遼寧省IC聯(lián)盟高二下學(xué)期6月階段性質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共10小題）1．函數(shù)在上的圖象大致為（

）A． B．C． D．2．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．3．平面內(nèi)相距的A，B兩點(diǎn)各放置一個傳感器，物體在該平面內(nèi)做勻速直線運(yùn)動，兩個傳感器分別實(shí)時記錄下兩點(diǎn)與的距離，并繪制出“距離---時間”圖象，分別如圖中曲線所示.已知曲線經(jīng)過點(diǎn)，，，曲線經(jīng)過點(diǎn)，且若的運(yùn)動軌跡與線段相交，則的運(yùn)動軌跡與直線所成夾角的正弦值以及分別為（

）A． B． C． D．4．若函數(shù)上存在四個點(diǎn)A，B，C，D，使得四邊形ABCD是正方形，則的最小值是（）A．2 B． C． D．5．已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，且當(dāng)時，．若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別是函數(shù)和函數(shù)圖象上的動點(diǎn)，若對任意，則最小值為（

）A． B． C． D．7．若非空實(shí)數(shù)集X中存在最大元素M和最小元素m，則記．下列命題中正確的是（

）A．已知，且，則B．已知，若，則對任意，都有C．已知則存在實(shí)數(shù)a，使得D．已知，則對任意的實(shí)數(shù)a，總存在實(shí)數(shù)b，使得8．已知，函數(shù)在點(diǎn)處的切線均經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．9．信息熵是信息論中的一個重要概念．設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1，2，，n，且，，定義X的信息熵，則下列判斷中正確的是（

）①若，則②若，則；③若，則當(dāng)時，取得最大值④若，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為1，2，，m，且，則A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④10．在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個非常重要的不動點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成了一般不動點(diǎn)定理的基石．簡單來說就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點(diǎn)，使得，那么我們稱為“不動點(diǎn)”函數(shù)．若存在個點(diǎn)，滿足，則稱為“型不動點(diǎn)”函數(shù)，則下列函數(shù)中為“3型不動點(diǎn)”函數(shù)的是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共1小題）11．已知曲線：，拋物線：，P為曲線上一動點(diǎn)，Q為拋物線上一動點(diǎn)，已知與兩條曲線都相切的直線叫做這兩條曲線的公切線，則以下說法正確的是（

）A．直線：是曲線和的公切線B．曲線和的公切線有且僅有一條C．最小值為D．當(dāng)軸時，PQ最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．定義：設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)的附近有定義，當(dāng)固定在而在處有改變量時，相應(yīng)的二元函數(shù)有改變量，如果存在，那么稱此極限為二元函數(shù)在點(diǎn)處對的偏導(dǎo)數(shù)，記作．若在區(qū)域D內(nèi)每一個點(diǎn)對的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是一個關(guān)于x，y的二元函數(shù)，它就被稱為二元函數(shù)對自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，記作．已知，若，則的取值集合為.13．已知函數(shù)，其極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為，記點(diǎn)，直線交曲線于點(diǎn)，若存在常數(shù)，使得，則.14．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，對于數(shù)列，若，若存在等差數(shù)列，使得為等比數(shù)列，且，則實(shí)數(shù)的最小值為四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)，.(1)求證：；(2)若對任意且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16．已知函數(shù).(1)求的極值；(2)若，證明：.17．已知函數(shù)，.(1)證明：；(2)若是的極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知函數(shù).(1)若直線與函數(shù)的圖象相切，求滿足條件的實(shí)數(shù)的取值集合；(2)某學(xué)習(xí)小組通過研究發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖象與直線有且只有一個公共點(diǎn)（Ⅰ）設(shè)該公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明該發(fā)現(xiàn)，并證明；（Ⅱ）設(shè)且求的最大值.19．已知函數(shù)其中.(1)若證明：當(dāng)時，(2)若，求證：有唯一極值點(diǎn)，且；(3)若，函數(shù)有三個極值點(diǎn)證明：.

參考答案1．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結(jié)合特殊值，即可排除選項(xiàng).【詳解】首先，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故排除D，，故排除B，當(dāng)時，，故排除A，只有C滿足條件.故選C.2．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)比較的大小關(guān)系，構(gòu)造比較的大小關(guān)系，先驗(yàn)證，再相除并化簡式子，構(gòu)造函數(shù)即可比較的大小關(guān)系，則可求得答案.【詳解】令，則，可得在單調(diào)遞減，故，即在上恒成立，則，即，令，則，即在上單調(diào)遞減，所以，即得，，，令，則，令，則，，故使得，所以當(dāng)時，，即在上為增函數(shù)，又，所以當(dāng)時，，故，即單調(diào)遞減，又，所以,即，所以，則，變形可得，所以，故，綜上：，故選A.3．【答案】B【分析】建系，設(shè)點(diǎn)，作出相應(yīng)的輔助線，分析可知，結(jié)合分析求解即可.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)動點(diǎn)的軌跡與軸重合，其在時刻對應(yīng)的點(diǎn)分別為，的速度為，因?yàn)?，可得，由題意可知：均與軸垂直，且，作垂足為，則，因?yàn)?，即，解得；又因?yàn)檩S，所以的運(yùn)動軌跡與直線所成夾角的正弦值為：；又，，所以.故選B.4．【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的對稱性可得，與聯(lián)立求解交點(diǎn)，即可根據(jù)長度得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求解最值.【詳解】由于，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，要使得四邊形ABCD是正方形，則以及分別關(guān)于原點(diǎn)對稱，不妨設(shè)在一三象限，為二四象限點(diǎn)，不妨設(shè)直線：，則:，聯(lián)立與，則，當(dāng)則同理聯(lián)立與，當(dāng)則，進(jìn)而可得，，因此，故，即，由于，（否則單調(diào)遞增，不滿足題意），故記，則，記，則，（），由于，則，而，由于，所以，故在單調(diào)遞增，故，故存在唯一的，使得，即，故，進(jìn)而解得，當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)，單調(diào)遞增，故，因此的最小值為，故選B.5．【答案】A【分析】由圖象關(guān)于點(diǎn)對稱和找到圖象的對稱軸和周期，再由確定單調(diào)性，分別求出，畫出大致圖象，最后數(shù)形結(jié)合求出取值范圍.【詳解】由的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱可得．由，可得，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且，得的周期為2．當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且，則，，畫出在一個周期內(nèi)的大致圖象如圖所示：當(dāng)時，結(jié)合圖象可得，即．故實(shí)數(shù)m的取值范圍為．故選A.6．【答案】B【分析】根據(jù)題意，分別畫出函數(shù)的圖象，找到最小距離為圓心到直線的距離減去半徑，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求出結(jié)果即可.【詳解】由，整理得，即在圓心，半徑為1的半圓上.令，則，令，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以曲線的一條切線為，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)分別為對應(yīng)切點(diǎn)，且與兩切線垂直時取得最小值，即的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，即的最小值為.過圓心與垂直的直線方程，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取到最小值.綜上所述，，故選B.7．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)新定義，對于A，就分類討論即得；對于B，利用具體函數(shù)驗(yàn)證法排除；對于C，運(yùn)用反證法思路，結(jié)合二次函數(shù)圖象排除；對于D，對于存在性命題，只需列舉一種情況說明正確即得.【詳解】對于A，，當(dāng)時，，故得；當(dāng)時，，故得，即，故A錯誤；對于B，取，則，滿足，，但對于任意，不能保證恒成立，故B錯誤；對于C，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，若，則，矛盾；若，即時，，矛盾；若，則，矛盾；若，則，矛盾,若，則，矛盾.故C錯誤；對于D，對任意的實(shí)數(shù)，只要滿足是的子集，就有,于是，,故D正確.故選D.8．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，進(jìn)而即可判斷AB；畫出函數(shù)與圖象，由可得，化簡計算即可判斷CD.【詳解】由題意知，，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程分別為，因?yàn)榍芯€均過原點(diǎn)，所以，即，得，故AB錯誤；由，得，畫出函數(shù)與圖象，如圖，設(shè)，如上圖易知：，由正切函數(shù)圖象性質(zhì)，得，即，又，所以，即，解得，故C正確，D錯誤.故選C.9．【答案】D【分析】對于①，計算出；對于②，由得到，故，與矛盾，②正確；對于③，若，則，，構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到當(dāng)時最大，故③正確；對于④，表達(dá)出，作差得到，故，得到④正確.【詳解】①若，則，故①正確；②假設(shè)，因?yàn)?，，所以，所以，所以，這與矛盾，所以假設(shè)不成立，而當(dāng)時，易得，所以，故②正確；③若，則，，設(shè)，，則，令，得，解得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，令，，解得，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時最大，所以當(dāng)時，取得最大值，故③正確；④由題意知，，，，…，，所以，又，所以，又，，，，所以，所以，故④正確．綜上，正確說法的序號為①②③④，故選D．10．【答案】D【分析】結(jié)合“不動點(diǎn)”函數(shù)的概念，轉(zhuǎn)化為方程有根或?qū)?yīng)函數(shù)有零點(diǎn)的問題，依次求解判斷各個選項(xiàng).【詳解】對于A，令，即．因?yàn)闈M足，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不可能為“3型不動點(diǎn)”函數(shù)，故A錯誤；對于B，令，即．易判斷在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不可能為“3型不動點(diǎn)”函數(shù)，故B錯誤；對于C，由，得，易知當(dāng)時，單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時，的圖象與直線有且只有一個交點(diǎn)；當(dāng)時，單調(diào)遞減，且；當(dāng)時，單調(diào)遞增．令，得，解得，此時，所以直線與曲線相切于點(diǎn)．所以直線與曲線共有兩個交點(diǎn)，所以為“2型不動點(diǎn)”函數(shù)，故C錯誤；對于D，，作出的圖象，如圖所示．易知其與直線有且只有三個不同的交點(diǎn)，即有三個不同的解，所以為“3型不動點(diǎn)”函數(shù)，故D正確．故選D.11．【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，分別對兩函數(shù)求導(dǎo)，得到在處的切線方程為，在處的切線方程為，A正確；B選項(xiàng)，設(shè)公切線為，根據(jù)公切線性質(zhì)得到方程組，消去后得到，設(shè)，通過求導(dǎo)得到其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到：存在，使得，又當(dāng)時，，故得到公切線有兩條，B錯誤；C選項(xiàng)，由拋物線定義得到，設(shè)出，表達(dá)出，令，，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，得到在處取得最小值2，得到，從而得到的最小值；D選項(xiàng)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到，求導(dǎo)得到其最值【詳解】對于A，定義域?yàn)?，，令得，其中，所以在處的切線方程為，又變形為，則，令得，其中當(dāng)時，，所以在處的切線方程為，所以A正確；對于B，設(shè)曲線和的公切線為，與相切于，與相切于，則，所以，又，，故，，消去得：，令，因?yàn)?，?dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，又因?yàn)闀r，，由零點(diǎn)存在性定理可知：存在，使得，又當(dāng)時，，所以在有兩個零點(diǎn)，所以有兩個值，所以曲線和的公切線有2條，B錯誤；對于C，設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，由拋物線的定義，因?yàn)?，設(shè)，則，，令，，則，令，則在恒成立，故在上單調(diào)遞增，由于，故當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，則，所以，所以的最小值為，所以C正確；對于D，易知點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方，設(shè)，，則，所以，令，因?yàn)?，?dāng)時當(dāng)時，，當(dāng)時，.所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故在處取得極小值，也是最小值，所以.所以，所以D正確.故選ACD.12．【答案】【分析】根據(jù)“偏導(dǎo)函數(shù)”的定義求得，，進(jìn)而利用換元法結(jié)合判別式法求得答案．【詳解】依題意，，同理可求得，所以,，設(shè)，則，由，得，，此方程有解，所以，即，．故的取值范圍為，故答案為：13．【答案】【分析】求得，令，得到或，得出直線的方程，聯(lián)立方程組得到，令，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，得到有且僅有2個零點(diǎn)，其中，得到，假設(shè)存在常數(shù)，利用，求得，代入得，設(shè)，求得單調(diào)性，得到，使得，進(jìn)而得出的值.【詳解】由函數(shù)，可得，令，可得或，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)榛颍灾本€的方程為，即，由，可得，令，可得，令，可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，因?yàn)?，所以有且僅有2個零點(diǎn)，其中，這表明方程的解集為，即直線與曲線交于另一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由，即，假設(shè)存在常數(shù)上的，則，所以，代入，可得，設(shè)函數(shù)，可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，存在唯一的?shí)數(shù)，使得，此時，所以存在常數(shù)，上的，且.故答案為：4.14．【答案】【分析】由函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的解析式，再由題中等差等比數(shù)列等條件得到，再分離參數(shù)并用導(dǎo)數(shù)知識即可求出參數(shù)的最小值．【詳解】當(dāng)時，當(dāng)時，，，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，．又,,,為等差數(shù)列，且，設(shè)，，，，，，，，且函數(shù)是奇函數(shù)，，數(shù)列,2,3,為等比數(shù)列，設(shè)公比為，，，，，令，則，令，，觀察得：．令，，，在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，為的唯一零點(diǎn)．當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，．故的最小值為，故答案為：.15．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)可得，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性即可求證，(2)將不等式等價于（※）式，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷需滿足，即可求導(dǎo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對判別式討論，即可求解.【詳解】(1)由得，則，所以，設(shè)則當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故當(dāng)，故(2)由可得，（※）令（且），若時，當(dāng)時，，由于，所以，這與（※）矛盾，故，接下來只需要考慮的情況；，令，則開口向下，，若，則，（舍去），此時，進(jìn)而，故在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，滿足要求，當(dāng)時，，滿足要求，故符合題意，當(dāng)時，此時，故方程由兩個不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)由于，故，因此當(dāng)時，，故進(jìn)而，故在單調(diào)遞增，故，這與（※）矛盾，故不符合題意，綜上可得.16．【答案】(1)的極大值為，無極小值.(2)證明見解析.【分析】(1)使用導(dǎo)數(shù)工具判斷的單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)的極值；(2)對的取值情況分類討論，利用導(dǎo)數(shù)工具證明不等式.【詳解】(1)由，知.對有，對有.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故在處取到極大值，無極小值.(2)若，則由的單調(diào)性知，故，即.所以.由，，知.再由，，知.所以，結(jié)論成立；若，則，故，結(jié)論成立；若，在上定義函數(shù).則.設(shè)，則.據(jù)的表達(dá)式即知在上單調(diào)遞增.由于，故，所以.故.而，故由零點(diǎn)存在定理可知，存在唯一的，使得，即.由于在上單調(diào)遞增，故的零點(diǎn)是唯一的，且由知對有，對有.所以在上遞減，在上遞增.下面對分情況討論：①當(dāng)時，有.所以，這就得到在上遞增.故對有.若，則；若，則.所以對必定有，從而對有.故在上遞增，從而由有.所以有，這就意味著，從而，故，所以.②當(dāng)時，由，知：對，設(shè)，則，所以在上遞增，在上遞減.取，，得，即；取，，得，即.所以有；.故，得.而對有，對有，對有.故一定有，而在上遞減，在上遞增，故對都有.所以對有，故在上遞增，從而由有.所以有，這就意味著，從而，故，所以.③當(dāng)時，由知，故，所以在上遞減，故對有.設(shè)，則對有，從而在上遞增.這就得到對有.故對有，所以在上遞增.若，則.若，設(shè)，則.分析的正負(fù)即知在處取到最小值，故.再設(shè)，則，分析的正負(fù)即知在處取到最小值，故對正數(shù)有.再設(shè)，這里，則.所以在上單調(diào)遞減.從而由知.所以總有，這就意味著，從而，故，所以.綜上，原結(jié)論成立.17．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)直接使用導(dǎo)數(shù)工具證明不等式；(2)對實(shí)數(shù)的取值情況分類討論，對不同情況分別驗(yàn)證條件是否滿足，即可得到的取值范圍.【詳解】(1)由于，且等號只在時取到，故單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，當(dāng)時，故恒有成立.(2)容易驗(yàn)證是偶函數(shù)，設(shè).若，則對有，所以在上單調(diào)遞減.這表明對有，即.所以對有.取，使得，則對有.所以對有.由于是偶函數(shù)，從而對都有，所以是的極大值點(diǎn)，滿足條件；若，設(shè),由(1)有，即.故，所以.這得到，故對任意實(shí)數(shù)都有.所以不是的極大值點(diǎn)，不滿足條件；若，我們有，且，及.取，使得，則對，有，故在上遞增，所以對有.故在上遞增，所以對有.故在上遞增，所以對有.此即，所以對有.由，知對有.所以對有.由于是偶函數(shù)，從而對都有，所以是的極大值點(diǎn)，滿足條件.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.18．【答案】(1)；(2)（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【分析】(1)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求得切線方程，根據(jù)切線過原點(diǎn)列方程，求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求得的值.(2)（Ⅰ）構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理證得結(jié)論成立.（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得當(dāng)時，得到，進(jìn)而得到，從而求得的最大值.【詳解】(1)，．設(shè)是的圖象上一點(diǎn)，則該點(diǎn)處的切線為，整理得．令，解得或．因此與與函數(shù)的圖象相切．因此所求實(shí)數(shù)的值為或．(2)（Ⅰ）考慮函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，．因此有且只有使得，即的圖象與直線有且只有一個公共點(diǎn)，且該公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（Ⅱ）設(shè)，則．設(shè)，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，．因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．從而在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減．注意到，故當(dāng)時，當(dāng)時，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時，．另一方面，注意到，故必然存在，使得，且當(dāng)時，當(dāng)時．因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．顯然，而．因此當(dāng)時，．綜上可知當(dāng)時，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．由于，故當(dāng)，即時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．因此，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．因此的最大值為．19．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)