在正三棱柱ABC-ALBICI中，AB=2,則“A4i=2”是“異面直線ACi與48所成

角的余弦值是工”的（）

4

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

6.（2025?昌黎縣校級模擬）已知/，山，〃為三條不同的直線，a,0,丫為三個不同的平面，若

aCy=/,PAy=m,n//y,則（）

A./與"相交B.相與”相交C./與加平行D.°與0相交

7T

7.（2025?承德模擬）己知圓臺的上、下底面半徑分別為2和4,母線與底面所成的角為三，則圓臺的外接

球的表面積為（）

A.16TTB.327rC.48TTD.64n

8.（2025?金鳳區(qū)校級一模）己知正三棱錐P-4BC的體積為匕，AB=g則該三棱錐外接球的表面積

4

為（）

77r971

A.7TIB.—C.9ITD.—

22

二.多選題（共4小題）

（多選）9.（2025?海南模擬）如圖，透明塑料制成的長方體容器ABC。-A131C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，已知

BC=8,CD=3W,=8/，當(dāng)?shù)酌鍭BCZ）水平放置時，水面位置滿足BF：FBi=l：3,容器內(nèi)有

水部分的幾何體體積是V,下列命題正確的是（）

A.固定容器底面一邊BC于地面上，將容器傾斜，有水的部分始終呈棱柱形

B.固定容器底面一頂點(diǎn)8于地面上，將容器傾斜，有水的部分可能是三棱錐

C.體積為V,高為4夜的圓錐不能放在半徑是3/的球體內(nèi)

D.體積為V的正方體可以在軸截面為正三角形且底面半徑為3遍的圓錐內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)

（多選）10.（2025春?南京月考）已知在平行六面體ABCD-421clz）1中，AB=1,AO=AAi=2,且/

AiAB=ZAiA￡）=ZBA￡>=60°,則下列說法正確的有（）

A.BD]=AD-AB+

B.線段囪。的靠近點(diǎn)21的三等分點(diǎn)0在平面AICLB內(nèi)

C.線段AC1的長度為59+8百

4\/51

D.直線AC1與直線08所成角的余弦值為

（多選）11.（2025?承德模擬）已知平行六面體ABC。-AiBiGDi中，各棱長均為6,ZArAB=^ArAD=

ND4B=條則以下說法正確的是（）

A.\BDr\=6V3

B.異面直線BDi和AiCi所成角的余弦值為一

6

C.四棱錐4-BCC1B1的體積為36位

D.與三棱錐Ai-ABD各棱均相切的球的體積為9/兀

（多選）12.（2025?郴州模擬）已知正方體A8CO-4B1C1D1的表面積與體積的數(shù)值之比為3,產(chǎn)，。分

別是棱BC，231的中點(diǎn)，G是線段AD上一個動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AAi=3

23

B.多面體A0D14-PQB1C1C的體積為了

C.存在一點(diǎn)G,使得GG〃AP

D.若ACi,平面PQG,則平面PQG截正方體A8CD-A18C1O1的截面面積是3b

三.填空題（共4小題）

13.（2025?香坊區(qū)校級二模）已知四棱柱A2CD-42心。中，底面A8C。是邊長為2的菱形且

A4U底面A8CD,441=遍，點(diǎn)P是四棱柱ABCD-AiBiCiDi表面上的一個動點(diǎn)，且直線AP與CQ

77

所成的角為一，則點(diǎn)尸的軌跡長度為_____________________.

6

14.（2025?昌黎縣校級模擬）已知尸是圓錐的頂點(diǎn)，A3是底面圓的直徑，C是底面圓周上一點(diǎn)，。是線

段必的中點(diǎn)，ABLCD,則NABC=.

15.（2025?嘉定區(qū)二模）某建筑公司欲設(shè)計(jì)一個正四棱錐形紀(jì)念碑，要求其頂點(diǎn)位于容積為36n立方米的

球形景觀燈所在球面上.考慮到抗風(fēng)、抗震等結(jié)構(gòu)安全需求，側(cè)棱長度I需滿足2曰<Z<3V3,當(dāng)紀(jì)

念碑體積取得最大值時，正四棱錐的側(cè)棱長約為米（精確到0.01米）.

16.（2025?寧夏校級一模）已知圓錐的底面半徑為6,體積為96m用平行于圓錐底面的平面截圓錐，若

截得的圓臺體積為84n,則該圓臺的表面積為.

四.解答題（共4小題）

17.（2025?跳北區(qū)校級一模）如圖1,在四邊形ABCZ）中，E為。C的中點(diǎn)，ACHBD=O,AC±BD,CO

=DO.將△A3。沿3。折起，使點(diǎn)A到點(diǎn)尸，形成如圖2所示的三棱錐P-BCD在三棱錐P-BCD

中，POLCO,記平面PE。、平面POC、平面P8C分別為a,P，Y-

P

AB

(1)證明：a邛;

(2)若AB=V2,DC=2V2,AO=BO,求a與丫的夾角的大小.

18.(2025春?上海校級月考)如圖，圓錐S。中，AB,為底面圓的兩條直徑，AB交CD于O,且A8

LCD,50=08=2,尸為BS的中點(diǎn).

(1)求圓錐S。的側(cè)面積以及側(cè)面展開圖的圓心角;

(2)求異面直線與尸。所成角的正切值.

19.(2025春?上海校級月考)已知在正四棱柱A8CD-481QO1中，AD=3,441=4,點(diǎn)E是CZ)i的中

點(diǎn).

(1)求異面直線AO1與DE所成角的余弦值；

(2)求三棱錐Di-EBD的體積.

20.(2025?金鳳區(qū)校級一模)如圖，在四棱錐尸-ABC。中，B4_L平面ABC。，底面ABC。是平行四邊形,

且△A3。是等邊三角形，AB=2.

(1)求證：3。_1平面以。；

(2)若是等腰三角形，求異面直線與AC所成角的余弦值.

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之立體幾何初步（2025年4月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

題號12345678

答案ACCCACDD

二.多選題（共4小題）

題號9101112

答案ACDABDBCDBD

一.選擇題（共8小題）

1.（2025?昌黎縣校級模擬）設(shè)"3〃是兩條直線，a,P是兩個平面，已知根〃w,n//a,貝！I是

“a邛”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】平面與平面垂直；充分條件必要條件的判斷.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維.

【答案】A

【分析】由空間線面的位置關(guān)系結(jié)合充分性、必要性即可判斷.

【解答】解：由機(jī)〃"，n//a,aJ_p,得加〃0或加u0,其中〃仁0如下圖，

所以不能得到“機(jī)，B”的結(jié)論，不滿足必要性；

由機(jī)〃小優(yōu)_1_0,可得九_L0.又因?yàn)椤ā╝,所以a_L0,即滿足充分性，

所以“加，0”是“a，0”的充分不必要條件.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查平面與平面垂直以及充分必要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題.

_1

2.（2025?臨汾二模）已知圓錐的底面半徑為近，其側(cè)面展開圖為二個圓，則該圓錐的母線長為（）

4

A.4B.2V2C.4V2D.8a

【考點(diǎn)】圓錐的側(cè)面積和表面積.

【專題】整體思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式和圓的面積公式列出關(guān)系式S=nrl=J加2,得到i與毛的關(guān)系即可求

解.

【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線為/,

1

因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖為二個圓，

所以由圓錐的側(cè)面積公式可得S=nrl={Ttl2,

解得l=4r,

因?yàn)閞=V2,

所以/=4V2.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了圓錐的側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2025春?思明區(qū)校級月考）若圓錐的軸截面是一個頂角為弓，腰長為3的等腰三角形，則過此圓錐頂

點(diǎn)的所有截面中，截面面積的最大值為（）

9bL9r-

A.-----B.2A/3C.—D.3A/3

42

【考點(diǎn)】圓錐的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)圓錐的軸截面是頂角為學(xué)知過此圓錐頂點(diǎn)的所有截面中截面面積最大值為S=，.

【解答】解：由題意得，圓錐的軸截面是頂角為學(xué)的等腰三角形，圓錐的母線長為/=3,

設(shè)過圓錐頂點(diǎn)的截面三角形頂角為a,則OVaW等,

則截面面積為S==^sina,當(dāng)a=*時，Smax=

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2025?晉中模擬）已知棱長為舊的正方體ABCD-A1B1C1O1的中心為O,若球。的球面與該正方體的

棱有公共點(diǎn)，則球。的表面積的取值范圍是（）

A.[3n,6n]B.[3ir,9ir]C.[6ir,9n]D.[6TI,12TI]

【考點(diǎn)】球的表面積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；球；運(yùn)算求解.

【答案】c

【分析】根據(jù)題意可得最小的球?yàn)檎襟w的棱切球，最大的球?yàn)檎襟w的外接球.然后分別求出半徑,

后求出表面積的范圍.

【解答】解：根據(jù)題意可得最小的球?yàn)檎襟w的棱切球，最大的球?yàn)檎襟w的外接球，

又棱長為舊的正方體的棱切球的半徑為'?2=乎,外接球的半徑為

2222

所以兩球的表面積分別為4兀x（苧/=6TT,4兀x（|）2=9TT,

故球。的表面積的取值范圍為[6TT,9m.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查正方體的棱切球與外接球問題，屬基礎(chǔ)題.

5.（2025?邯鄲一模）在正三棱柱ABC-43]Ci中，AB=2,則“A4i=2”是“異面直線AC1與42所成

角的余弦值是工”的（）

4

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；充分條件必要條件的判斷.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】先求出異面直線AQ與48所成角的余弦值是乙的充要條件，再進(jìn)行判斷.

4

【解答】解：如圖:

設(shè)A4i=a,正三棱柱ABC-431cl中，

T—>—>—>T—>

以｛4B,AC,&&｝為基底，則|2B|=\AC\=2,\AAr\=a,

AB'AC=|XB|.|XC|cos60°=2X2x^=2,AA^AB=AA^AC=0,

|力：B|=|急|=Va2+22=Va2+4,

因?yàn)锳iB=4B—A4i，4Ci=2C+A4i，

—>—>T——>—>

所以TG=(AB-AA^?Q4C+441)=2-a2,

1

當(dāng)異面直線AQ與48所成角的余弦值句,

T

|2-。2|

可得r-----即，解得〃2=4或-i,

MiBHAQI4a2+445

即〃=2或a=-g-,

即“異面直線AC1與42所成角的余弦值是L’的充要條件是“。=2或。=卒”,

故"441=2”是“異面直線AC1與48所成角的余弦值是的充分不必要條件.

4

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查向量的基本定理的應(yīng)用，用向量的方法求異面直線所成的角的余弦值,屬于中檔題.

6.(2025?昌黎縣校級模擬)已知/,m,”為三條不同的直線，a,p,丫為三個不同的平面,若aC0=",

aCy=/,0。丫=機(jī)，n//y,貝!J()

A./與"相交B.相與w相交C./與小平行D.a與0相交

【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維.

【答案】C

【分析】根據(jù)線面平行的判定和性質(zhì)進(jìn)行判斷.

【解答】解：因?yàn)?,”為三條不同的直線，a,B，丫為三個不同的平面,

XaAP=n,aAy=/,2丫=m，n//y,

所以作出示意圖如下：

由“ua,n//y,aCy=/,得“〃/.

又/邙，nep,所以/〃0,

結(jié)合/uy,0riy=wj,得l〃m.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

n

7.（2025?承德模擬）已知圓臺的上、下底面半徑分別為2和4,母線與底面所成的角為了則圓臺的外接

球的表面積為（）

A.16TCB.32nC.48TlD.64n

【考點(diǎn)】球的表面積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】設(shè)球心到上底面圓心的距離為h,由題意可得/+4=（2V3-/1）2+16,求解即可.

71

【解答】解：因?yàn)閳A臺的上、下底面半徑分別為2和4,母線與底面所成的角為］

所以圓臺的高為=2V3,

設(shè)球心到上底面圓心的距離為h,

2L—

則4+4=（2A/3-tip+16,解得力=2V3.

則7?2=廬+4=16,

所以圓臺的外接球的表面積為S=4TTR2=64TT.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查圓臺的外接球問題，屬中檔題.

8.（2025?金鳳區(qū)校級一模）己知正三棱錐P-ABC的體積為瘦，AB=^3,則該三棱錐外接球的表面積

4

為（）

771971

A.7KB.一C.9nD.

22

【考點(diǎn)】球的表面積；球內(nèi)接多面體.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；球；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】取正三棱錐尸-ABC的底面中心為M,設(shè)外接球的球心為O,先由三棱錐的體積求出正三棱錐

尸-ABC的高為近，再由勾股定理求出球的半徑，最后求出表面積即可.

【解答】解：如圖，設(shè)正三棱錐P-A8C的底面中心為

則外接球的球心為O,顯然球心。在直線PM上.

設(shè)正三棱錐P-ABC的高為〃，外接球的半徑為R,

,/正三角形ABC的邊長為日，

.,.正三角形A8C的面積為7-x（V3）2=-----,

44

???正三棱錐P-ABC的體積為工x—xPM=—,解得PM=V2,

344

又AM=稱X噂xV3=1,

：.AO1=AM1+OM1,

：.R2=1+（V2-/?）2,解得R=翁，

；?外接球的表面積為4TTR2=等.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查三棱錐的外接球問題，屬中檔題.

多選題（共4小題）

（多選）9.（2025?海南模擬）如圖，透明塑料制成的長方體容器ABC。-AIBICLDI內(nèi)灌進(jìn)一些水，已知

BC=8,CD=3W，44I=8VL當(dāng)?shù)酌鍭BC。水平放置時，水面位置滿足BKFBi=l：3,容器內(nèi)有

水部分的幾何體體積是匕下列命題正確的是（）

H

D

A.固定容器底面一邊BC于地面上，將容器傾斜，有水的部分始終呈棱柱形

B.固定容器底面一頂點(diǎn)2于地面上，將容器傾斜，有水的部分可能是三棱錐

C.體積為匕高為4立的圓錐不能放在半徑是3形的球體內(nèi)

D.體積為V的正方體可以在軸截面為正三角形且底面半徑為3班的圓錐內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)

【考點(diǎn)】棱錐的體積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】ACD

【分析】根據(jù)棱柱的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：A選項(xiàng)，固定容器底面一邊8c于地面上，根據(jù)棱柱的定義，

有二個面相互平行且是全等的多邊形，其余每相鄰兩個面的交線互相平行，所以有水的部分是棱柱，故

A正確；

8選項(xiàng)，有水部分幾何體的體積為U=48痣，當(dāng)平面ACB1水平放置時，

-1

三棱錐B-ACB1的體積取到最大值，此時小/附=^AACB1?BBi=32V6<48V6,故B錯誤；

。選項(xiàng)，設(shè)圓錐底面半徑為r,-nr2h=產(chǎn)=①回，

3"

由于產(chǎn)+（4a—3近）2＞（3/）2,故C正確；

。選項(xiàng)，依題意，設(shè)正方體棱長為a,a3=48y/6,解得a=2機(jī)，

正方體的外接球半徑為R=3V2,圓錐底面半徑3乃，

圓錐的高力=9加，母線長6連，

QA/2^—T'r

設(shè)圓錐內(nèi)切球半徑為r,~~7=~=~7=＞解得r=3V2,

6V63V6

正方體恰好可以在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，故。正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評】本題考查了棱柱的性質(zhì)，屬于中檔題.

（多選）10.（2025春?南京月考）已知在平行六面體A2CZ）-4B1C1D1中，AB=1,AD=AAi=2,且/

AiAB=ZAiAD=ZBAD=6Q°,則下列說法正確的有（）

A.BDi=AD-AB+AA1

B.線段81。的靠近點(diǎn)31的三等分點(diǎn)。在平面AiCLB內(nèi)

C.線段AG的長度為J9+84

4V5T

D.直線AQ與直線08所成角的余弦值為

51

【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；空間向量的加減運(yùn)算.

【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】ABD

【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算可判斷A選項(xiàng)；利用空間向量共面的基本定理可判斷8選項(xiàng)；利用

空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷C。選項(xiàng).

【解答】解：如下圖所示：

對于B選項(xiàng)，由空間向量的平行六面體法則，可得當(dāng)。=314+816+3/，

—>[T1T—>—>TT

由題意可知，BIQ=qB[D=51Al+可81。1+可B1B,所以3BiQ=+B1B,

—>—>T—>—>—>—>TT

所以BiQ-BrA±=（BiCi-BQ）+（B]B-B1Q）,即&Q=QCr+QB,

所以Q在平面AICLB內(nèi)，故8正確；

—>—>—>—>

對于C選項(xiàng)，由空間向量的平行六面體法則，可得AC]=4B+4D+441，

由空間向量數(shù)量積的定義可得力B-AD=\AB\■\AD\cos60°=lx2x1=1,

—>—?—?—>

同理可得48-441=1,AD-AA1=2,

—>—>—>—>/t—>—>2—>—>—>—?—>—?

所以，MGI={(/IB+4。+A41)2=1AB2+202+441+2(ylB-AD+AB-AAt+AD-AA±)

=714-4+4+2x(1+1+2)=V17,故C錯誤；

對于。選項(xiàng)，DBAB-AD,

所以，=JQ4B-4D)2=1AB?-2aB?4。+4￡12=yi-2x1+4=百,XQ-DB={AB+

—?—?—>—>—?—>

22

AD+AA^?(AB-AD)=AB-AD+AB-AAr-AD?AAr

=1-4+1-2=-4,

—>T

44V51

所以cos(h11，SB)=,空

"1V17xV3

\ACr\-\DB\

4-751

因此，直線與直線以所成角的余弦值為丁，故。正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評】本題主要考查異面直線所成角以及空間向量的加減運(yùn)算，屬于中檔題.

（多選）11.（2025?承德模擬）已知平行六面體ABC。-Ai81clz）1中，各棱長均為6,ZArAB=^ArAD=

ADZB=9則以下說法正確的是（）

A.\BDr\=6V3

V6

B.異面直線8。1和AiCi所成角的余弦值為一

6

C.四棱錐4-BCC1B1的體積為36立

D.與三棱錐Ai-ABD各棱均相切的球的體積為9位兀

【考點(diǎn)】棱錐的體積；球的體積；異面直線及其所成的角.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】BCD

【分析】利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷AB選項(xiàng);

求出平行六面體的高，分析可知四棱錐4-BCCLBI的平行六面體體積的土結(jié)合柱體的體積公式可判

斷C選項(xiàng)；

求出三棱錐4-A3。棱切球的半徑，結(jié)合球體體積公式可判斷。選項(xiàng).

【解答】解：A項(xiàng).根據(jù)題意可知，平行六面體ABC。-A1B1C1D1中，各棱長均為6,ZA^AB=N&4D=

7T

^DAB=J,

根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義可得48?2。=\AB\■\AD\cos^=62x^=18,

T—>—>T

同理AB?AAr—AD-AAr—18,

因?yàn)樾絠=AD1-AB=AD+AA1-ABf

—>2—>—>—>—>—>—>2TT—>—>—>—>

222

所以BA=(AD+AA±-AB)=AB+AD+AA1+2{AD-AA±-AB-AD-AB-AA^

=62X3+2(18-18-18)=72,所以出。/=6近，故A選項(xiàng)錯誤；

B項(xiàng).因?yàn)?Ci=AC=4B+4D,

22

貝！IB。1?ArCr=(AD-AB+AA^?(AD+AB)=AD-AB+AB?AAt+AD-AAt

=36-36+18+18=36,

—>I—?—?i__________________

MCI=+AD)2=^AB2+2AB?AD+AD2=V36+2x18+36=6V3,

所以異面直線801和A1C1所成角的余弦值為：|cosB%i，癡=吁1”11二

V6

則異面直線BDi和A1C1所成角的余弦值為二，故B選項(xiàng)正確；

6

1

C項(xiàng).四棱錐4-BCC1B1的體積為平行六面體體積的3,

平行六面體的高即為正四面體Al-A3。的高h(yuǎn),如下圖所示:

設(shè)點(diǎn)Ai在平面ABD的射影為點(diǎn)0,則0為正AABD的中心，

22

根據(jù)正弦定理可得4M=/6兀=2Vh=A1M=y/AA^—AM-V6-12=2遙,

菱形ABCD的面積為品4BCD=2SAABD=2X1X62X^=18b，

則平行六面體的體積為U=SBABCD-h=18V3x2V6=108V2,

所以四棱錐Al-BCCLBI的體積為36泥，故C選項(xiàng)正確；

。項(xiàng).三棱錐Ai-A3。為正四面體，棱長為6,

設(shè)正四面體4-48。的棱切球球心為。，且O也為其外接球球心，則04=04,

則。人2=4^2+。M2=2"2+（&M—。人尸，即。42=12+（2遙一04）2,解得。a=竽，

取線段AA1的中點(diǎn)E,連接0E,則0ELA41,

且。E=<OA2-AE2=J（竽尸_32=竽，

故正四面體A1-A3。的棱切球的半徑為也，

2

43A/22/—

故球的體積為耳兀X（―^―）=9,2兀，故。選項(xiàng)正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)評】本題考查了空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，柱體的體積公式，屬于中檔題.

（多選）12.（2025?郴州模擬）已知正方體A5CD-A131C1D1的表面積與體積的數(shù)值之比為3,P,。分

別是棱3C的中點(diǎn)，G是線段A01上一個動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（)

A.AAi=3

B.多面體AOOiAi-PQB1C1C的體積為可

C.存在一點(diǎn)G,使得GCi〃AP

D.若AC1L平面PQG,則平面PQG截正方體ABCD-ALBICID的截面面積是3百

【考點(diǎn)】棱柱的體積；棱柱的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】BD

【分析】由正方體的表面積、體積公式，棱錐的體積公式、異面直線的判斷、及正方體截面的結(jié)構(gòu)逐項(xiàng)

判斷即可.

【解答】解：作出示意圖如下：

對于A,因?yàn)檎襟w的表面積與體積之比為3,

所以半綃=3,解得1AA2,故A錯誤；

IAAF

1111

對于B,因?yàn)樗拿骟wABPQ的體積為U=QSABPQ-/1B=3X2X1X1X2=3,

所以多面體ADDAl-PQB1C1C的體積為匕BCDTIBIQDI—VA-BPQ=8—m=芋，正確;

對于C,設(shè)CCi的中點(diǎn)為R,連接PR,則尸

因?yàn)锳P在平面APRD1內(nèi)，而G是線段AO1上一個動點(diǎn)，

所以根據(jù)異面直線的判定定理可知GCi,4P為異面直線，故C錯誤；

對于￡),易知8CiJ_8iC,AB±BiC,

所以可得B1C_L平面4BQ,又ACiu平面A8C1,

所以ACi_LBiC,同理可證ACi_LDC,

BiC,O1C是平面21CP內(nèi)兩條相交直線，

所以AC1L平面BCD,又AC」平面尸QG,

所以平面BiC￡)i〃平面PQG,

又P，。分別是棱BC,的中點(diǎn)，

所以平面尸QG截正方體的截面分別交棱CD,DDi,D1A1,481的中點(diǎn)F,H,I,J,

所以截面為正六邊形PFHIJQ,又PQ=V2,

所以截面面積為6X芋X（或）2=3百，故。正確.

故選：BD.

【點(diǎn)評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，屬中檔題.

三.填空題（共4小題）

13.（2025?香坊區(qū)校級二模）已知四棱柱心》-42心￡）1中,底面48。是邊長為2的菱形且/。48=

AA1L底面A8CD,A4i=遍，點(diǎn)P是四棱柱ABC。-AiBiCiOi表面上的一個動點(diǎn)，且直線"與CG

TTTT

所成的角為一，則點(diǎn)尸的軌跡長度為.

63

【考點(diǎn)】直線與平面垂直；異面直線及其所成的角.

【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；空間角；邏輯思維.

71

【答案】

3

【分析】根據(jù)四棱柱的特征，將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為共面直線所成角，得到點(diǎn)P的軌跡為圓弧，從

而求出長度.

【解答】解：如圖，

7T71

因?yàn)镃Ci〃A4i,直線AP與CCi所成的角為:，所以直線AP與A41所成的角為:，

66

則線段AP圍成幾何體為以為A41軸且母線與軸夾角為30°的圓錐在四棱柱ABCD-AiBiCiDi中體內(nèi)

的部分，

則點(diǎn)P軌跡為AiBiCiDi平面內(nèi)以為4圓心的圓弧痂V,圓心角NMAiN=ZDAB=

7T

因?yàn)锳4i=V5,且AAi,底面A8CD直線AP與A41所成的角為一，

6

_71

所以MAi=NA\=V3xtan—=1,

6

則血弧長為工xl=M即點(diǎn)尸的軌跡長度為四.

333

n

故答案為：

【點(diǎn)評】本題主要考查異面直線所成角以及動點(diǎn)的軌跡，屬于中檔題.

14.（2025?昌黎縣校級模擬）已知尸是圓錐的頂點(diǎn)，是底面圓的直徑，C是底面圓周上一點(diǎn)，。是線

段B4的中點(diǎn)，ABLCD,則NABC=30°.

【考點(diǎn)】圓錐的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】300.

【分析】根據(jù)線面垂直判定定理得出A8LCH,再應(yīng)用三角形邊長求角即可.

【解答】解：如圖，取A。的中點(diǎn)X,連接CH,DH,

由。為必的中點(diǎn)，X為49的中點(diǎn)，得DH〃PO,

由尸O_L平面OO,則。HJ_平面OO.可得Z）//_LA8,

由A8_LC。，又DHCCD=D,可得QH,CDu平面CDH,則平面COH,又CHu平面CDH,則

ABLCH,

在△口?//中，CO=2HO,所以NHOC=60°,

則NABC=30°.

故答案為：30°.

【點(diǎn)評】本題考查線面垂直的判定定理，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

15.（2025?嘉定區(qū)二模）某建筑公司欲設(shè)計(jì)一個正四棱錐形紀(jì)念碑，要求其頂點(diǎn)位于容積為36n立方米的

球形景觀燈所在球面上.考慮到抗風(fēng)、抗震等結(jié)構(gòu)安全需求，側(cè)棱長度I需滿足2舊<Z<3V3,當(dāng)紀(jì)

念碑體積取得最大值時，正四棱錐的側(cè)棱長約為4.90米（精確到0.01米）.

【考點(diǎn)】棱錐的體積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】4.90.

【分析】設(shè)正四棱錐的高為根據(jù)題意求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)求解即可.

【解答】解：設(shè)球體的半徑為R,

4

由題知：一冗K=36TT,

3

所以球的半徑R=3,

設(shè)正四棱錐的底面邊長為2〃，高為加

則~&J(2a)2+(2a)2)2+h2=2a2+h2,32=2A2+(3-h)2,

所以6/Z=/2,2a2=/2-%2,

所以正四棱錐的體積U=^Sh=/x4a2xh=x(Z2—x(Z4—左)，

設(shè)/(久)=1(x4-j1)>2V3<X<3A

所以/'z(%)=聶4%3一號)=1X3(24-%2),

當(dāng)2百<x<2歷時，f(x)>0,f(x)為增函數(shù)，

當(dāng)2乃Vx<3次時，f(x)<0,f(x)為減函數(shù)，

所以當(dāng)1=2①=4.90時，正四棱錐的體積V取最大值，

此時正四棱錐的側(cè)棱長約為4.90米.

故答案為：4.90.

【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)法求錐體體積的最大值，屬于中檔題.

16.(2025?寧夏校級一模)已知圓錐的底面半徑為6,體積為96m用平行于圓錐底面的平面截圓錐，若

截得的圓臺體積為84m則該圓臺的表面積為.

【考點(diǎn)】圓臺的側(cè)面積和表面積.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】90n.

【分析】設(shè)圓臺上底面半徑為r,高為/?,先利用相似比得到r=3,再根據(jù)圓臺的體積得到%=4,然后

求得母線長，利用圓臺的表面積公式求解.

【解答】解：由題意圓錐的底面半徑為6,體積為96m用平行于圓錐底面的平面截圓錐，若截得的圓

臺體積為84n,

96TT—847rv3

可設(shè)圓臺上底面半徑為廠，高為/?,則--------=（-）,解得r=3,

96兀6

1

由圓臺的體積公式得§h（9兀+18兀+36兀）=84兀，解得/i=4,

所以圓臺的母線長/=J42+（6—3>=5,

則圓臺的側(cè)面積為TT（3+6）X5=45TT,

所以圓臺的表面積為45TT+9TT+36TT=90TT.

故答案為：901T.

【點(diǎn)評】本題考查了圓臺的表面積的求法，是中檔題.

四.解答題（共4小題）

17.（2025?濟(jì)北區(qū)校級一模）如圖1,在四邊形ABC。中，E為DC的中點(diǎn)，ACPiBD=O,AC±BD,CO

=DO.將△ABD沿8。折起，使點(diǎn)A到點(diǎn)P,形成如圖2所示的三棱錐尸-BCD在三棱錐P-

中，POLCO,記平面PE。、平面PDC、平面P2C分別為a,p,y.

（1）證明：a±P；

（2）若AB=a,DC=2版,AO=BO,求a與丫的夾角的大小.

【考點(diǎn)】平面與平面垂直；直線與平面垂直.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解.

71

【答案】（1）證明見解析；（2）

4

【分析】（1）先證尸O_L平面BCD,由線面垂直性質(zhì)可得PO_LC￡>,由等腰三角形性質(zhì)結(jié)合面面垂直判

定定理可證；

—>—>—>—>

（2）以。D,OC,OP的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）可知CD是平面PEO

的法向量，然后求出平面P8C的法向量，由面面夾角的向量公式求解可得.

【解答】解：(1)證明：在三棱錐尸-BCD中，

'：CO=DO,E為。C的中點(diǎn)，：.CD±EO,

由已知得尸POLCO,BDDCO=O,8￡>u平面BC。，COu平面BC。,

；.PO_L平面BCD,

又二Su平面BCD,：.PO±CD,

,：EOnPO=O,EOu平面PEO,POu平面PEO,，CD_L平面PEO,

又：CQu平面尸。C,

平面PEO_L平面PDC,

即a±p.

(2)由(1)知。C、OD、0P兩兩垂直，

—>—>—>

分別以0C,0P的方向?yàn)椋?y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

根據(jù)已知得，P(0,0,1),5(-1,0,0),C(0,2,0),D(2,0,0).

CD=(2,—2,0).

―>

由(1)知CDJ_平面尸石0,故CD是平面PEO的法向量.

設(shè)蔡=Q,y,z)為平面PBC的法向量,

'TT

則,1PP則PB?n=-x—z=0

(九1PCPC-n=2y-z=0

取x=2,貝z=-2.

An=(2,—L—2)是平面PBC的法向量.

—>CD'n2x2+(-2)x(—l)+0x(-2)_V2

cos〈CD,n)

T~222222

\CD\\n\j2+(-2)+0xj2+(-l)+(-2)2

設(shè)a與Y的夾角的大小為①則。〈”今

且cos。=\cos{CD,n)\=苧，

???“n一-不"

TT

與丫的夾角的大小等于一.

4

【點(diǎn)評】本題考查面面垂直的判定，以及向量法的應(yīng)用.

18.(2025春?上海校級月考)如圖，圓錐S。中，AB,CD為底面圓的兩條直徑，48交CD于。且A8

±CD,SO=OB=2,P為的中點(diǎn).