PAGEPAGE1三角函數(shù)圖象與性質(zhì)1．函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的最小正周期和振幅分別是()A．π，eq\r(2)B．π，2C．2π，1D．2π，eq\r(2)答案B解析∵y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋\f(π,2)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，∴T＝eq\f(2π,2)＝π，振幅為2.2．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))－cos2x，若要得到一個奇函數(shù)的圖象，則可以將函數(shù)f(x)的圖象()A．向左平移eq\f(π,6)個單位長度B．向右平移eq\f(π,6)個單位長度C．向左平移eq\f(π,12)個單位長度D．向右平移eq\f(π,12)個單位長度答案C解析由題意可得，函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin2x－cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，設(shè)平移量為θ，得到函數(shù)g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2θ－\f(π,6)))，又g(x)為奇函數(shù)，所以2θ－eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z，即θ＝eq\f(π,12)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z.3．已知函數(shù)f(x)＝－2cosωx(ω>0)的圖象向左平移φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))個單位長度，所得的部分函數(shù)圖象如圖所示，則φ的值為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(5π,6)C.eq\f(π,12)D.eq\f(5π,12)答案C4．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))，f(x1)＝2，f(x2)＝0，若|x1－x2|的最小值為eq\f(1,2)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)＋2k，\f(5,6)＋2k))，k∈ZB.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)＋2k，\f(1,6)＋2k))，k∈ZC.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)＋2kπ，\f(1,6)＋2kπ))，k∈ZD.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)＋2k，\f(7,6)＋2k))，k∈Z答案B解析由f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值為eq\f(1,2)，可知eq\f(T,4)＝eq\f(1,2)，∴T＝2，∴ω＝π，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1，則φ＝±eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z，∵0<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,3))).令－eq\f(π,2)＋2kπ≤πx＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(5,6)＋2k≤x≤eq\f(1,6)＋2k，k∈Z.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)＋2k，\f(1,6)＋2k))，k∈Z.5．已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,5)))(x∈R，ω>0)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為eq\f(π,2).為了得到函數(shù)g(x)＝cosωx的圖象，只要將y＝f(x)的圖象()A．向左平移eq\f(3π,20)個單位長度 B．向右平移eq\f(3π,20)個單位長度C．向左平移eq\f(π,5)個單位長度 D．向右平移eq\f(π,5)個單位長度答案A解析由于函數(shù)f(x)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為eq\f(π,2)，則其最小正周期T＝π，所以ω＝eq\f(2π,T)＝2，即f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,5)))，g(x)＝cos2x.把g(x)＝cos2x變形得g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3π,20)))＋\f(π,5)))，所以要得到函數(shù)g(x)的圖象，只要將f(x)的圖象向左平移eq\f(3π,20)個單位長度即可．故選A.6．如圖，函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A>0，ω>0，|φ|≤\f(π,2)))與坐標軸的三個交點P，Q，R滿意P(2,0)，∠PQR＝eq\f(π,4)，M為QR的中點，PM＝2eq\r(5)，則A的值為()A.eq\f(8,3)eq\r(3)B.eq\f(16,3)eq\r(3)C．8D．16答案B解析由題意設(shè)Q(a,0)，R(0，－a)(a>0)．則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－\f(a,2)))，由兩點間距離公式，得PM＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝2eq\r(5)，解得a1＝8，a2＝－4(舍去)，由此得eq\f(T,2)＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝eq\f(π,6)，由P(2,0)得φ＝－eq\f(π,3)，代入f(x)＝Asin(ωx＋φ)，得f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(π,3)))，從而f(0)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－8，得A＝eq\f(16,3)eq\r(3).7.如圖，單位圓O與x軸的正半軸的交點為A，點C，B在圓O上，且點C位于第一象限，點B的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))，∠AOC＝α，若BC＝1，則eq\r(3)cos2eq\f(α,2)－sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)－eq\f(\r(3),2)的值為()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5)D．－eq\f(3,5)答案B8．已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,4)))(ω>0)的圖象在區(qū)間(1,2)上不單調(diào)，則ω的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，\f(3π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,8)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，\f(7π,8)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,4)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，＋∞))答案B解析因為當x∈(1,2)時，ωx－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω－\f(π,4)，2ω－\f(π,4)))，又因為函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,4)))(ω>0)的圖象在區(qū)間(1,2)上不單調(diào)，所以存在k∈Z，使得kπ＋eq\f(π,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω－\f(π,4)，2ω－\f(π,4)))，即得ω－eq\f(π,4)<kπ＋eq\f(π,2)<2ω－eq\f(π,4)(k∈Z)，即eq\f(kπ,2)＋eq\f(3π,8)<ω<kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)，因為ω>0，所以k≥0，當k＝0時，eq\f(3π,8)<ω<eq\f(3π,4)；當k＝1時，eq\f(7π,8)<ω<eq\f(7π,4)；當k＝2時，eq\f(11π,8)<ω<eq\f(11π,4)；…，因此ω的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，\f(3π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,8)，\f(7π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,8)，\f(11π,4)))∪…∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4kπ＋3π,8)，\f(4kπ＋3π,4)))∪…＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，\f(3π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,8)，＋∞)).9．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2－x)的圖象與函數(shù)g(x)＝2sineq\f(π,2)x(0≤x≤4)的圖象的全部交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則f(y1＋y2＋…＋yn)＋g(x1＋x2＋…＋xn)＝________.答案eq\f(1,2)解析如圖，畫出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象，可知有4個交點，并且關(guān)于點(2,0)對稱，所以y1＋y2＋y3＋y4＝0，x1＋x2＋x3＋x4＝8，所以f(y1＋y2＋y3＋y4)＋g(x1＋x2＋x3＋x4)＝f(0)＋g(8)＝eq\f(1,2)＋0＝eq\f(1,2).10．在平面直角坐標系中，角α的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點P(－eq\r(3)，－1)，則tanα＝________，cosα＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝________.答案eq\f(\r(3),3)0解析∵角α的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點P(－eq\r(3)，－1)，∴x＝－eq\r(3)，y＝－1，∴tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(\r(3),3)，cosα＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝cosα－cosα＝0.11．已知tanα＝2，則eq\f(sin22α－2cos22α,sin4α)＝________.答案eq\f(1,12)解析∵tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(4,3)，∴eq\f(sin22α－2cos22α,sin4α)＝eq\f(sin22α－2cos22α,2sin2αcos2α)＝eq\f(tan22α－2,2tan2α)＝eq\f(\f(16,9)－2,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))))＝eq\f(1,12).12．設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿意f(x－π)＝f(x)－sinx，當－π<x≤0時，f(x)＝0，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2018π,3)))＝________.答案eq\f(\r(3),2)13．已知向量m＝(eq\r(3)sinωx,1)，n＝(cosωx，cos2ωx＋1)，設(shè)函數(shù)f(x)＝m·n＋b.(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,6)對稱，且當ω∈[0,3]時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在(1)的條件下，當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(7π,12)))時，函數(shù)f(x)有且只有一個零點，求實數(shù)b的取值范圍．解m＝(eq\r(3)sinωx,1)，n＝(cosωx，cos2ωx＋1)，f(x)＝m·n＋b＝eq\r(3)sinωxcosωx＋cos2ωx＋1＋b＝eq\f(\r(3),2)sin2ωx＋eq\f(1,2)cos2ωx＋eq\f(3,2)＋b＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))＋eq\f(3,2)＋b.(1)∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,6)對稱，∴2ω·eq\f(π,6)＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得ω＝3k＋1(k∈Z)，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1，∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(3,2)＋b，由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得kπ－eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．(2)由(1)知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(3,2)＋b，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(7π,12)))，∴2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(4π,3)))，∴當2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))，即x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(4π,3)))，即x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,12)))時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．又f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，∴當feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))>0≥feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)))或feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝0時，函數(shù)f(x)有且只有一個零點，即sineq\f(4π,3)≤－b－eq\f(3,2)<sineq\f(5π,6)或1＋eq\f(3,2)＋b＝0，∴b的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(\r(3)－3,2)))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2))).14．已知a>0，函數(shù)f(x)＝－2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋2a＋b，當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，－5≤f(x)≤1.(1)求常數(shù)a，b的值；(2)設(shè)g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))且lgg(x)>0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間．解(1)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6))).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，∴－2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)得f(x)＝－4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1，∴g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(7π,6)))－1＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1.又由lgg(x)>0，得g(x)>1，∴4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1>1，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))>eq\f(1,2)，∴2kπ＋eq\f(π,6)<2x＋eq\f(π,6)<2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，其中當2kπ＋eq\f(π,6)<2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即kπ<x≤kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z時，g(x)單調(diào)遞增；當2kπ＋eq\f(π,2)<2x＋eq\f(π,6)<2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，即kπ＋eq\f(π,6)<x<kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z時，g(x)單調(diào)遞減．∴g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,6)))，k∈Z，單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))，k∈Z.15．已知函數(shù)f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x.(1)若x是某三角形的一個內(nèi)角，且f(x)＝－eq\f(