四川省達州市高級中學校2025屆高考沖刺測試（一）數學試卷/

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合U={l,2,3,4,5},4={l,2,3},B={,c=2A:,keZ},則C皿C必=（）

A.{5}B.{2,4}C.{1,2,3,4}D.{1,3,4,5）

2.設a,beR,則“a4=產’是"log322a=iOg34b”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知2=(1+i)2°25.2等，則Z=()

4.記Sn是等差數列{廝}的前〃項和，若$9=18,則a3a7的最大值是（）

A.2B.4C.8D.16

5.某魚塘只養(yǎng)殖有鯉魚和鯽魚，若鯉魚和鯽魚的數量比是2:1,鯉魚和鯽魚被釣上來的概率分別是0.03,0.01.

現有一條魚被釣上來了，這條魚是鯉魚的概率為（）

4361

A.—B.—C.—D.—

7474

6.設記，下均為單位向量，且忖-4胃W4W,元=Z—2了,7?=2才+萬，則市.宿的最大值是（）

A」B.-1CTD.3

2222

7.某市將要承辦“全國太極拳公開賽總決賽”，組委會將甲、乙、丙、丁、戊等五位志愿者分配到個人賽、

對練賽和集體項目比賽等三個場館執(zhí)勤，若每個場館至少分到一人，且甲不能被分配到個人賽場館，乙不

能分配到對練賽場館，則不同分配方案的種數是（）

A.69B.72C.75D.90

8.若立C（1,+00）,函數/（乃的圖象恒在函數g（2）=dln（ez系）圖象的上方，則實數人的取值范

圍是（）

A.（4,5）B.（-5,-4）C.（4,+oo）D.（-00,-4）

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知直線加，律，不同的平面a,仇下列命題中正確的是（）

第1頁，共17頁

A.若6_LQ,）2_L0,且?n〃7Z,則?！?B.若機Ca,八C0,且?n〃7i,貝!ja〃/3

C.若mUa,n“3，且mJ_rz，貝！ja_L。D.若機_La,"U0,且？n〃n,則a_L0

10.若實數log2Q』og3b都是一次函數/（力）=。/—1的零點，則下列不等關系中可能成立的是（）

A.c<a<bB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

22

11.已知△46。是橢圓。:土+。=1的內接三角形，且時=入3工+〃反，下列說法正確的是（）

84

A.C的離心率是<2

2

B.△。48的面積的最大值是3

C.若直線。4。3的斜率之積為—g，則N+小=1

22

D.若22+/=的中點即，對滿足方程亍+4=1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

7T八7F1

12.已知——<0<—,且sin。—cos。=一，則sin。+cos。=___.

225

13.已知在平面直角坐標系xOy中有兩個點譏）,8（?,統(tǒng)），數學上，我們常把

\AB\=—旬2+加―-）2定義為歐幾里得距離，把。（4B）=血-溝+|陰-M定義為曼哈頓距離.

分別記為雙曲線C：'—（=1的右頂點和右焦點，若。（￡4）=田歹|,則點/的軌跡與雙曲線C的

公共點個數是.

14.記</〉表示不小于x的最小整數，例如<1.2>=2.已知人是大于1的正整數，設3是函數

20

加）=（'告

（e’一21nl+力一3）的零點，記以=<（fc+1）跳>則￡鬃=

k=2

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題13分）

年末促銷是商場常用清理庫存和資金回籠的一種措施.某商場對消費超過500元的消費者提供一次抽獎活動,

抽獎箱中裝有10個同種材質且大小相同的紅球、黃球和綠球（綠球的個數最多），消費者從抽獎箱中同時抽

取2個小球，若2個小球都是紅球即獲得一等獎，都是黃球即獲得二等獎，其余情況，均是不獲獎.若從抽

獎箱中同時抽取2個小球，其中黃球和綠球各1個的概率是:，某消費者抽獎一次.

（1）求其獲得一等獎的概率；

（2）記抽到的綠球個數為&求￡的分布列及其期望.

16.（本小題15分）

第2頁，共17頁

已知函數/(乃=sin魯卜os魯—sin管)+；,其中“C(0,1),若將/⑺的圖象向左平移，個單位，得到

函數gQ)的圖象,且g(①)是偶函數.

(1)求/(，)的解析式及單調遞減區(qū)間；

(2)在△ABC中，角A,所對的邊分別為a,4c,已知/(4)=?且asim4=①，若。是8c的中點，

求/。的最大值.

17.(本小題15分)

過拋物線C-.x2=2py(p>0)的焦點作平行于x軸的直線被拋物線C截得的弦長為4,已知點P(0,-2),Q(4,2),

設過點P的直線/與拋物線C交于點4B,且直線QA交拋物線C于點”(點M與點A不重合).

(1)求拋物線C的方程；

(2)設直線MB交以PQ為直徑的圓于點,求\DE\的最小值.

18.(本小題17分)

如圖，在三棱錐4—8。。中，6。,區(qū)工3,反分別是。。,43,40,3。的中點.

(1)證明：EF=GH；

(2)若4。+8。=4,求四邊形以/FG面積的最大值；

⑶若BC=BD=遍。。=2,且二面角B—4?！５挠嘞抑禐槟?求點/到平面BCD的距離.

19.(本小題17分)

設/(①)=In%+wia;+卜，其中6,4,卜都是實數.

(1)當加=5九=1/=0時，證明：4=/3)僅有一個零點3,且ge(±l);

⑵當n=2,m=k=0時，求過坐標原點且與沙=/(0相切的直線方程；

⑶當九==0,卜=2時，若實數◎e((曰)，+oo)4=1,2,3,4,5,6,其中同第⑴問，且

66

￡0=6,求￡產⑶）的最大值.

i=ii=i

第3頁，共17頁

答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】應用集合的并、補運算求集合.

【詳解】由題設={1,3,5},CuA={4,5},

所以CuBuC(p4={l,3,4,5}.

故選：D

2.【答案】B

【解析】【分析】根據指、對數運算結合充分、必要條件分析判斷.

a6

【詳解】若10g32?°=logs，"，^!llog34=log34,可得a=b，所以。4=爐，必要性成立;

ad

若b=-a，滿足。4=陰，jfjjlog34^log34,充分性不成立；

a2a

所以“(？=淤”是log32=log34"的必要不充分條件.

故選：B.

3.【答案】A

【解析】【分析】利用復數的乘除運算法則，以及復數的周期性即可得到結果.

【詳解】由題意知:=1f

所以

故選：A.

4.【答案】B

【解析】【分析】利用等差數列的求和公式得到電+&9=4,再利用等差數列的性質得到。3+=4,結合基

本不等式求解出結果即可.

9fflffl

【詳解】g9=(i+9)=18,得ai+a9=4.

由等差數列的性質可得，a3+a7=4.

a3a7<—；。7)=4,當且僅當a3=?7=2時取等號.

故選：B.

5.【答案】C

【解析】【分析】根據全概率公式以及條件概率公式即可求解.

第4頁，共17頁

【詳解】設事件4表示魚被釣上來，事件B表示隨機釣一條魚且該魚是鯉魚，則

210.072

尸（A）=—x0.03+—x0.01=—,P（AB）=—x0.03=0.02,

故選：C.

6.【答案】C

【解析】【分析】由向量數量積的運算律和模長的計算求解即可.

【詳解】|^-4t|<%/13,|^-4t|2<13,即/—8牙?7+16了13,則6?了

所以和元=2/—3天?%—2-?2=-3O>.T&-1

故選：C.

7.【答案】A

【解析】【分析】分甲單獨一人執(zhí)勤對練賽場館或集體項目場館，甲和另一個人一起執(zhí)勤對練賽場館或集

體項目場館，甲和另兩人一起執(zhí)勤對練賽場館或集體項目場館，共六種情況求解即可.

【詳解】由題意，分以下六種情況：

第一種情況，甲單獨一人執(zhí)勤對練賽場館，則剩下的四個人可以分成一個人和三個人兩組，或分成每組兩

個人,所以共有C汕^+0=14（種）方案;

第二種情況，甲單獨一人執(zhí)勤集體項目比賽場館，則乙只能分配到個人賽場館，

若只有乙一個人分配到個人賽場館，剩下的三個人分配到對練賽場館，則有1種情況；

若乙和另外一人分配到個人賽場館，則有C肝中情況；

若乙和另外兩人分配到個人賽場館，則有CW種情況；

所以共有1+C；+C=7（種）方案；

第三種情況，甲和另外一人執(zhí)勤對練賽場館，則剩下的三個人分成一個人和兩個人兩組，分配到個人賽場

館和集體項目比賽場館，

所以共有C：C|A|=18（種）方案；

第四種情況，甲和另外一人執(zhí)勤集體項目比賽場館，若甲和乙執(zhí)勤集體項目比賽場館，則有C/1種情況;

若甲和乙以外的一人執(zhí)勤集體項目比賽場館，則有+1）種情況；

共有+C；?+1）=15（種）方案;

第五種情況，甲和另外兩人執(zhí)勤對練賽場館，則剩下的三個人分成一個人和兩個人兩組，分配到個人賽場

館和集體項目比賽場館，

第5頁，共17頁

所以共有C；A,=6（種）方案；

第六種情況，甲和另外兩人執(zhí)勤集體項目比賽場館，則乙只能分配到個人賽場館，

若只有乙一個人分配到個人賽場館，剩下的兩個人分配到對練賽場館，則有C：種情況；

若乙和另外一人分配到個人賽場館，則有C；A野中情況；

所以共有C；A|+。=9（種）方案.

所以一共有14+7+18+15+6+9=69（種）不同的分配方案.

故選：A.

8.【答案】D

【解析】【分析】由不等式恒成立問題及分離參數法可得—立―1對任意的/e（l,+oo）恒成立，由

k<Inx

e"22+1,當且僅當X=0時等號成立，可得/—"—1_屋-4in,一c1、/一41na;+1-x-1,即

InxIniIna;

可求解.

【詳解】In（ei擊）=Ine+In/擊=1+—Inx,

/人、x

由題意可得力4（1+；---\nx]<J一,即力+1+kln①〈二對任意的力G（l,+oo）恒成立，

\1+x）1+x

所以z//一"一i對任意的/e（l,+oo）恒成立.

fc<-X

設"（力）=ex—x—n{x}=—1.

當①>0時,/（力）〉單調遞增，當力<0時,/（劣）V0,九（力）單調遞減，

所以八（力））幾（。）=。，故e'2i+l,當且僅當力=0時等號成立，

pXx

又三=「p=44叫

]4ginx4

e1

所以5—X~1_1-41皿-X-lX-41112+1—Z—1_

---------——--------------2-------------------z=-4

InxIn力In6

當且僅當x-41nx=0時取等號，

令g（z）=x—41na;,則g⑴=1>0,g（e）=e—4<0,

所以三@）C（Le）使g（0））=0,即須）—41n/o=O,故卜<-4.

故選：D.

9.【答案】AD

第6頁，共17頁

【解析】【分析】根據點，線，面位置關系的定理和性質逐一判斷即可.

【詳解】因為m±a,所以n_La,

又d所以不同的平面a,戶滿足a〃依故/正確；

B,若mUa,nUB,且m〃n,則a〃。或兩平面相交，

比如：正方體的底面和側面中分別取直線機,凡且加〃九，但是底面和側面并不平行，故8錯誤；

C,若muot,n“B，且加J_n，則兩平面相交或平行，

比如：正方體的上下兩個底面中分別取直線巾,叫且上底面與〃平行，但是上底面與下底面并不

垂直；故C錯誤；

D,因為mla,貝！ln_La，又nU3所以aJ_。，故。正確.

故選：AD

10.【答案】ACD

【解析】【分析】首先由條件轉化為log2a=log3b=±a=2t,b=3t,再結合函數圖象的交點情況，即可判

斷選項.

【詳解】由題意可得，clog?。=clog3b=1(。壬0),即log2。=log3b=±Q=2；b=3上，在同一坐標系下作

出g=log2a;,y=log3rc,y=」的圖象如圖.

x

根據圖象可知，c<0時，c〉0時，1<Q<b,有c<Q<6或Q<b<c,故5錯誤;

若0<c<l,則！〉1,所以b〉a〉2〉c,故4正確；

c

若c>3,則0<!<:,所以a<6<3<c,故。正確；

c3

當a;C(l,+oo)時，/(2)="單調遞增，因為P<2,2?〉3，所以meC(1,2),使得2<c0<3,所以

2：<c<3苒即a<c<b，故C正確.

故選：ACD

11.【答案】ACD

第7頁，共17頁

【解析】【分析】對于/選項：直接給出離心率e與9的關系得出結果.對于8選項：設出/、5坐標，用三

a

角形面積公式以04B=$0A\|0B\sinZAOB,結合向量點乘與三角函數關系化簡，根據三角函數性質

求最值判斷對錯.對于C選項：設出相關點坐標，根據已知條件得到3,加與電，陰,?，儂關系，再結合橢圓

方程和直線。4,斜率之積化簡，最后根據城+2諦=8求出入2+〃2的值.對于。選項：由42+〃2=I及

前面條件，根據中點坐標公式得到立,沙與叼，陰42,儂關系，代入化簡得出中點￡滿足的方程.

【詳解】對于選項W=-=—^故/正確；

ea2

對于選項5,A^v^cosa,2sinc^^,B^2\/2cos/5,2sin/?^,

2

SAOAB=||OA||OB|sinZAOB=||OA||OB|^/l-cosZAOB

ol-o^\2

=^OA\\OB\=2v/2|cosasinS—sinacos0|

\OA\\OB\)/

=2v^|sin（a—0）|&2?

7T

當a—0=±5時，上式等號成立，故2錯誤；

對于選項C,設4儂1/1）,832/2）,。（磔,90），

由題意可得，（'°=y11”的，*+2蟾=8,，=0,1,2,

[伙）=入yi+聞2,

所以說+2詔=X2xl+2入“162+〃源+2*優(yōu)+4*明02+2/達

=（A2XI+2*憂）+（2人從力處+4人〃譏沙2）+（4滋+2/蟾）

因為直線。4。3的斜率之積為—：，所以工網+2明於=0,則城+2*=8（2+/）.

因為城+2%=8,所以+〃2=],故c正確；

對于選項。，因為逸+〃2=1,設于孫譏）,仇?用2），由選項。知叼22+2加於=0,4+2成=8"=1,2.

因為E^g）為N3的中點，所以｛孺二；：；；；：

第8頁，共17頁

所以4/+8g2=*++/+2猶+4yly2+2蟾=(若+2詔)++4陰儂)+(《+2蟾)=16，則

2XYX2

22

N3的中點EQ,。)滿足方程上+%=1,故。正確.

42

故選：ACD.

_7

12.【答案】-

5

【解析】【分析】利用同角公式中的平方關系求值即可.

【詳解】由已知得(sin。—cos0)2=《今1—2sin0cos0=^-=>2sin自cos。=^―,

則0<0<1,所以sin。+cos。=A/1+2sin0cos0=jl+:=:

故答案為：］7

5

13.【答案】1

【解析】【分析】根據題意分析可知點/的軌跡是以廠為中心且其一條對角線在x軸上的正方形，根據圖

形結合雙曲線性質分析判斷.

22

【詳解】設一《=1的焦距為2c(c>0),A(x,y),

azbz

則E(Q,0))F(C)0),|E尸|=c-%

可得D(F)A)=\x-c\+\y\=c-a.

當力》Gg20時，可得力一c+g=c-Q,即/+J=2C-Q；

當時，可得力—c—g=c—。，即力一g=2c—Q；

當i<Gg20時，可得c一力+y=c—Q,即/-g=Q；

當力<c,g<0時，可得c—i—g=c—a,即1+g=a；

可知點Z的軌跡是以產為中心且其一條對角線在％軸上的正方形.

2222

T7H4/c—a—ac+ac(c—a)b

又因為——(c—Q)=-------------=1°，〉0,即Rn一〉c—a

aa25aza

62

可知當點A在點T7正上方或正下方時，|4F|=c—a<―，

第9頁，共17頁

所以點A的軌跡與雙曲線C僅有1個公共點E.

故答案為：1.

14.【答案】228

【解析】【分析】因為e”—21n，+2—3〉0,所以9(4)=&——^存在零點磔，所以

k2

不一-^yl+v—yk-k=0,再構造新函數，利用導數求得函數單調遞增，再利用函數零點定理即可得到

(k+1)k+1

bk=(yk)=k+1,再利用等差數列求和公式即可求得結果.

【詳解】因為121口力，兩式取等條件不同,

所以e‘一21nc+/—3=e‘一(優(yōu)+1)+2[(劣-1)-Inx]>0,

所以g(1)=k-G存在零點3?所以筋3+2,—k=o,

Ukko2,

令徘：=(k+l)3,則以="亍所以.+])3猊+"7汰一4=0.

7/、ko2z/\3k22

設h(y)=------五+-----y—k^h7(g)=------+------->0,

漢⑼(卜+1)卜+1(卜+1)卜+1

2

上42k-k(k-k-l)

所以九(沙)在(0,+8)上為增函數，且以用)=------+(k+l)3-'

(卜+1)k+1

因為卜€(wěn)為*水》2,8(次)=有—4—1單調遞增,所以虱人)》奴2)=1>0,

所以秋人)<0,貼+1)=2〉0,

20

所以卜<汰<卜+1(k》2,卜CN*),則醺=〈%)=fc+l(fc>2,fceN*),￡4=19*(：+21)=228.

k=22

故答案為：228

15.【答案】【詳解】(1)設10個小球中黃球為加個，綠球為〃個，且n>m,meN*”N*,

由題意得，魚9=[,解得加=3,0=5,則紅球有2個，

Cfo3

記事件出某消費者抽獎一次獲得一等獎，則P(A)=導=*,

。1045

所以該消費者獲得一等獎的概率為4.

45

「0「2n「1r「2p0c\

⑵由題意，￡的取值是0,1,2,則。代=0)=得衛(wèi)=]口￡=1)=福至=P(§=2)=—"=6,

5oyMoy5oy

E的分布列為：

第10頁，共17頁

€

012

252

p

999

252

期望E(0=Ox-+lx-2x-=1.

99+9

【解析】【分析】(1)根據題設確定10個小球中黃球、綠球的個數,再由古典概型的概率求法求概率;

(2)由題設￡的取值是0,1,2,應用超幾何的概率求法求對應概率值，寫出分布列，進而求期望.

U)X(cuxcux\11Q(jJX111

16.【答案】【詳解】(1)因為/(c)=sm--cos———sm——+-=-smcux—sm--+-=二sms力+-COSLUX

2I22)222222

sin(G/+亍

2

鼻.(?S7T7T'

所以g(/)

—+—+z

因為g(c)是偶函數,

....,37r7T7F,,“

所以-—F—=—+A：7r,kEZ.

又3C(0,l),所以a=j

所以/(，)=-ysmf-a;+—I.

__、r7T,37T37r__

因為)~—2A^7r<-x-\——<———2/C7T,keZ,

2442

一廣2pz、上心乂、e、乂、、「口(不8k7v57r8k7v\「

所以/(力)的單倜遞減區(qū)間TE(—H--—,—I—--),keZ.

⑵因為"4)=g,

所以sin(-A+—=1,—A+—=—+2kn,kEZ,即4=---\-——kEZ.

144/'44233

7T

又4e(0,7T),所以A=不，

所以asinA=a-=A/3，解得a=2.

由a?=y+°2—26ccosA>得4=廬+c?—be=(b—c)2+be,

所以42be,當且僅當b=c時取等號,

所以2言=加+就,4|A^\2=AS2+Ad2+2A^-b2+c2+be=4+2bc^12,

第11頁，共17頁

所以向《通，則的最大值是，9.

【解析】【分析】（1）先由二倍角的正弦，降幕公式，輔助角公式，以及圖象平移的性質得到貝乃，再由偶

函數的性質求出/（，）表達式，然后整體代入求解正弦函數的單調遞減區(qū)間即可；

7T

（2）先由正弦函數的最值求出4=W，然后由余弦定理得到4>6c,最后再由向量的數量積和模長的計算

O

求出.

17.【答案】【詳解】⑴由拋物線的性質可得，拋物線的焦點為（。,|），將廣|代入/=2py,解得z=土P，

則2P=4,

所以拋物線。的方程為/=4沙.

（2）由題意可設直線/的方程為g=kx-2,A（xi,yi）,B（x2,儀）,“（，3,沙3），

16k2

I2jkx—2-32>0,

聯(lián)立《2，'整理得?—4強+8=0,貝1J（xi+X2—4k,

[X2=4y,

IX]_X2=8.

由34,得直線QA,-2二m”4）,與拋物線。聯(lián)立并整理得8=。,

2

8-g64

32—4」

8-斕

32-471gr-rj8863力2Q,

所以71+/3=,^1^3=—i------------8,所以一+73--S__8,

4—力14—X2.A，妝

44-----

力262

匚匕22（譴—8）

所以-------=8+力2%3,62+力3=,所以2（62+磔）=8+62/3?

力2—2力2—2

直線MB:y_明=］；_：：（力_力3），將於=守、統(tǒng)=?代入上式，化簡可得4?/=（力2+/3）力一1263.

將2（x2+磔）=8+22比3代入4g=（X2+X3）x-x2x3,得4沙=（此+x3）（x-2）+8,

所以直線恒過定點N（2,2）.

以PQ為直徑的圓的方程是Q—2）2+必=8,該圓的圓心為01（2,0）,當且僅當OiNLDE時（此時點A,B

重合）OE|最小,

第12頁，共17頁

22

且|DE\rain=2A/|O1D|-|O17V|=2y8^=4,

所以|OE|最小值為4.

【解析】【分析】（1）寫出焦點坐標即可求出過焦點且平行于x軸的直線與拋物線交點的橫坐標，數形結合

利用弦長列方程求解；

（2）設直線I的方程為y=kx-2,4（的,2/1）,B（X2,儀）,M（磔,笫），與拋物線方程聯(lián)立，結合根與系數的關系

及斜率公式設出直線的方程并與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理可得232+/3）=8+立2初，寫出直線“2

的方程并利用點在拋物線上進行化簡，即可求出直線九歸的定點N,數形結合知當且僅當OiN,0E時（此

時點43重合）|。耳最小，代入相應數值結算即可.

18.【答案】【詳解】⑴解法一：如圖，設M是/在平面BCD上的射影，連接

因為nBCD,CDc平面3cO,

所以。。1AM.

又AB,ABr\AM=A,AMc平面ABM,ABC平面ABM,

所以。D_L平面48M.

因為BMCZ平面4BM,所以。OLBM.

同理可得，BCLDM,所以M是△BCD的垂心，

所以。MJ.BD.

又BD1AM,CMnAM=M,AMc平面ACM,CMC平面ACM,

所以平面工CW.

因為ACu平面NCN,

所以4。！BD.

連接EH,HF,FG,GE.

因為HF//AC,GE//AC,S.HF=GE=^AC

所以HF//GE且HF=GE,

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故四邊形麗G是平行四邊形.

又HFIIAC,FGIIBD,MAC1BD,

所以FG,

所以平行四邊形瓦彳G是矩形，則石F=GH.

解法二：因為48,CD,BC,

所以用.（初—加）=0,比.=0,

所以豆工巨方=~B1-舒=錠.標，

所以加.（眈一瓦t）=0,即亙力.前=0，

所以RD,AC.

連接EH,HF,FG,GE.

因為HFHAC,GEUAC,S.HF=|AC,GE=1AC

所以HF//GE且HF=GE,

故四邊形所G是平行四邊形.

又HF//AC,FG//BD,且AC1BD,

所以HF,FG，

所以平行四邊形EHFG是矩形，則EF=GH.

（2）由（1）可知，四邊形EHFG是矩形,則EHFG的面積S=EH-GE=|BD-AC<1.；皿）=1,

當且僅當AC=BD=2時取等號，

所以四邊形EHFG面積的最大值是1.

（3）如圖，連接BE,連接?！辈⒀娱L交8C于點N,則_BE=2,CE=1.

在△BCD中，由等面積法，得CD-BE=BCDN，即。N=M.

5

在RtZXONC中，cosZNDC=^=tanZNDC=

CD52

所以在RtaDEM■中，ME=DE-tanZNDC=1.

以￡為原點，ER,EC所在的直線為傷沙軸，以過點￡垂直于平面BCD的直線為z軸建立空間直角坐標系

E-維如圖所示，4M即為三棱錐4一BCD的高.

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設=a(a>0),則E(0,0,0),C(0,1,0),B(2,0,0),4Q,0,A0(0,-1,0),

所以加=(—2,1,0),幅=(1,0廠a),前=(f,西=(0,-2,0),

設平面NBC的法向量為云=(x,y,z),

則［雪靜=?！?x+g=0

3

48.丐=0-x—az=Q

2

令力=2Q,得y=4Q,z=3,則宿=(2Q,4Q)3).

設平面ACD的一個法向量為病=(m,n,s),

Ad-病+n—az=0

，令2=-l,則機=2Q,71=0,

cB.尼=-2n=0

所以平面4CQ的一個法向量為尼=(2Q,0,—1),

所以cos(衣,定〉=二卷=空，

\ni\\n2\5

解得a=的包，則點Z到平面3CD的距離是％

2222

【解析】【分析】(1)法一：設M是/在平面BCD上的射影，連接利用線線垂直可

證。。，平面進而可得。ZXLBM，進而可證明平面NOW,連接EH,HF,FG,GE,結合

已知可得四邊形的G是平行四邊形，再證明平行四邊形￡毋6是矩形即可；法二：利