PAGEPAGE1小題專練·作業(yè)(九)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1．已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析當(dāng)兩個(gè)平面內(nèi)的直線相交時(shí)，這兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，即兩個(gè)平面相交；但當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，兩個(gè)平面內(nèi)的直線不肯定有交點(diǎn)。故選A。答案A2．(2024·浙江高考)已知平面α，直線m，n滿意m?α，n?α，則“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析若m?α，n?α，m∥n，由線面平行的判定定理知m∥α。若m∥α，m?α，n?α，不肯定推出m∥n，直線m與n可能異面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要條件。故選A。答案A3．(2024·惠州調(diào)研)設(shè)l，m，n為三條不同的直線，α為一個(gè)平面，則下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()①若l⊥α，則l與α相交；②若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n。A．1B．2C．3D．4解析對(duì)于①，若l⊥α，則l與α不行能平行，l也不行能在α內(nèi)，所以l與α相交，①正確；對(duì)于②，若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則有可能是l?α，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若l∥m，m∥n，則l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，故③正確；對(duì)于④，因?yàn)閙⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，故④正確。故選C。答案C4．已知m，n是空間中兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，且m?α，n?β。有下列命題：①若α∥β，則m∥n；②若α∥β，則m∥β；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，則α⊥β；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，則α⊥β。其中真命題的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3解析①若α∥β，則m∥n或m，n異面，不正確；②若α∥β，依據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，可得m∥β，正確；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，則α與β不肯定垂直，不正確；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，則α與β不肯定垂直，不正確。故選B。答案B5．《九章算術(shù)》中，將底面是長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬。在陽馬P－ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD＝2AD，則異面直線PC與BD所成角的正弦值為()A．eq\f(\r(15),10) B．eq\f(\r(15),5)C．eq\f(\r(10),10) D．eq\f(\r(10),5)解析如圖，將陽馬P－ABCD置于長方體中，連接PE，CE，有BD∥PE，則異面直線PC與BD所成的角即為∠CPE。設(shè)PD＝CD＝2AD＝2，則PE＝CE＝eq\r(5)，PC＝2eq\r(2)，在等腰三角形PCE中，cos∠CPE＝eq\f(PC,2PE)＝eq\f(\r(10),5)，則sin∠CPE＝eq\f(\r(15),5)。故選B。答案B6．已知某四棱錐，底面是邊長為2的正方形，且俯視圖如圖所示，則關(guān)于該四棱錐的下列結(jié)論中不正確的是()A．四棱錐中至少有兩組側(cè)面相互垂直B．四棱錐的側(cè)面中可能存在三個(gè)直角三角形C．四棱錐中不行能存在四組相互垂直的側(cè)面D．四棱錐的四個(gè)側(cè)面不行能都是等腰三角形解析四棱錐的直觀圖如圖所示，其中頂點(diǎn)P在底面上的射影為底面正方形的邊BC的中點(diǎn)E，連接PE。AB⊥BC，AB⊥PE，PE∩BC＝E，則AB⊥平面PBC，可得側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC，同理，側(cè)面PCD⊥側(cè)面PBC，故A正確；依據(jù)選項(xiàng)A，側(cè)面PAB，PCD為直角三角形，只要調(diào)整四棱錐的高(為1)，使側(cè)面PBC為等腰直角三角形，則側(cè)面中就可能有三個(gè)直角三角形，B正確；其中側(cè)面PAD與側(cè)面PBC不行能垂直，證明如下：假設(shè)側(cè)面PAD與側(cè)面PBC垂直，因?yàn)锽C∥AD，所以BC∥平面PAD，設(shè)平面PAD∩平面PBC＝l，依據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理可得BC∥l，PE⊥BC，得PE⊥l，依據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，PE⊥平面PAD，由于PE⊥平面ABCD，所以平面PAD∥平面ABCD，與平面PAD∩平面ABCD＝AD沖突，所以假設(shè)不成立，故側(cè)面PAD與側(cè)面PBC不行能垂直，C中的結(jié)論是正確的；若PB＝PC＝AB＝2，PA＝PD＝2eq\r(2)，則四棱錐的四個(gè)側(cè)面均是等腰三角形，故D中的結(jié)論不正確。故選D。答案D7．如圖所示，正方形ABCD，正方形BDEF所在的平面相互垂直，給出下列結(jié)論：①BF與BE所成角的正切值為eq\f(\r(2),2)；②平面ADE內(nèi)存在多數(shù)條直線與直線FC平行；③平面BDEF內(nèi)的隨意一條直線均垂直于直線AC；④直線AF與平面BDEF所成角的正弦值為eq\f(\r(6),6)。其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析記AC∩BD＝O，連接OF。①BF與BE所成的角即∠FBE，其正切值為eq\f(EF,BF)＝1，①錯(cuò)誤；②因?yàn)锽F∥DE，BC∥AD，且BF∩BC＝B，DE∩AD＝D，所以平面BFC∥平面ADE，所以FC∥平面ADE，所以平面ADE內(nèi)存在多數(shù)條直線與直線FC平行，②正確；③DE⊥AC，BD⊥AC，DE∩BD＝D，所以AC⊥平面BDEF，所以平面BDEF內(nèi)的隨意一條直線均垂直于直線AC，③正確；④直線AF與平面BDEF所成的角即∠AFO，其正弦值為eq\f(AO,AF)＝eq\f(\r(6),6)，④正確。故選C。答案C8．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1C1∩B1D1＝E，直線AC與直線DE所成的角為α，直線DE與平面BCC1B1所成的角為β，則cos(α－β)＝________。解析連接BD，則eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AC⊥BD,AC⊥BB1,BD∩BB1＝B))?AC⊥平面BB1D1D?AC⊥DE，所以α＝eq\f(π,2)。取A1D1的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)D，易知EF⊥平面AA1D1D，平面AA1D1D∥平面BCC1B1，則∠EDF＝β，所以cos(α－β)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－∠EDF))＝sin∠EDF＝eq\f(\r(6),6)。答案eq\f(\r(6),6)9．已知a，b表示兩條不同直線，α，β，γ表示三個(gè)不同平面，給出下列命題：①若α∩β＝a，b?α，a⊥b，則α⊥β；②若a?α，a垂直于β內(nèi)的隨意一條直線，則α⊥β；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，則a⊥b；④若a不垂直于平面α，則a不行能垂直于平面α內(nèi)的多數(shù)條直線；⑤若a⊥α，a⊥β，則α∥β。上述五個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________。解析對(duì)于①，依據(jù)線面垂直的判定定理，須要一條直線垂直于同一平面內(nèi)兩條相交的直線，故a⊥b，α不肯定垂直平面β，故不正確；對(duì)于②，a?α，a垂直于β內(nèi)的隨意一條直線，滿意線面垂直的定理，即可得到a⊥β，又a?α，則α⊥β，故正確；對(duì)于③，α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，則a⊥b或a∥b，或相交，故不正確；對(duì)于④，若a不垂直于平面α，則a可能垂直于平面α內(nèi)的多數(shù)條直線，故不正確；對(duì)于⑤，依據(jù)線面垂直的性質(zhì)，若a⊥α，a⊥β，則α∥β，故正確。答案②⑤10．如圖所示，在棱長均相等的正四棱錐P－ABCD中，O為底面正方形的中心，M，N分別為側(cè)棱PA，PB的中點(diǎn)，有下列結(jié)論：①PC∥平面OMN；②平面OMN⊥平面PAB；③OM⊥PA；④平面PCD∥平面OMN。其中正確結(jié)論的序號(hào)是________。解析如圖，其中E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，G為OE的中點(diǎn)，平面OMN即平面MNFE。PC∥OM，所以PC∥平面OMN，結(jié)論①正確，同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，結(jié)論④正確；由于四棱錐的棱長均相等，所以PA2＋PC2＝AB2＋BC2＝AC2，所以PC⊥PA，PC∥OM，所以O(shè)M⊥PA，結(jié)論③正確；因?yàn)镺M＝eq\f(1,2)PC＝eq\f(1,2)PD＝ME，所以MG⊥OE，又MN∥OE，所以MG⊥MN，設(shè)四棱錐的棱長為4，MA＝2，AG＝eq\r(5)，MG＝eq\r(3)，三邊長度不滿意勾股定理，所以MG不垂直PA，所以平面OMN不垂直平面PAB，結(jié)論②不正確。答案①③④11．(2024·南寧聯(lián)考)如圖，在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)?，F(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H。下列說法錯(cuò)誤的是________(將符合題意的序號(hào)填到橫線上)。①AG⊥△EFH所在平面；②AH⊥△EFH所在平面；③HF⊥△AEF所在平面；④HG⊥△AEF所在平面。解析依據(jù)折疊前AB⊥BE，AD⊥DF可得折疊后AH⊥HE，AH⊥HF，可得AH⊥平面EFH，即②正確；因?yàn)檫^點(diǎn)A只有一條直線與平面EFH垂直，所以①不正確；因?yàn)锳G⊥EF，AH⊥EF，所以EF⊥平面HAG，所以平面HAG⊥平面AEF。過H作直線垂直于平面AEF，該直線肯定在平面HAG內(nèi)，所以③不正確；因?yàn)镠G不垂直AG，所以HG⊥平面AEF不正確，④不正確，綜上，說法錯(cuò)誤的序號(hào)是①③④。答案①③④12．(2024·南昌調(diào)研)如圖，四棱錐P－ABCD中，△PAB與△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，則下列結(jié)論不肯定成立的是()A．PB⊥ACB．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PDD．平面PBD⊥平面ABCD解析如圖，對(duì)于A，取PB的中點(diǎn)O，連接AO，CO。因?yàn)樵谒睦忮FP－ABCD中，△PAB與△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，所以AO⊥PB，CO⊥PB，因?yàn)锳O∩CO＝O，所以PB⊥平面AOC，因?yàn)锳C?平面AOC，所以PB⊥AC，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)M，易知M為AC的中點(diǎn)，若PD⊥平面ABCD，則PD⊥BD，由已知條件知點(diǎn)D滿意AC⊥BD且位于BM的延長線上，所以點(diǎn)D的位置不確定，所以PD與BD不肯定垂直，所以PD⊥平面ABCD不肯定成立，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C，因?yàn)锳C⊥PB，AC⊥BD，PB∩BD＝B，所以AC⊥平面PBD，因?yàn)镻D?平面PBD，所以AC⊥PD，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，因?yàn)锳C⊥平面PBD，AC?平面ABCD，所以平面PBD⊥平面ABCD，故選項(xiàng)D正確。故選B。答案B13．(2024·昆明調(diào)研)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝2。過點(diǎn)A1作平面α與AB，AD分別交于M，N兩點(diǎn)，若AA1與平面α所成的角為45°，則截面A1MN面積的最小值是()A．2eq\r(3) B．4eq\r(2)C．4eq\r(6) D．8eq\r(2)解析如圖，過點(diǎn)A作AE⊥MN，連接A1E，因?yàn)锳1A⊥平面ABCD，所以A1A⊥MN，所以MN⊥平面A1AE，所以A1E⊥MN，平面A1AE⊥平面A1MN，所以∠AA1E為AA1與平面A1MN所成的角，所以∠AA1E＝45°，在Rt△A1AE中，因?yàn)锳A1＝2，所以AE＝2，A1E＝2eq\r(2)，在Rt△MAN中，由射影定理得ME·EN＝AE2＝4，由基本不等式得MN＝ME＋EN≥2eq\r(ME·EN)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)ME＝EN，即E為MN的中點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以截面A1MN面積的最小值為eq\f(1,2)×4×2eq\r(2)＝4eq\r(2)。故選B。答案B14．(2024·洛陽統(tǒng)考)正方形ABCD和等腰直角三角形DCE組成如圖所示的梯形，M，N分別是AC，DE的中點(diǎn)，將△DCE沿CD折起(點(diǎn)E始終不在平面ABCD內(nèi))，則下列說法肯定正確的是________。(寫出全部正確說法的序號(hào))①M(fèi)N∥平面BCE；②在折起過程中，肯定存在某個(gè)位置，使MN⊥AC；③MN⊥AE；④在折起過程中，肯定存在某個(gè)位置，使DE⊥AD。解析折起后的圖形如圖所示，①取CD的中點(diǎn)O，連接MO，NO，則在△ACD中，M，O分別是AC，CD的中點(diǎn)，所以MO∥AD∥BC，同理NO∥CE，又BC∩CE＝C，所以平面MON∥平面BCE，所以MN∥平面BCE，故①正確；②易知MO⊥CD，NO⊥CD，又MO∩NO＝O，所以CD⊥平面MNO，所以MN⊥CD，若MN⊥AC，又AC∩CD＝C，所以MN⊥平面ABCD，所以MN⊥MO，又MO＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)EC＝NO，所以MN不行能垂直于MO，故MN⊥AC不成立，故②錯(cuò)誤；③取CE的中點(diǎn)Q，連接MQ，則在△ACE中，M，Q分別是AC，CE的中點(diǎn)，所以MQ∥AE，由圖知MQ與MN不行能始終垂直，故③錯(cuò)誤；④當(dāng)平面CDE⊥平面ABCD時(shí)，又平面CDE∩平面ABCD＝CD，AD⊥CD，AD?平面ABCD，所以AD⊥平面CDE，所以AD⊥DE，故④正確。綜上所述，正