當家20照利的通項公式及照列求和大泉除含

十年考情-探規(guī)律

考點十年考情（2015-2024）命題趨勢

考點1等差數(shù)1.掌握數(shù)列的有關(guān)概念和表示方

列的通項公式2023?全國乙卷、2023?全國新I卷、2021?全國新II法，能利用與的關(guān)系以及遞推關(guān)系

及前n項和卷、2019?全國卷、2018?全國卷、2016?全國卷求數(shù)列的通項公式，理解數(shù)列是一

（10年5考）種特殊的函數(shù)，能利用數(shù)列的周期

考點2等比數(shù)性、單調(diào)性解決簡單的問題

列的通項公式2020?全國卷、2019?全國卷該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，常

及前n項和2018?全國卷、2017?全國卷考查利用與關(guān)系求通項或項及通

（10年4考）項公式構(gòu)造的相關(guān)應(yīng)用，需綜合復

考點3等差等2022?全國新n卷、2020?全國卷、2019?北京卷習

比綜合2017?北京卷、2017?全國卷、2016?北京卷

（10年6考）2015?天津卷2.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差

2024?全國甲卷、2024?全國甲卷、2023?全國甲卷數(shù)列的通項公式與前n項和公式，

2022?全國甲卷、2022?全國新I卷、2021?天津卷能在具體的問題情境中識別數(shù)列

考點4數(shù)列通2021?浙江卷、2021?全國乙卷、2021?全國卷的等差關(guān)系并能用等差數(shù)列的有

項公式的構(gòu)造2020?全國卷、2019?全國卷、2018?全國卷關(guān)知識解決相應(yīng)的問題，熟練掌握

（10年9考）2016?山東卷、2016?天津卷、2016?天津卷等差數(shù)列通項公式與前n項和的性

2016?全國卷、2016?全國卷、2016?全國卷質(zhì)，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)

2015?重慶卷、2015?全國卷容，一般給出數(shù)列為等差數(shù)列，或

2024?天津卷、2024?全國甲卷、2024?全國甲卷通過構(gòu)造為等差數(shù)列，求通項公式

2023?全國甲卷、2023?全國新II卷、2022?天津卷及前n項和，需綜合復習

考點5數(shù)列求2020?天津卷、2020?全國卷、2020?全國卷

和2019?天津卷、2019?天津卷、2018?天津卷3.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n

（10年10考）2017?天津卷、2017?山東卷、2016?浙江卷項和公式，能在具體的問題情境中

2016?山東卷、2016?天津卷、2016?北京卷識別數(shù)列的等比關(guān)系并能用等比

2015?浙江卷、2015?全國卷、2015?天津卷數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題，

2015?天津卷、2015?山東卷、2015?山東卷熟練掌握等比數(shù)列通項公式與前n

2015?湖北卷、2015?安徽卷項和的性質(zhì)，該內(nèi)容是新高考卷的

2023?全國新n卷、2022?全國新I卷、2021?浙江卷必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列為等比數(shù)

考點6數(shù)列中

2021?全國乙卷、2020?浙江卷、2019?浙江卷歹!J,或通過構(gòu)造為等比數(shù)列，求通

的不等式、最

2017?北京卷、2016?浙江卷、2016?天津卷項公式及前n項和。需綜合復習

值及范圍問題

2015?重慶卷、2015?浙江卷、2015?四川卷

(10年幾考)

2015?上海卷、2015?安徽卷4.熟練掌握裂項相消求和和、錯位

考點7數(shù)列與相減求和、分組及并項求和，該內(nèi)

2024?上海卷、2024?全國新II卷、2023?全國新I

其他知識點的容是新高考卷的常考內(nèi)容，常考結(jié)

卷、2019?全國卷、2017?浙江卷、2015?陜西卷

關(guān)聯(lián)問題合不等式、最值及范圍考查，需重

2015?湖南卷

(10年5考)點綜合復習

分考點二精準練工

考點01等差數(shù)列的通項公式及前n項和

1.(2023?全國乙卷?高考真題)記S”為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，已知。2=11再o=4O.

(1)求｛g｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛|?！皘｝的前〃項和1.

【答案】⑴"=15-2”

e[14〃-"2,"47

(2)T=S2

H2-14?+98,H>8

【分析】(1)根據(jù)題意列式求解卬"，進而可得結(jié)果；

(2)先求S“，討論?！钡姆柸ソ^對值，結(jié)合S”運算求解.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

a2-ax+dfa+(/=11[%=13

由題意可得°10x9^/c，即；…q，解得二,，

S10=10%+------d=40[2%+9d=8[d=-2

、2

所以a,,=13-2(〃-1)=15-2〃，

(2)因為5“="13+152〃)=]劭_〃2,

"2

令%=15-2〃>0,解得且“eN*,

當〃47時,則?！?gt;0,可得毒=同+同---=ax+a2-\-------\-an=Sn=14n—n~；

1

當〃28時，貝!J0”<0,可得4=laJ+1%1"---i-|an|=(flj+a2H--1-a7)-(a8H----Ha?)

=S7一母"一$7)=2S*7-S“=2(14x7-7?)-^-n^n2-14w+98；

14n-n2,n<7

綜上所述：T『

n2-14〃+98,〃>8

“2

2.(2023?全國新I卷?高考真題)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,且4>1.令,記分別為數(shù)列

｛%｝,｛4｝的前〃項和.

(1)若3a2=3%+%,￡+3=21,求｛?！保耐椆剑?/p>

(2)若出｝為等差數(shù)列,且S9s-4=99,求d.

【答案】⑴?！?3?

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式建立方程求解即可;

(2)由也｝為等差數(shù)列得出4=d或q=",再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得%。-%)=,分類討論即可得解.

【詳解[(1)32=3%+%,3d=q+2d,解得q=d,

/.S3=3a2=3(〃]+d)=6d,

又方=b,+b+仇=-+—+—=-

31223d2d3dd

9一

S+T=6d—=21,

33d

即2/-7d+3=。，解得心3或右(舍去),

/.an=%+(〃-1)?d=3〃.

(2)?「色｝為等差數(shù)列，

,12212

/.2b72=4+47，即—=—1—,

6(------)=---=—,即。；一3ct[d+2d2=0,解得q=d或q=2d,

1

a2a3a2a3ax

'：d>\,「.%>0,

又S99—7；9=99,由等差數(shù)列性質(zhì)知，99%—99%=99,即％—%=1，

「?"50=1,即a*-%)-2550=0,解得知=51或〃50=-50(舍去)

。50

當q=27時，〃50=。1+49d=51d=51,解得d=l,與d>l矛盾，無解；

當q二d時，/0=+49d=50d=51,解得d=*.

綜上，t7=—.

50

3.(2021?全國新n卷?高考真題)記S"是公差不為0的等差數(shù)列｛%｝的前"項和，若生=55，出,=邑.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式?！?；

(2)求使成立的〃的最小值.

【答案】(1)?！?2〃-6；(2)7.

【分析】⑴由題意首先求得見的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項公式；

(2)首先求得前n項和的表達式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.

【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：S5=5a3,貝!］：4=5%,，的=0，

2

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,從而有：a2a4=(%-4)(。3+")=-"，

邑=%+仇+%+%=(%—2d)+(%一1)+%+(%+d)=-2d,

從而：-/=-2d，由于公差不為零，故：1=2,

數(shù)列的通項公式為：a”=%+("-3”=2〃-6.

⑵由數(shù)列的通項公式可得：％=2-6=-4,貝ij：S“=〃x(-4)+"T)x2=〃2-5〃,

2

則不等式即：n-5n>2n-6,整理可得：(?-1)(?-6)>0,

解得：〃<1或力>6,又〃為正整數(shù)，故〃的最小值為7.

【點睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)

列的有關(guān)公式并能靈活運用.

4.(2019?全國?高考真題)記S〃為等差數(shù)列｛劭｝的前〃項和，已知Sg=—。5.

(1)若的=4,求｛劭｝的通項公式;

(2)若曲>0,求使得S位由的幾的取值范圍.

【答案】(1)?！?-2〃+10；

(2)1<?<10(HGN*).

【分析】(1)首項設(shè)出等差數(shù)列的首項和公差，根據(jù)題的條件，建立關(guān)于々和"的方程組，求得4和d的值,

利用等差數(shù)列的通項公式求得結(jié)果；

(2)根據(jù)題意有。5=。，根據(jù)％〉0,可知d<0,根據(jù)得到關(guān)于〃的不等式，從而求得結(jié)果.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛“"｝的首項為％,公差為d,

9x8

,9。］H----d——(u,+4d)

根據(jù)題意有121,

%+2d=4

［q=8

解答?所以4,=8+(“一1"(-2)=-2〃+10,

［a=-2

所以等差數(shù)列｛6｝的通項公式為。"=-2〃+10；

(2)由條件S9--a5,得9a5--a5,即生=0，

因為%>0,所以d<0,并且有%=q+41=0,所以有％=-44,

由S"Aa”得"%+Dd>%+(〃T)d,整理得(7?-9”)d>(2n-10)d,

因為d<0,所以有“2-9”42〃-10,即"2-11〃+］0mo,

解得1V〃V1O,

所以〃的取值范圍是：14〃W10(〃eN*)

【點睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點有等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的求和公式,

在解題的過程中，需要認真分析題意，熟練掌握基礎(chǔ)知識是正確解題的關(guān)鍵.

5.(2018?全國?高考真題)記S“為等差數(shù)列｛*｝的前〃項和，已知%=-7,￡=-15.

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)求S”,并求S”的最小值.

【答案】(1)見=2〃-9；(2)S,=n2-8?,最小值為-16.

【分析】(1)方法一：根據(jù)等差數(shù)列前力項和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項公式即得結(jié)果；

(2)方法二：根據(jù)等差數(shù)列前〃項和公式得S.，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.

【詳解】(1)［方法一］:【通性通法】【最優(yōu)解】公式法

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由$3=-15得，3x(-7)+號4=-15,解得：d=2,所以%=2〃-9.

［方法二］:函數(shù)+待定系數(shù)法

設(shè)等差數(shù)列｛%｝通項公式為。“=筋+6,易得左+。=一7,由$3=T5,即3a2=75,即2左+6=-5,解得：

k=2,b=-9,所以a“=2〃-9.

(2)［方法1］：鄰項變號法

由S“=叫+"("；)"可得s”-8".當?！?lt;0,即2〃一9<0,解得所以5“的最小值為

$4=4%+64=-16,

所以S”的最小值為-16.

［方法2］：函數(shù)法

由題意知Sa=5/+，即S"="2-8〃=（〃-4）2_16,

所以S,的最小值為邑=42-4乂8=-16，所以s”的最小值為-16.

【整體點評】（1）方法一：直接根據(jù)基本量的計算，利用等差數(shù)列前〃項和公式求出公差，即可得到通項

公式，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；

方法二：根據(jù)等差數(shù)列的通項公式的函數(shù)形式特征，以及等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)，用待定系數(shù)法解方程

組求解；

（2）方法一：利用等差數(shù)列前〃項和公式求S,，再利用鄰項變號法求最值；

方法二：利用等差數(shù)列前〃項和公式求S,,再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值.

6.（2016■全國?高考真題）等差數(shù)列｛%｝中,%+%=4,/+%=6.

（I）求｛。,｝的通項公式；

（II）設(shè)6“="」，求數(shù)列也,｝的前10項和，其中國表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]=0,[2.6]=2.

.2〃+3仃、

【答案】（IT）?！?--—;（II）24.

【詳解】試題分析：（I）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及已知條件求為,d,從而求得（II）由（I）求

”,再求數(shù)列也｝的前10項和.

試題解析：（I）設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,由題意有2%+5d=4嗎+5d=3.

2

解得a1=l,d=—.

所以｛%｝的通項公式為an=3產(chǎn).

（II）由（I）知，=.

當n=l,2,3時，1《今蟲<2也=1：

當n=4,5時，2（^1<3立,=2；

當n=6,7,8時，3（&F<4,，=3；

當n=9,10時，44^1<5,6"=4.

所以數(shù)列｛〃｝的前10項和為1x3+2x2+3x3+4x2=24.

【考點】等差數(shù)列的通項公式，數(shù)列的求和

【名師點睛】求解本題時常出現(xiàn)以下錯誤：對"[x]表示不超過x的最大整數(shù)”理解出錯.

考點02等比數(shù)列的通項公式及前n項和

1.（2020?全國?高考真題）設(shè)等比數(shù)列｛an｝滿足％+電=4,%=8.

（1）求｛an｝的通項公式；

（2）記S.為數(shù)歹！J｛log3an｝的前。項和.若§?,+黑+i=，求m.

n

【答案】（1）an=3~'；（2）m=6.

【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為9,根據(jù)題意，列出方程組，求得首項和公比，進而求得通項公式;

（2）由（1）求出｛log?4｝的通項公式，利用等差數(shù)列求和公式求得S.，根據(jù)已知列出關(guān)于〃7的等量關(guān)系

式，求得結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為0,

a+aq=44—1

根據(jù)題意,xx，解得

—Q]=84=3

所以q,=3"T；

(2)令"=log3an=logs3'i="-1,

所以S"/（0；T）n(n-\)

2

炬短。工caHT汨機(加一1),機(w+1)(m+2)(m+3)

根據(jù)Sm+Sm+1='+3,可得-------+-------=------------，

整理得7M2-5m-6=0；因為機＞0,所以"?=6,

【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算，以及等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查計算求解能力,

屬于基礎(chǔ)題目.

2.（2019?全國?高考真題）已知｛%｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，%=2,%=2g+16.

（1）求｛%｝的通項公式;

（2）設(shè)a=log2an,求數(shù)列也,｝的前〃項和.

【答案】（1）a“=22"T；（2）S?=?2.

【分析】⑴本題首先可以根據(jù)數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列將的轉(zhuǎn)化為生k，出轉(zhuǎn)化為再然后將其帶入

%=2g+16中，并根據(jù)數(shù)列｛%｝是各項均為正數(shù)以及%=2即可通過運算得出結(jié)果;

⑵本題可以通過數(shù)列｛%｝的通項公式以及對數(shù)的相關(guān)性質(zhì)計算出數(shù)列也,｝的通項公式，再通過數(shù)列也｝的

通項公式得知數(shù)列｛"｝是等差數(shù)列，最后通過等差數(shù)列求和公式即可得出結(jié)果.

【詳解】⑴因為數(shù)列｛6｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a3=2a2+16,%=2,

22

所以令數(shù)列｛%｝的公比為0,a3=atq=2q,a2=a1q=2q,

所以2q2=4q+16,解得4=-2(舍去)或4,

I21

所以數(shù)列｛%｝是首項為2、公比為4的等比數(shù)列，a?=2x4"-=2--

（2）因為。=log2。”,所以，=2〃-1,bn+l=2n+l,bn+l-bn=2,

所以數(shù)列｛a｝是首項為1、公差為2的等差數(shù)列，s"=塢

【點睛】本題考查數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項公式的求法，考查等差數(shù)列求

和公式的使用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力，是簡單題.

3.（2018?全國?高考真題）等比數(shù)列｛a/中，＜71=1,a5=4o3.

（工）求｛aj的通項公式；

（2）記，為｛?！ǎ那啊椇?若乂=63,求利.

【答案】（&）（=（一2片或4=2"T.

(2)m=6.

【詳解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n項和，解方程可得m.

詳解：（1）設(shè)｛%｝的公比為0,由題設(shè)得a“=/i.

由已知得爐=4/,解得4=0（舍去），q=-2或q=2.

故an=（-2）"”或an=2"一.

（2）若%=（-2）i,則S“J,）”.由'=63得（-2『=-188,此方程沒有正整數(shù)解.

若%=2-i,則S,=2"-1.由何=63得2”=64,解得〃7=6.

綜上，m=6.

點睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2017?全國?高考真題）記Sn為等比數(shù)列｛%｝的前"項和，已知52=2,S3=-6.

（1）求｛0“｝的通項公式；

（2）求S",并判斷Sn+i,Sn,So+2是否成等差數(shù)列.

【答案】⑴4=（-2）"；（2）見解析.

【詳解】試題分析：（1）由等比數(shù)列通項公式解得4=-2,%=-2即可求解；（2）利用等差中項

證明5佗，Sn,Sn+2成等差數(shù)列.

%(l+q)=2

試題解析：（1）設(shè)S“｝的公比為/由題設(shè)可得解得q=-2,4=-2.故｛%｝的通項公

(1+q+/)=—6

ax

式為%=(-2)〃.

a,(1一叫二2〃2用

(2)由(1)可得S=—1-q3()3

由于Sm+S角=_gA+（T）"r\n^+3—y+2=2]-1Q+（_l）"yt+[1=2S,

故S"+i，SQS“+2成等差數(shù)列.

考點03等差等比綜合

1.（2022?全國新n卷?高考真題）已知｛叫為等差數(shù)列，也｝是公比為2的等比數(shù)列，且。2-8=%-4="-%.

（1）證明：q=4；

（2）求集合｛左也=am+a1,l</M<500|中元素個數(shù).

【答案】⑴證明見解析；

（2）9.

【分析】（1）設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,根據(jù)題意列出方程組即可證出;

（2）根據(jù)題意化簡可得加=2^2,即可解出.

q+d-2&=劣+2d-40，

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,所以，<%+/2=跖-（%+3力,即可解得，…心’所以原

命題得證.

(2)由(1)知，4=6■，所以4=am+%o"x2i=%+儂-1"+%,即2%口=2加，亦即m=e[1,500],

解得2"W10,所以滿足等式的解左=2,3,4,…,10,故集合｛幻為=%+%,1三加4500｝中的元素個數(shù)為

10-2+1=9.

2.（2020?全國?高考真題）設(shè)｛%｝是公比不為1的等比數(shù)列，生為。2，%的等差中項.

（1）求｛%｝的公比；

（2）若％=1,求數(shù)列｛〃4"｝的前”項和.

【答案】（1）-2；（2）S=1一（1+3“）（一2）”.

"9

【分析】（工）由已知結(jié)合等差中項關(guān)系，建立公比夕的方程，求解即可得出結(jié)論；

（2）由（1）結(jié)合條件得出｛q,｝的通項，根據(jù)｛”《,｝的通項公式特征，用錯位相減法，即可求出結(jié)論.

【詳解】（1）設(shè)｛4｝的公比為/%為％，%的等差中項，

?/2〃1=a2+。3，〃1w0,「.q2+^—2=0,

,/qwT,：.q=-2；

（2）設(shè)｛〃初的前"項和為%%=1,%=（-2）1,

S"=lxl+2x(—2)+3x(-2y+…+〃(一2)"1,①

-2S?=1x(-2)+2x(-2)2+3x(-2)3+…-1)(-2)"一+?(-2)",②

①-②得,3S,=1+(-2)+(力+…+(-2)"-1-?(-2)"

1(1+3現(xiàn)-2)”

3-…3

.S」-(1+3〃)(-2)"

9

【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算、等差中項的性質(zhì)，以及錯位相減法求和，考查計算求

解能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2019,北京?局考真題）設(shè)｛?！ǎ堑炔顢?shù)列，ai=-10,且°2+10,的+8,。“+6成等比數(shù)歹！J.

（I）求｛m｝的通項公式;

（II）記｛的｝的前n項和為Sn,求Sn的最小值.

【答案】(I)a?=2n-12.(II)-30.

【分析】（I）由題意首先求得數(shù)列的公差，然后利用等差數(shù)列通項公式可得｛應(yīng)｝的通項公式;

（II）首先求得，的表達式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最小值.

【詳解】（I）設(shè)等差數(shù)列｛對｝的公差為d,

因為。2+10,%+8，%+6成等比數(shù)列，所以（%+8）2=（2+10）（&+6），

HP(2d-2)2=d(3d—4),解得d=2,所以％=—10+2(〃—1)=2"-12.

(II)由(I)知氏=2〃-12,

二匚I、Ic—10+2〃—122—11＞，2121

所以Sn=-----------xn=n-lln=(zn---)----

224

當"=5或者〃=6時，，取到最小值一30.

【點睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)

列的有關(guān)公式并能靈活運用.

4.（2017?北京?高考真題）已知等差數(shù)列m｝和等比數(shù)列｛b,,｝滿足處=①=1,。2+。4=10乃2b4=。5.

（I）求｛%｝的通項公式;

(II)求和：bi+b3+b5+---+b2n_i.

3"—1

【答案】(1)an=2n-l.(2)

2

【詳解】試題分析：（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，代入建立方程進行求解；（II）由抄“｝是等比數(shù)列，知｛勾-｝

依然是等比數(shù)列，并且公比是才，再利用等比數(shù)列求和公式求解.

試題解析：（I）設(shè)等差數(shù)列｛。。｝的公差為“

因1J。2+。4二］。，月f以2C7I+4C/=1O.

解得d=2.

所以an=2n-l.

(II)設(shè)等比數(shù)列的公比為q.

因為b2b4=。5,所以biqbiq3=9.

解得q2=3.

所以&產(chǎn)2=3”、

21

AMZ>1+63+65+???+=1+3+3+---+T-=^-.

【名師點睛】本題考查了數(shù)列求和，一般數(shù)列求和的方法：(1)分組轉(zhuǎn)化法，一般適用于等差數(shù)列+等比數(shù)

列的形式；⑵裂項相消法求和，一般適用于q,=〃.〃!=(〃+0_〃!￡=一產(chǎn)等

的形式；(3)錯位相減法求和，一般適用于等差數(shù)列x等比數(shù)列的形式；(4)倒序相加法求和，一般適用于

首末兩項的和是一個常數(shù)，這樣可以正著寫和與倒著寫和，兩式相加除以2即可得到數(shù)列求和.

5.(2017?全國?高考真題)已知等差數(shù)列｛對｝的前〃項和為S”，等比數(shù)列也｝的前九項和為4,且%=1,4=1,

。2+=4.

(1)若。3+63=7,求也｝的通項公式；

(2)若4=13,求

【答案】(1)b-2)5或75.

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝公差為d,等比數(shù)列｛，｝公比為q(qNO),由已知條件求出外再寫出通項公

式；(2)由％=13,求出夕的值，再求出d的值，求出

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛叫公差為d，等比數(shù)列也｝公比為q(qwO)有(1+4)+4=4,即d+g=3.

(1):(1+21)+，=7,結(jié)合"+q=3得q=2,

???—

2

(2)-：r3=l+q+q=13,解得q=-4或3,

5x4

當g=_4時，［=7,止匕時邑=5+——x7=75；

2

當q=3時，d=0,此時&=5%=5.

【點睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前"項和公式，屬于中檔題.等差數(shù)

列基本量的運算是等差數(shù)列的一類基本題型，數(shù)列中的五個基本量%,一般可以"知二求三"，通過

列方程組所求問題可以迎刃而解，另外，解等差數(shù)列問題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)4+4=冊+%=2%

(p+q=m+n=2r)與前"項和的關(guān)系.

6.(2016?北京?高考真題)已知同｝是等差數(shù)列，他｝是等比數(shù)列，且b2=3,b3=9,ai=bi,ai4=b*

（1）求｛an｝的通項公式；

（2）設(shè)Cn=an+bn,求數(shù)列｛g｝的通項公式.

【答案】（1）。"=2"-1；（2）2/7-1+3"-1

【詳解】試題分析：（1）求出等比數(shù)列｛"｝的公比，再求出ahai4的值，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求解;

（2）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式求數(shù)列｛Q｝的前n項和.

b9

試題解析：⑴等比數(shù)列低｝的公比"=消=1=3,

所以4=%=1,b4=b3q=27.

q

設(shè)等差數(shù)列｛叫的公差為d.

因為%=4=1,°]4="=27,

所以l+13d=27,即1=2.

所以（〃=1,2,3,…）.

（2）由（1）知，an=2H-1,4=3"T.

因此c“=?！?6“=2〃-l+3"T.

從而數(shù)列｛g｝的前〃項和

S“=1+3+…+（2”-1）+1+3+…+3”T

_?（1+2?-1）1-3"

-21-3

【考點】等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，考查運算能力.

【名師點睛】L數(shù)列的通項公式及前n項和公式都可以看作項數(shù)n的函數(shù)，是函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用.數(shù)

列以通項為綱，數(shù)列的問題，最終歸結(jié)為對數(shù)列通項的研究，而數(shù)列的前n項和和可視為數(shù)列｛S。｝的通項.

通項及求和是數(shù)列中最基本也是最重要的問題之一；2.數(shù)列的綜合問題涉及的數(shù)學思想：函數(shù)與方程思想（如:

求最值或基本量）、轉(zhuǎn)化與化歸思想（如：求和或應(yīng)用）、特殊到一般思想（如：求通項公式）、分類討論思

想（如：等比數(shù)列求和，《=1或《工1）等.

7.（2015?天津?高考真題）已知｛%｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，低｝是等差數(shù)列，且4=1,&+&=2%，

%-34=7.

（I）求｛%｝和低｝的通項公式；

（II）設(shè)c“=a/"，”eN*,求數(shù)列｛g｝的前"項和.

/,

【答案】（I）=2"T,"wN*，a=2〃-l,”eN*;（II）Sn=（2w-3）2+3

【詳解】試題分析：（I）設(shè)出數(shù)列｛。“｝的公比和數(shù)列｛，｝的公差，由題意列出關(guān)于見]的方程組，求解方

程組得到%d的值，則等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式可求；（II）由題意得C"=（2〃-1）2"T,然后利用錯

位相減法注得數(shù)列上“｝的前〃項和.

試題解析：（I）設(shè)｛七｝的公比為q,｛4｝的公差為d,由題意“0，由已知，有《彳-消去d得

q—3d=10,

q4-2q2-8=0,解得q=2,d=2，所以｛%｝的通項公式為a“=2"工〃eN*,也｝的通項公式為

bn=2〃一1,〃￡N*.

（II）由（I）有c,=（2〃一1）2"T,設(shè)匕｝的前n項和為，，則

Sn=1x2°+3x21+5x2?+…+（21）X2"T,

2s“=1x2^+3x2?+5x2、…+（2〃-1）x2",

兩式相減得-S“=1+2?+2?+…+2"-（21）x2"=-（2〃-3）x2"-3,

所以S"=（2〃-3）2"+3.

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合.

【易錯點睛】用錯位相減法求和應(yīng)注意的問題：（1）要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的

情形.（2）在寫出"SJ與"染」的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊"以便下一步準確寫出"S“-恭」的表

達式.（3）在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.

考點04數(shù)列通項公式的構(gòu)造

1.（2024?全國甲卷?高考真題）記S”為數(shù)列｛為｝的前〃項和，已知4s“=36+4.

（1）求｛a“｝的通項公式；

（2）設(shè)，=（一1嚴叫,，求數(shù)列｛bn｝的前n項和Tn.

【答案】⑴%=4?（-3嚴

（2）7；=（21）3+1

【分析】（1）利用退位法可求｛%｝的通項公式.

（2）利用錯位相減法可求

【詳解】（1）當77=1時，4S]=4%=3%+4,解得q=4.

當〃22時,4sI=3%+4，所以4S"-4S"-i=4%=3%-3%即％，

而。i=4w0,故?！?0,故&=-3,

an-l

/.數(shù)列｛%｝是以4為首項，-3為公比的等比數(shù)列,

所以=4-(-3)"

(2)bn=(一1尸?”4(一3產(chǎn)=4?,3"T,

所以7；=6]+%+/+…+2=4-3°+8-31+12-32+---+4W3"-1

故37；=4-31+8-32+12-33+---+4?-3,,

所以-27；=4+4-3'+4-32+---+4-3n-1-4n-3"

=4+4.3(T”')_4〃.3"=4+23(37_1)_4“.3"

1-3

-(2-477)-3"-2,

.-.7；=(2n-l)-3"+l.

2.(2024?全國甲卷?高考真題)已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且2s“=3《用-3.

⑴求｛。“｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛SJ的前〃項和.

【答案】⑴見

【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項后可求通項；

（2）利用分組求和法即可求S”.

【詳解】（1）因為2s“=3。向-3,故2S“T=3%-3,

所以2an=3。用一3%（〃之2）即5%=3°科故等比數(shù)列的公比為q=g,

故2%=3a2—3=3%x——3=5%-3,故4=],故a,=[g）?

（2）由等比數(shù)列求和公式得s“=

所以數(shù)列｛5｝的前〃項和

3?Kl]]315pY315

2JR24⑺24

3.（2023?全國甲卷?高考真題）設(shè)E,為數(shù)列｛為｝的前〃項和，已知。2=l，2S“=，q.

（1）求｛?！保耐椆?；

⑵求數(shù)列｛毅，的前〃項和

【答案】⑴

（2）7；,=2-（2+n）

5,,?=1

【分析】（1）根據(jù)%=。。、.即可求出；

（2）根據(jù)錯位相減法即可解出.

【詳解】（1）因為2S“=〃％,

當〃=1時，2%=ax,即1=0；

當〃=3時，2（1+〃3）=3〃3,即%=2,

當〃22時，2s1-,所以2（S〃—S〃_J=%=,

化簡得：（〃—2）%=（〃—當〃23時，人===-="=1,即%=〃—1,

n-1n-22

當〃=1,2時都滿足上式，所以0“="-1（"eN"）.

⑵因為鏟號,所以小1，2d3d...+

H---F（W-l）xl門—丫I+nxlG—I

兩式相減得,

口4+m；+-UY-＞七"

=1~f1+|Y|j'即T,=2-（2+"）&,”eN*.

4.（2022?全國甲卷考真題）記S”為數(shù)列｛?！保那啊椇?已知—-+n—2an+1.

n

（1）證明：｛%｝是等差數(shù)列；

⑵若應(yīng)，%，%成等比數(shù)列，求E,的最小值.

【答案】（1）證明見解析；

（2）-78.

,區(qū),力=1

【分析】（1）依題意可得2s“+/=2加“+〃，根據(jù)。“=c、。,作差即可得至U。”一見t=1,從而得

\Sn-Sn_x,n>2

證；

（2）法一：由（1）及等比中項的性質(zhì)求出％,即可得到｛%｝的通項公式與前〃項和，再根據(jù)二次函數(shù)的性

質(zhì)計算可得.

2s

【詳解】（1）因為—-+n=2a+1,BP2S+n2=2na+n（1）,

nnnn

當〃22時，2sl—

①）一6）得，2s〃+〃2_2S〃_］-（〃-1）=2nan+H—2—1）an_x—（w—1）,

即2%+2H-1=2nan—2-1）+1,

即2（〃一1）%—=2（H-1）,所以=1,且〃EN*,

所以｛4｝是以1為公差的等差數(shù)列.

（2）［方法一］:二次函數(shù)的性質(zhì)

由（1）可得“4=%+3,%=%+6,%=〃1+8,

又包，%，〃9成等比數(shù)列，所以。72=。4，。9，

即（4+6『=（4+3>（4+8）,解得％=-12,

所以%=〃一13,所以y=一12〃+史丁^=夕2一也1(25?625

—\n--------

2(2J8

所以，當〃=12或〃=13時，⑹/面廣―78.

［方法二］:【最優(yōu)解】鄰項變號法

由（1）可得知=%+3,g=4+6,“9=%+8,

又應(yīng)，。7,〃9成等比數(shù)列，所以為之二為，為，

即(q+6『=(4+3>(q+8),解得q=-12,

所以4"二〃-13,即有％<.一<〃12<°，。13=0?

則當〃=12或〃=13時，(S〃)min=-78.

【整體點評】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S,,的最小值，適用于可以求出，的表達式;

法二：根據(jù)鄰項變號法求最值，計算量小，是該題的最優(yōu)解.

5.（2022?全國新I卷?高考真題）記5.為數(shù)列｛2｝的前〃項和，已知%=1,，］1是公差為〈的等差數(shù)歹U.

⑴求｛&｝的通項公式；

111c

（2）證明：一+—+…+—<2.

%an

?小生、,、（

【答案】⑴%=差nn+」\\

⑵見解析

【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式求得2=1+=得到5'=（”+2）%,利用和與項的關(guān)

系得到當〃22時，a,=S,—Si=（〃+2）%—（"+1）”"T,進而得:'，利用累乘法求得見=也土D,

a

33n-\幾—12

檢驗對于〃=1也成立，得到｛〃〃｝的通項公式%=及學；

（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項求和法得到,+,+…+，~=2（11］，進而證得.

【詳解】⑴??…〃□，???卜,

又：是公差為:的等差數(shù)列，

S1I/n〃+2

nn+2)an

Ct”J-J3

拉+l)%.l

，當〃22時，S〃T

3

n+2)a

an=Sn-Sn-\n

33

整理得：(〃―l"〃=(〃+l)%_i,

an=axx—x-x...x-^-x-^-

a\a2an-2an-\

134n77+1〃(幾+1)

=lx—X—X...X-------X-------=--------

12n—2n—12

顯然對于"=1也成立，

｛6｝的通項公式。”=當D；

=2。-篇＜2

6.(2021?天津?高考真題)已知｛?！埃枪顬?的等差數(shù)列，其前8項和為64.｛4｝是公比大于0的等比數(shù)

列，bt=4,b3-b2=48.

(I)求｛與｝和也｝的通項公式；

(II)記的=%“+了/eN,

bn

(i)證明歸-qj是等比數(shù)歹!];

⑺證噸百＜

2丘(nGTV*)

【答案】(I)c1n=2n—l,nsN*,或=4〃,〃EN*；(II)(i)證明見解析；(ii)證明見解析.

【分析】(I)由等差數(shù)列的求和公式運算可得｛“〃｝的通項，由等比數(shù)列的通項公式運算可得｛"｝的通項公式;

(ID(i)運算可得C；-C2〃=2.4〃，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；

(ii)放縮得罟;＜是，進而可得胃思三＜晝胃擊，結(jié)合錯位相減法即可得證.

【詳解】(I)因為｛%｝是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64.

8x7

以4+4+,,,+/—8〃]H———x2—64,以q=1,

所以%=4+2-1)=2〃-1,〃￡N*；

設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為夕,(夕＞0),

所以&-4=4/一如/一夕)=48,解得g=4(負值舍去)，

所以4=貼1=4〃/3；

11

(II)(i)由題意，。"=&+丁=49"+不，

所以c；.C2“=(42"+(j-(4.+，=2.4",

所以c；-Q“R0,且各丁=三*=4，

CnC2nI-

所以數(shù)列歸“”｝是等比數(shù)歹小

伽-1）（2〃+1）2

(")由題意知，言4/—14n

2^'2,222-22n

?k123n

設(shè)北=方尹=------1-------1-----+?,?H--------

12T

k=lN2°222〃

mi1.123n

則—7=-T+F+F+???+——，

2212223T

兩式相減得g1=1+；+]+…+=

2

LLt、Ie〃+2

所以q=44_干

k

所以Z尸=2g\

k=\

【點睛】關(guān)鍵點點睛:

最后一問考查數(shù)列不等式的證明，因為￡公無法直接求解，應(yīng)先放縮去除根號，再由錯位相減法即可

k=l

得證.

7.(2021?浙江?高考真題)已知數(shù)列｛%｝的前"項和為，，/=-\,M4S?+1=35?-9.

(1)求數(shù)列｛6｝的通項;

(2)設(shè)數(shù)列他,｝滿足她+(〃-4)%=0(weN*),記也｝的前〃項和為看,若14勸”對任意〃eN*恒成立,

求實數(shù)2的取值范圍.

【答案】(1)-3-(!)"；(2)-3<2<L

【分析】(1)由4s用=3S.-9,結(jié)合S“與a”的關(guān)系，分〃=1,〃22討論，得到數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，即可

得出結(jié)論；

(2)由34+(〃-4)%=0結(jié)合⑴的結(jié)論，利用錯位相減法求出1，7；W勸“對任意〃eN*恒成立，分類討

論分離參數(shù)％,轉(zhuǎn)化為%與關(guān)于〃的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.

【詳解】(1)當〃=1時，4(%+〃2)=3%-9,

2-9=-2727

4。2

44