恩施州高中教育聯(lián)盟2023年春季學(xué)期高二年級期末考試數(shù)學(xué)考試滿分：150分考試用時：120分鐘?？荚図樌⒁馐马棧?．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.或【答案】C【解析】【分析】先求解得出，進(jìn)而根據(jù)集合的交集運(yùn)算，得出答案.【詳解】由已知可得，，解可得，，所以，所以，.故選：C.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意得到，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)模的公式，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)滿足，所以，所以.故選：A.3.已知向量，，若向量滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，由向量平行的坐標(biāo)表示，向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合，，列出方程組求解即可．【詳解】設(shè)，則，，由得，，由得，，則，解得，所以，故選：B．4.若兩條直線，與圓的四個交點能構(gòu)成正方形，則（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】由直線方程知，由題意正方形邊長等于直線、的距離，又，結(jié)合兩線距離公式即可求的值.【詳解】由題設(shè)知：，要使，，，四點且構(gòu)成正方形，∴正方形的邊長等于直線、的距離，則，若圓的半徑為r，，即，則，由正方形的性質(zhì)知：，∴，即有.故選：B.5.在中，已知角，則最大值是（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意化簡得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因為，可得，所以，且，則，因為，可得，當(dāng)時，即時，取得最大值，所以的最大值為.故選：C.6.若，且，則（）A.42 B.1092 C.1086 D.6【答案】C【解析】【分析】取結(jié)合等比數(shù)列求和公式得到，計算得到答案.【詳解】取得到，即，，則.故選：C.7.法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓．我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓的蒙日圓方程為，現(xiàn)有橢圓的蒙日圓上一個動點，過點作橢圓的兩條切線，與該蒙日圓分別交于兩點，若面積的最大值為28，則橢圓的長軸長為（）A.5 B.8 C.4 D.10【答案】B【解析】【分析】由勾股定理和基本不等式可得面積最大值，然后可得答案.【詳解】橢圓的蒙日圓的半徑為．因為，所以為蒙日圓的直徑，所以，所以．因為，當(dāng)時，等號成立，所以面積的最大值為．由面積的最大值為28，得，得，故橢圓的長軸長為8．故選：B．8.若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得公切線方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合，得到，令，求得，令，求得和，得到函數(shù)的單調(diào)性和最小值，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因為，設(shè)切點為，則，則公切線方程為，即，與聯(lián)立可得，所以，整理可得，又由，可得，解得，令，其中，可得，令，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，即，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，且當(dāng)時，，所以函數(shù)的值域為，所以且，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：A.【點睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分，全部選對得5分，部分選對但無錯誤選項的得2分，有錯誤選項的得0分）9.構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系是我國教育一直以來努力的方向.某中學(xué)積極響應(yīng)黨的號召，開展各項有益于德智體美勞全面發(fā)展的活動.如圖所示的是該校高三（1）、（2）班兩個班級在某次活動中的德智體美勞的評價得分對照圖（得分越高，說明該項教育越好），則（）A.高三（2）班五項評價得分的極差為1B.除體育外，高三（1）班的各項評價得分均高于高三（2）班對應(yīng)的得分C.高三（1）班五項評價得分的平均數(shù)比高三（2）班五項評價得分的平均數(shù)要高D.各項評價得分中，這兩個班的體育得分相差最大【答案】AC【解析】【分析】利用極差的概念，平均數(shù)的概念以及根據(jù)統(tǒng)計圖表的相關(guān)知識判斷選項即可.【詳解】對于A，高三（2）班德智體美勞各項得分依次為9.5，9，9.5，9，8.5，所以極差為，A正確；對于B，兩班的德育分相等，B錯誤；對于C，高三（1）班的平均數(shù)為，（2）班的平均數(shù)為，故C正確；對于D，兩班的體育分相差，而兩班的勞育得分相差，D錯誤，故選：AC．10.如圖，四棱錐的底面為梯形，底面為棱的中點，則（）A.與平面所成的角為B.C.平面D.三棱錐的體積為【答案】CD【解析】【分析】對于A項，根據(jù)線面角的定義解三角形即可；對于B項，解即可；對于C項，判定BC與BD的位置關(guān)系即可；利用線段關(guān)系轉(zhuǎn)化為求即可.【詳解】對于A，因為底面，所以即為與平面所成的角平面角，又平面，所以，，則，所以與平面所成的角大于，故A錯誤；對于B，連接AC，，因為E為PA中點，，故PA與CE不垂直，故B錯誤；對于C，如圖所示，在梯形ABCD中，過B作，由條件可得，，故，則，所以，又底面，平面，則，又，所以平面，故C正確；對于D，因為E為PA中點，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，故，由上可得，故，故D正確.故選：CD.11.已知函數(shù)，則關(guān)于零點敘述不正確的是（）A.當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點B.函數(shù)必有一個零點是正數(shù)C.當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點D.當(dāng)時，函數(shù)只有一個零點【答案】ACD【解析】【分析】在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，可觀察出A、C、D選項錯誤，選項B正確．【詳解】?在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，可觀察出當(dāng)時，函數(shù)有一個零點,當(dāng)時，函數(shù)有一個零點,當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點函數(shù)必有一個零點是正數(shù),A、C、D選項錯誤，選項B正確．故選:ACD.12.如果函數(shù)滿足：當(dāng)a，b，c是一個三角形的三邊長，且都存在時，也是某個三角形的三邊長，那么就稱具有“性質(zhì)P”，則（）A.具有“性質(zhì)P”B.不具有“性質(zhì)P”C.當(dāng)具有“性質(zhì)P”時，M的最小值為2D.當(dāng)具有“性質(zhì)P”時，【答案】ABC【解析】【分析】對于AB，利用不等式的性質(zhì)或特例可判斷AB的正誤.對于C，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可求的范圍，對于D，可證時，函數(shù)具有性質(zhì)，故可判斷CD的正誤.【詳解】對于選項AB，對于在上單調(diào)遞增的函數(shù)，具有“性質(zhì)P”等價于對任意滿足且的實數(shù)a，b，c，均有．而，因此具有“性質(zhì)P”；取，則，于是不具有“性質(zhì)P”．對于選項C，顯然．當(dāng)且時，有知，從而有．而當(dāng)時，取且，則，不符合題意．因此M的最小值為2．對于選項D，若，可以取，但不能構(gòu)成三角形，因此．下面證明當(dāng)時，具有“性質(zhì)P”．若且能構(gòu)成三角形，不妨設(shè)當(dāng)時，，同理，，所以構(gòu)成三角形.當(dāng)時，此時，，故，所以，同理可得又，若，則，若，因此，故，所以，而，所以，所以構(gòu)成三角形.因此命題得證，從而M可以取得，命題D錯誤．故選：ABC三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.2023年9月第19屆亞運(yùn)會將在杭州舉辦，在杭州亞運(yùn)會三館（杭州奧體中心的體育館?游泳館和綜合訓(xùn)練館）對外免費開放，預(yù)約期間將4名志愿者分配到這三館負(fù)責(zé)接待工作，每個場館至少分配1名志愿者，則共有__________種分配方案．【答案】36【解析】【分析】先分成3組，然后再分配到三館可得.【詳解】將4名志愿者分成3組，有種，然后將3組分配給3個場館有種，所以總的分配方案共種.故答案為：3614.在四面體ABCD中，，AB與CD所在的直線間的距離為3，且AB與CD所成的角為，則四面體ABCD的體積為__________．【答案】【解析】【分析】補(bǔ)形成平行六面體，由線面平行和已知可得點到平面的距離，然后由可得.【詳解】如圖所示，把三棱錐補(bǔ)成一個平行六面體，其中為異面直線的公垂線，即且，在平行六面體中，可得，所以，又因為，且平面，所以平面，因為平面，平面，又平面，所以點到平面的距離，因為且異面直線與所成的角為，所以與所成的角為．由平行六面體性質(zhì)可知，四邊形為平行四邊形，所以.又因為，所以，即四面體的體積為．故答案為：．15.從某個角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，且，視所在直線為x軸，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程方程為_________．【答案】【解析】【分析】先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)條件求出，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)所求雙曲線方程為：，如圖，因為，易知，又坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分點，所以在雙曲線上，得到，整理得到，故所求曲線方程為.故答案為：.16.已知，則的大小關(guān)系為__________.（從小到大）【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求得單調(diào)遞減，得出，再令，求得單調(diào)遞增，得到，結(jié)合，即可求解.【詳解】由，令，可得，所以單調(diào)遞減，所以，即，令，可得，所以單調(diào)遞增，所以，即，又由，所以，即，所以，所以.故答案為：.四?解答題（本題共6小題，共70分，各題應(yīng)有必要的文字?jǐn)⑹黾巴评硌菟氵^程）17.在中，角的對邊分別為，.（1）若，求；（2）若，點在邊上，且平分，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩角和、差的余弦公式求出，由誘導(dǎo)公式求出，即可求出，最后由計算可得；（2）利用二倍角公式求出，再由求出，最后由面積公式計算可得.【小問1詳解】因為，則，，又，，則，又，所以，則.【小問2詳解】由（1）知，則，由得，即，則，即，解得，所以的面積.18.已知數(shù)列滿足，且.（1）證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）記數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）由等比數(shù)列的定義即可求證，（2）由分組求和，結(jié)合等差等比數(shù)列的求和公式即可求解.【小問1詳解】變形得：，又，故，所以是首項為3，公比為3的等比數(shù)列.從而，即.【小問2詳解】由（1）知，故數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項是以9為首項，9為公比的等比數(shù)列，所以.19.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明平面；（2）分別求出平面和平面的法向量，利用向量法求解．【小問1詳解】證明：由題意，在矩形中，，，，，分別是，的中點，，，在四棱錐中，面面，面面，，平面面，面，，，，，面，面，，面，面，，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，,0,，,0,，,4,，,4,，,0,，,2,，,2,，0,，面的一個法向量為，，平面，平面．【小問2詳解】由題意及（1）得：在平面中，,0,，,0,，,2,，,2,，,2,，設(shè)平面的法向量為，則，取，得,,，平面的一個法向量為,0,，設(shè)二面角的平面角為，由圖得為鈍角，二面角的余弦值為：．20.1月11日，國臺辦舉行了2023年首場新聞發(fā)布會，在回應(yīng)兩岸媒體關(guān)注的近期解放軍軍機(jī)在臺海演訓(xùn)活動為何如此頻繁時，發(fā)言人馬曉光表示，凡事有因必有果，人民解放軍的演練是對臺美勾連挑釁升級，破壞臺海和平穩(wěn)定的嚴(yán)正警告，大陸阻止臺美軍事勾連挑釁升級，為的是維護(hù)兩岸同胞的共同利益，維護(hù)臺海和平穩(wěn)定，維護(hù)臺灣同胞和平安寧的生活，在某次臺海演習(xí)中，解放軍派出一架轟-6轟炸機(jī)迂回對一目標(biāo)艦艇進(jìn)行三次投彈攻擊，已知轟炸機(jī)每次攻擊時擊中艦艇的概率都為，各次攻擊彼此獨立，艦艇被轟炸機(jī)擊中一次而擊沉的概率為，被轟炸機(jī)擊中兩次而擊沉的概率為，若三次都擊中，艦艇必定被擊沉.（1）求目標(biāo)艦艇被我軍轟炸機(jī)擊中次數(shù)的分布列及期望，方差；（2）求目標(biāo)艦艇被擊沉的概率；（3）當(dāng)目標(biāo)艦艇被擊沉?xí)r，求該艦艇被我軍轟炸機(jī)至少擊中兩次的概率.【答案】（1）分布列見解析，，（2）（3）.【解析】【分析】（1）由二項分布概率公式求概率即可得分布列，再由二項分布期望和方差公式可得；（2）根據(jù)條件概率以及全概率公式求解可得；（3）根據(jù)（2）中結(jié)果，結(jié)合條件概率公式可得.【小問1詳解】由題知，擊中次數(shù)，，所以；；；.得分布列如下：X0123P由二項分布的期望和方差公式可得：，.【小問2詳解】記擊中i次為事件，，，，艦艇被擊沉事件B，則，，，，即目標(biāo)艦艇被擊沉的概率為.【小問3詳解】根據(jù)（2）中數(shù)據(jù)：，即當(dāng)目標(biāo)艦艇被擊沉?xí)r，該艦艇被我軍轟炸機(jī)至少擊中兩次的概率為.21.已知是拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于、兩點，且．（1）求拋物線的方程；（2）若為坐標(biāo)原點，過點作軸的垂線交直線于點，過點作直線的垂線與拋物線的另一交點為，的中點為，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析可知與軸不重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用拋物線的焦半徑公式結(jié)合韋達(dá)定理以及可求得的值，由此可得出拋物線的方程；（2）寫出直線的方程，將代入直線的方程，求出的坐標(biāo)，然后求出的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出點的坐標(biāo)，分析可知、、三點共線，可得出，結(jié)合可求得的取值范圍.【小問1詳解】解：拋物線的焦點為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，解得，所以，拋物線的方程為.【小問2詳解】解：設(shè)點、，則，由（1）可得，，又因為直線的方程為，將代入直線的方程可得，可得，即點，所以，，因為，則，所以，直