江蘇省徐州市2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．函數(shù)在[0，π]上的平均變化率為A．1 B．2 C．π D．2．已知函數(shù)上一點，則在點P處切線的斜率為（

）A． B． C．1 D．3．已知是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則（

）A． B． C． D．4．已知隨機變量X的概率分布如表所示，且，則（

）X123PnmA． B． C． D．5．甲、乙兩人向同一目標(biāo)各射擊1次，已知甲命中目標(biāo)的概率為，乙命中目標(biāo)的概率為，已知目標(biāo)至少被命中1次，則甲命中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．6．已知是定義在上的奇函數(shù)，若對于任意的，都有成立，且，則不等式解集為（

）A． B．C． D．7．某校有5名學(xué)生打算前往觀看電影《哪吒2》，《戰(zhàn)狼》，《流浪地球2》，每場電影至少有1名學(xué)生且至多2名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀看電影《哪吒2》的方案種數(shù)有（

）A．30 B．45 C．60 D．758．以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主體的“中值定理”反映函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其內(nèi)容如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則內(nèi)至少存在一個點，使得，其中稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的“中值點”．請問函數(shù)在區(qū)間上的“中值點”的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題（本大題共3小題）9．下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算正確的是（

）A． B．C． D．10．已知，其中，則（

）A． B．C． D．11．?dāng)?shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機變量X服從二項分布，那么當(dāng)n比較大時，X近似服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，任意正態(tài)分布，可通過變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準正態(tài)分布當(dāng)時，對任意實數(shù)x，記，則（

）A．當(dāng)時，B．C．隨機變量，當(dāng)，都減小時，概率增大D．隨機變量，當(dāng)增大，減小時，概率保持不變?nèi)⑻羁疹}（本大題共3小題）12．已知隨機變量，若，，則.13．在如圖所示的圓環(huán)形花園種花，將圓環(huán)平均分成A，B，C，D四個區(qū)域，現(xiàn)有牡丹、芍藥、月季、玫瑰、蝴蝶蘭五種花可供選擇，要求每個區(qū)域只種一種花且相鄰區(qū)域的花不同，則不同的種植方法有種．14．若恒成立，則實數(shù)．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的展開式中共有11項．（1）求展開式中含的項的系數(shù)；結(jié)果用數(shù)字作答（2）求二項式系數(shù)最大的項．16．結(jié)合排列組合，解決下列問題結(jié)果用數(shù)字作答（1）將4封不同的信放到3個不同的信箱中，有多少種放法？（2）將4封不同的信放到3個不同的信箱中，每個信箱至少有一封信，有多少種放法？（3）將4封標(biāo)有序號A，B，C，D的信放到四個標(biāo)有A，B，C，D的信箱中，恰有一組序號相同，則有多少種放法？17．已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若存在，使得成立，求a的取值范圍．18．11分制乒乓球比賽規(guī)則如下：在一局比賽中，每兩球交換發(fā)球權(quán)，每贏一球得1分，先得11分且至少2分領(lǐng)先者勝，該局比賽結(jié)束；當(dāng)某局比分打成10：10后，每一球交換發(fā)球權(quán)，領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束．現(xiàn)有甲、乙兩人進行一場五局三勝且每局制的乒乓球比賽，比賽開始前通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣來確定誰先發(fā)球．假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時乙得分的概率為，各球的比賽結(jié)果相互獨立，且各局的比賽結(jié)果也相互獨立．已知第一局目前比分為10：10，且接下來輪到甲發(fā)球．（1）求再打兩個球甲新增的得分X的分布列和均值；（2）求第一局比賽甲獲勝的概率；（3）現(xiàn)用估計每局比賽甲獲勝的概率，求該場比賽甲獲勝的概率．19．若定義在上的函數(shù)和分別存在導(dǎo)函數(shù)和，且對任意實數(shù)，都存在常數(shù)，使成立，則稱函數(shù)是函數(shù)的“控制函數(shù)”，稱為控制系數(shù)．（1）求證：函數(shù)是函數(shù)的“控制函數(shù)”；（2）若函數(shù)是函數(shù)的“控制函數(shù)”，求控制系數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)是函數(shù)的“控制函數(shù)”，求證：“”的充要條件是“存在常數(shù)，使得恒成立”．

參考答案1．【答案】C【詳解】根據(jù)平均變化率的公式，計算出平均變化率.【詳解】平均變化率為.故選C2．【答案】B【詳解】由，可得，故在點P處切線的斜率為故選B3．【答案】D【詳解】因為，由對立事件概率計算公式可得：，則，故選D.4．【答案】B【詳解】由分布列的性質(zhì)可得，，所以，又因為，所以，即；聯(lián)立方程，解得，所以故選B5．【答案】C【詳解】設(shè)事件“甲命中目標(biāo)”，“至少命中一次”，則，，則已知目標(biāo)至少被命中1次，則甲命中目標(biāo)的概率為故選C6．【答案】D【詳解】設(shè)函數(shù)，則，因為是上的奇函數(shù)，所，所以是上的偶函數(shù)，，因為當(dāng)時，，所以，即在上單調(diào)遞減，因此在上單調(diào)遞增，所以，，當(dāng)，原不等式可化為，即，解得，當(dāng)，原不等式可化為，即，解得，綜上所述，.故選D7．【答案】C【詳解】依題意，將5名學(xué)生分為1，2，2三組，即第一組1個人，第二組2個人，第三組2個人，共有種方法；由于甲同學(xué)不去觀看電影《哪吒2》，故甲所在的組只有2種選擇，剩下的2組任意選，所以由種方法；按照分步乘法原理，共有種方法．故選C8．【答案】C【詳解】因為，，所以，，，若，由，解得故選C9．【答案】AD【詳解】易知，可得A正確；又，即B錯誤；易知，C錯誤；顯然，D正確．故選AD10．【答案】ACD【詳解】對于A，，其中，，解得，A正確；對于B，項的系數(shù)為，B錯誤；對于C，令，得，令，得，因此，C正確；對于D，令，得，由選項C得，D正確.故選ACD11．【答案】BD【詳解】對于A：當(dāng)時，，故A錯誤；對于B：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得：，即，故B正確；對于CD：根據(jù)正態(tài)分布的準則，在正態(tài)分布中代表標(biāo)準差，代表均值，即為圖象的對稱軸，根據(jù)原則可知X數(shù)值分布在的概率是常數(shù)，故由可知，D正確，C錯誤．故選BD.12．【答案】/【詳解】因為隨機變量，所以，，聯(lián)立解得13．【答案】84【詳解】解：現(xiàn)有牡丹、芍藥、月季、玫瑰、蝴蝶蘭五種花可供選擇，要求每個區(qū)域只種一種花且相鄰區(qū)域的花不同，則四個區(qū)域最少兩種花，最多4種花．所以分三類：若A和C相同，B和D相同時，有種方法；若種三種花，分A和C相同與不同兩種情況，此時有種；若種四種花，則有種，則不同的種植方法有種．14．【答案】/【詳解】因為恒成立，即恒成立，即恒成立，設(shè)，則恒成立，又，則在上單調(diào)遞增，可得恒成立，即恒成立，令，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，解得15．【答案】（1）960；（2）【詳解】（1）由題意可知，解得，展開式的通項為，令，解得，故展開式中含的項的系數(shù)為；（2）由可得二項式系數(shù)最大的項為第六項，即.16．【答案】（1）81；（2）36；（3）【詳解】（1）將4封不同的信放到3個不同的信箱中，有種放法；（2）將4封不同的信放到3個不同的信箱中，每個信箱至少有一封信，則將4封信分成1，1，2三組，有組，再分給三個信箱，有種放法；（3）將4封標(biāo)有序號A，B，C，D的信放到四個標(biāo)有A，B，C，D的信箱中，先確定一組序號相同有種情況，其余的全部不同均有2種情況，則共有種情況．17．【答案】（1）增區(qū)間為和，減區(qū)間為，極大值，極小值；（2）【詳解】（1）若，則，則，令，可得或；令，可得，所以該函數(shù)增區(qū)間為和，減區(qū)間為，當(dāng)時取得極大值，當(dāng)時取得極小值；（2）因為存在，有成立，所以存在，有成立，即存在，因為，所以存在，，設(shè)，其中，則，因為，所以，當(dāng)時，，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即，故a的取值范圍為18．【答案】（1）分布列見解析；均值為（2）；（3）【詳解】（1）依題意知，X的所有可能取值為0，1，2；，，，所以X的分布列為：X012PX的均值為；（2）設(shè)第一局比賽甲獲勝為事件B，平局后每次再打兩個球后甲新增的得分為Z，則，，；由知，，，，由全概率公式得，，解得，即第一局比賽甲獲勝的概率；（3）由（2）知，所以估計甲每局獲勝的概率均為，根據(jù)五局三勝制的規(guī)則，設(shè)甲獲勝時的比賽總局數(shù)為Y，因為每局的比賽結(jié)果相互獨立，所以Y的所有可能取值為3，4，5，所以，，；所以該場比賽甲獲勝的概率為19．【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【詳解】（1）因為，，所以，，則，故，即恒成立，故函數(shù)是函數(shù)的“控制函數(shù)”.（2）因為，，則，，因為函數(shù)是函數(shù)的“控制函數(shù)”，所以，對任意的，，則，令，則，且，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以