江蘇省南通市崇川區(qū)2024-2025學(xué)年高二(下)期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知過=(4,力一1,乂+1)是直線/的方向向量，萬=(1,2,3)是平面a的法向量.若E〃a,貝卜=()

A.-2B.2C.-1D.1

2.已知C7+2=28,則幾=()

A.5B.6C.7D.8

3.隨機(jī)變量X的分布列為P(X=0)=0.2,P(X=1)=0.6,P(X=2)=0.2,則E(3X+2)=()

A.1B.3C.5D.9

4.學(xué)校食堂的一個(gè)窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選2種，不同的選法共有()

A.1000B.60C.30D.10

5.一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)如下

表所示.

零件數(shù)汽個(gè)1020304050

加工時(shí)間y/nin50607080100

由上表數(shù)據(jù)求得y關(guān)于光的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=1.2%+b,據(jù)此計(jì)算出樣本點(diǎn)(40,80)處的殘差為()

A.-1B.-2C.-3D.-4

6.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(20,62),隨機(jī)變量丫服從正態(tài)分布N(24,22),X和丫的分布密度曲線如圖

所示，則()

A.P(X>20)>P(Y>24)B.P(X>24)>P(Y>24)

C.P(X<28)<P(Y<28)D.P(X<24)<P(Y<24)

7.甲、乙兩名選手進(jìn)行圍棋比賽，已知每局比賽結(jié)果只有勝負(fù)兩種，且甲每局獲勝的概率為|.若比賽采用3

局2勝制(先勝2局者贏得比賽)，則甲贏得比賽的概率為()

A?B-C-D—

A.3段9627

8.某農(nóng)科所在甲，乙，丙地塊培育同一種苗，甲地塊培育的一等種苗占比80%,乙地塊培育的一等種苗占

比60%,丙地塊培育的一等種苗占比70%,將三個(gè)地塊培育的種苗混放在一起.已知甲，乙，丙培育的種苗

數(shù)分別占總數(shù)的40%,40%,20%.從這批種苗中隨機(jī)抽取一株，它是一等種苗的概率為()

A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知正方體48CD的棱長為2,E,F分別是棱4B,4名的中點(diǎn)，貝|()

A.CF=2/2

B.于是平面DAE的法向量

C.&E與平面BB/iD所成角的正弦值為喟

D.向量砧，~BF,瓦瓦共面

10.一個(gè)袋子中有3個(gè)大小相同的球，其中有1個(gè)紅球、2個(gè)白球.從袋中不放回摸球2次.每次摸1個(gè)球，記摸

得紅球個(gè)數(shù)為X,從袋中有放回摸球2次，每次摸1個(gè)球，記摸得紅球個(gè)數(shù)為丫，則()

A.X的所有可能取值為0或1B.y的所有可能取值為0或1

C.P(X=1)=P(Y=1)D.E(X)=￡(y)

111

11.已知P(M)=P(N)=P(MN)=則()

5Z4

A.P(M)=|B.P(N|M)=|C.P(N|M)=]D.P(M+N)=5

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(4%++產(chǎn)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

13.甲、乙、丙3人獨(dú)立地破譯某個(gè)密碼，每人譯出此密碼的概率均為：，則至少有兩人譯出該密碼的概率

為.

14.將數(shù)字1,2,3,....8排成一個(gè)8位數(shù)，則前4位數(shù)字之和大于后4位數(shù)字之和的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

某醫(yī)院采用甲、乙兩種方案治療胃痛.采用有放回簡單隨機(jī)抽樣的方法對治療情況進(jìn)行檢查，得到下面兩種

療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：

療效

療法合計(jì)

未治愈治愈

甲155065

乙56065

合計(jì)20110130

(1)根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好;

(2)從未治愈的20名患者中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話回訪，求2人采用不同療法的概率.

n{ad—bc')2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

a0.0500.0100.0050.001

3.8416.6357.87910.828

16.(本小題15分)

五一假期即將來臨，甲、乙、丙、丁4名同學(xué)決定到南通的3個(gè)著名景點(diǎn)“狼山”“啟唐城”“忠孝博物

館”游覽，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)景點(diǎn).

(1)若甲和乙不去同一個(gè)景點(diǎn)，則有多少種不同的安排方法？

(2)若每個(gè)景點(diǎn)必須有同學(xué)去，則有多少種不同的安排方法？

(3)若每個(gè)景點(diǎn)必須有同學(xué)去，且丙不去狼山，則有多少種不同的安排方法？

17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P-4BCD中，平面PAD_L平面ABCD,AB//CD,AB1BC,PA=PD=BC=CD=2,

48=4,E為PB的中點(diǎn).

(1)求證：BOI平面PA。；

(2)求平面ACE與平面PCD夾角的余弦值；

(3)點(diǎn)尸在棱P2上，且DF〃平面4EC,求普的值.

18.(本小題17分)

2n-122n1

已知(1+x)2+(1+*)34---F(1+x)=cz0+arx+a2x+—I-a2n-1x^,n>2,n&N*.

⑴求劭；

(2)求a1+的+…+a2rj_];

(3)若n=50,求以(/￡=0,1,2，…,99)取最大值時(shí)k的值.

19.(本小題17分)

如圖，在一次傳球訓(xùn)練中，甲、乙、丙、丁四人按照逆時(shí)針依次站在一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)處.每次傳球

時(shí)，傳球者將球傳給其他三人中的一個(gè).已知第1次由甲將球傳出，且每次傳球者沿著正方形的邊傳給隊(duì)友

的概率為看，沿著正方形的對角線傳給隊(duì)友的概率為看

(1)求第3次傳球者為乙的概率；

(2)記前3次傳球中丙的傳球次數(shù)為X,求X的概率分布列及方差;

(3)求第九次傳球者為丁的概率.

答案解析

1.【答案】C

【解析】解：因?yàn)椤?a,所以直線1的方向向量丘=(4,刀—1,尤+1)與平面戊的法向量萬=(1,2,3)垂直，

則記?萬=0,則4x1+(久一1)X2+(x+1)x3=0,解得尤=-1.

故選：C.

利用直線與平面平行時(shí)直線的方向向量與平面的法向量垂直這一關(guān)系，通過向量垂直的性質(zhì)來求解x的

值.

本題考查了平面的法向量，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：由C△2=28,得等祟=5+2器1)=28,

即"+3n-54=0,解得n=6或n=-9(舍去).

故選：B.

由已知直接展開組合數(shù)公式求解.

本題考查組合數(shù)公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X的分布列為P(X=0)=0.2,P(X=1)=0.6,P(X=2)=0.2,

所以E(X)=0x0.24-1x0.6+2x0,2=1,

所以E(3X+2)=3E(X)+2=3x14-2=5.

故選：C.

根據(jù)期望的定義求出E(X),再結(jié)合期望的性質(zhì)求解.

本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查了期望的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：學(xué)校食堂的一個(gè)窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選2種，

則不同的選法共有程髭髭=1000種.

故選：A.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理相關(guān)知識可解.

本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理相關(guān)知識，屬于中檔題.

5.【答案】D

，名刀土匚1名刀+日而左n—10+20+30+40+50—50+60+70+80+100―n

【解析】解：由題思可知，X=-----------=3Q0,ny=-------------=72,

因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程y=1.2x+6過點(diǎn)GJ),即點(diǎn)(30,72),

所以72=1.2x30+6,

解得b=36,

所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=1.2%+36,

所以樣本點(diǎn)(40,80)處的殘差為80-(1.2X40+36)=-4.

故選：D.

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=1.2%+6過點(diǎn)自5)求出6的值，再結(jié)合殘差的定義求解.

本題主要考查了經(jīng)驗(yàn)回歸方程的性質(zhì)，考查了殘差的定義，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解:對于4因?yàn)閄~N(20,62),丫?N(24,22),

所以P(X>20)=0.5,P(Y>24)=0.5,

所以「(XN20)=P(yN24),故A錯(cuò)誤；

對于8,因?yàn)閄?N(20,62),丫?N(24,22),

所以P(X>24)<0.5,P(Y>24)=0.5,

所以P(X224)<P(Y224),故B錯(cuò)誤；

對于C,因?yàn)閄?N(20,62),丫?N(24,22),

所以P(X<28)<P(X<32)=P(X=20+2X6),P(Y<28)=P(Y=24+2X2),

又因?yàn)镻(X=20+2x6)=P(Y=24+2X2),

所以P(XW28)<P(YW28),故C正確；

對于O,因?yàn)閄?N(20,62),丫?N(24,22),

所以P(X<24)>0.5,P(Y<24)=0.5,

所以P(X<24)>P(YW24),故。錯(cuò)誤.

故選：c.

利用正態(tài)分布曲線的對稱性求解.

本題主要考查了正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：甲贏得比賽有兩種情況:

①甲在前兩局均獲勝，概率為Pi=|x|=\

②甲在前兩局1勝1負(fù)，第三局甲獲勝，概率為P2=2x|xgx|=5

所以甲贏得比賽的概率為P=PI+。2=1+^=3

故選：D.

利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式求解.

本題主要考查了獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解:甲地塊培育的一等種苗占比80%,乙地塊培育的一等種苗占比60%,丙地塊培育的一等種苗

占比70%,

甲，乙，丙培育的種苗數(shù)分別占總數(shù)的40%,40%,20%,

從這批種苗中隨機(jī)抽取一株，它是一等種苗的概率為80%x40%+60%x40%+70%x20%=0.7.

故選：B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合全概率公式，即可求解.

本題主要考查全概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】BCD

【解析】解：在棱長為2的正方體48CD-481GD1中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,0,0),C(0,2,0),￡)1(0,0,2),B(2,2,0),力式2,0,2),Q(0,2,2),&(2,2,2),￡-(2,1,0),尸(1,0,2),

對于4：因?yàn)榉?(1,一2,2)，所以|謂|=?F+4+4=3,故A不正確；

對于B：因?yàn)槭?(1,-2,0),西=(0,0,2)，礪=(2,1,0)，

則守?西=0，C^F-~DE=0>

即GF±DD],C/±DE,而nDE=D,DDr,DEu平面。。*，

因此GF，平面。。拉，即可是平面DD1E的法向量，故2正確；

對于C,在正方體中，易知41Gl平面BB/i。，

所以而=(—2,2,0)是平面BB/i。的法向量，

又砧=(0,1,-2).

設(shè)&E與平面BBiRD所成角為仇

則sin。=|cos<ArE,ArCr>|=。/不=故C正確；

ZVAXV3LU

對于D：對于B,A^E=(0,1,-2)，BF=(-l,-2,2)-

D1B1=(2,2,0)=-2砧-2FF)

則向量裁，BF，瓦仄共面，故。正確.

故選：BCD.

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解判斷各選項(xiàng)即可.

本題考查向量法的應(yīng)用，屬于中檔題.

10.【答案】AD

【解析】解：對于4項(xiàng)，從有1個(gè)紅球2個(gè)白球的袋中，不放回取球2次，每次取1個(gè)球，記取得紅球次數(shù)為

X,

隨機(jī)變量X的可能取值為0或1,即A正確;

對于B項(xiàng)，從有1個(gè)紅球2個(gè)白球的袋中，有放回取球2次，每次取1個(gè)球，記取得紅球次數(shù)為丫,

隨機(jī)變量y的可能取值為?；騃或2,即B錯(cuò)誤;

對于C項(xiàng)，由題意可知P（x=1）=§x1+3xg=|,

P（y=l）=§X3+&X也=1今P（x=l）力P（y=l）,即c錯(cuò)誤；

對于。項(xiàng)，p（x=o）=4x4=gp（y=0）=4><4=^p（r=2）=4x4=

7C3C23C3C39C3C39

122

OX+X-4.12.

3-3-3-+lx§+2x§=q0E（X）=E（Y）,D正確.

故選：AD.

根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概念、概率分布，及其期望公式一一判定即可.

本題考查離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：由題意可知，P(M)=1-P(M)=|,故A正確;

P(AZ|M)=?=|=|,故8正確;

P(N)=P(MN)+P(MN),

1

則P(MN)=p

4

1

-3

4

---

P(N而)=型絲28

-

3

1117

P(M+N)=P(M)+P(N)—P(MN)=右+/戶臺故。正確.

故選：ABD.

根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率公式，以及和事件的概率公式，即可求解.

本題主要考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】84

【解析】解：展開式的通項(xiàng)公式為T『+1=舄?(4x)9-.(e)『=舄X4*X-X9-lr,

令9一三=0，得「=6,

3

所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為Cfx4x?)6=84.

故答案為：84.

根據(jù)二項(xiàng)式定理確定展開式的通項(xiàng)，即可求得常數(shù)項(xiàng).

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】*

【解析】解：因?yàn)榧住⒁?、?人獨(dú)立地破譯某個(gè)密碼，每人譯出此密碼的概率均為，

所以至少有兩人譯出該密碼的概率為P=|x|x1x(1)2x(1-=^.

故選：

根據(jù)獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式求解.

本題主要考查了獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】

【解析】解:根據(jù)題意，將數(shù)字1,2,3,…，8排成一個(gè)8位數(shù)，有瑪種排法,

8個(gè)數(shù)字的和為1+2+3+4+5+6+7+8=36,

前4個(gè)數(shù)字的取法有^=70種，

其中和為18的取法有：(1,2,7,8)、(1,3,6,8)、(1,4,5,8)、(2,3,5,8)、(2,3,6,7)、(2,4,5,7)、(1,4,6,7)、

(3,4,5,6),共8種，

而大于18和小于18的取法數(shù)目相等，故大于18的取法有2(70-8)=31種，

則前4位數(shù)字之和大于后4位數(shù)字之和的取法有31x朗x四種，

故前4位數(shù)字之和大于后4位數(shù)字之和的概率P=S'產(chǎn)=

/U

故答案為：祟

根據(jù)題意，先計(jì)算所有8位數(shù)的數(shù)目，再分析其中“前4位數(shù)字之和大于后4位數(shù)字之和”的8位數(shù)數(shù)目，由

古典概型公式計(jì)算可得答案.

本題考查古典概型的計(jì)算，涉及排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷%成立，因此可以認(rèn)為為不成立，

即認(rèn)為兩種療法效果沒有差異；

15

38-

【解析】解：(1)零假設(shè)為：療法與療效獨(dú)立，即兩種療法效果沒有差異，

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到f=13黑嘴*;言。)=胃=5.9091<7.879=%0,005,

根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷為成立，因此可以認(rèn)為為不成立，即認(rèn)為兩種

療法效果沒有差異；

(2)從未治愈的20名患者中隨機(jī)抽取2人，共有廢0=190種不同取法，

兩人采用不同療法的取法共有盤5盤=75種不同取法，

記“從未治愈的20名患者中隨機(jī)抽取2人，2人采用不同療法”為事件4

則p(4)=2L=竺

人⑴

19038'

(1)計(jì)算f的值，與臨界值比較即可；

(2)利用古典概型的概率公式求解.

本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題.

16.【答案】54；

36；

24.

【解析】解：(1)由題意可得：若甲和乙不去同一個(gè)景點(diǎn),

則有掰x3x3=54種不同的安排方法；

(2)若每個(gè)景點(diǎn)必須有同學(xué)去，

則有底心=36種不同的安排方法；

(3)若每個(gè)景點(diǎn)必須有同學(xué)去，且丙不去狼山，

則有屐^掰+廢廢彩=24種不同的安排方法.

(1)結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可；

(2)結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可;

(3)由排列、組合及簡單計(jì)數(shù)原理，結(jié)合分類加法及分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可.

本題考查了排列、組合及簡單計(jì)數(shù)原理，重點(diǎn)考查了分類加法及分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬中檔題.

17.【答案】證明見解答；苛?,1.

【解析】解：(1)證明：連接BD,因?yàn)锳BIBC,BC=

CD=2,

所以BD=V22+22=2逅，乙DBA=45°,

又因?yàn)閆B=4,

所以力。=J16+8—2x4x苧=2逅，

所以+B￡)2=AB2t

所以力D1BD,

因?yàn)槠矫鍼AD_L平面力BCD,平面PADn平面ABCD=AD,BDu平面力BCD,

所以8。1平面PAO；

(2)因?yàn)镻A=PD=2,AD=2，I，

所以PA1PD,

如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DB所在直線分別為％,y軸，平面PAD內(nèi)過點(diǎn)D且與D4垂直的直線為z軸，建

立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

貝！JD(O,O,O),4(22,0,0),5(0,2AA2,0),C(-72,AA2,0),P(72,0,72),~DP=(<2,0,72);DC=

(-71,0),

因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以E(苧爭，

所以前=(—3/1,"0)，荏=(—十,苧)，

設(shè)平面/CE的一個(gè)法向量為近=

五,ZC=0日口-3xi+%=0

所以—>，即-/i+%+*1=。'

.幾1?AE=0

令第1=1,則yi=3,Zi=-3,

所以元=3),

設(shè)平面PC。的一個(gè)法向量為近=(%2，、2*2)，

則(元?DC=-V-2%2+V-2y2=0

(n?DP=V-2%2+V-2Z2=0

令久2—1，則乃=1，Z2~一1，

所以平面PC。的一個(gè)法向量為五=(1,L—1),

設(shè)平面/CE與平面PCD的夾角為。，

則cos。=叵現(xiàn)=—匕出一=巨.

7J|n1||nj|V1+9+9XV1+1+157

(3)設(shè)F(%o，yo，z0),因?yàn)辄c(diǎn)尸在棱P4上，

設(shè)兩=2而(A之0),

由(2)得，(x0—yj~2,y0,z0—V-2)=a(2V~^—x0,—y^,—z0)f

所以F聾學(xué),。,各

所以麗=(里步,0,白)?

因?yàn)镺F〃平面力EC,

所以麗1萬，

所以空竽一警=。，

1+A1+A

解得a=1,

所以胃=1.

(1)利用勾股定理證出4。LBD,再結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理即可得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系。-久yz,分別求出平面ACE與平面PCD的法向量，利用向量法求解即可;

(3)設(shè)而=4同(220),得出而=(空第￡,0,工)，利用向量共線求解即可.

本題考查線面垂直的判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】2n-2；

22…一2；

k=49.

232n-122n1

【解析】解：(1)對于(1+%)+(1+%)4---F(1+x)=劭+arx+a2xH----Fa2n-1x~(n>2且

neN*),

令久=0得，。()=1+1+—I-1=2n—2；

(2)令％=—1,可得。0—的+。2—+…一。2九-1=0'?1CD，

72_?2九一1乂？_

令久=1,可得劭+%+。2+。3+…+^2n-l=22+23+,,,+2271-1=---------=4n—4...(2).

由②)—CD，可得2(。1+。3+…+。2九-1)=4n—4,所以+。3+…+a2n-l=22n-i_2

(3)根據(jù)二項(xiàng)式定理，可知當(dāng)2WkW99,keN*時(shí)，

以=藍(lán)+婪+1+…+喝=(以"+以+1)+C號2+-+解9=(然+磅+2)+…+09=…=療保.

由二項(xiàng)展開式系數(shù)的性質(zhì)，可知當(dāng)k+1=5